14.2.2完全平方公式（解析版）

14.2.2完全平方公式一、單選題1．我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形的面積來解釋一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以用來解釋．那么通過圖2中陰影部分面積的計(jì)算驗(yàn)證的恒等式是：（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用正方形的面積公式確定陰影正方形的面積，再利用整體與部分的關(guān)系得到陰影正方形的另一個(gè)面積表達(dá)式，即可得出正確選項(xiàng)．【詳解】由圖可知，陰影正方形的面積為;由于陰影正方形可以看成是整個(gè)圖形減去三個(gè)長寬分別為a和b的長方形與兩個(gè)邊長為b的正方形；因此陰影正方形面積還可表示為：∴;故選A．【點(diǎn)評】本題考查了完全平方公式的幾何意義，注意圖形的分割與拼合，會(huì)用不同的方法表示出陰影正方形的面積是解題的關(guān)鍵．2．若是一個(gè)完全平方式，則k的值為（）A．18 B．8 C．或22 D．或12【答案】C【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出k的值．【詳解】∵是一個(gè)完全平方式，∴k-2=±20，解得：k=-18或k=22，故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．3．下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接利用合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、完全平方公式進(jìn)行進(jìn)行判斷即可；【詳解】A、，故A錯(cuò)誤；B、，故B錯(cuò)誤；C、，故C錯(cuò)誤；D、，故D正確；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、完全平方公式，正確掌握計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．4．若是一個(gè)完全平方式，則m的值是（）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式得到x2-mx+1＝（x+1）2或x2-mx+1＝（x﹣1）2，然后把等式右邊展開，從而得到m的值．【詳解】∵多項(xiàng)式x2-mx+1是一個(gè)完全平方式，∴x2-mx+1＝（x+1）2或x2-mx+1＝（x﹣1）2，即x2-mx+1＝x2+2x+1或x2-mx+1＝x2﹣2x+1，∴m＝-2或m＝2．故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．5．為了節(jié)省材料，某工廠利用岸堤MN（岸堤足夠長）為一邊，用總長為80米的材料圍成一個(gè)由三塊面積相等的小長方形組成的長方形ABCD區(qū)域（如圖），若BC＝（x+20）米，則下列4個(gè)結(jié)論：①AB＝（10﹣1.5x）米；②BC＝2CF；③AE＝2BE；④長方形ABCD的最大面積為300平方米．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】D【分析】設(shè)兩個(gè)相同的小長方形的兩邊長分別為a，b，通過計(jì)算證明①②③，針對④可列出面積S與x的關(guān)系式，然后根據(jù)完全平方式的非負(fù)性說明即可．【詳解】∵三塊面積相等的小長方形，∴EG＝GF，設(shè)EG＝FG＝a，AE＝HG＝DF＝b，則EF＝2a，故BE＝FC＝b，無法得出BC＝2CF，故選項(xiàng)②錯(cuò)誤；此時(shí)③AE＝2BE，正確；可得：b+b+b+b+b＝80﹣2（x+20），解得：b＝10﹣x，則AB＝（10﹣x）＝15﹣x，故選項(xiàng)①錯(cuò)誤；長方形ABCD的面積為：S＝（15﹣x）（20+x）＝﹣x2+300，∵﹣x2≤0，∴當(dāng)x＝0，即BC＝20米時(shí)，S的最大值為300平方米，故④正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查與幾何圖形相關(guān)的整式運(yùn)算，理解題意，找準(zhǔn)圖形間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．若，，則的值為（）A．40 B．36 C．32 D．30【答案】C【分析】根據(jù)a+b=6，ab=4，應(yīng)用完全平方公式，求出a2+ab+b2的值為多少即可．【詳解】∵a+b=6，ab=4，∴a2+ab+b2=（a+b）2-ab=36-4=32故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，要熟練掌握，應(yīng)用完全平方公式時(shí)，要注意：①公式中的a，b可是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式；②對形如兩數(shù)和（或差）的平方的計(jì)算，都可以用這個(gè)公式；③對于三項(xiàng)的可以把其中的兩項(xiàng)看做一項(xiàng)后，也可以用完全平方公式．7．如果多項(xiàng)式恰好是一個(gè)完全平方式，則的值為（）A．5 B．25 C．10 D．100【答案】B【分析】根據(jù)乘積項(xiàng)先確定出這兩個(gè)數(shù)是x和5，再根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)求出5的平方即可．【詳解】∵10x＝2×5×x，∴這兩個(gè)數(shù)是x、5，∴m＝52＝25．故選：B．【點(diǎn)評】本題是完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，求出這兩個(gè)數(shù)是求解的關(guān)鍵．8．如圖，兩個(gè)正方形的邊長分別為、，如果、滿足，，則陰影部分的面積為（）A． B．