考點(diǎn)鞏固14 空間幾何體的表面積和體積(六大考點(diǎn))2025年高考一輪復(fù)習(xí)(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2考點(diǎn)鞏固卷14空間幾何體的表面積和體積（六大考點(diǎn)）考點(diǎn)01：斜二測畫法及應(yīng)用1、畫空間圖形的直觀圖，一般先用斜二測畫法畫出水平放置的平面圖形，再畫z軸，并確定豎直方向上的相關(guān)的點(diǎn)，最后連點(diǎn)成圖便可；2、直觀圖畫法口訣可以總結(jié)為：“橫長不變，縱長減半，豎長不變，平行關(guān)系不變”；3、當(dāng)幾何體的形狀確定后，用斜二測畫法畫出相應(yīng)幾何體的直觀圖.注意用實(shí)線表示看得見的部分，用虛線表示看不見的部分，畫完直觀圖后還應(yīng)注意檢驗(yàn)；結(jié)論：直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系：若一個(gè)平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝eq\f(\r(2),4)S或S＝2eq\r(2)S′；利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積；1．一水平放置的平面四邊形的直觀圖如圖所示，其中，軸，軸，軸，則四邊形的面積為（

）A．18 B． C． D．12【答案】C【分析】根據(jù)梯形面積公式求出直觀圖的面積，然后由直觀圖面積與平面圖面積之間的關(guān)系可得.【詳解】記與軸的交點(diǎn)為D，因?yàn)檩S，軸，所以，又軸，所以四邊形為平行四邊形，，由題意可知：，因?yàn)?，，所以，，則四邊形的面積為，所以四邊形的面積為.故選：C.2．如圖,直角梯形滿足,它是水平放置的平面圖形的直觀圖,則該平面圖形的周長是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合斜二測畫法的規(guī)則,將直觀圖即直角梯形還原成平面圖形,結(jié)合勾股定理算出各邊長度即可求解.【詳解】由題意,,由可得,由,可得,所以,而，所以，結(jié)合斜二測畫法的規(guī)則,將直觀圖即直角梯形還原成平面圖形，如圖所示：由勾股定理可得，所以滿足題意的平面圖形的周長是.故選:C.3．如圖所示，正方形的邊長為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的周長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)斜二測畫法畫直觀圖的性質(zhì)，即平行于軸的線段長度不變，平行于軸的線段的長度減半，結(jié)合圖形求得原圖形的各邊長，可得周長．.【詳解】直觀圖正方形的邊長為，，原圖形為平行四邊形，如圖：其中，高，，原圖形的周長.故選：A.4．用斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖如圖所示，其中是的中點(diǎn)，且軸，軸，，那么（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【分析】根據(jù)斜二測畫法確定原圖形，求解即可.【詳解】根據(jù)題意，把直觀圖還原出原平面圖形為等腰三角形，如圖所示，其中，，，原平面圖形的面積為.故選：D．5．如圖，是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，若，且，則原圖形中邊上的高為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由三角形面積公式求出的長，結(jié)合斜二測畫法可得原圖中的長.【詳解】畫出平面直角坐標(biāo)系，在軸上取，即，在圖①中，過作軸，交軸于，在軸上取，過點(diǎn)作軸，并使，連接，則即為原來的圖形，如圖②所示：原圖形中，于點(diǎn)，則BD為原圖形中邊上的高，且，在直觀圖③中作于點(diǎn)，則的面積，在直角三角形中，，所以，故原圖形中AC邊上的高為．故選：D．6．已知梯形按斜二測畫法得到的直觀圖為如圖所示的梯形，且，，，現(xiàn)將梯形繞?轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將梯形復(fù)原為原圖即直角梯形，確定相關(guān)的邊長，結(jié)合題意以及圓臺(tái)的側(cè)面積公式，即可求得答案.【詳解】由題意將梯形復(fù)原為原圖，即直角梯形，其中，則，故將梯形繞?轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體為圓臺(tái)，圓臺(tái)上底面半徑為1，下底面半徑為4，高為4，母線長為5，故該幾何體的側(cè)面積為，故選：C7．如圖，是水平放置的用斜二測畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與軸和軸平行），，，則的面積為（

）

A． B． C．24 D．48【答案】D【分析】由直觀圖得到平面圖形，再求出相應(yīng)的線段長，最后由面積公式計(jì)算可得.【詳解】由直觀圖可得如下平面圖形：其中，，，軸，且，所以.故選：D

8．水平放置的的直觀圖如圖，其中，，那么原是一個(gè)（

）

A．等邊三角形 B．直角三角形C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形 D．三邊互不相等的三角形【答案】A【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則求解即可.【詳解】由圖形知，在原中，，如圖，

因?yàn)?，所以，，，又?為等邊三角形.故選：A9．一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)斜二測直觀圖的特點(diǎn)可知原圖形為一直角梯形，由梯形面積公式求解.【詳解】解：如圖，恢復(fù)后的原圖形為一直角梯形，所以.故選：B.10．如圖所示，一個(gè)水平放置的四邊形OABC的斜二測畫法的直觀圖是邊長為2的正方形，則原四邊形的面積是（

）A． B． C．16 D．8【答案】B【分析】根據(jù)斜二測畫法規(guī)則求出，判斷的形狀，確定，由此求出原四邊形的面積.【詳解】在正方形中可得，由斜二測畫法可知，，且，，所以四邊形為平行四邊形，所以．故選：B.考點(diǎn)02：空間幾何體的表面積側(cè)面積和表面積幾何體棱柱棱錐棱臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式ch(c為底面周長，h為側(cè)棱長)ch′(c為底面周長，h′為側(cè)面等腰三角形底邊上的高)(c+c′)h′(c′，c分別為上、下底面周長，h′為側(cè)面等腰梯形的高)表面積公式幾何體圓柱圓錐圓臺(tái)球側(cè)面展開圖側(cè)面積公式表面積公式11．蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活．如圖所示的蒙古包由圓柱和圓錐組合而成，其中圓柱的高為，底面半徑為是圓柱下底面的圓心．若圓錐的側(cè)面與以為球心，半徑為的球相切，則圓錐的側(cè)面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合圓柱、圓錐以及球的結(jié)構(gòu)特征解得圓錐母線長，進(jìn)而可求圓錐的側(cè)面積.【詳解】設(shè)為圓錐高，為圓錐母線長

