《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課件第6章

第6章線性代數(shù)初步6.1行列式6.2行列式的性質(zhì)與計(jì)算6.3克萊姆法則6.4矩陣的概念及運(yùn)算6.5逆矩陣與初等變換6.6矩陣的秩6.7高斯消元法6.8n維向量6.9線性方程組解的結(jié)構(gòu)

6.1行列式

6.1.1二階行列式及其計(jì)算

二元一次方程組的一般形式為

用加減消元法解上述方程組，如果a11a22－a12a21≠0，則求得其解為

為了便于表示上述結(jié)果，引入二階行列式.(6-2)(6-1)定義6.1

記為二階行列式，它的表達(dá)式a11a22－a12a21稱為二階行列式的展開(kāi)式，即(6-3)且將行列式從左上角到右下角的對(duì)角線稱為行列式的主對(duì)角線，從右上角到左下角的對(duì)角線稱為行列式的次對(duì)角線.由上述定義，記則方程組(6-1)的解可表示為

x1=D1/D，x2=D2/D(D≠0)

例1

計(jì)算二階行列式

的值.

解

=3×5－8×(－2)=31例2

用行列式解線性方程組解因?yàn)樗?.1.2三階行列式及其計(jì)算

下面將二階行列式的概念推廣到三階行列式.

三元一次線性方程組的一般形式為(6-4)若按照加減消元，其解的表達(dá)式較復(fù)雜，為了研究它的解，我們先引入三階行列式的概念.

定義6.2

記

為三階行列式，其表達(dá)式為這種計(jì)算方法也稱為對(duì)角線展開(kāi)法，見(jiàn)圖6-1.圖6-1由上述定義，記那么與二元一次線性方程組的解一樣，我們可以得到類似的結(jié)果.即若D≠0，則三元一次線性方程組的解為

例3

按定義計(jì)算三階行列式解按定義展開(kāi)得例4

用行列式解線性方程組解記故方程組解為

下面進(jìn)一步討論二階行列式與三階行列式的關(guān)系.由它們的定義可得定義6.3

在三階行列式中，把元素aij(i=1，2，3；j=1，2，3)所在行和列的元素刪除，剩下的元素保持原來(lái)的相對(duì)位置不變所構(gòu)成的二階行列式稱為元素aij的余子式，記為Mij.稱Aij=(－1)i+jMij為元素aij的代數(shù)余子式.6.1.3n階行列式的概念

下面由二階、三階行列式的定義及其規(guī)律，推廣歸納出n階行列式的定義.

定義6.4

由n2個(gè)元素排成的n行n列，形如

的記號(hào)，稱為n階行列式，數(shù)aij稱為行列式的元素(i，j=1，2，…，n).

n階行列式是一個(gè)算式，其值定義為或其中，Aij是行列式中元素aij的代數(shù)余子式.此外，n階行列式的展開(kāi)式很復(fù)雜，但具有以下兩個(gè)規(guī)律：

(1)展開(kāi)式中共有n!項(xiàng)，正負(fù)各半；

(2)每項(xiàng)都是取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積.

下面介紹兩個(gè)特殊的n階行列式——n階對(duì)角行列式和n階下三角行列式.由定義可知，它們的值都定義主對(duì)角線上元素的乘積，形如:

例5

寫(xiě)出四階行列式

的元素a23的余子式和代數(shù)余子式.

解元素a23的余子式為刪除第二行和第三列后，剩下的元素按原來(lái)順序組成的三階行列式，而元素a23的代數(shù)余子式為其余子式前面加一個(gè)符號(hào)因子，所以有例6

按定義計(jì)算四階行列式解由前面定義可知例7

計(jì)算行列式的值.解由定義6.3可得

6.2行列式的性質(zhì)與計(jì)算

6.2.1行列式的性質(zhì)

由前面的學(xué)習(xí)，大家發(fā)現(xiàn)按照行列式的定義，可以計(jì)算一些特殊的行列式，但對(duì)階數(shù)較高的行列式，其計(jì)算量很大，為簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算，下面先介紹行列式的性質(zhì).

定義6.5

如果把n階行列式中的行與列按原來(lái)的順序互換,將得到的新的行列式記為

則稱DT為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式.顯然，D也是DT的轉(zhuǎn)置行列式.

性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D=DT.

此性質(zhì)表明，行列式中的行與列具有同等的地位，凡對(duì)行成立的性質(zhì)，對(duì)列同樣也成立.

由性質(zhì)1和n階下三角行列式的性質(zhì)可以得到，n階上三角行列式的值等于它的主對(duì)角線上各元素的乘積，即

性質(zhì)2

互換行列式的任意兩行或兩列位置，行列式的值改變符號(hào).

例如，二階行列式=a11a22－a12a21，將D中的第一列與第二列互換后，有=a12a21－a11a22=－D.

為了便于表示，把行列式中的第i行(或列)和第j行(或列)的互換記為(或

).性質(zhì)3

行列式一行(或列)的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面，即換句話說(shuō)，就是用數(shù)k乘以行列式等于用數(shù)k乘以行列式的某一行(或列).推論1

如果行列式中有一行(或列)對(duì)應(yīng)元素全為零，那么此行列式的值為零.性質(zhì)4

行列式中一行(或列)的每一個(gè)元素如果可以寫(xiě)成兩數(shù)之和，即

aij=bij+cij(j=1，2，…，n)那么此行列式等于兩個(gè)行列式之和，這兩個(gè)行列式的第i行元素分別是bi1，bi2，…，bin和ci1，ci2，…，cin，其他各行(或列)的元素與原行列式相應(yīng)行(或列)的元素相同，即性質(zhì)5

如果行列式中兩行(或列)對(duì)應(yīng)元素全部相同，那么行列式的值為零.例如，三階行列式

由性質(zhì)4和性質(zhì)5，可以得到以下推論.

推論2

行列式中如果兩行(或列)對(duì)應(yīng)元素成比例，那么行列式的值為零.

推論3

行列式D中任意一行(或列)的元素與另一行(或列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為零.即當(dāng)i≠j時(shí)，(或)

此推論結(jié)合定義，可以得到以下結(jié)論：或性質(zhì)6

在行列式中，把某一行(或列)的倍數(shù)加到另一行(或列)對(duì)應(yīng)的元素上去，那么行列式的值不變，即這個(gè)性質(zhì)主要應(yīng)用于把行列式中的元素化為零，通常稱為“造零”，從而達(dá)到簡(jiǎn)化行列式計(jì)算的目的.為了表示方便，把第i行的k倍加至第j行上的變換記為rj+kri，并寫(xiě)在等號(hào)上方;把第i列的k倍加至第j列上的變換記為cj+kci，并寫(xiě)在等號(hào)下方.例1

利用行列式的性質(zhì)計(jì)算下面各式的值.6.2.2行列式的計(jì)算

利用行列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)高階行列式主要有兩種方法.第一，利用性質(zhì)把行列式逐步化為上(或下)三角行列式，由前面的結(jié)論可知，這時(shí)行列式的值等于主對(duì)角線上元素的乘積，這種方法叫做“化三角形法”.第二，選擇零元素最多的行(或列)，按這一行(或列)展開(kāi)；也可以利用性質(zhì)“造零”，將某一行(或列)的元素盡可能多地化為零(最理想是這一行(或列)僅有一個(gè)非零元素)，然后再按這一行(或列)展開(kāi)，這種方法叫做“降階法”.下面舉例說(shuō)明這兩種方法在解題中的使用.

