14.4整式的乘法與因式分解（單元檢測）（解析版）

14.4整式的乘法與因式分解（單元檢測）一、單選題1．因式分解，甲看錯(cuò)了a的值，分解的結(jié)果是，乙看錯(cuò)了b的值，分解的結(jié)果為，那么分解因式正確的結(jié)果為（）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)甲看錯(cuò)了a的值，將分解的結(jié)果展開，能求出正確的b的值，乙看錯(cuò)了b的值，可以求出a的值，再因式分解即可得到答案．【詳解】∵甲看錯(cuò)了a的值∴b是正確的∵=∴b=-6∵乙看錯(cuò)了b的值∴a是正確的∵=∴a=-1∴=故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了因式分解，熟練因式分解以及計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．2．若x﹣m與x+3的乘積中不含x的一次項(xiàng)，則m的值為（）A．3 B．1 C．0 D．﹣3【答案】A【分析】直接利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算，再根據(jù)條件可得3﹣m＝0，再解得出答案．【詳解】（x﹣m）（x+3）＝x2+3x﹣mx﹣3m＝x2+（3﹣m）x﹣3m，∵乘積中不含x的一次項(xiàng)，∴3﹣m＝0，解得：m＝3，故選：A．【點(diǎn)評】此題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．3．已知，，，則，，的關(guān)系為①；②；③；④，其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】利用同底數(shù)冪的乘除法運(yùn)算法則得出a，b，c直接的關(guān)系即可．【詳解】∵2a=3，2b=6，2c=12，

∴2b÷2a=2，

∴b-a=1，

∴b=a+1，故①正確；

2c÷2a=22，

則c-a=2，故②正確；

2a×2c=（2b）2，

則a+c=2b，故③正確；

∵2b×2c=（2a）2×23，

∴b+c=2a+3，故④正確．

故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了冪的乘方與同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則，正確應(yīng)用運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．4．方程x2=（x﹣1）0的解為（）A．x=-1 B．x=1 C．x=±1 D．x=0【答案】A【分析】根據(jù)(x-1)0有意義，可得x-1≠0，求出x≠1，通過解方程x2=1，確定x的值即可.【詳解】∵(x-1)0有意義，∴x-1≠0，即x≠1，∵x2=（x﹣1）0∴x2=1，即x=±1∴x=-1.故選A.【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程—直接開平方法，解這類問題要移項(xiàng)，把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號(hào)的右邊，化成x2=a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解．同時(shí)還考查了零次冪.5．在邊長為a的正方形中挖去一個(gè)邊長為b的小正方形（）（如圖甲），把余下的部分拼成一個(gè)矩形（如圖乙），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別表示出甲乙圖形中陰影部分的面積，根據(jù)面積相等可得結(jié)論.【詳解】甲圖中陰影部分的面積為大正方形的面積減去小正方形的面積，即，乙圖中陰影部分長方形的長為，寬為，陰影部分的面積為，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等可得.故選：A.【點(diǎn)評】本題考查了平方差公式的驗(yàn)證，靈活表示圖形的面積是解題的關(guān)鍵.6．若x-y+3=0，則x（x-4y）+y（2x+y）的值為（）A．9 B．－9 C．3 D．－3【答案】A【解析】解：∵x-y+3=0，∴x-y=－3．原式====9．故選A．7．把(a+b)2?4(a2?b2)+4(a?b)2分解因式為()A．(3a?b)2 B．(3b+a)2 C．(3b?a)2 D．(3a+b)2【答案】C【解析】原式=(a+b)2?2×2(a?b)(a+b)+[2(a?b)]2=(a+b?2a+2b)2=(3b?a)2，故選C.8．已知x，y為任意有理數(shù)，記M=x2+y2，N=2xy，則M與N的大小關(guān)系為()A．M>N B．M≥N C．M≤N D．不能確定【答案】B【解析】∵M(jìn)=x2+y2，N=2xy，∴M?N=x2+y2?2xy=(x?y)2，∵(x?y)2?0，∴M?N.故選：B.9．現(xiàn)有如圖所示的卡片若干張，其中類、類為正方形卡片，類為長方形卡片，若用此三類卡片拼成一個(gè)長為，寬為的大長方形，則需要類卡片張數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】拼成的大長方形的面積是（a+2b）（a+b）=a+3ab+2b，即需要一個(gè)邊長為a的正方形，2個(gè)邊長為b的正方形和3個(gè)C類卡片的面積是3ab．【詳解】(a+2b)(a+b)=a+3ab+2b.則需要C類卡片張數(shù)為3張.故選C.【點(diǎn)評】此題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.10．若(2x)－81＝(4x＋9)(2x＋3)(2x－3)，則n的值是()A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】利用平方差公式計(jì)算（4x2+9）（2x+3）（2x-3），即可得到n的值．【詳解】∵（4x2+9）（2x+3）（2x-3）=（4x2+9）（4x2-9）=（4x2）2-92=（2x）4-81，∴（2x）n-81=（2x）4-81，∴n=4．故選B.【點(diǎn)評】此題主要考查了平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，熟練掌握并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵.11．下列二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】A選項(xiàng)：6x2+x-15=0時(shí)，b2-4ac=1+4×6×15=361＞0，

