12.3角的平分線(xiàn)的性質(zhì)（解析版）

12.3角的平分線(xiàn)的性質(zhì)一、單選題1．如圖①，已知，用尺規(guī)作它的角平分線(xiàn)．如圖②，步驟如下：第一步：以B為圓心，以a為半徑畫(huà)弧，分別交射線(xiàn)，于點(diǎn)D，E；第二步：分別以D，E為圓心，以b為半徑畫(huà)弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)P；第三步；畫(huà)射線(xiàn)，射線(xiàn)即為所求．下列敘述不正確的是（）A． B．作圖的原理是構(gòu)造三角形全等C．由第二步可知， D．的長(zhǎng)【答案】D【分析】根據(jù)用尺規(guī)作圖法畫(huà)已知角的角平分線(xiàn)的基本步驟判斷即可【詳解】A、∵以a為半徑畫(huà)弧，∴，故正確B、根據(jù)作圖步驟可知BD=BE，PD=PE，BP=BP，∴△BDP≌△BEP（SSS），故正確C、∵分別以D，E為圓心，以b為半徑畫(huà)弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)P，∴，故正確D、分別以D，E為圓心，以b為半徑畫(huà)弧，其中，否則兩個(gè)圓弧沒(méi)有交點(diǎn)，故錯(cuò)誤故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查用尺規(guī)作圖法畫(huà)已知角的角平分線(xiàn)及理論依據(jù)，熟練尺規(guī)作圖的基本步驟是關(guān)鍵2．如圖，中，，利用尺規(guī)在，上分別截取，，使；分別以D，E為圓心、以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)F；作射線(xiàn)交于G．若．P為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．無(wú)法確定 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意可知BG是∠ABC的角平分線(xiàn)，利用角平分線(xiàn)定理和垂線(xiàn)段最短即可求出的最小值為【詳解】作GH⊥AB由題意可知：BG是∠ABC的角平分線(xiàn)又∵GH⊥AB，∴CG=GH∵∴GH=2由直線(xiàn)外一點(diǎn)到直線(xiàn)上各點(diǎn)的連線(xiàn)中，垂線(xiàn)段最短可得：當(dāng)點(diǎn)GP⊥AB時(shí)，有最小值即=GH=2時(shí)，最短故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線(xiàn)定理，用尺規(guī)作圖法畫(huà)已知角的角平分線(xiàn)，垂線(xiàn)段最短、熟練使用角平分線(xiàn)定理是關(guān)鍵，利用垂線(xiàn)段最短求線(xiàn)段最小值問(wèn)題是中考?？贾R(shí)點(diǎn)3．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺規(guī)分別截取BE，BD，使BE＝BD，分別以D、E為圓心、以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠CBA內(nèi)交于點(diǎn)F；作射線(xiàn)BF交AC于點(diǎn)G．若CG＝1，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則GP的最小值為（）A．無(wú)法確定 B． C．1 D．2【答案】C【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB于H．根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理證明GH=GC=1，利用垂線(xiàn)段最短即可解決問(wèn)題．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB于H．

由作圖可知，GB平分∠ABC，

∵GH⊥BA，GC⊥BC，

∴GH=GC=1，

根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知，GP的最小值為1，

故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-基本作圖，垂線(xiàn)段最短，角平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．4．如圖，平分平分，且，下列結(jié)論：①平分，②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)垂直定義得出∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，根據(jù)角平分線(xiàn)定義得出∠DBE=∠FBE，求出∠CBE=∠ABE，∠ACB=∠ECB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠ABC=∠ECB，根據(jù)平行線(xiàn)的判定得出ACBE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠BCD+∠D=90°，即可得出答案．【詳解】∵BC⊥BD，∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，∵∠ABE+∠FBE=180°，∴∠ABE+∠FBE=90°，∵BD平分∠EBF，∴∠DBE=∠FBE，∴∠CBE=∠ABE，∴BC平分∠ABE，∠ABC=∠EBC，∵CB平分∠ACE∴∠ACB=∠ECB，∵ABCD，∴∠ABC=∠ECB，∴∠ACB=∠EBC，∴ACBE，∵∠DBC=90°，∴∠BCD+∠D=90°，∴①②③正確；∵根據(jù)已知條件不能推出∠DBF=2∠ABC，∴④錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定，垂直定義，角平分線(xiàn)定義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，難度適中．