例2

計(jì)算四階行列式

.

解利用行列式的性質(zhì)，將四階行列式化為上三角行列式，再求值.例3

計(jì)算四階行列式:

解利用行列式的性質(zhì)，將此四階行列式化為上三角行列式，再求值.例4

計(jì)算五階行列式:

分析這雖然是一個(gè)五階行列式，但仔細(xì)觀察，第五列僅有一個(gè)非零元素“2”，故想到按第五列元素將行列式展開(kāi)，實(shí)際只有一項(xiàng)，且降為四階行列式.再繼續(xù)觀察，這個(gè)四階行列式是將“2”所在的第二行、第五列元素去掉，剩下的元素按原來(lái)位置構(gòu)成的，它的第一列又只有一個(gè)非零元素“5”，那么，再按第一列展開(kāi)，四階行列式就降為三階行列式，從而達(dá)到簡(jiǎn)化行列式的目的，這就是我們之前所提到的“降階法”.

解

小結(jié)降階法是將行列式按某一行(或列)的元素展開(kāi)，從而達(dá)到降階的目的.若這一行(或列)中元素“0”越多，展開(kāi)項(xiàng)數(shù)就越少，我們可以利用行列式的性質(zhì)，針對(duì)其中一行(或列)多“造零”，從而減少展開(kāi)的項(xiàng)數(shù).在例4中，第五列元素中只有一個(gè)非零元素(這是最理想的情況).例5

計(jì)算四階行列式:

解觀察行列式，其中第四行的零元素最多，已經(jīng)有兩個(gè)零，再造一個(gè)零，按第四行展開(kāi)，有例6

解方程:解因?yàn)橛?(1－x)(1+x)(2－x)(2+x)=0，得x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2.

故方程的解是x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2.

例7

證明:

證明按第一列展開(kāi)，有例7的結(jié)論可以推廣到類似的n階行列式，可以用歸納法證明：

此外，利用行列式的性質(zhì)DT=D，可以得到如下結(jié)論：

6.3克萊姆法則

前面，我們借助二、三階行列式求得二、三元線性方程組的解，本節(jié)將給出用n階行列式求解n元線性方程組的方法.定理6.1(克萊姆法則)設(shè)含n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的線性方程組為(6-5)其系數(shù)行列式為

若D≠0，則方程組(6-5)有唯一解:其中，Dj(j=1，2，…，n)是把D中第j列元素a1j，a2j，…，anj依次換成常數(shù)列b1，b2，…，bn后得到的行列式，即注克萊姆法則適用的兩個(gè)前提條件：第一是方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相等；第二是方程的系數(shù)行列式不等于零.例1

解線性方程組:

解因?yàn)橛纱酥狣=5≠0，所以由克萊姆法則可得方程組的解為

從例題中可以看到，用克萊姆法則解n元線性方程組時(shí)，需要計(jì)算n+1個(gè)n階行列式，這樣計(jì)算量是很大的，所以實(shí)際應(yīng)用中很少用克萊姆法則解方程組.但是克萊姆法則在理論上告訴我們一個(gè)很重要的結(jié)論：當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式不等于零時(shí)，方程組有唯一解，并且這個(gè)解可以用方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)來(lái)表示，反映了方程組的解與方程組的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)的依賴關(guān)系.當(dāng)線性方程組(6-5)的右端常數(shù)項(xiàng)b1，b2，…，bn不全為零時(shí)，稱該線性方程組為非齊次線性方程組.

當(dāng)線性方程組(6-5)的右端常數(shù)項(xiàng)b1，b2，…，bn全為

零時(shí)，稱線性方程組(6-6)為齊次線性方程組.

對(duì)于齊次線性方程組(6-6)，因?yàn)樾辛惺紻j的第j列元素全部為零，所以Dj=0(j=1，2，…，n).因此由克萊姆法則可得，如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D≠0，則此方程組有唯一解，且

x1=0，x2=0，…，xn=0

我們把全部由零組成的解稱為零解.由此可得如下推論.

推論1

若齊次線性方程組(6-6)的系數(shù)行列式不等于零，則此方程組只有零解.

推論2

若齊次線性方程組(6-6)有非零解，則此方程組的系數(shù)行列式必為零(即系數(shù)行列式為零是齊次線性方程組具有非零解的必要條件).例2

解齊次線性方程組:解因?yàn)樵擙R次線性方程組的系數(shù)行列式為所以由推論1可知，此齊次線性方程組只有零解，即x1=x2=x3=0.例3

若齊次線性方程組有非零解，問(wèn)λ應(yīng)取何值.

解該齊次線性方程組的系數(shù)行列式為

由推論2可知若齊次線性方程組有非零解，則此方程組的系數(shù)行列式必為零，即－λ(9－λ)=0，解得λ=0或λ=9.

6.4矩陣的概念及運(yùn)算

6.4.1矩陣的基本概念

先看看下面兩個(gè)引例.

引例1

假設(shè)某產(chǎn)品有3個(gè)產(chǎn)地和4個(gè)銷地，如果以a

ij表示由第i個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往第j個(gè)銷地的產(chǎn)品數(shù)量(i=1，2，3；j=1，2，3，4)，那么調(diào)運(yùn)方案如表6-1表示.如果將表6-1中的數(shù)字取出，保持相對(duì)位置不變，放到括號(hào)里面，就形成下面三行四列的矩陣數(shù)表

稱之為三行四列的矩陣.

引例2

一般地，稱方程組為含n個(gè)未知量m個(gè)方程的線性方程組.如果把它的系數(shù)aij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)和常數(shù)項(xiàng)bi(i=1，2，…，m)保持原來(lái)相對(duì)位置重新寫(xiě)出，放到括號(hào)里，就得到含有m行n+1列的矩形數(shù)表這個(gè)數(shù)表簡(jiǎn)捷、清晰而完整地表達(dá)了該線性方程組，稱之為m行n+1列的矩陣.

定義6.6

把由m×n個(gè)數(shù)aij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)排成的一個(gè)m行n列，并括以方括弧(或圓括弧)的數(shù)表

稱為m行n列矩陣，簡(jiǎn)稱m×n矩陣，通常用大寫(xiě)字母A，B，C，…表示.

如上述矩陣可以記作A或Am×n，有時(shí)也記作A=(aij)m×n，其中a

ij稱為矩陣A的第i行第j列元素(i=1，2，…，m;j=1，2，…，n).

當(dāng)m=1或n=1時(shí)，矩陣只有一行或一列，即或或分別稱之為行矩陣或列矩陣.特別地，當(dāng)m=n時(shí)，稱A為n階矩陣或n階方陣.方陣A的行列式

在矩陣A=(aij)m×n中各個(gè)元素的前面都添加負(fù)號(hào)(即取相反數(shù))得到的矩陣，稱為A的負(fù)矩陣，記作－A，即－A=(－aij)m×n.例如：設(shè)，則6.4.2特殊矩陣

在n階方陣中，類似于行列式，稱從左上角至右下角的對(duì)角線為主對(duì)角線，從左下角至右上角的對(duì)角線為次對(duì)角線.下面給出幾種特殊的矩陣.