以為球心，半徑為4的球與圓錐側(cè)面相切，則，在中，，可得，且，則，解得，所以圓錐的側(cè)面積為.故選：C.12．某圓臺(tái)的下底面周長是上底面周長的4倍，母線長為10，該圓臺(tái)的側(cè)面積為，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)圓臺(tái)的上底面的半徑為r，下底面的半徑為R，則由題意可得，再由圓臺(tái)的側(cè)面積列方程可求出，從而可求出上下底面面積和圓臺(tái)的高，進(jìn)而可求出臺(tái)的體積.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上底面的半徑為r，下底面的半徑為R，則，故，因?yàn)樵搱A臺(tái)的側(cè)面積為，母線長，所以，解得，則，所以圓臺(tái)上底面的面積為，下底面的面積為，圓臺(tái)的高所以該圓臺(tái)的體積．故選：C．13．已知正三棱臺(tái)的上底面積為，下底面積為，高為2，則該三棱臺(tái)的表面積為（

）A． B． C． D．18【答案】A【分析】由上下底面的面積可求出上下底面邊長，構(gòu)造直角三角形結(jié)合棱臺(tái)的高求出側(cè)面梯形的高，求出側(cè)面積后得表面積.【詳解】由面積公式可得正三棱臺(tái)上下底面邊長分別為和，設(shè)在底面內(nèi)的射影為，作于，平面，平面，則有，又，，平面，所以平面，平面，所以，由，，，則，又，所以，則，故三棱臺(tái)的側(cè)面積為，表面積為.故選：A.14．在正四棱臺(tái)中，，若正四棱臺(tái)的高為，則其表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則，連接，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，即可得到為正四棱臺(tái)的高，由勾股定理求出，再求出斜高，最后由表面積公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)，則，如圖，連接，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，由正四棱臺(tái)的幾何性質(zhì)可知分別是上?下底面的中心，所以平面平面，所以為正四棱臺(tái)的高，所以由題可知，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，即，解得，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則為斜高，此時(shí)，所以正四棱臺(tái)的表面積為.故選：D.15．已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為，則（

）A．該圓錐的側(cè)面積為 B．該圓錐的體積為C．的面積為 D．【答案】D【分析】依題意可得底面半徑及高，由圓錐的體積公式判斷B，由側(cè)面積公式判斷B，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則是二面角的平面角，求出判斷D，再求出的面積判斷C.【詳解】依題意，，，所以，對于A，圓錐的側(cè)面積為，故A錯(cuò)誤；對于B，圓錐的體積為，故B錯(cuò)誤；對于D，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，故D正確對于C，，所以，故C錯(cuò)誤；故選：D16．已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)半徑求底面周長，由弧長公式可得母線長，然后可得側(cè)面積.【詳解】因?yàn)榈酌姘霃?，所以底面周長，又圓錐母線長，所以圓錐側(cè)面積．故選：A．17．在一個(gè)圓錐中，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的圓心，為線段的中點(diǎn)，為底面圓的直徑，是底面圓的內(nèi)接正三角形，①平面；②平面；③圓錐的側(cè)面積為；④三棱錐的內(nèi)切球表面積為．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理求得圓錐的底面半徑，從而求得圓錐的高，再計(jì)算出圓錐的側(cè)面積即可判斷③；采用反證的方法可判斷①；根據(jù)線面垂直的判定定理可判定平面判斷②；求出三棱錐的各個(gè)面的面積及體積，再利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，即可判斷④．【詳解】由是底面圓的內(nèi)接正三角形，，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則可得，即，解得.