5．如圖，在中，，平分，于E，則下列結(jié)論中，不正確的是（）A．平分 B． C．平分 D．【答案】A【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理可得CD=ED，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義、三角形三邊的關(guān)系，從而可對(duì)各選項(xiàng)作出判斷．【詳解】∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，ED⊥AB∴CD=ED，∴BC=BD+CD=BD+ED故選項(xiàng)B正確；∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵CD⊥AC，ED⊥AB∴∠C=∠DEA=90゜∴∠ADC=∠ADE即AD平分∠EDC故選項(xiàng)C正確；在△ACD中，AC+CD>AD∴ED+AC>AD故選項(xiàng)D正確；若DE平分∠ADB則有∠BDE=∠ADE∵∠ADE=∠ADC∴∠ADE=∠ADC=∠BDE∵∠ADE+∠ADC+∠BDE=180゜∴∠BDE=60゜∴∠B=90゜-∠BDE=30゜顯然這里∠B是不一定為30゜故選項(xiàng)A錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，注意定理的條件：平分角，過(guò)角平分線(xiàn)的點(diǎn)且與角的兩邊分別垂直的線(xiàn)段．6．如圖，在中，平分，交于點(diǎn)D，，垂足為點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)為（）A． B．1 C．2 D．6【答案】B【分析】根據(jù)∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC，再根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到DE=BD=１．【詳解】∵，∴，又∵平分，，∴由角平分線(xiàn)的性質(zhì)得．故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用角平分線(xiàn)的性質(zhì)處理問(wèn)題．7．如圖，，平分交于點(diǎn)E，平分交于點(diǎn)G，若，則下列結(jié)論：①平分；②；③；④．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】利用等角的余角相等可判斷①；利用①的結(jié)論可證明∠ACE=∠FCE=∠AEC=∠CEF，從而可判斷②；利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可判斷③；先求得∠AEC90，再利用利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可判斷④【詳解】∵AB//CD，∴∠AEC=∠FCE，∠BEG=∠CGE，∵∠CEG=∠CEF+∠FEG=90，∴∠AEC+∠BEG=180-∠CEG=90，∴∠AEC=∠CEF，故EC平分∠AEF，選項(xiàng)①正確；∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠FCE，∴∠ACE=∠FCE=∠AEC=∠CEF，∴EF//AC，故選項(xiàng)②正確；∵EF//AC，∴∠A+∠AEF=180，∠AEF=∠EFG，∴∠EFG+∠A=180°，故選項(xiàng)③正確；∵AB//CD，∴∠AEG+∠EGC=180，∴∠AEC+∠EGC=180-∠CEG=180-90=90，∵∠ACE=∠AEC，∴∠AEC=90，∴90+∠EGC=90，∴∠EGC=，故選項(xiàng)④正確；綜上，四個(gè)選項(xiàng)都正確，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝∠ADB，點(diǎn)P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，若AD＝4，則DP的長(zhǎng)不可能是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC交BC于點(diǎn)H，由三角形的內(nèi)角和定理和角的和差求出∠ABD＝∠CBD，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理得AD＝DH，由垂線(xiàn)段最短得到DP≥DH，可得DP的長(zhǎng)不可能是3．【詳解】過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC交BC于點(diǎn)H，如圖所示：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，∠ADB+∠A+∠ABD＝180°∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分線(xiàn)，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝4，∴DH＝4，又∵點(diǎn)D是直線(xiàn)BC外一點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)H重合時(shí)DP最短，∴DP≥4，∴DP的長(zhǎng)不可能是3，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角平分線(xiàn)的基本性質(zhì)，能夠證得BD為角平分線(xiàn)是解題關(guān)鍵．二、填空題9．