(1)形如

，即主對(duì)角上方(含主對(duì)角線)的

元素不全為零，其他元素都為零的n階方陣稱為上三角矩陣.

(2)形如

，即主對(duì)角下方(含主對(duì)角線)的元素不全為零，其他元素都為零的n階方陣稱為下三角矩陣.

(3)形如

，即主對(duì)角線上的元素不全

為零，其他元素都為零的n階方陣稱為對(duì)角矩陣，記作diag[a11，a22，…，ann].

(4)若主對(duì)角線上的元素一致，都是非零常數(shù)a，則這樣的n階對(duì)角矩陣稱為n階數(shù)量矩陣.

例如：當(dāng)n=2，3時(shí)，(a≠0)分別是二階、三階數(shù)量矩陣.

(5)形如

，即主對(duì)角線上的元素都是1，其余

元素全部為零的n階方陣，稱為n階單位矩陣，記作E

n或E.單位矩陣在矩陣運(yùn)算中的作用類似于數(shù)“1”.

例如:當(dāng)n=2，4時(shí)，分別是二階、四階單位矩陣.

(6)如果矩陣A=(aij)m×n，滿足A=AT，即它的第i行第j列的元素與第j行第i列的元素相同aij=aji(i，j=1，2，…，n)，那么稱A是對(duì)稱矩陣.

例如:矩陣就是一個(gè)四階對(duì)稱矩陣.注(1)~(6)的矩陣前提都是行數(shù)和列數(shù)相等的方陣.

(7)當(dāng)矩陣的元素全部為零時(shí)，即aij=0(i=1，2，…，m;j=1，2，…，n)，則稱之為零矩陣，記為0m×n或0.零矩陣在矩陣運(yùn)算中的作用類似于數(shù)“0”.6.4.3矩陣的運(yùn)算

矩陣之所以有著廣泛的應(yīng)用，不只在于把一些數(shù)據(jù)排列成矩形表的形式，更重要的是在于它所規(guī)定的一些有意義的運(yùn)算.

1.矩陣的相等

定義6.7如果矩陣A和B有相同的行數(shù)和列數(shù)，且對(duì)應(yīng)元素相等，即

aij=bij(i=1，2，…，m;j=1，2，…，n)

則稱矩陣A與矩陣B相等，記為A=B.

例1

已知

，且

A=B，求a、b、c、d的值.

解根據(jù)矩陣相等的定義，有解得a=1，b=－3，c=3，d=－3.

2.矩陣的加法

定義6.8

設(shè)A=(aij)和B=(bij)是兩個(gè)m×n矩陣，規(guī)定稱矩陣A+B為矩陣A與矩陣B的和.類似地，由負(fù)矩陣的概念可以定義矩陣的減法運(yùn)算，規(guī)定稱矩陣A－B為矩陣A與矩陣B的差.

例2

設(shè)矩陣

，求A+B及A－B.

解

注兩個(gè)m×n矩陣作加法、減法的結(jié)果依然是一個(gè)m×n的矩陣.

設(shè)A、B、C、0都是m×n矩陣，可以驗(yàn)證矩陣的加法滿足以下運(yùn)算規(guī)則：

(1)加法交換律：A+B=B+A.

(2)加法結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C).

(3)零矩陣滿足：A+0=A.

(4)存在負(fù)矩陣－A，滿足：A+(－A)=A－A=0.

3.矩陣的數(shù)乘

定義6.9

設(shè)k是任意一個(gè)實(shí)數(shù)，矩陣A=(aij)m×n，規(guī)定稱該矩陣為數(shù)k與矩陣A的乘積，簡(jiǎn)稱矩陣的數(shù)乘.注矩陣的數(shù)乘是用數(shù)乘以矩陣中的所有元素，而行列式中的數(shù)乘僅僅是用數(shù)乘以行列式中的某一行(或列)，兩者有本質(zhì)的不同.

由矩陣數(shù)乘的定義可知，數(shù)k乘以一個(gè)矩陣，是用數(shù)k乘以矩陣A中的每一個(gè)元素.特別地，當(dāng)k=－1時(shí)，kA=－A，得到A的負(fù)矩陣.反之，若矩陣A的全部元素都有公因子k，則k可提到矩陣記號(hào)外.例3

設(shè)從Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)產(chǎn)地到A、B、C、D四個(gè)銷地的距離(單位km)用矩陣D表示為已知產(chǎn)品每噸的運(yùn)費(fèi)是2.5元/km，則各地區(qū)之間每噸貨物的運(yùn)費(fèi)可記為由數(shù)乘的定義可以驗(yàn)證，對(duì)數(shù)k、l和矩陣A=(aij)m×n、B=(bij)m×n滿足以下運(yùn)算規(guī)則：

(1)數(shù)對(duì)矩陣的分配律：k(A+B)=kA+kB.

(2)矩陣對(duì)數(shù)的分配律：(k+l)A=kA+lA.

(3)數(shù)與矩陣的結(jié)合律：(kl)A=k(lA)=l(kA).

(4)數(shù)1與矩陣的數(shù)乘：1·A=A.矩陣的加、減法和數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.

我們把含有未知矩陣的等式稱為矩陣方程，把求未知矩陣的過(guò)程稱為解矩陣方程.例5就是一道解矩陣方程的題，從形式上看，類似于求解一般的代數(shù)方程.

4.矩陣的乘法

前面討論的矩陣的數(shù)乘運(yùn)算是用數(shù)k乘以矩陣中的每一個(gè)元素.下面討論矩陣與矩陣的相乘，即矩陣的乘法.首先看看下面這個(gè)例題.

例6

某地區(qū)甲、乙、丙三家手機(jī)專賣(mài)店同時(shí)銷售兩個(gè)品牌的手機(jī)，矩陣A表示各家手機(jī)專賣(mài)店銷售這兩個(gè)品牌手機(jī)的日均銷售量(單位：臺(tái))，矩陣B表示兩個(gè)品牌手機(jī)的單位售價(jià)和利潤(rùn)(單位：千元)，矩陣C表示各家手機(jī)專賣(mài)店的總收入和總利潤(rùn)，即

則總收入

c11=2×4.5+7×1.3=18.1

c21=5×4.5+4×1.3=27.7

c31=4×4.5+6×1.3=25.8

總利潤(rùn)

c12=2×2.1+7×0.4=7

c22=5×2.1+4×0.4=12.1

c32=4×2.1+6×0.4=10.8所以

其中矩陣C中第i行第j列的元素c

ij是由矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列元素按順序?qū)?yīng)元素的乘積之和.

依據(jù)上述矩陣A、B、C之間的關(guān)系，下面給出矩陣乘法的定義.