因?yàn)?，故高，所以圓錐的側(cè)面積，故③正確；假設(shè)平面，由于平面，平面平面，故，則，而因?yàn)闉榈酌鎴A的直徑，又，且（矛盾），故、不可能平行，所以與平面不平行；故①錯(cuò)誤；因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，故，則，，，故，，又，平面，所以平面，故②正確；又，，，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，即，解得，，所以三棱錐的內(nèi)切球的表面積，故④正確．綜上有②③④正確.故選：C．18．已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線所成角的余弦值為，且該圓錐的母線是底面半徑的倍，若的面積為，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件，求圓錐的底面半徑和母線長，再根據(jù)公式求圓錐的表面積.【詳解】如圖：設(shè)圓錐底面為，母線長為，母線，夾角為，則，所以.因?yàn)榈拿娣e為，所以.又.所以圓錐的表面積為：.故選：B19．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書”（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書）中非常重要的一部．在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且．若球的表面積為，則這個(gè)三棱柱的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件確定球心的位置，根據(jù)球的半徑求得棱柱的高，可計(jì)算表面積.【詳解】設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，連接，取的中點(diǎn)．直三棱柱中，，，四邊形是平行四邊形，有，因?yàn)槿庵牡酌媸侵苯侨切?，，所以，，，分別是，的外接圓圓心．因?yàn)槠矫?，所以平面，所以為的外接球的球心．連接，因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以球的半徑為1，即，，則，，可得，，所以三棱柱的表面積，故選：C．20．如圖，為球形物品設(shè)計(jì)制作正四面體、正六面體、正八面體形狀的包裝盒，最少用料分別記為，則它們的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意包裝盒的最少用料為球形物品的外切多面體，根據(jù)多面體的結(jié)構(gòu)特征求出正四面體、正六面體、正八面體形狀的包裝盒的內(nèi)切球半徑與其表面積的關(guān)系，再進(jìn)行比較.【詳解】由題意包裝盒的最少用料為球形物品的外切多面體，下面求正四面體、正六面體、正八面體形狀的包裝盒的內(nèi)切球的半徑與其表面積的關(guān)系.設(shè)球形物品的半徑為，則正方體的棱長為，表面積；設(shè)正四面體的棱長為，則正四面體的表面積為，如圖正四面體，由正四面體的對稱性與球的對稱性可知內(nèi)切球的球心在正四面體的高上，如圖，底面等邊三角形的高，外接圓半徑，正四面體的高，體積，所以，又，所以，所以正四面體的表面積；設(shè)正八面體的棱長為，如圖，在正八面體中連接，，，可得，，互相垂直平分，四邊形為正方形，，在中，，則該正八面體的體積，該八面體的表面積，因?yàn)?，即，解得，所以，所?故選：B.考點(diǎn)03：空間幾何體的體積幾何體體積柱(S為底面面積，h為高)錐(S為底面面積，h為高)，臺(tái)(S′、S分別為上、下底面面積，h為高)，球(為球的半徑)21．某小區(qū)花園內(nèi)現(xiàn)有一個(gè)圓臺(tái)型的石碑底座，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)該石碑底座上底面圓的半徑為1，且上底面圓直徑的一端點(diǎn)的投影為下底面圓半徑的中點(diǎn)，高為3，則這個(gè)圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得圓臺(tái)上下底面的半徑以及圓臺(tái)的高，代入圓臺(tái)體積公式即可得解.【詳解】如圖，設(shè)圓臺(tái)上?下底面圓心分別為為點(diǎn)在底面的投影點(diǎn)，上?下底面圓的半徑分別為，，由題意得，設(shè)上底面圓的面積與下底面圓的面積分別為，所以該圓臺(tái)容器的容積，故選：C.22．如圖，是圓錐底面中心到母線的垂線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，則母線與軸的夾角余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，設(shè)所求角并表示出，利用繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，求得關(guān)系式，即可得答案.【詳解】設(shè)，則，令大圓錐的體積為，圓錐和圓錐的體積分別為，，，由題意可得：，解得，故選：B23．中國載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個(gè)國家能夠獨(dú)立開展載人航天活動(dòng).從神話“嫦娥奔月”到古代“萬戶飛天”，從詩詞“九天攬?jiān)隆钡奖诋嫛笆伺w天”……千百年來，中國人以不同的方式表達(dá)著對未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個(gè)容器，其內(nèi)部可以看成由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2，圓柱的高為6，圓錐的高為4.若將其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7，則該容器中液體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合軸截面分析可知，，再利用圓柱以及圓臺(tái)的體積公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：容器中液體分為：下半部分為圓柱，上半部分為圓臺(tái)，取軸截面，如圖所示，分別為的中點(diǎn)，可知：∥∥，且，可得，即，所以該容器中液體的體積為.故選：A.24．設(shè)四棱臺(tái)的上、下底面積分別為，，側(cè)面積為，若一個(gè)小球與該四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用體積相等可得答案.【詳解】設(shè)內(nèi)切球的球心為，連接，則把四棱臺(tái)分割成六個(gè)四棱錐，且六個(gè)四棱錐的高都為內(nèi)切球的半徑，四棱臺(tái)的高為，所以，化簡可得.故選：D.25．最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時(shí)類”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的例子，其中“天池測雨”法是下雨時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆收集雨水來測量平地降雨量（盆中水的體積與盆口面積之比）已知天池盆盆口直徑為一尺四寸，盆底直徑為六寸，盆深一尺二寸.當(dāng)盆中積水深六寸（注：1尺寸）時(shí)，平地降雨量是（

）A．1寸 B．2寸 C．3寸 D．4寸【答案】B【分析】根據(jù)描述先求解圓臺(tái)形盆內(nèi)水面的半徑，然后計(jì)算水的體積，最后可得降雨量.【詳解】由已知天池盆上底面半徑是7寸，下底面半徑是3寸，高為12寸，由積水深6寸知水面半徑為寸，則盆中水體積為(立方寸)；所以平地降雨量為(寸)，故選：B.26．菏澤市博物館里，有一條深埋600多年的元代沉船，對于研究元代的發(fā)展提供了不可多得的實(shí)物資料.沉船出土了豐富的元代瓷器，其中的白地褐彩龍風(fēng)紋罐（如圖）的高約為，把該瓷器看作兩個(gè)相同的圓臺(tái)拼接而成（如圖），圓臺(tái)的上底直徑約為，下底直徑約為，忽略其壁厚，則該瓷器的容積約為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓臺(tái)體積公式求解.【詳解】根據(jù)題意，.故選：B27．如圖，圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為的水，若放入3個(gè)相同的鐵球（球的半徑與圓柱底面半徑相等）后，水恰好淹沒最上面的鐵球，則一個(gè)鐵球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)鐵球的半徑為，根據(jù)體積關(guān)系列出方程，求得，結(jié)合球的表面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)鐵球的半徑為，有，解得，則一個(gè)鐵球的表面積為．故選：B．28．已知是圓錐的軸截面，點(diǎn)C在SA上，且.若過點(diǎn)C且平行于SB的平面恰過點(diǎn)，且該平面與圓錐底面所成的二面角等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意知，，且且該平面與圓錐地面所成的二面角等于，即，進(jìn)一步可得是邊長為的等邊三角形，再由圓錐的體積公式，求解即可．【詳解】

