2024-2025學(xué)年河北省高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知全集，集合，集合，則等于（

）A． B． C． D．2．直線是雙曲線的一條漸近線，則（

）A．1 B．2 C．4 D．163．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．4．已知，向量，，，且，，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)是周期為2的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（

）A．3 B． C． D．26．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，點(diǎn)滿足．過點(diǎn)總可以向以點(diǎn)為圓心?為半徑的圓作兩條切線，則半徑的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．如圖所示，在三棱錐中，，且平面平面，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．8．已知的頂點(diǎn)均在拋物線上，且，過分別作拋物線的切線，則三條切線圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．2二、多選題（本大題共3小題）9．已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線為直線B．當(dāng)時(shí)，曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓C．當(dāng)時(shí)，曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線D．曲線不可能是圓10．下列說法正確的是（

）A．在長方體中，可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底B．已知三點(diǎn)不共線，對平面外的任一點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則在平面內(nèi)C．若向量，則稱為在基底下的坐標(biāo)，已知向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為D．已知是從點(diǎn)出發(fā)的三條線段，每兩條線段夾角均為，若滿足，則11．已知橢圓和雙曲線有公共焦點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為，設(shè)兩曲線在第一象限的交點(diǎn)為為的角平分線，，點(diǎn)均在軸上，設(shè)橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則下列說法正確的是（

）A．B．以橢圓和雙曲線四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積的最大值為C．若，則的取值范圍為D．若，則的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，若，則.13．已知直線的一個(gè)方向向量為，直線的一個(gè)方向向量為，其中為正數(shù)，若，則的最小值為．14．已知長方體中，，點(diǎn)為平面內(nèi)任一點(diǎn)，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到面的距離相等，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)與點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線過定點(diǎn)且與雙曲線交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程．16．一個(gè)小島（點(diǎn)的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)，輪船在小島正東方的點(diǎn)處．以小島中心為原點(diǎn)，正東方向?yàn)檩S的正方向，正北方向?yàn)檩S的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，取為單位長度．

(1)若輪船沿北偏西的航向直線航行，輪船是否會(huì)有觸礁風(fēng)險(xiǎn)？說明理由；(2)若直線過點(diǎn)，且其傾斜角為直線的傾斜角的2倍，求的一般式方程，并求暗礁邊界上動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值．17．在中，角的對邊分別為，已知．(1)求A；(2)若，求三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍．18．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，面為棱上的動(dòng)點(diǎn)．(1)若為棱中點(diǎn)，證明：面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；(3)分別在棱上，，求三棱錐的體積的最大值．19．已知橢圓的離心率為且過點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓兩條切線，切點(diǎn)分別為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求直線的方程；(3)過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方，直線交直線于點(diǎn)．試證明：恒成立．

答案1．【正確答案】D【詳解】全集，而，則，又，所以．故選：D．2．【正確答案】A【詳解】直線是雙曲線的一條漸近線，由直線的斜率為2，得，所以．故選：A．3．【正確答案】D【詳解】化為，直線的斜率為，傾斜角為.故選:D.4．【正確答案】A【詳解】因?yàn)橄蛄?，，，由，則，解得，由，則，解得，則．故選：A．5．【正確答案】B【詳解】因函數(shù)的周期為2，且為奇函數(shù)，故，.故選：B．6．【正確答案】B【詳解】設(shè)Px,y，由，則，故，得圓，圓心為，半徑為.又點(diǎn)與圓心的距離為，由于過點(diǎn)總可以向以點(diǎn)為圓心的圓作兩條切線，故兩圓相離，所以，故的取值范圍為．故選：B7．【正確答案】D【詳解】在中，，，則，取的中點(diǎn)分別為，則分別為的外心，且，平面平面，平面平面平面，平面，因平面，故,在中，又在中，在中，故為三棱錐外接球的球心，外接球的半徑，故外接球的表面積.故選:D．8．【正確答案】A【詳解】依題意，設(shè)，過點(diǎn)的切線，聯(lián)立得，令，解得，故得，同理可得，記交于點(diǎn)交于點(diǎn)交于點(diǎn)，聯(lián)立?的方程解得，同理可得，則．另外直線，化簡得：;直線,化簡得：．