定義6.10

設(shè)A是一個(gè)m×s矩陣，B是一個(gè)s×n矩陣，即則稱C=(cij)m×n為矩陣A與B的乘積，其中記作C=AB.在矩陣乘法的定義中，要注意以下幾點(diǎn)：

(1)只有當(dāng)左矩陣A的列數(shù)與右矩陣B的行數(shù)相等時(shí)，兩矩陣A、B才能作乘法運(yùn)算C=AB.

(2)兩矩陣的乘積C=AB仍是矩陣，其行數(shù)等于左矩陣A的行數(shù)，列數(shù)等于右矩陣B的列數(shù).

(3)乘積矩陣C=AB中第i行第j列的元素等于A的第i行元素與B的第j列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和，即cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=

，這被簡(jiǎn)稱為行乘列法則.例8

設(shè)A是一個(gè)1×n的行矩陣，B是一個(gè)n×1的列矩陣，且求AB和BA.

解

例9

設(shè)矩陣，

，求AB和BA.

解

例10

設(shè)矩陣

，，

，求AC和BC.

解

6.4.4矩陣的轉(zhuǎn)置

定義6.11

將一個(gè)m×n矩陣的行與列依次互換位置所得到的n×m矩陣稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT.

例11

已知，，寫(xiě)出它們的

轉(zhuǎn)置矩陣，并求(AB)T和BTAT.

例12

證明(ABC)T=CTBTAT.

證明由矩陣的轉(zhuǎn)置滿足的運(yùn)算規(guī)則(AB)T=BTAT可得

(ABC)T=[(AB)C]T=CT(AB)T=CTBTAT

由此例題可以看出，矩陣的轉(zhuǎn)置滿足的運(yùn)算規(guī)則(4)可以推廣到多個(gè)矩陣相乘的情況，即

(A1A2…Ak)T=ATkATk－1…AT2AT1

6.5逆矩陣與初等變換

6.5.1逆矩陣的概念與性質(zhì)

1.逆矩陣的概念

對(duì)于兩個(gè)非零實(shí)數(shù)a、b，若滿足ab=ba=1，則稱a與b互為倒數(shù)，即a=b－1，b=a－1，那么亦有aa－1=a－1a=1.與此對(duì)應(yīng)，在矩陣中，對(duì)于一個(gè)矩陣A，是否存在著一個(gè)矩陣B，使得AB=BA=E成立呢？是否也有AA－1=A－1A=E成立呢？下面先給出矩陣A的逆矩陣的概念.

定義6.12

對(duì)于矩陣A，如果存在矩陣B，滿足：

AB=BA=E

則稱矩陣A為可逆矩陣，簡(jiǎn)稱A可逆，稱B為A的逆矩陣，

記作A－1，即B=A－1.

于是，當(dāng)A為可逆矩陣時(shí)，存在A－1，滿足：

AA－1=A－1A=E

注(1)由定義知，上述矩陣A、B一定是同階方陣；

(2)AB=BA=E中A、B兩個(gè)矩陣的地位是相等的，

即可以得到A可逆，且A－1=B，同時(shí)B也是可逆的，且B=

A－1，稱A與B是互逆的.例1

設(shè)矩陣

，

，證明A、B是可逆的.

證明因?yàn)樗跃仃嘇可逆，且其逆矩陣A－1=B，同時(shí)矩陣B也可逆，B=A－1.例2

證明n階單位矩陣E是可逆矩陣，n階零矩陣不是可逆矩陣.

證明因?yàn)閚階單位矩陣E滿足EE=E，故單位矩陣E是可逆矩陣.

因?yàn)閷?duì)于任何方陣A都有A0=0A=0，故零矩陣0不是可逆矩陣.

2.逆矩陣的性質(zhì)

由逆矩陣的定義可以證明逆矩陣具有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1若矩陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的.

性質(zhì)2若矩陣A可逆，則A-1也可逆，且(A－1)－1=A.

性質(zhì)3若矩陣A可逆，數(shù)k≠0，則kA也可逆，且(kA)－1=

k－1A－1.

性質(zhì)4若n階矩陣A和B都可逆，則AB也可逆，且(AB)－1=B－1A－1.

性質(zhì)5如果矩陣A可逆，則AT也可逆，且(AT)－1=(A－1)T.

性質(zhì)6如果矩陣A可逆，則det(A－1)=(detA)－1.6.5.2可逆矩陣的判別及求解

先來(lái)介紹一個(gè)n階矩陣的行列式的重要結(jié)論：

定理6.2

設(shè)A、B是兩個(gè)n階矩陣，則乘積矩陣AB的行列式等于矩陣A的行列式與矩陣B的行列式的乘積，即

det(AB)=detAdetB

例3

設(shè)矩陣，，驗(yàn)證det(AB)=detAdetB.

證明因?yàn)樗?/p>

又因?yàn)楣?/p>

detAdetB=(－31)×(－13)=403所以det(AB)=detAdetB.

例4

設(shè)矩陣

，

，試求det(ATB)、det(A+B)及det(2B).

解由定理6.2及det(AT)=detA，有由定理6.2可以得到以下結(jié)論：

設(shè)A是n階矩陣，λ為任意非零常數(shù)，k是正整數(shù)，那么：

(1)det(λA)=λndetA；

(2)detAk=(detA)k；

(3)det(ATA)=det(AAT)=(detA)2;

(4)det(A1A2…Ak)=detA1detA2…detAn(其中A1，A2，…，An均為n階矩陣).

下面給出一個(gè)判斷n階矩陣A可逆的必要條件.定理6.3

若n階矩陣A是可逆矩陣，則detA≠0.

證明因?yàn)榫仃嘇可逆，則必存在A－1，使得AA－1=E，由定理6.2知

detAdetA－1=det(AA－1)=detE=1

所以detA≠0.

當(dāng)矩陣A滿足detA≠0時(shí)，稱A為非奇異矩陣，否則當(dāng)detA=0時(shí)，稱A為奇異矩陣.

定理6.3中，detA≠0僅僅是矩陣A不可逆的必要條件，那么這個(gè)定理的充分性是否成立呢？也就是說(shuō)，當(dāng)detA≠0時(shí)，能斷定矩陣A是可逆矩陣嗎？我們的回答是肯定的.為了證明這一點(diǎn)，先引入伴隨矩陣的概念.定義6.13

設(shè)A=(aij)是n階矩陣，則稱為矩陣A的伴隨矩陣，記作A*，其中Aij是矩陣行列式detA中元素aij的代數(shù)余子式.

例5

求矩陣

的伴隨矩陣A*.

解因?yàn)樗园殡S矩陣為由n階行列式的定義6.4可知類似地，亦有A*A=(detA)E.所以，當(dāng)detA≠0時(shí)，有即當(dāng)detA≠0時(shí)，矩陣A可逆，且A－1=1/(detA)A*，于是得到以下定理.定理6.4

若n階矩陣A滿足detA≠0，

則A是可逆矩陣，且綜合定理6.3和定理6.4，還可得到以下定理.

定理6.5

n階矩陣A可逆的充分必要條件是detA≠0，且當(dāng)矩陣A可逆時(shí)，在定理6.5中，不但明確了判斷矩陣A可逆的充分必要條件是detA≠0，而且還給出了矩陣A的逆矩陣的求解公式：，用此公式求解逆矩陣的方法稱為伴隨矩陣法.例6判斷矩陣

是否可逆？若可逆，求其逆矩陣.