則此二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能因式分解，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：3y2+7y+3，b2-4ac=49-4×3×3=13＞0，

則此二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能因式分解，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：x2－2x－4，b2-4ac=4-4×（－4）=20>0，

則此二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能因式分解，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：2x2-4xy+5y2此二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解，故此選項(xiàng)正確．

故選D．12．已知a與b互為相反數(shù)且都不為零，n為正整數(shù)，則下列兩數(shù)互為相反數(shù)的是()A．a(chǎn)2n－1與－b2n－1B．a(chǎn)2n－1與b2n－1C．a(chǎn)2n與b2nD．a(chǎn)n與bn【答案】B【解析】已知a與b互為相反數(shù)且都不為零，可得a、b的同奇次冪互為相反數(shù)，同偶次冪相等，由此可得選項(xiàng)A、C相等，選項(xiàng)B互為相反數(shù)，選項(xiàng)D可能相等，也可能互為相反數(shù)，故選B.二、填空題13．=_______．【答案】【分析】先利用平方差公式把每一個(gè)因數(shù)化為兩個(gè)因數(shù)的積，約分后可得余下的因數(shù)，再計(jì)算乘法，從而可得答案．【詳解】====故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查的是有理數(shù)的乘法運(yùn)算，運(yùn)用平方差公式對有理數(shù)進(jìn)行簡便運(yùn)算，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．已知，則_______．【答案】0【分析】利用完全平方式的特點(diǎn)把原條件變形為，再利用幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都為0的結(jié)論可得答案．【詳解】因?yàn)椋核运运裕獾盟怨蚀鸢笧?．【點(diǎn)評】本題考查完全平方式的特點(diǎn)，非負(fù)數(shù)之和為0的性質(zhì)，掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．15．設(shè)是一列正整數(shù)，其中表示第一個(gè)數(shù)，表示第二個(gè)數(shù)，依此類推，表示第個(gè)數(shù)(是正整數(shù))，已知，，則___________.【答案】4035【詳解】【分析】整理得，從而可得an+1-an=2或an=-an+1，再根據(jù)題意進(jìn)行取舍后即可求得an的表達(dá)式，繼而可得a2018.【詳解】∵，∴，∴，∴an+1=an+1-1或an+1=-an+1+1，∴an+1-an=2或an=-an+1，又∵是一列正整數(shù)，∴an=-an+1不符合題意，舍去，∴an+1-an=2，又∵a1=1，∴a2=3，a3=5，……，an=2n-1，∴a2018=2×2018-1=4035，故答案為4035.【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用、平方根的應(yīng)用、規(guī)律型題，解題的關(guān)鍵是通過已知條件推導(dǎo)得出an+1-an=2.16．若為整數(shù)，且，則=___．【答案】0或4或6【分析】分3種情況討論：1的任何次冪；-1的偶次冪；非0數(shù)的0次冪【詳解】∵當(dāng)m-5=1時(shí),m=6；當(dāng)m-5=-1時(shí)，m=4；當(dāng)m=0時(shí)，m-5≠0故答案為0或4或6【點(diǎn)評】本題考查乘方等于1的情況，分3種情況討論：1的任何次冪；-1的偶次冪；非0數(shù)的0次冪是關(guān)鍵.三、解答題17．下面是某同學(xué)對多項(xiàng)式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4進(jìn)行因式分解的過程．解：設(shè)x2－4x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2－4x+4）2（第四步）回答下列問題：（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的_______．A．提取公因式B．平方差公式C．完全平方公式（2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？________．（填“徹底”或“不徹底”），若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果_________．（3）請你模仿以上方法嘗試對多項(xiàng)式（x2－2x）（x2－2x+2）+1進(jìn)行因式分解．