9 C．18 D．27【答案】A【分析】由兩個(gè)正方形面積之和減去△BEF和△BCD的面積之和即可得到答案．【詳解】由圖可得：，∴，將，代入得：，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查乘法公式在幾何圖形面積計(jì)算中的應(yīng)用，準(zhǔn)確表示各部分面積并結(jié)合乘法公式進(jìn)行合理變形是解題關(guān)鍵．二、填空題9．已知，則=_____________【答案】14【分析】首先觀察題目的條件和所求的問題，可以發(fā)現(xiàn)利用完全平方公式就可以計(jì)算得出答案．【詳解】∵∴又∵∴∴即故答案為：14．【點(diǎn)評】此題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，正確運(yùn)用公式是解題關(guān)鍵．這類題目比較特殊，通過觀察所要求的答案和已知條件可以發(fā)現(xiàn)，是前后兩項(xiàng)進(jìn)行平方的結(jié)果，且采用完全平方來進(jìn)行計(jì)算時(shí)，兩項(xiàng)相乘可將未知項(xiàng)約去．10．若，，則__．【答案】7【分析】直接利用同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，得到a+b的值，利用冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘，得到ab的值，再將原式進(jìn)行變形，代入數(shù)值后即可求解．【詳解】，，，，．故答案為：7．【點(diǎn)評】本題考查了整式的同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算、冪的乘方運(yùn)算、完全平方公式的變形等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是牢記公式，并靈活運(yùn)用即可．11．計(jì)算________________．【答案】【分析】由完全平方公式、平方差公式、以及積的乘方性質(zhì)進(jìn)行化簡，即可求出答案．【詳解】．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了整式乘法的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式、平方差公式、以及積的乘方性質(zhì)進(jìn)行化簡．12．__________．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式推出：得出a、b的值，然后代入計(jì)算即可．【詳解】由完全平方公式知：，，，，，，，∴，故答案為：【點(diǎn)評】本題考查了完全平方公式的運(yùn)用，考查學(xué)生對數(shù)據(jù)的處理能力．三、解答題13．對于任意正實(shí)數(shù)，，，，，只有時(shí)，等號(hào)成立．結(jié)論：在(，均為正實(shí)數(shù)）中，若為定值，則，只有當(dāng)時(shí)，有最小值．根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：（1）初步探究：若，只有當(dāng)時(shí)，有最小值；（2）深入思考：下面一組圖是由4個(gè)全等的矩形圍成的大正方形，中空部分是小正方形，矩形的長和寬分別為，，試?yán)么笳叫闻c四個(gè)矩形的面積的大小關(guān)系，驗(yàn)證，并指出等號(hào)成立時(shí)的條件；（3）拓展延伸：如圖，已知，，點(diǎn)是第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，分別交軸和軸于，兩點(diǎn)，矩形的面積始終為48，求四邊形面積的最小值以及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）1，2；（2）見解析；（3）四邊形面積的最小值為96，點(diǎn)坐標(biāo)為（6,8）．【分析】（1）根據(jù)，，求得n值，代入計(jì)算得最值；（2）根據(jù)大正方形的面積=4矩形的面積+小正方形的面積，代數(shù)式表示后，使用給出的閱讀知識(shí)解答；（3）設(shè)，，用含有x，y的代數(shù)式表示四邊形的面積，后使用證明的不等式性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）∵，∴，當(dāng)時(shí)，取得最小值，∴，解得n=1或n=-1（不符合題意，舍去）∴當(dāng)n=1時(shí)，的最小值為2，故答案為：1；2；（2）根據(jù)題意，得，，

∴-4ab=，∵≥0，∴-4ab≥0，∴，∴成立．等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)小正方形面積為0，此時(shí)，即時(shí)成立．設(shè)，，，，，，四邊形面積的最小值為96，此時(shí)，解得或，，舍去，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)評】本題考查了閱讀學(xué)習(xí)能力，準(zhǔn)確理解新知識(shí)的意義，學(xué)會(huì)圖形面積法驗(yàn)證，并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．14．閱讀材料：若x滿足(9－x)(x－4)=4，求(9－x)2+(x－4)2的值．解：設(shè)9－x=a，x-4=b，則(9－x)(x－4)=ab=4，a+b=(9－x)+(x－4)=5，∴(9－x)2+(x－4)2=a2+b2=(a+b)2－2ab=52－2×4=17請仿照上面的方法求解下列問題：（1）若x滿足(7－x)（x－3）=2，求(7－x)2+（x－3）2的值（2）(n－2020)2+（n－2021）2=3，求(n－2020)（n－2021）【答案】（1）12；（2）1．【分析】（1）仿照材料解答方式解答即可；（1）根據(jù)題意得到a2+b2=(a-b)2+2ab=3，a-b=1，然后利用完全平方公式變形解答即可．