解因?yàn)樗跃仃嘇不可逆.因?yàn)樗跃仃嘊是可逆的.又由可以得到矩陣B的伴隨矩陣為由定理6.4可得例7

設(shè)

求矩陣X滿足

BXA=C

其中矩陣A、B均為可逆矩陣.

解因?yàn)锳、B都是可逆矩陣，所以A－1、B－1必存在.由矩陣乘法的運(yùn)算性質(zhì)有

X=B－1BXAA－1=B－1CA－1

再由伴隨矩陣法求出B－1和A－1.因?yàn)楣室驗(yàn)楣仕?.5.3矩陣的初等行變換

矩陣的初等行變換是矩陣的一種最基本的運(yùn)算，它在矩陣?yán)碚摷扒竽婢仃?、矩陣的秩、求解線性方程組等方面都具有很重要的作用和廣泛的應(yīng)用.

我們知道利用高斯消元法解線性方程組時(shí)，經(jīng)常使用三種同解變形：

(1)互換變形：互換兩個(gè)方程的位置.

(2)倍乘變形：用非零數(shù)乘以某個(gè)方程.

(3)倍加變形：用一個(gè)非零數(shù)乘以某個(gè)方程，加到另一個(gè)方程上.

這三種運(yùn)算稱為方程組的初等變換.類似地，可以得到矩陣的初等變換：

(1)互換變換：對(duì)換矩陣中的某兩行(對(duì)換第i、j兩行，用記號(hào)ri←→rj表示).

(2)倍乘變換：用一個(gè)非零數(shù)乘以矩陣某一行的所有元素(數(shù)k乘以第i行，用記號(hào)kri表示).

(3)倍加變換：把矩陣中某一行所有元素的k倍加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上(第j行的k倍加到第i行上，用記號(hào)ri+krj表示).

我們把這三種矩陣變換稱為矩陣的初等行變換..6.5.4利用初等行變換求解逆矩陣

前面介紹的用伴隨矩陣求逆矩陣的方法較適合用于二、三階矩陣求逆，對(duì)于更高階的矩陣，這種方法計(jì)算量太大，在實(shí)際應(yīng)用中很不方便，所以本節(jié)將介紹一種更簡(jiǎn)便的求逆矩陣的方法：利用矩陣的初等變換求解逆矩陣.

根據(jù)矩陣乘法，求解矩陣方程AX=B中的未知解向量X.

把矩陣方程AX=B寫(xiě)成AX=EB，若當(dāng)矩陣A可逆時(shí)，方程有唯一解X=A－1B，其求解過(guò)程如下：從上述形式可以看到：求解過(guò)程就是對(duì)矩陣方程AX=B兩邊的矩陣A和B做了一系列的初等變換，直到方程左邊的系數(shù)矩陣A變成單位矩陣E，與此同時(shí)，方程右邊的矩陣E變成了

A－1.這樣就可以得到利用初等行變換求逆矩陣的方法：即在矩陣A的右邊寫(xiě)上一個(gè)與A同階的單位矩陣E，構(gòu)成n×2n矩陣(A|E)，用一系列初等行變換將矩陣左半部分的A化成單位矩陣E，同時(shí)，右半部分的單位矩陣E被化成了要求的A的逆矩陣A－1.這種求逆矩陣的方法簡(jiǎn)稱為初等行變換求逆法.

例8

設(shè)矩陣

，試用初等行變換計(jì)算逆矩陣A－1.

解由初等行變換求逆法可得所以初等行變換求逆法不但提供了求解逆矩陣的方法，而且也可以判定矩陣A是否可逆.在對(duì)矩陣(A|E)進(jìn)行初等行變換的過(guò)程中，若(A|E)中的左半部分A出現(xiàn)零行，則說(shuō)明矩陣A的行列式detA=0，可以判定矩陣A不可逆；若(A|E)中的左半部分A被化成了單位矩陣，則說(shuō)明矩陣A的行列式detA≠0，可以判定矩陣A可逆，且逆矩陣為(E|A－1)的右半部分A－1.例9

設(shè)矩陣

，問(wèn)A是否可逆？若可逆，試求逆矩陣A－1.

解因?yàn)榇藭r(shí)(A|E)的左邊矩陣A在初等行變換過(guò)程中出現(xiàn)了全零行，所以detA=0，故矩陣A不可逆.例10

求矩陣X，使AX=B，其中解由AX=B，得X=A－1B.因?yàn)樗怨?/p>

6.6矩陣的秩

6.6.1秩的概念

在介紹矩陣秩的概念之前，先給出矩陣的子式的定義.

定義6.14設(shè)A是m×n矩陣，在A中位于任意選定的k行k列交點(diǎn)上的k2個(gè)元素，按原來(lái)次序組成的k階行列式，稱為A的一個(gè)k階子式，其中k≤min{m，n}.

例如：矩陣

取第一行、第三行和第二列、

第四列的元素，就構(gòu)成A的一個(gè)二階子式為

.定義6.15

矩陣A的非零子式的最高階數(shù)稱為矩陣A的秩，記作r(A)或秩(A).

規(guī)定：零矩陣0的秩為零，即r(0)=0.

由定義6.15可知，若r(A)=k，則A中至少有一個(gè)非零的k階子式，而所有的k+1階子式(若存在)的值全為零.利用此定義求一個(gè)矩陣的秩時(shí)，對(duì)一個(gè)非零矩陣，一般可以從二階子式開(kāi)始逐一計(jì)算，若找到一個(gè)不為零的二階子式，就繼續(xù)計(jì)算它的三階子式，若找到一個(gè)不為零的三階子式，就繼續(xù)計(jì)算它的四階子式，直到它的r+1階子式全部為零，而至少有一個(gè)r階子式不為零，則這個(gè)矩陣的秩為r.

例1

利用定義計(jì)算矩陣A的秩，其中

解由定義6.14先計(jì)算矩陣A的二階子式

，

再計(jì)算其三階子式.矩陣A的三階子式有四個(gè)，分別為故r(A)=2.6.6.2秩的計(jì)算

可以看到，按定義求矩陣的秩，由于要計(jì)算很多行列式，故而計(jì)算量比較大，但注意到“秩”的求解只關(guān)心k階子式是否為零，而不關(guān)心k階子式的準(zhǔn)確值.而矩陣的初等行變換不會(huì)改變行列式是否為零的本質(zhì)，所以可以利用初等行變換來(lái)求矩陣的秩.

定理6.6

矩陣的初等行變換不改變矩陣的秩.

為了求矩陣A的秩，可以依據(jù)定理6.6對(duì)矩陣A通過(guò)初等行變換盡量簡(jiǎn)化，然后對(duì)簡(jiǎn)化的矩陣求秩就容易多了.

例2

求矩陣A的秩，其中

解因?yàn)橛删仃嘊可得三階子式(由第一、二、三行和第一、三、五列構(gòu)成)

而矩陣B的第四行元素全為零，故所有的四階子式均為零，所以r(B)=r(A)=3.

在例2中經(jīng)過(guò)初等行變換得到的矩陣B是一個(gè)特殊形式的矩陣，故給出如下定義.