由過點(diǎn)C且平行于SB的平面恰過點(diǎn)O，知，根據(jù)二面角定義知，因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，所以C是SA的中點(diǎn)，且，因?yàn)?，所以是邊長為的等邊三角形，所以圓錐的底面半徑為，圓錐的高為所以該圓錐的體積為.故選：C.29．若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球．在四棱錐中，側(cè)面是邊長為1的等邊三角形，底面為矩形，且平面平面．若四棱錐存在一個(gè)內(nèi)切球，設(shè)球的體積為，該四棱錐的體積為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)作出四棱錐的內(nèi)切球截面大圓，確定球半徑表達(dá)式，再借助四棱錐體積求出球半徑計(jì)算作答.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，因是正三角形，則，又是矩形，有，而平面平面，平面平面，平面，平面，因此平面，平面，又，則平面，平面，則，，，平面，則平面，又平面，所以，而，則，顯然，由球的對稱性和正四棱錐的特征知，平面截四棱錐的內(nèi)切球得截面大圓，此圓是的內(nèi)切圓，切，分別于，，有四邊形為正方形，設(shè)，又，，則球的半徑，又四棱錐的表面積為，由，解得，，，所以.故選：C.30．泉州花燈技藝源于唐朝中期從形式上有人物燈、宮物燈、宮燈，繡房燈、走馬燈、拉提燈、錫雕元宵燈等多種款式．在2024年元宵節(jié)，小明制做了一個(gè)半正多面體形狀的花燈，他將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體，如圖所示．已知該半正多面體的體積為，M為的中心，過M截該半正多面體的外接球的截面面積為S，則S的最大值與最小值之比（

）A． B． C．3 D．9【答案】C【分析】利用半正多面體和中心對稱性，確定外接球球心和半徑，再去找到最大截面圓和最小截面圓的半徑，即可求出它們的比值.【詳解】把這個(gè)半正多面體補(bǔ)全為正方體，再設(shè)該正方體的邊長為，則每個(gè)截去的小三棱錐的體積為，所以該半正多面體的體積：，解得，由圖可知，半正多面體的外接球半徑是，由正方體的性質(zhì)易證明平面平面：又因?yàn)樵谡襟w中平面，所以平面，所以過點(diǎn)截外接球的最小截面圓的半徑是，最大截面圓的半徑是，即的最小值比最大值等于，則最大值比最小值等于3.故選：C.考點(diǎn)04：空間幾何體的外接球球的外接問題1、公式法正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點(diǎn)2、補(bǔ)形法（補(bǔ)長方體或正方體）①墻角模型（三條線兩個(gè)垂直）題設(shè)：三條棱兩兩垂直（重點(diǎn)考察三視圖）②對棱相等模型（補(bǔ)形為長方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（，，）3、單面定球心法（定+算）步驟：①定一個(gè)面外接圓圓心：選中一個(gè)面如圖：在三棱錐中，選中底面，確定其外接圓圓心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點(diǎn)上，普通三角形用正弦定理定外心）；②過外心做（找）底面的垂線，如圖中面,則球心一定在直線（注意不一定在線段上）上；③計(jì)算求半徑:在直線上任取一點(diǎn)如圖：則，利用公式可計(jì)算出球半徑.4、雙面定球心法（兩次單面定球心）如圖：在三棱錐中：①選定底面，定外接圓圓心②選定面，定外接圓圓心③分別過做面的垂線，和做面的垂線，兩垂線交點(diǎn)即為外接球球心.31．如圖，已知在四棱錐中，底面四邊形為等腰梯形，，，底面積為，且，則四棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)為，即可說明點(diǎn)為梯形外接圓的圓心，再證明平面，過的中點(diǎn)作交于點(diǎn)，則平面，即可得到為四棱錐外接球球心，外接球半徑為，從而求出表面積.【詳解】取的中點(diǎn)為，因?yàn)?，等腰梯形的面積為，所以梯形的高為，所以，則，所以，連接、，所以、為等邊三角形，點(diǎn)為梯形外接圓的圓心，連接，在中，根據(jù)余弦定理得，即，解得.因?yàn)?，，所以，所?因?yàn)?，，平面，所以平面，過的中點(diǎn)作交于點(diǎn)，則平面，且為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為外接圓圓心，所以為四棱錐外接球球心，所以外接球半徑為，故表面積.故選：D32．若某圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球表面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截面，由題意可求得軸截面內(nèi)切圓的半徑為1，進(jìn)而求出圓錐的底面半徑和高，代入圓錐體積公式，可得答案．【詳解】如圖，由題意知內(nèi)切圓和外接圓同圓心，即的內(nèi)心與外心重合，則為正三角形，因?yàn)閮?nèi)切球表面積為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，所以內(nèi)切圓的半徑為1，所以的邊長為，所以圓錐的底面半徑為，又高為，故圓錐體積，故選：B.33．已知圓錐的軸截面是一個(gè)正三角形，其中是圓錐頂點(diǎn)，AB是底面直徑．若C是底面圓O上一點(diǎn)，P是母線SC上一點(diǎn)，，，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取點(diǎn)D在母線SA上且，可證明三棱錐與三棱錐外接球相同，再由正弦定理求出三角形的外接圓半徑即為外接球半徑得解.【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)D在母線SA上且，因?yàn)槭侵苯侨切危匀忮F外接球的球心E在SO上，由≌，可得，即三棱錐外接球的球心E也是三棱錐外接球的球心，且兩個(gè)外接球的表面積相等．由，得的外心即為三棱錐外接球的球心E．在中，，所以的外接圓的直徑，所以三棱錐外接球的表面積是，故選：C．34．在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，三棱錐與三棱柱外接球相同.確定球心位置，利用正弦定理，余弦定理，勾股定理，求出球的半徑，再利用球的表面積公式即可求解.【詳解】如圖，設(shè)，分別為棱，的中點(diǎn)，則三棱錐與三棱柱外接球相同.在中，，由余弦定理，所以；設(shè)外接圓半徑為，在中，由正弦定理，故外接圓半徑，設(shè)三棱柱外接球半徑為，由勾股定理，則三棱錐外接球的表面積.故選：D35．已知在直三棱柱中，，，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若平面，則三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解法一：根據(jù)題意，將三棱錐及平面，得到的外接圓圓心為的中點(diǎn)，得到球心在過點(diǎn)且與平面垂直的直線上，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，連接，，，再設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，在直角梯形中，求得，結(jié)合體積公式，即可求解；解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)三棱錐的外接球球心為，列出方程組，求得，結(jié)合體積公式，即可求解.【詳解】解法一：因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，將三棱錐及平面單獨(dú)拿出來，如圖所示，可得，，，則，所以，故的外接圓圓心為的中點(diǎn)，故三棱錐的外接球的球心在過點(diǎn)且與平面垂直的直線上，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，當(dāng)，在平面的同側(cè)時(shí)，連接，則平面．取的中點(diǎn)，連接，則，，由于平面平面，平面平面，因此平面，連接，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，連接，，在中，，所以在直角梯形中，，得，當(dāng)，在平面的兩側(cè)時(shí)，，無解，綜上可得，則三棱錐的外接球的體積．解法二：因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以．（點(diǎn)撥：線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用）又為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，設(shè)三棱錐的外接球球心為，則，解得，，，所以，所以三棱錐的外接球的半徑，體積．故選：A．36．在梯形中,，且，沿對角線將三角形折起，所得四面體外接球的表面積為，則異面直線與所成角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)折疊前后的幾何性質(zhì)，將三棱錐補(bǔ)成三棱柱，利用三棱柱的外接球即可求得答案.【詳解】如下圖，將梯形補(bǔ)成長方形，折后得到直三棱柱，因?yàn)?，所以，異面直線與所成角即為與所成角，即或其補(bǔ)角，又該三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，設(shè)外接球半徑為R，則，所以，設(shè)外接圓半徑為r，圓心為，外接圓圓心為，則三棱柱的外接球的球心為的中點(diǎn)O，連接，則，所以，又，即，又中，，即，化簡得，即，所以，故選：C.