如圖，已知AB∥CD，∠BFC＝127°4'，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知∠BCD的度數(shù)為_(kāi)____．【答案】26°28'【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可知：BC平分∠DCF，結(jié)合AB∥CD，可得∠BCD=∠B=∠FCB，進(jìn)而即可求解．【詳解】由圖中尺規(guī)作圖的痕跡可知：BC平分∠DCF，∴∠BCD=∠FCB，∵AB∥CD，∴∠BCD=∠B，∴∠FCB=∠B，∵∠BFC＝127°4'，∴∠BCD=∠B=(180°-127°4')÷2=26°28'，故答案是：26°28'．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查尺規(guī)作角平分線(xiàn)以及平行線(xiàn)的性質(zhì)，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，得到BC平分∠DCF，是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在第二象限交于點(diǎn)P．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a＋2b，a＋1），則a＋b=________．【答案】【分析】根據(jù)作圖方法可得點(diǎn)P在第二象限的角平分線(xiàn)上，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)和第二象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)可得2b+2a+1=0，然后再整理可得答案．【詳解】根據(jù)作圖方法可得點(diǎn)P在第二象限的角平分線(xiàn)上，

因此2b+a=-(a+1)，

即：a+a+2b=-1即a+b=故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，作圖-基本作圖，解題關(guān)鍵在于掌握作圖法則．11．我們定義：一個(gè)三角形最小內(nèi)角的角平分線(xiàn)將這個(gè)三角形分割得到的兩個(gè)三角形它們的面積之比稱(chēng)為“最小角割比Ω”（），那么三邊長(zhǎng)分別為7，24，25的三角形的最小角割比Ω是______．【答案】．【分析】根據(jù)題意作出圖形，然后根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形的面積和最小角割比Ω的定義計(jì)算即可．【詳解】如圖示，，，，則，根據(jù)題意，作的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，作交于點(diǎn)，則∵，，則（）故答案是：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形角平分線(xiàn)的性質(zhì)和三角形的面積計(jì)算，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，已知中，，點(diǎn)在上，，點(diǎn)為垂足，且，聯(lián)結(jié)，則的大小為_(kāi)__________．【答案】112.5°【分析】首先根據(jù)角平分線(xiàn)的判定方法判定AD是∠BAC的平分線(xiàn)，然后利用外角性質(zhì)求∠ADB的度數(shù)即可.【詳解】∵∠C＝90°，DE⊥AB∴∠C=∠AED=90°，在Rt?ACD和Rt?AED中，∴Rt?ACD≌Rt?AED，∴∠CAD=∠EAD，∴AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAC，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∴∠CAD＝22.5°，∴∠ADB=∠CAD＋∠C＝112.5°.故答案為：112.5°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線(xiàn)的判定方法以及三角形外角的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的判定方法是：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上．13．如圖所示，已知，求作射線(xiàn)，使平分，作法的合理順序是__．（將①②③重新排列）①作射線(xiàn)；②以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交、于、；③分別以、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，在內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)．【答案】②③①【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)的作法求解．【詳解】作法：（1）以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交、于、；（2）分別以、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，在內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)，（3）作射線(xiàn)，所以就是所求作的的平分線(xiàn)．故題中的作法應(yīng)重新排列為：②③①．故答案為：②③①．【點(diǎn)評(píng)】本題考查尺規(guī)作圖的應(yīng)用，熟練掌握角平分線(xiàn)的作法是解題關(guān)鍵．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足為D，其中CE＝4.5，AB＝10，那么△ABE的面積為_(kāi)____．