定義6.16

滿足下列條件的非零矩陣，稱為階梯形矩陣：

(1)若矩陣存在零行(元素全部為零的行)，零行一定位于矩陣的最下方；

(2)各非零行的第一個(gè)非零元素的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大.定義6.17

滿足下列條件的階梯形矩陣，稱為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣：

(1)各非零行的第一個(gè)非零元素都是1；

(2)各非零行的第一個(gè)非零元素所在列的其余元素都為零.

其中，還將各非零行的第一個(gè)非零元素稱為主元(或首元)，將此行主元后的元素稱為非主元(或非首元).

例如，

和

都是行最簡(jiǎn)階梯

形矩陣.

例3

已知矩陣

，將其化為階梯形矩陣和

行最簡(jiǎn)階梯形矩陣.

解

矩陣A經(jīng)過(guò)一系列初等行變換后，得到的階梯形矩陣并不是唯一的，但矩陣的行最簡(jiǎn)階梯形矩陣是唯一的，而且階梯形矩陣中非零行的行數(shù)是確定的，就是矩陣的秩.這樣就可以

總結(jié)出矩陣的秩的求法——初等行變換求秩法：

經(jīng)過(guò)一系列初等行變換，把矩陣A化為階梯形矩陣B，可表示為

則r(A)=r(B).

例4

用初等行變換求矩陣A的秩，其中

解因?yàn)樗詒(A)=3.

例5

設(shè)矩陣

，

，試求r(A)、r(B)、

r(AB)、r(AT)和r(BT).

解因?yàn)樗詒(A)=2.因?yàn)樗詒(B)=3.

因?yàn)樗詒(AB)=2.

因?yàn)樗詒(AT)=2.因?yàn)樗詒(BT)=3.

從例5中可以看到:乘積矩陣AB的秩不大于兩個(gè)相乘矩陣A、

B的秩，即r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣的秩相等，此例中

r(A)=r(AT)，r(B)=r(BT).

可以證明這兩個(gè)結(jié)論具有一般性，因此可以總結(jié)出如下定理.

定理6.7

設(shè)A為任意一個(gè)m×n矩陣，則有

(1)0≤r(A)≤min{m，n}；(2)r(A)=r(AT).

定理6.8

設(shè)A為任意一個(gè)m×n矩陣，B為n×s矩陣，則有

r(AB)≤min{r(A)，r(B)}

即乘積的秩不超過(guò)各因子的秩.

推論如果A=A1A2…At，那么有6.6.3滿秩矩陣

定義6.18

設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，若r(A)=n，則稱A為滿秩矩陣;若r(A)<n，則稱A為降秩矩陣.

例如，矩陣因?yàn)锳是三階方陣，B是n階單位方陣，C為四階方陣，且(A)=3，r(B)=n，r(C)=3，所以矩陣A、B為滿秩矩陣，C為降秩矩陣.進(jìn)一步思考可以看到，detA=8≠0，detB=1≠0，detC=0，由上一節(jié)內(nèi)容可知，對(duì)于矩陣A，其行列式detA≠0是判斷矩陣A是否可逆的充分必要條件，而由滿秩矩陣的性質(zhì)可以得到可逆矩陣的另一個(gè)判別方法，即定理6.9.

定理6.9

n階矩陣可逆的充分必要條件是A為滿秩矩陣，即r(A)=n.

例6

判斷下列矩陣是否可逆:(1)(2)解

(1)因?yàn)?/p>

所以r(A)=3，即矩陣A是滿秩矩陣，所以A是可逆的.

(2)因?yàn)樗詒(B)=2，即矩陣B不是滿秩矩陣，所以矩陣B不是可逆矩陣.

6.7高斯消元法

6.7.1高斯消元法

前面介紹的克萊姆法則解線性方程組，其計(jì)算量很大，下面在矩陣相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上介紹線性方程組的另一種解法：高斯消元法.

定義6.19

設(shè)含有n個(gè)未知量、m個(gè)方程式組成的方程組(6-7)其中:系數(shù)aij、常數(shù)bi都是已知數(shù);xj是未知數(shù).當(dāng)右端常數(shù)項(xiàng)b1，b2，…，bm不全為零時(shí)，稱方程組(6-7)為非齊次線性方程組；當(dāng)常數(shù)項(xiàng)b1，b2，…，bm全為零時(shí)，即(6-8)稱之為齊次線性方程組.非齊次線性方程組(6-7)的矩陣表示形式為(6-9)AX=B

其中:稱A為方程組(6-7)的系數(shù)矩陣，X為未知矩陣，B為常數(shù)矩陣.將系數(shù)矩陣A和常數(shù)矩陣B放在一起構(gòu)成的矩陣稱為方程組(6-7)的增廣矩陣.由于方程組(6-7)就是由其系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)決定的，因此增廣矩陣(A，B)可以明確地表示一個(gè)線性方程組.

類似地，齊次線性方程組(6-8)的矩陣表示形式為

AX=0

(6-10)

其中0=(0，0，…，0)T.

例1

寫(xiě)出線性方程組的增廣矩陣(A，B)和矩陣形式.解方程組的增廣矩陣是

方程組的矩陣形式是AX=B，即

下面用矩陣討論一般線性方程組的解的三個(gè)問(wèn)題：

(1)方程組在什么條件下有解？

(2)方程組有解時(shí)有多少個(gè)解？

(3)如何求方程組的全部解？

當(dāng)方程組(6-7)用增廣矩陣(A，B)表示時(shí)，對(duì)其進(jìn)行加減消元，即對(duì)增廣矩陣(A，B)實(shí)施初等行變換，直到增廣矩陣的左半部分A化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣，再求出此行最簡(jiǎn)階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組的解，也就得到了原線性方程組的解.這種方法最早在19世紀(jì)由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯提出，所以稱為高斯消元法.

下面舉例說(shuō)明高斯消元法.

例2

解線性方程組:

解先寫(xiě)出增廣矩陣，再對(duì)增廣矩陣實(shí)施初等行變換，將其化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣:

最終，行最簡(jiǎn)階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組為這就是原方程組的解，且只有這一個(gè)解.

注例2的特點(diǎn)是r(A)=r(A，B)=n(n是未知量個(gè)數(shù))，即若系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相同，且與方程組未知量個(gè)數(shù)也相同，則線性方程組有唯一一組解.例3

解線性方程組:

解先寫(xiě)出增廣矩陣，再對(duì)增廣矩陣實(shí)施初等行變換，將其化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣:最終，行最簡(jiǎn)階梯形矩陣對(duì)應(yīng)的線性方程組為(6-11)即(其中x4可以取任意實(shí)數(shù))(6-12)由于未知量x4的取值是任意實(shí)數(shù)，故此方程組有無(wú)窮多組解.將表達(dá)式(6-12)中等號(hào)右端的未知量x4稱為自由未知量.用自由未知量表示其他未知量的解稱為方程組的一般解.當(dāng)自由未知量取定一個(gè)值時(shí)，得到方程組的一個(gè)解，稱為方程組的特解.如令x4=1，則得到一個(gè)特解x1=－(1/2)，x2=1/2，x3=0，x4=1.