37．在直三棱柱中，為等邊三角形，，則三棱柱的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別是正三棱柱上、下底面中心，則的中點(diǎn)是該三棱柱外接球的球心，求出球半徑后可得體積．【詳解】如圖，分別是正三棱柱上、下底面中心，是棱柱的高，則的中點(diǎn)是該三棱柱外接球的球心，外接球半徑．其中點(diǎn)為外接圓圓心，為外接圓半徑，為正三角形，（是邊中點(diǎn)）．所以外接球半徑．從而外接球體積為．故選：D．38．“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖是以正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長為，則該多面體外接球的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將該多面體補(bǔ)全為正方體，得出該多面體的外接球即為正方體的棱切球，求出該正方體的棱長得出棱切球半徑，計(jì)算得到表面積.【詳解】將“阿基米德多面體”補(bǔ)全為正方體，如下圖所示：不妨取兩棱中點(diǎn)為，由題知，易知，可得，所以正方體的棱長為2，該多面體的外接球即為正方體的棱切球，所以棱切球的直徑為該正方體的面對角線，長度為，因此該多面體的外接球的半徑為，所以其表面積為.故選：A39．榫卯結(jié)構(gòu)是中國古代建筑文化的瑰寶，在連接部分通過緊密的拼接，使得整個(gè)結(jié)構(gòu)能夠承受大量的重量，并且具有較高的抗震能力.這其中木楔子的運(yùn)用，使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足，木楔子是一種簡單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛?木片等.如圖為一個(gè)木楔子的直觀圖，其中四邊形是邊長為2的正方形，且均為正三角形，，則該木楔子的外接球的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征可知球心在直線上，由勾股定理可得，進(jìn)而可得，進(jìn)而，即可求解，由體積公式即可求解.【詳解】如圖，分別過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，連接，則，故.取的中點(diǎn)，連接，又，則.由對稱性易知，過正方形的中心且垂直于平面的直線必過線段的中點(diǎn)，且所求外接球的球心在這條直線上，如圖.設(shè)球的半徑為，則，且，從而，即，當(dāng)點(diǎn)在線段內(nèi)（包括端點(diǎn)）時(shí)，有，可得，從而，即球心在線段的中點(diǎn)，其半徑.當(dāng)點(diǎn)在線段外時(shí)，，解得（舍）.故所求外接球的體積.故選：C