【答案】22.5【分析】先根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到ED＝EC＝4.5，然后根據(jù)三角形面積公式求解．【詳解】∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED＝EC＝4.5，∴S△ABE＝AB·DE=×10×4.5＝22.5．故答案為：22.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線(xiàn)性質(zhì)，三角形面積公式，利用角平分線(xiàn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線(xiàn)段CE=ED求解是解題的關(guān)鍵.三、解答題15．如圖是一個(gè)銳角．（1）用尺規(guī)作圖法作出的平分線(xiàn)；（2）若點(diǎn)是上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．【詳解】（1）如圖，射線(xiàn)OC即為所求作．（2）由作圖可知，∠POD=∠POE，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在△POD和△POE中，，∴△POD≌△POE（AAS），∴OD=OE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖基本作圖，角平分線(xiàn)的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．16．如圖，已知，點(diǎn)P是射線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），分別平分和，分別交射線(xiàn)于點(diǎn)C，D．（1）①的度數(shù)是_______度；②∵，∴________．（2）求的度數(shù)．（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由：若變化，請(qǐng)寫(xiě)出變化規(guī)律．【答案】（1）122°，∠CBN；（2）61°；（3）不變，∠APB：∠ADB=2：1，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由平行線(xiàn)的性質(zhì)：兩直線(xiàn)平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)和內(nèi)錯(cuò)角相等可得；（2）由（1）知∠ABP+∠PBN=122°，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義知∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP=122°，即∠CBD=∠CBP+∠DBP=61°；（3）由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，根據(jù)BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN，從而可得∠APB：∠ADB=2：1．【詳解】（1）①∵AM∥BN，∠A=58°，∴∠A+∠ABN=180°，∴∠ABN=122°；②∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN；（2）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A=180°，∴∠ABN=180°-58°=122°，∴∠ABP+∠PBN=122°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP=122°，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=61°；（3）不變，∠APB：∠ADB=2：1．∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN，∴∠APB：∠ADB=2：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義，熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．如圖，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的度數(shù)得到．（1）尺規(guī)作圖：確定的頂點(diǎn)的位置（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法與證明過(guò)程）；（2）連接，，設(shè)的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，連接．求證：平分．【答案】（1）作圖見(jiàn)解析，（2）證明見(jiàn)解析．【分析】(1)作∠EAB=∠DAC，截取AE=AB即可；(2)作AN⊥DE，AC⊥BC，交ED延長(zhǎng)線(xiàn)于N，BG于M，證AN=AM即可．【詳解】(1)點(diǎn)E位置如圖所示；(2)證明：作AN⊥DE，AC⊥BC，交ED延長(zhǎng)線(xiàn)于N，BG于M，由旋轉(zhuǎn)可知≌，DE=BC，∴，，∴，∴，∴平分．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了尺規(guī)作圖和角平分線(xiàn)的判定，解題關(guān)鍵是明確尺規(guī)作圖方法，熟練運(yùn)用角平分線(xiàn)的判定證明．18．如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交邊，于點(diǎn)，；②分別以點(diǎn)，為圓心，大于的相同長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；③作射線(xiàn)交于點(diǎn)．