注自由未知量的選取不是唯一的.例3中也可以將x3取作自由未知量，由式(6-11)可得(6-13)式(6-11)和式(6-13)雖然形式上不一樣，但本質(zhì)是一樣的，它們都是方程組的一般解.

例3的特點(diǎn)是r(A)=r(A，B)=r<n(n是未知量個(gè)數(shù))，即若系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相同，但數(shù)值小于方程組未知量的個(gè)數(shù)，則此線性方程組有無(wú)窮多組解，且含n－r個(gè)自由未知量.

例4

解線性方程組:

解先寫(xiě)出增廣矩陣，再對(duì)增廣矩陣實(shí)施初等行變換，將其化為階梯形矩陣:

注意到，次階梯形矩陣對(duì)應(yīng)的線性方程組為(6-14)6.7.2線性方程組解的判定

從6.7.1節(jié)的幾個(gè)例題中，大家已學(xué)習(xí)了用高斯消元法解線性方程組，同時(shí)還發(fā)現(xiàn)方程組的系數(shù)矩陣的秩、增廣矩陣的秩與方程組的解之間存在某種關(guān)系，這些關(guān)系是可以經(jīng)過(guò)理論證明的，具有一般性，因此將這些規(guī)律歸納如下：

定理6.10

設(shè)含有n個(gè)未知數(shù)的非齊次線性方程組AX=B的系數(shù)矩陣的秩為r(A)，增廣矩陣的秩為r(A，B).

(1)若r(A)≠r(A，B)，則線性方程組無(wú)解；

(2)若r(A)=r(A，B)=n，則線性方程組有唯一一組解；

(3)若r(A)=r(A，B)=r<n，則線性方程組有無(wú)窮多組解，

且有n－r(A)個(gè)自由未知量.對(duì)于齊次線性方程組AX=0，因?yàn)閞(A)=r(A，B)恒成立，所以齊次線性方程組總是有解(至少有一零解)的.由定理6.10再結(jié)合齊次線性方程組的具體情況，可以得到如下定理.

定理6.11

設(shè)含有n個(gè)未知數(shù)的齊次線性方程組AX=0的系數(shù)矩陣的秩為r(A).

(1)若r(A)=n，則線性方程組只有唯一的零解(沒(méi)有非零解)；

(2)若r(A)<n，則線性方程組有無(wú)窮多組解，且有n－r(A)個(gè)自由未知量(有非零解).

注由上述兩個(gè)定理可知，線性方程組(包含非齊次線性方程組和齊次線性方程組)有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣A與增廣矩陣(A，B)有相同的秩，即r(A)=r(A，B).例5

試討論下面線性方程組中k取不同值時(shí)解的情況:

解對(duì)該線性方程組的增廣矩陣實(shí)施初等行變換，將其化為階梯形矩陣:當(dāng)k=－4時(shí)，k+4=0，則r(A)=r(A，B)=2<4，所以此時(shí)線性方程組有無(wú)窮多組解，且解中自由未知量的個(gè)數(shù)為n－r(A)=4－2=2；當(dāng)k≠－4時(shí)，由于r(A)=2，r(A，B)=3，即r(A)≠r(A，B)，則此時(shí)線性方程組無(wú)解.

例6

求解齊次線性方程組:解

因?yàn)閞(A)=3<4，所以此齊次線性方程組有非零解，對(duì)應(yīng)的同解方程組為由此解得該線性方程組的一般解為(x4為自由未知量)

6.8n維向量

6.7節(jié)介紹了用高斯消元法解線性方程組、判定方程組解的情況，本節(jié)將進(jìn)一步討論方程組的內(nèi)在聯(lián)系和解的結(jié)構(gòu)等問(wèn)題.

6.8.1n維向量的定義

定義6.20

由n個(gè)數(shù)a1，a2，…，an組成的n元有序數(shù)組稱為n維向量，記作α，其中ai(i=1，2，…，n)為n維向量α的第i個(gè)分量.向量一般用小寫(xiě)希臘字母α，β，γ，…表示.

向量也可以用下面形式給出：

αT=(a1

a2

…

an)

一般地，稱α為列向量，αT為行向量.

實(shí)際上，n維向量α就是n×1矩陣(即列矩陣)，αT就是1×n矩陣(即行矩陣)，因此我們規(guī)定n維向量的相等、相加、數(shù)乘與列矩陣(或行矩陣)的相等、相加、數(shù)乘是相同的.

例如，一個(gè)3×4矩陣可以看成由四個(gè)三維向量組成，它們是

,稱為矩陣A的列向量.

類似地，矩陣A也可以看成是分別由三個(gè)四維向量所組成的，它們是(1

2

3

-1)，(3

1

2

4)，(2

3

1

2)，稱為矩陣A的行向量.

例1

設(shè)

，且α+2β=3γ，求向量γ.

解由α+2β=3γ，得6.8.2n維向量的線性相關(guān)性

對(duì)于線性方程組若令用向量的概念及相關(guān)運(yùn)算，上述線性方程組可以表示為

即α1x1+α2x2+…+αnxn=β.

那么，線性方程組的求解問(wèn)題就可以看成是求一組數(shù)x1，x2，…，xn，使等號(hào)右端的常數(shù)向量與等號(hào)左端的系數(shù)矩陣的列向量之間的關(guān)系成立.因此，研究一個(gè)向量與另外一些向量之間是否存在式(6-15)的這種關(guān)系是很重要的.定義6.21

對(duì)于向量α，α1，α2，…，αm，如果存

在一組數(shù)k1，k2，…，km，使α=k1α1+k2α2+…+kmαm則稱向量α是向量α1，α2，…，αm的線性組合，或稱向量α可由向量組α1，α2，…，αm線性表示.

例2

n維零向量0=(0

0

…

0)T是任一n維向量組α1，α2，…，αm的線性組合.因?yàn)槿1=k2=…=km=0，則

0=0α1+0α2+…+0αm

即零向量可由任何向量組線性表示.例3

設(shè)n維向量ε1=(1

0

…

0)，ε2=(0

1

…

0)，εn=(0

0

…

1)，α=(a1

a2

…

an)T是任意一個(gè)n維向量，由于

α=a1ε1+a2ε2+…+anεn

所以α是ε1，ε2，…，εn的線性組合.

通常稱ε1，ε2，…，εn為n維單位向量組.因此，任

何一個(gè)n維向量必可由n維單位向量組線性表示.

例4

設(shè)向量，判斷向量β是否能由向量組α1，α2，α3線性表示;

若能，則寫(xiě)出它的一種表達(dá)式.解設(shè)x1α1+x2α2+x3α3=β，由此可得以x1、x2、x3為未知量的線性方程組用高斯消元法解此線性方程組:則方程組有解，x1=7，x2=5，x3=0，所以

β=7α1+5α2+0α3

由此例題可以看出，判斷一個(gè)向量是否可由其他向量線性表示，可歸納為構(gòu)成的線性方程組是否有解的問(wèn)題.因此有下述定理：

定理6.12

向量β可由向量組α1，α2，…，αm線性表

示的充分必要條件是以α1，α2，…，αm為系數(shù)向量，以β為常數(shù)向量的線性方程組有解.