40．如圖，在矩形中，，，，分別在線段，上，，將沿折起，使到達(dá)的位置，且平面平面，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，先證明，四面體的外接球球心在的中點(diǎn)處垂直平面方向上，由求得，從而求得球的表面積.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，由題可知為等腰直角三角形，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，根據(jù)題意，，所以的外心為的中點(diǎn)，設(shè)四面體的外接球的球心為，則平面，作分別交于，，又，，則，所以，所以，，由，得，即，解得，，所以四面體外接球的表面積為.故選：A.考點(diǎn)05：空間幾何體的內(nèi)切球球的內(nèi)切問題（等體積法）例如：在四棱錐中，內(nèi)切球?yàn)榍颍笄虬霃?方法如下：即：，可求出.41．六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作是將兩個(gè)棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）．如圖所示，正八面體的棱長為，此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，確定八面體的外接球球心及半徑，利用體積法求出內(nèi)切球半徑，再利用球的體積公式求解即得.【詳解】正八面體的棱長為，連接，由四邊形為正方形，得，則四邊形亦為正方形，即點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離相等，于是此八面體的外接球球心為，半徑為，此八面體的表面積為，設(shè)此八面體的內(nèi)切球半徑為，由，得，即，解得，所以此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為.故選：A42．已知球內(nèi)切于圓臺(tái)（即球與該圓臺(tái)的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，，且，則圓臺(tái)的體積與球的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫出圓臺(tái)的軸截面圖，由幾何知識(shí)可確定球的半徑，即可得答案.【詳解】如圖：為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內(nèi)切圓，設(shè)圓與梯形的腰相切于點(diǎn)，與上、下底的分別切于點(diǎn)，，設(shè)球的半徑為，圓臺(tái)上下底面的半徑為，.注意到與均為角平分線，因此，從而，故.設(shè)圓臺(tái)的體積為，球的體積為，則.故選：B.43．已知圓錐PO的頂點(diǎn)為P，其三條母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長為6，則圓錐PO的內(nèi)切球表面職與圓錐側(cè)面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知和正弦定理，勾股定理求出圓錐底面圓的半徑和高，再由三角形面積相等求出圓錐內(nèi)切球半徑，然后由球的表面積公式和圓錐的側(cè)面積公式求出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)槿龡l母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長為6，所以為圓錐底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長，由正弦定理可得底面圓的半徑，所以圓錐的高，如圖，圓錐軸截面三角形的內(nèi)切圓半徑即為圓錐內(nèi)切球半徑，軸截面三角形面積為，所以內(nèi)切球半徑，內(nèi)切球的表面積為，圓錐的側(cè)面積為，所以其和為，故選：C.44．六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作是將兩個(gè)棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體的棱長為，下列說法中正確的個(gè)數(shù)有（

）①異面直線與所成的角為45°；②此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為；③若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為；④若點(diǎn)為四邊形的中心，點(diǎn)為此八面體表面上動(dòng)點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】對①：借助等角定理，找到與平行，與相交的線段，計(jì)算即可得；對②：借助外接球與內(nèi)切球的性質(zhì)計(jì)算即可得；對③：空間中的距離和的最值問題可將其轉(zhuǎn)化到同意平面中進(jìn)行計(jì)算.對④，計(jì)算的值，并比較它們的大小，即可得出當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，點(diǎn)在三角形的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合對稱性即可驗(yàn)算.【詳解】對①：連接，取中點(diǎn)，連接、，由題意可得、為同一直線，、、、四點(diǎn)共面，又，故四邊形為菱形，故，故異面直線與所成的角等于直線與所成的角，即異面直線與所成的角等于，故①錯(cuò)誤；對②：由四邊形為正方形，有，故四邊形亦為正方形，即點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離相等，即此八面體的外接球球心為，半徑為，設(shè)此八面體的內(nèi)切球半徑為，則有，化簡得，則此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為，故②正確；對③：將延折疊至平面中，如圖所示：則在新的平面中，、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，則，故③錯(cuò)誤.對于④，設(shè)三角形的內(nèi)切圓半徑為，則由等面積法，有，解得，由②可知，點(diǎn)到平面的距離為，所以，這表明當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，點(diǎn)在三角形的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，它的周長是，根據(jù)對稱性可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡長度為，故④正確.正確的編號(hào)有②④.故選：B.45．已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長都等于2，則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出棱錐的高，進(jìn)而得到棱錐體積，設(shè)出內(nèi)切球半徑，根據(jù)體積得到方程，求出半徑，進(jìn)而得到表面積.【詳解】設(shè)內(nèi)切球的半徑為的中點(diǎn)為，則⊥平面，因?yàn)樗睦忮F的底面是邊長為2的正方形，所以，因?yàn)?，由勾股定理得，故棱錐的體積為，棱錐的表面積為，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，

則由等體積法可得，解得，所以．故選：A46．已知圓臺(tái)存在內(nèi)切球（與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球），若圓臺(tái)的上、下底面面積之和與它的側(cè)面積之比為，設(shè)圓臺(tái)與球的體積分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合圓臺(tái)軸截面等腰梯形的內(nèi)切圓是球的截面大圓，探討圓臺(tái)兩底半徑與母線的關(guān)系，再利用圓臺(tái)側(cè)面積公式及圓臺(tái)、球的體積公式求解即得.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，母線長為，高為，內(nèi)切球的半徑為，顯然圓臺(tái)軸截面等腰梯形的內(nèi)切圓是球的截面大圓，則，，由，整理得，而，解得，，因此圓臺(tái)的高，，則圓臺(tái)的體積，內(nèi)切球的體積，所以.故選：D47．六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為，則下列錯(cuò)誤的是（