【詳解】（1）設(shè)7－x=a，x-3=b，則(7－x)(x－3)=ab=2，a+b=(7－x)+(x－3)=4，∴(7－x)2+(x－3)2=a2+b2=(a+b)2－2ab=42－2×2=12；（2）設(shè)n－2020=a，n－2021=b，則(n－2020)（n－2021）=ab，a-b=1，(n－2020)2+（n－2021）2=a2+b2=(a-b)2+2ab=3，即ab=∴(n－2020)（n－2021）=ab===1．【點(diǎn)評】本題主要考查了完全平方公式的意義，靈活對完全平方公式進(jìn)行變形成為解答本題的關(guān)鍵．15．對于任意有理數(shù)、、、，我們規(guī)定符號(hào)，，，例如：，，．（1）求，，的值為；（2）求，，的值，其中．【答案】（1）；（2）－1．【分析】（1）根據(jù)已知條件中新定義運(yùn)算的定義計(jì)算即可；（2）先運(yùn)用新定義運(yùn)算的定義進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)得出，代入計(jì)算結(jié)果后即可得出結(jié)論．【詳解】（1），，；故答案為：；（2），，，，，，，．【點(diǎn)評】本題考查了整式的混合運(yùn)算，弄清題意，掌握新定義運(yùn)算的規(guī)則及整式乘法的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．16．先化簡，再求值：，其中．【答案】，-1【分析】根據(jù)完全平方公式和平方差公式計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，最后把a(bǔ)的值代入即可求解．【詳解】原式==；當(dāng)時(shí)，原式==4×（）+5=．【點(diǎn)評】本題考查了整式的化簡求值，熟練掌握完全平方公式和平方差公式是解題關(guān)鍵．17．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，求的值．【答案】【分析】利用完全平方公式解答即可．【詳解】∵a+b=2，ab=，∴=====4--1=．【點(diǎn)評】本題考查了完全平方公式的運(yùn)用，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．18．計(jì)算（1）（2）【答案】（1）8；（2）【分析】（1）先根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的概念進(jìn)行化簡，然后再計(jì)算；（2）整式的混合運(yùn)算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加減，有小括號(hào)先算小括號(hào)里面的．【詳解】（1）===（2）===【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算以及整式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算順序和計(jì)算法則準(zhǔn)確計(jì)算是解題關(guān)鍵．19．請認(rèn)真觀察圖形，解答下列問題：（1）根據(jù)圖（1）的面積可以說明多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，那么根據(jù)圖（2）的面積可以說明多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算是（）A．B．C．D．（2）根據(jù)圖（3）中條件，①用兩種方法表示兩個(gè)陰影圖形面積的和，請用等式表示（只需表示，不必化簡）；②如果圖（3）中的a，滿足，．求：的值．【答案】（1）A；（2）①；②．【分析】（1）用兩種不同的方法求圖（2）的面積，可以說明多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算可判斷A，然后B、C、D再與A比較即可；（2）①用邊長為大正方形面積為，是由一個(gè)邊長為的正方形，二個(gè)長為，寬為小長方形和一個(gè)邊長為正方形拼成的，面積為，兩面積一樣列等式即可；②由，，可根據(jù)，求得，開方即可．【詳解】（1）根據(jù)圖（2）的面積可以說明多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，大長方形的長為，寬為，大長方形面積為，大長方形是由一個(gè)邊長為的正方形，四個(gè)長為，寬為小長方形和三個(gè)邊長為正方形拼成的，故面積為由此刻驗(yàn)證多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的乘法法則，故A正確；B．=>故B不正確；C．=，故C不正確；D．不是圖中大長方形面積，故不正確．故選擇：A；（2）①大正方形的邊長為，其面積為，是由一個(gè)邊長為的正方形，二個(gè)長為，寬為小長方形和一個(gè)邊長為正方形拼成的，面積為，兩面積一樣，；②∵，，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)評】本題考查多項(xiàng)式乘法法則的推導(dǎo)，應(yīng)用與遷移，掌握方法是利用兩種方法求同一圖形面積是解題關(guān)鍵．20．老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運(yùn)用后，要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0∴（x+2）2+1≥1當(dāng)（x+2）2＝0時(shí)，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．請你根據(jù)上述方法，解答下列各題：（1）直接寫出：（x﹣1）2﹣2的最小值為．（2）求出代數(shù)式x2﹣10x+33的最小值；（3）若﹣x2+7x+y+12＝0，求x+y的最小值．【答案】（1）﹣2；（2）8；（3）﹣2