【答案】（1）C；（2）不徹底，（x-2)4；（3）(x-1)4【分析】（1）觀察多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)利用了完全平方公式；（2）觀察發(fā)現(xiàn)分解不徹底，最后一步括號(hào)里還能利用完全平方公式分解；（3）類比例題中的方法將原式分解即可．【詳解】（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的完全平方公式，故選：C；（2）∵x2－4x+4=（x-2)2，∴該同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，最后結(jié)果為（x-2)4，故答案為：不徹底，（x-2)4；（3）設(shè)x2－2x=y，則:原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2－2x+1)2=(x﹣1)4．【點(diǎn)評】本題考查利用換元法和公式法進(jìn)行因式分解，熟記完全平方公式，熟練掌握因式分解的各種方法是解答的關(guān)鍵．18．先化簡，再求值：，其中a，b滿足【答案】48【分析】利用已知的等式可得a＋b＝1、a－b＝3，聯(lián)立成方程組解得a、b的值，再應(yīng)用整式混合運(yùn)算法則化簡代數(shù)式，最后代入計(jì)算即可．【詳解】∵，∴，解得：，原式，把a(bǔ)＝2，b＝－1代入得：原式＝－6×23×（－1）＝48．【點(diǎn)評】本題考查平方、絕對值的非負(fù)性、整式的混合運(yùn)算，利用二元一次方程組求得a、b的值是關(guān)鍵．19．閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后,發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方,如.善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)(其中a、b、m、n均為整數(shù)),則有.∴.這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（a,b,m,n均為正整數(shù)）(1)，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=___，b=___；(2)當(dāng)a=7,n=1時(shí)，填空：7+=（+）2(3)若，求a的值.【答案】（1）m2+3n2,2mn（2）4,2(3)28或12【分析】（1）利用完全平方公式展開得到（m+n）2=m2+3n2+2mn，從而可用m、n表示a、b；（2由（1）可知：n=1，由a=m2+3n2=7，得出m的值，從而得到b的值，然后填空即可；（3）利用a=m2+3n2，2mn=6和a、m、n均為正整數(shù)可先確定m、n的值，然后計(jì)算對應(yīng)的a的值．【詳解】（1）（m+n）2=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn；（2）由（1）可知：n=1，∴a=m2+3n2=7，解得：m=2（負(fù)數(shù)舍去），∴m=2，n=1，∴b=2mn=4，∴7+4=（2+）2；（3）a=m2+3n2，2mn=6．∵a、m、n均為正整數(shù)，∴m=3，n=1或m=1，n=3．①當(dāng)m=3，n=1時(shí)，a=9+3=12；②當(dāng)m=1，n=3時(shí)，a=1+3×9=28．∴a的值為28或12．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算．先把二次根式化為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．20．請認(rèn)真觀察圖形，解答下列問題：（1）根據(jù)圖中條件，用兩種方法表示兩個(gè)陰影圖形的面積的和（只需表示，不必化簡）；（2）由（1），你能得到怎樣的等量關(guān)系？請用等式表示；（3）如果圖中的，滿足，，求：①的值；②的值．【答案】（1）a2+b2或（a+b）2﹣2ab；（2）a2+b2=（a+b）2﹣2ab；（3）①9，②2385【分析】（1）直接把兩個(gè)正方形的面積相加或利用大正方形的面積減去兩個(gè)長方形的面積；（2）利用面積相等把（1）中的式子聯(lián)立即可；（3）注意a，b都為正數(shù)且a＞b，利用（2）的結(jié)論進(jìn)行探究得出答案即可．【詳解】（1）兩個(gè)陰影圖形的面積和可表示為：或；（2）；（3）∵（＞）滿足，，∴①=53+2×14=81∴，又∵＞0，＞0，∴．②∵，且∴又∵＞＞0，∴∴=53×9×5=2385．【點(diǎn)評】考點(diǎn)是完全平方公式的幾何背景．21．分解因式x2－4y2－2x＋4y，細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會(huì)產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式，過程為：x2－4y2－2x＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．這種分解因式的方法叫分組分解法，利用這種方法解決下列問題：(1)分解因式：a2－4a－b2＋4；(2)若△ABC三邊a