）A．該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為B．該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為C．該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為D．該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為【答案】D【分析】分析正八面體結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算其表面積，體積，外接球半徑，內(nèi)切球半徑，驗(yàn)證各選項(xiàng).【詳解】對A：底面中心到各頂點(diǎn)的距離相等，故為外接球球心，外接球半徑，故該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積，故A正確；對D：連接，，則，底面，故該正八面體結(jié)構(gòu)的體積，故D錯(cuò)誤；對C：由題知，各側(cè)面均為邊長為的正三角形，故該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積，故C正確；對B：底面中心到各面頂點(diǎn)的距離相等，故為內(nèi)切球球心，設(shè)該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球半徑，則，所以，故內(nèi)切球的表面積，故B正確.故選：D.48．如圖，已知四棱錐的底面是邊長為2的菱形，為的交點(diǎn)，平面，，則四棱錐的內(nèi)切球的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】求出四棱錐的高和側(cè)棱長，再利用四棱錐的體積與其內(nèi)切球半徑之間的關(guān)系求四棱錐的內(nèi)切球半徑即可得解.【詳解】因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，所以是正三角形，則.因?yàn)槠矫嫫矫妫?設(shè)，則，.在中，由，可得，解得，所以.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以.又，，所以，同理可證，，所以.設(shè)四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以，所以四棱錐的內(nèi)切球的體積，故選：C.49．已知一圓臺(tái)內(nèi)切球與圓臺(tái)各個(gè)面均相切，記圓臺(tái)上、下底面半徑為，若，則圓臺(tái)的體積與球的體積之比為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)相切，可得，即可得，進(jìn)而根據(jù)體積公式即可求解.【詳解】如圖為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內(nèi)切圓，設(shè)圓與梯形的腰相切于點(diǎn)，與上、下底的分別切于點(diǎn)，設(shè)球的半徑為，圓臺(tái)上下底面的半徑為．注意到與均為角平分線，因此，從而，故．設(shè)圓臺(tái)的體積為，球的體積為，則故選：A．50．如圖，該幾何體為兩個(gè)底面半徑為1，高為1的相同的圓錐形成的組合體，設(shè)它的體積為，它的內(nèi)切球的體積為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】畫出該幾何體的軸截面，利用幾何知識(shí)求出內(nèi)切球半徑，結(jié)合球的體積公式以及圓柱體積公式即可求解.【詳解】如圖，四邊形為該幾何體的軸截面，則四邊形的內(nèi)切圓的半徑即為該幾何體內(nèi)切球的半徑，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，由，得，則，，所以.故選：D.考點(diǎn)06：空間幾何體的截面問題在立體幾何中，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，歷來是立體幾何的一個(gè)基本問題.過已知不共線三點(diǎn)，作幾何體的截面，既是轉(zhuǎn)化為平面問題一個(gè)方法，也是深化理解空間點(diǎn)、線、面關(guān)系的一個(gè)很好的途徑.1、確定截面的主要依據(jù)有（1）平面的四個(gè)公理及推論．（2）直線和平面平行的判定和性質(zhì)．（3）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)．（4）球的截面的性質(zhì)．2、作截面的幾種方法（1）直接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面實(shí)際就是找交線的過程。（2）延長線法：同一個(gè)平面有兩個(gè)點(diǎn)，可以連線并延長至與其他平面相交找51．已知直四棱柱的側(cè)棱長為3，底面是邊長為2的菱形，為棱上的一點(diǎn)，且為底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列命題正確的是（

）A．若與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡與直四棱柱的交線長為B．若點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐體積的最大值為C．若以為球心的球經(jīng)過點(diǎn)，則該球與直四棱柱的公共部分的體積為D．經(jīng)過三點(diǎn)的平面截直四棱柱所得的截面面積為4【答案】AD【分析】判斷P點(diǎn)軌跡與直四棱柱的交線，根據(jù)弧長公式求解判斷A，判斷P點(diǎn)位置求出體積最大值判斷B，計(jì)算球與直四棱柱公共部分體積判斷C，利用，求得，得出四邊形面積判斷D.【詳解】如圖，對于A，可知的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，所以點(diǎn)的軌跡與直四棱柱的交線為圓弧，圓弧長為，故A正確．對于B，可知點(diǎn)在線段上，所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，三棱錐體積最大，且最大值為，所以B錯(cuò)誤．對于C，可知該球的半徑為1，球與直四棱柱的公共部分的體積為，所以C錯(cuò)誤．對于D，經(jīng)過三點(diǎn)的平面截直四棱柱所得的截面為平行四邊形，其中，可得．設(shè)的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，連接，可得平面，所以，求得，所以，D正確．故選：AD52．正方體的棱長為6，，分別是棱，的中點(diǎn)，過，，作正方體的截面，則（

）A．該截面是五邊形B．四面體外接球的球心在該截面上C．該截面與底面夾角的正切值為D．該截面將正方體分成兩部分，則較小部分的體積為75【答案】ACD【分析】對于A，過三點(diǎn)作正方體的截面即可；對于B，計(jì)算四面體外接球半徑，以及外接圓半徑，比較球心與圓心是否重合即可；對于C，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面和平面的法向量即可；對于D，將被截正方體較小部分體積分為5個(gè)三棱錐計(jì)算即可.【詳解】對于A，如圖①所示，延長交的延長線于，延長交的延長線于，連接交于，連接交于，連接，，則五邊形為平面截正方體所得的截面，故A正確；對于B，如圖②所示，設(shè)三棱錐底面外心為，三棱錐外接球球心為，且,在中，,，所以外接圓半徑為,所以在中，三棱錐外接球半徑,所以三棱錐外接球球心到三點(diǎn)的距離都為.在中，，所以外接圓半徑,所以四面體外接球的球心不在該截面上，故B錯(cuò)誤；對于C，如圖③所示，以分別為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，且正方體邊長為6，即，所以，設(shè)為平面的法向量，則，取，所以，又因?yàn)槠矫妫蕿槠矫娴姆ㄏ蛄?，則，，故C正確；對于D，如圖④所示，取中點(diǎn)，連接,因?yàn)椋?，即，又因?yàn)?，所以，即，同理，由得，由得，所以，，，?所以該截面將正方體分成兩部分，較小部分體積為，故D正確.故選：ACD.53．已知一圓錐的底面半徑為，該圓錐的母線長為2，A，B為底面圓的一條直徑上的兩個(gè)端點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形B．該圓錐的體積為πC．從A點(diǎn)經(jīng)過圓錐的側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離為D．過該圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，則截面面積的最大值為2【答案】ABD【分析】求出底面圓周期判斷A；求出圓錐的高并求出體積判斷B；展開半圓錐的側(cè)求出弦長判斷C；求出軸截面頂角，再求出截面最大值判斷D.【詳解】對于A，圓錐底面圓周長為，而圓錐側(cè)面展開圖扇形半徑為2，所以側(cè)面展開圖的圓心角為，A正確；對于B，圓錐的高，因此圓錐的體積，B正確；對于C，依題意，將半圓錐的側(cè)面展開，如圖，則從A點(diǎn)經(jīng)過圓錐的側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離為，C錯(cuò)誤；對于D，圓錐軸截面頂角為，則，，則圓錐軸截面頂角為，因此過該圓錐的頂點(diǎn)的圓錐截面等腰三角形頂角，此截面三角形積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：ABD54．已知正方體的棱長為2，棱的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作正方體的截面，且，若點(diǎn)在截面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），則（