定義6.22

設(shè)α1，α2，…，αm為m個(gè)n維向量，若有不全為零的m個(gè)實(shí)數(shù)k1，k2，…，km，使得

k1α1+k2α2+…+kmαm=0

(6-16)成立，則稱向量組α1，α2，…，αm線性相關(guān)；否則，稱向量組α1，α2，…，αm線性無(wú)關(guān).也就是說(shuō)，若僅當(dāng)k1，k2，…，km全都為零時(shí)，才能使式(6-16)成立，即α1，α2，…，αm線性無(wú)關(guān).

例5

證明向量組0，α1，α2，α3是線性相關(guān)的.

證明因?yàn)?·0+0α1+0α2+0α3=0，且系數(shù)1、0、0、

0不全為零，所以0，α1，α2，α3是線性相關(guān)的.

例6

證明單位向量e1=(1

0

0)T，e2=(0

1

0)T，e3=

(0

0

1)T是線性無(wú)關(guān)的.

證明設(shè)k1e1+k2e2+k3e3=0，即

k1(1

0

0)T+k2(0

1

0)T+k3(0

0

1)T=(0

0

0)

T

則k1=k2=k3=0，所以e1，e2，e3是線性無(wú)關(guān)的.由以上兩個(gè)例題可看出兩個(gè)特殊向量組具備的性質(zhì)：

(1)含有零向量的向量組必線性相關(guān)；

(2)任何一個(gè)單位向量組必線性無(wú)關(guān).

判斷一般的向量組α1，α2，…，αm的線性相關(guān)性的基

本方法和步驟如下：

①假設(shè)存在一組數(shù)k1，k2，…，km，并使得k1α1+k2α2+…

+kmαm=0成立.

②運(yùn)用齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩與方程組解的關(guān)系，判斷出以k1，k2，…，km為未知數(shù)的齊次線性方程組是否有非零解.

③如果方程組有非零解，則α1，α2，…，αm線性相關(guān)；如果方程組只有零解，則α1，α2，…，αm線性無(wú)關(guān).例7

討論下列向量組的線性相關(guān)性:

(1)α1=(1

1

1)，α2=(1

2

3)，α3=1

3

6);

(2)α1=(1

0－1

2)，α2=(－1－1

2－4)，α3=(2

3－5

10).

解

(1)因?yàn)閞(A)=3=m，所以向量組α1，α2，α3線性無(wú)關(guān).

(2)因?yàn)閞(B)=2<m，所以向量組α1，α2，α3線性相關(guān).6.8.3向量組的秩

若給定一個(gè)n維向量組，在討論其線性與否時(shí)，如何找出盡可能少的向量去表示全體向量，是本節(jié)要討論的主要問(wèn)題.

定義6.23

若向量組α1，α2，…，αm中的部分向量組α1，α2，…，αr(r≤m)滿足：

(1)α1，α2，…，αr線性無(wú)關(guān)；

(2)向量組α1，α2，…，αm中的任意一個(gè)向量都可以由α1，α2，…，αr線性表示，則稱部分向量組α1，α2，…，αr為向量組α1，α2，…，αm的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.

由極大無(wú)關(guān)組的定義可知，任意一個(gè)不全為零的向量組必有極大無(wú)關(guān)組，而線性無(wú)關(guān)的向量組的極大無(wú)關(guān)組就是向量組本身.

特別地，n維單位向量組ε1=(1

0

…

0)，ε2=(0

1

…

0)，

…，εn=(0

0

…

1)是線性無(wú)關(guān)的，這個(gè)單位向量組本身就是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.例8

設(shè)向量組α1=(1

2－1),α2=(2－3

1)，α3=(4

1－1)，不難驗(yàn)證α1，α2，α3是線性相關(guān)的，但α1，α2線性無(wú)關(guān)，且α1，α2，α3都可由α1，α2線性表示.

由于α1=1α1+0α2，α2=0α1+1α2，α3=2α1+α2，所以α1，α2為α1，α2，α3的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.此外，同理可驗(yàn)證α2與α3，α1與α3也是α1，α2，α3的極大無(wú)關(guān)組.

由例8看到一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組可能不止一個(gè)，但是每個(gè)極大無(wú)關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)卻是相同的.這反映了向量組的一個(gè)重要內(nèi)在性質(zhì)，下面引入一個(gè)概念.定義6.24

向量組α1，α2，…，αm的極大無(wú)關(guān)組所含

向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩，記作r(α1，α2，…，αm).

例8中向量組的秩為r(α1，α2，α3)=2.n維單位向量組ε1，ε2，…，εn的秩為r(ε1，ε2，…，εn)=n.

特別地，若一個(gè)向量組中只含零向量，則規(guī)定它的秩為零.

那么，對(duì)于一個(gè)向量組，如何求它的秩和極大無(wú)關(guān)組呢？

定理6.13

m×n矩陣A的秩為r的充分必要條件是矩陣A的行(或列)向量組的秩為r.

定理6.14

矩陣A的秩=矩陣A列向量組的秩=矩陣A行向量組的秩.由這個(gè)定理，可以把求向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)矩陣的研究，即把這些向量組作為矩陣的列(或行)構(gòu)成一個(gè)矩陣，用初等行變換將其化為階梯形矩陣，則非零行的個(gè)數(shù)就是向量組的秩，且非零行的首個(gè)非零元素所在的列序號(hào)對(duì)應(yīng)原來(lái)向量組中的向量就構(gòu)成了極大無(wú)關(guān)組.

例9

設(shè)向量組求向量組的秩及其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.解把向量組α1，α2，α3，α4作為矩陣A的列構(gòu)成矩陣，再用初等行變換把矩陣A化為階梯形矩陣:所以r(α1，α2，α3，α4)=3，且α1，α2，α4是其中一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.例10

設(shè)向量組α1=(1－1

2

4)，α2=(0

3

1

2)，α3=(30714)，α4=(2156)，α5=(1－120)，求向量組的秩及其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用極大無(wú)關(guān)組線性表出.

解方法1:把向量α1，α2，α3，α4，α5看作一個(gè)矩陣A的列向量組，用初等行變換把A化成行最簡(jiǎn)階梯形矩陣，即由上面最后一個(gè)行最簡(jiǎn)階梯形矩陣可知，r(α1，α2，α3，α4，α5)=3，向量組α1，α2，α4就是原向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且α3=3α1+α2，α5=－α1－α2+α4.

方法2:把向量α1，α2，α3，α4，α5看作一個(gè)矩陣A的行向量組，再用初等行變換把A化成行最簡(jiǎn)階梯形矩陣，即所以r(α1，α2，α3，α4，α5)=3，由階梯形矩陣的最后兩行知

α5+α1－α4+α2=0，α3－3α1－α2=0

由此可得α5=－α1－α2+α4，α3=3α1+α2，即向量組

α1，α2，α4就是原向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.

6.9線性方程組解的結(jié)構(gòu)

6.9.1齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

齊次線性方程組

的矩陣形式為

AX=0

該齊次線性方程組的任一組解

x1=k1，x2=k2，…，xn=kn

可看成一個(gè)n維向量(k1