（1）根據(jù)上述步驟補(bǔ)全作圖過(guò)程（要求：規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）如果，，那么的面積與的面積的比值是________．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖要求,按給定的步驟與作法畫(huà)圖即可；（2）根據(jù)角分線(xiàn)性質(zhì)，兩三角形的AB與BC邊上的高相等，可得面積比為底的比即可．【詳解】（1）根據(jù)步驟（1）得弧線(xiàn)交，于點(diǎn)，，根據(jù)步驟（2）得兩弧交點(diǎn)F，根據(jù)步驟（3）得射線(xiàn)BG，根據(jù)作圖的步驟與圖形結(jié)合得BG平分∠ABC；如圖所示，即為所求．（2）過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC于H，GM⊥射線(xiàn)AB于M，∵BG平分∠ABC，∴GM=GH，S△ABG=，S△BCG=，S△ABG:S△BCG=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查尺規(guī)作圖，角平分線(xiàn)性質(zhì)，三角形面積，掌握尺規(guī)作圖步驟與要求，角平分線(xiàn)性質(zhì)，三角形面積，利用角平分線(xiàn)性質(zhì)得出兩三角形的高相等，面積比等于底的比是解題關(guān)鍵．19．（1）如圖1，中，的角平分線(xiàn)與的外角的平分線(xiàn)交于．當(dāng)為時(shí)，則為的度數(shù)．（2）在（1）的條件下，若的角平分線(xiàn)與的角平分線(xiàn)交于，與的平分線(xiàn)交于，如此繼續(xù)下去可得…，，則______°；（3）如圖2，四邊形ABCD中，為的角平分線(xiàn)及外角的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)構(gòu)成的角，若，則_________°；（4）如圖3，中，的角平分線(xiàn)與的外角的平分線(xiàn)交于，若E為BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連EC，與的角平分線(xiàn)交于Q，①求證的值為定值；②的值為定值．其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)寫(xiě)出正確的結(jié)論（填編號(hào)），并寫(xiě)出其值．【答案】（1）∠A1；（2）；（3）∠F；（4）①,=180°．【分析】（1）由的角平分線(xiàn)與的外角的平分線(xiàn)交于，可得∠1=∠2，∠3=∠4，由外角性質(zhì)∠4=∠2+∠A1，2∠4=∠A+2∠2，可證∠A1=∠A=；（2）由（1）得∠A1=∠A，∠A2=∠A1，∠A3=∠A2…,可得∠A2==∠A，∠A3=∠A，…,找出規(guī)律∠An=∠A，當(dāng)n=6時(shí)代入求值即可∠A6=；（3）延長(zhǎng)BA,CD交于G，由，可求∠G=50°，利用規(guī)律∠F=∠G=；（4）①=180°，由∠A1=∠BAC，∠Q=180°-∠6-∠8，QE平分∠AEC，QC平分∠ACE，可得∠5=∠6，,7=∠8，可求∠EAC+2∠6+2∠8=180°，∠Q=90°+∠EAC，再求=180°，可得的值為定值，②=180°-∠BAC，由∠BAC可變，的值不為定值．【詳解】（1）∵的角平分線(xiàn)與的外角的平分線(xiàn)交于，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠4=∠2+∠A1，∠ACD=∠A+∠ABC，即∠3+∠4=∠A+∠1+∠2，∴2∠4=∠A+2∠2，整理得∠4=∠A+∠2，∴∠A1=∠A=；（2）由（1）得∠A1=∠A，∠A2=∠A1，∠A3=∠A2…,∴∠A2=∠A1=∠A，∴∠A3=∠A2=∠A=∠A，…,∴∠An=∠A，∴當(dāng)n=6時(shí)∠A6=∠A=，故答案為：；（3）延長(zhǎng)BA，CD交于G，∵，∴∠GAD+∠GDA=360°-()=360°-230°=130°，∴∠G=180°-(∠GAD+∠GDA)=180°-130°=50°，∴∠F=∠G=；（4）①=180°，∵∠A1=∠BAC，∵∠Q=180°-∠6-∠8，QE平分∠AEC，QC平分∠ACE，∴∠5=∠6，,7=∠8，∵∠EAC+∠5+∠6+∠7+∠8=180°，∴∠EAC+2∠6+2∠8=180°，∴∠6+∠8=90°-∠EAC，∴∠Q=180°-（∠6+∠8）=180°-（90°-∠EAC）=90°+∠EAC，∴=90°+∠EAC+∠BAC=90°+（∠EAC+∠BAC）=90°+90°=180°，∴的值為定值，②==90°+∠EAC-∠BAC=90°+（∠EAC-∠BAC），∵∠EAC=180°-∠BAC，∴=90°+（180°-∠BAC-∠BAC）=180°-∠BAC，∵∠BAC可變，∴的值不為定值．故答案為①,=180°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線(xiàn)定義，三角形內(nèi)角和，三角形外角性質(zhì)，平角定義，掌握角平分線(xiàn)定義，三角形內(nèi)角和，三角形外角性質(zhì)，平角定義是解題關(guān)鍵．20．如圖，△ABC中，∠C90°，請(qǐng)按要求解決問(wèn)題．（1）求作∠A的平分線(xiàn)交BC邊于點(diǎn)D．（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法）（2）若AC=6，AB=10，求△ABD的面積．【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）15．【分析】(1)作的平分線(xiàn)交于，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到點(diǎn)即可；(2)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，