）A．當(dāng)最大時(shí)，與所成的角為B．三棱錐的體積為定值C．若，則點(diǎn)的軌跡長度為D．若平面，則的最小值為【答案】BCD【分析】記的中點(diǎn)分別為，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，證明共面，且平面，由此確定平面，找到最大時(shí)的位置，確定MN與BC所成角的平面角即可判斷A，證明與平面平行，應(yīng)用向量法求到面的距離，結(jié)合體積公式，求三棱錐的體積，判斷B；根據(jù)球的截面性質(zhì)確定N的軌跡，進(jìn)而求周長判斷C，由平面確定的位置，通過翻折為平面圖形，利用平面幾何結(jié)論求解判斷D.【詳解】記的中點(diǎn)分別為，連接，連接，因?yàn)椋炙?，，所以四邊形為平行四邊形，連接，記其交點(diǎn)為，根據(jù)正方體性質(zhì)，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，,，，，，，，，

因?yàn)?，，，，，，，所以，，，，，所以六點(diǎn)共面，因?yàn)椋?，，所以，，所以，，所以，又平面，所以平面，故平面即為平面，對于A，與重合時(shí)，最大，且，所以MN與BC所成的角的平面角為，又，所以，故MN與BC所成的角為，所以A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)樗?，，，所以，，所以，，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面，所以點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，所以，向量為平面的一個(gè)法向量，又，所以到面的距離，又為等邊三角形，則，所以三棱錐的體積為定值，B正確；對于C：若，點(diǎn)在截面內(nèi)，所以點(diǎn)N的軌跡是以為球心，半徑為的球體被面所截的圓（或其一部分），因?yàn)椋?，所以，所以平面，所以截面圓的圓心為，因?yàn)槭敲娴姆ㄏ蛄浚?，所以到面的距離為，故軌跡圓的半徑，又，故點(diǎn)N的軌跡長度為，C正確.對于D，平面，平面，又平面與平面的交線為，所以點(diǎn)的軌跡為線段，翻折，使得其與矩形共面，如圖，

所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值為，由已知，，，過作，垂足為，則，所以所以，所以的最小值為，D正確；故選：BCD55．已知正方體的棱長為3，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是中點(diǎn)，則（

）A．該正方體外接球的表面積為B．直線與所成角的余弦值為C．平面截正方體所得截面為等腰梯形D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】ABD【分析】根據(jù)正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線可求外接球的表面積，可判斷A的真假；利用平行把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面角，再利用三角形的邊角關(guān)系可求異面直線所成角的三角函數(shù)，判斷B的真假；做出截面，判斷截面形狀，可判斷C的真假；構(gòu)造三棱錐，利用體積法求點(diǎn)到面的距離，可判斷D的真假.【詳解】對A：棱長為3的正方體的體對角線長為：，所以所求正方體的外接球表面積為：，故A正確；對B：如圖連接，∵，所以即為異面直線與所成的角，設(shè)為.在中，，，，所以，所以，故B正確；對C：如圖：取中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，所以平面截正方體所得截面為梯形.由，所以.所以，，所以，所以梯形不是等腰梯形，故C錯(cuò)誤；對D：如圖：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，而，，所以：，故D正確.故選：ABD56．如圖，在棱長為的正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，為底面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，B．若在線段上運(yùn)動(dòng)，三棱錐的體積為定值C．存在點(diǎn)，使得平面截正方體所得的截面面積為D．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為【答案】ACD【分析】對于，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，，，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可證明；對于，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，等體積法轉(zhuǎn)化即可得三棱錐的體積；對于，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體所得的截面為正六邊形，可得截面面積；對于，設(shè)的外接圓半徑為，三棱錐的外接球半徑為，由可求外接球半徑，根據(jù)球的表面積公式即可判斷.【詳解】對于選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，所以，，因?yàn)椋?，故選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖2所示，，

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖3所示，，所以三棱錐的體積不是定值，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體所得的截面為正六邊形，如圖4所示，其中，，為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，則正六邊形的邊長為，

所以該截面的面積為，故存在點(diǎn)，符合題意，故選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，如圖5所示，易知平面，因?yàn)?，，所以由余弦定理的推論得，所以，設(shè)的外接圓半徑為，則，所以，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，所以三棱錐的外接球的表面積為，故選項(xiàng)正確，故選：ACD．57．在棱長為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，則（

）A．B．平面C．平面截正方體所得截面面積為D．四棱錐與四棱錐的體積相等【答案】ACD【分析】先證明平面，即可判斷選項(xiàng)A;通過平面平面，可得選項(xiàng)B錯(cuò)誤；找到平面截正方體所得截面菱形，即可求出面積，判定選項(xiàng)C；分別求出四棱錐與四棱錐的體積，可判定選項(xiàng)D.【詳解】在正方體中，平面，平面，所以，又，,平面，平面，所以平面，平面，所以，A正確；，平面，平面，所以平面，同理平面，平面，平面，，所以平面平面，平面，所以與平面不平行，B錯(cuò)誤；平面平面，平面，所以平面，平面，設(shè)平面平面，則，因?yàn)椋?，又，，所以，所以，，同理，且，所以菱形為所求截面，，，則面積為，C正確；由題可知，取的