如圖，過點(diǎn)垂直于軸的直線交直線于點(diǎn)，則過點(diǎn)垂直于軸的直線交直線于點(diǎn)，解得，因?yàn)?，所以，即切線圍成的三角形的面積為．故選：A.9．【正確答案】ABC【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，即，故曲線為直線，正確．B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，方程可化為，由，可知曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，正確．C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，方程可化為，由，可知曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，正確．D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，方程可化為，可知曲線為以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，D錯(cuò)誤．故選：ABC．10．【正確答案】BCD【詳解】對于A，在長方體中，共面，則不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，A錯(cuò)誤；對于B，，而，則四點(diǎn)共面，從而在平面內(nèi)，B正確；對于C，依題意，，設(shè)，即，則，解得，因此向量在基底下的坐標(biāo)為，C正確；對于D，，，則，，，，D正確.故選：BCD11．【正確答案】BCD【詳解】對于A，設(shè)，由橢圓和雙曲線定義有，將兩式平方得，相加整理得，又在中，由余弦定理有，則，即，則，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B，橢圓和雙曲線一個(gè)交點(diǎn)，由橢圓和雙曲線的對稱性可知，另外三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形為矩形，面積，又點(diǎn)在橢圓上，所以滿足，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立，故B選項(xiàng)正確；對于C，即，所以，則，又，所以，即，又，所以，，則．令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故C選項(xiàng)正確；對于D，由為的角平分線，，易知為的外角平分線，則由角平分線性質(zhì)定理有即，由外角平分線性質(zhì)定理有，即，求的最小值即求的最小值；由可得，代入即，整理可得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故D選項(xiàng)正確；故選：BCD.12．【正確答案】2【分析】由拋物線的焦半徑公式可得.【詳解】因在拋物線上，所以，故，故213．【正確答案】【詳解】依題意，兩直線垂直，則兩直線的方向向量垂直，其數(shù)量積為零﹒可得，即，所以，由得．當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).故答案為.14．【正確答案】4【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，∵平面平面，∴點(diǎn)到面的距離為點(diǎn)到直線的距離∴由拋物線的定義可知：，易知，∴，,設(shè)是平面的其中一個(gè)法向量，則，令，得，平面的法向量為，又，則到平面的距離，所以的最小值為，∵點(diǎn)分別為的中點(diǎn)且，，∴，所以三棱錐的體積的最小值：．故4.15．【正確答案】(1)(2)或．【詳解】（1）由等邊三角形可知雙曲線焦距為，∵，即，∴，∴，∴，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）顯然當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線不相交，∴設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得，，解得，由韋達(dá)定理可知，即，解得或．所以直線的方程為或．16．【正確答案】(1)輪船沒有觸礁風(fēng)險(xiǎn)，理由見解析．(2)；【詳解】（1）由題意可知，受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對應(yīng)的圓的方程為：．輪船航線所在直線過點(diǎn)，所在直線的傾斜角為，斜率為，直線方程為，即．原點(diǎn)到輪船航線所在直線的距離為，所以，輪船沒有觸礁風(fēng)險(xiǎn)．（2）記直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，直線的方程為：，其一般式方程為：．易知原點(diǎn)到直線的距離為，直線與圓相離，圓上動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值為：．17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫海砜傻?，則，且，故．（2）由余弦定理，即，整理可得．設(shè)三角形內(nèi)切圓半徑為，則，即，由正弦定理可知．．因?yàn)?，則，可得，所以．18．【正確答案】(1)證明見解析；(2)存在滿足條件的點(diǎn)，；(3)【詳解】（1）連接交于，則為三角形中位線，易知，又因?yàn)樯希?，所以面；?）以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，由為棱上一點(diǎn)，設(shè)，．設(shè)平面的法向量為，由可得令，則，則．取平面的法向量為，則二面角的平面角滿足：，化簡得：，解得：或（舍去），故存在滿足條件的點(diǎn)，此時(shí)．（3）因?yàn)?，可知三棱錐體積最大時(shí)，即最大，在中，由余弦定理有：可得，設(shè)，則，由題可知：該方程有實(shí)根，則，解得，同理可得．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由等體積法得到：，，解得：．當(dāng)最大時(shí)三棱錐體積最大，即三棱錐體積最大，最大體積為：．19．【正確答案】(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）由題意可得解得所以，橢圓的方程為．（2）設(shè)，下證：切線的方程為；直線的斜率存在，，設(shè)直線的方程為：，與聯(lián)立整理得：，