2024-2025學(xué)年浙江省杭州市高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年浙江省杭州市高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.直線的傾斜角是（）A. B.不存在 C. D.2.2024年，中國居民的幸福感指數(shù)高達，持續(xù)領(lǐng)跑全球，幸福感指數(shù)常用區(qū)間[0，100]內(nèi)的一個數(shù)來表示，數(shù)字越接近100表示滿意度越高．現(xiàn)隨機抽取10位學(xué)生，他們的幸福感指數(shù)為73，74，75，75，76，76，77，78，79，80．則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（）A.77.5 B.77 C.78 D.76.53.高二6班和高二7班進行班級籃球賽，采用3場2勝制，已知6班實力強勁，其每場獲勝的概率為，則最終7班能夠逆襲成功的概率是（）A. B. C. D.4.直線方程的一個方向向量可以是（）A. B. C. D.5.如圖，在正方體中，是棱的中點，則異面直線與所成角的正弦值為（）A B. C. D.6.若方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍為（）A. B.C. D.7.若圓上恰有三個點到直線的距離等于1，則的值為（）A. B. C. D.8.已知實數(shù)滿足，，則的最大值為（）A. B.4 C. D.8二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.給出下列命題，其中正確的是

（

）A.若是空間的一個基底，則也是空間的一個基底B.在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是C.點P為平面ABC上一點，O為平面ABC外一點，且，則D.非零向量，，若，則為銳角10.下列說法錯誤的是（）A.直線恒過定點B.經(jīng)過點，且在x，y軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為C.直線過點，且與以為端點的線段有公共點，則直線的斜率的取值范圍是D.已知直線過點，直線過點，若，則．11.已知橢圓的兩個焦點分別為，點是橢圓上的動點，點是圓上任意一點．若的最小值為，則下列說法中正確的是（）A.最小值為5 B.的最大值為5C.存在點使得 D.的最小值為第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知為平面的一個法向量，為內(nèi)的一點，則點到平面的距離為_________．13.如圖所示，橢圓的中心在原點，焦點在軸上，是橢圓的頂點，是橢圓上一點，且軸，，則此橢圓的離心率是________．14.已知集合，集合，若有兩個元素，則實數(shù)的取值范圍是__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在正六棱柱中，為中點．設(shè)，，.（1）用，，表示向量，；（2）若求的值．16.某公司招聘銷售員，提供了兩種日工資結(jié)算方案：方案（1）每日底薪100元，每銷售一單提成2元；方案（2）每日底薪200元，銷售的前50單沒有提成，從第51單開始，每完成一單提成4元．該公司記錄了銷售員的每日人均業(yè)務(wù)量，現(xiàn)隨機抽取一個季度的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求直方圖中的值；（2）若僅從人均日收入的角度考慮，請你利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為新聘銷售員做出日工資方案的選擇，并說明理由（同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；（3）假設(shè)該銷售員選擇了你在（2）中所選的方案，已知公司現(xiàn)有銷售員400人，他希望自己的收入在公司中處于前40名，求他每日的平均業(yè)務(wù)量至少應(yīng)達多少單？17.已知、，動點滿足，設(shè)動點的軌跡為曲線.（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點且與曲線相切直線的方程.18.如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，已知，．（1）求證：；（2）求平面BDF與平面CDE夾角余弦值；（3）線段上EC上是否存在點，使平面平面BDF？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．19.已知是橢圓上的兩點．（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的上頂點和右焦點的直線與橢圓交于另一個點B，P為直線上的動點，直線分別與橢圓交于（異于點），（異于點）兩點，證明：直線經(jīng)過點．2024-2025學(xué)年浙江省杭州市高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.直線的傾斜角是（）A. B.不存在 C. D.【正確答案】C【分析】函數(shù)圖像的斜率不存在，這傾斜角為.【詳解】因為函數(shù)的斜率不存在，所以傾斜角為.故選：C.2.2024年，中國居民的幸福感指數(shù)高達，持續(xù)領(lǐng)跑全球，幸福感指數(shù)常用區(qū)間[0，100]內(nèi)的一個數(shù)來表示，數(shù)字越接近100表示滿意度越高．現(xiàn)隨機抽取10位學(xué)生，他們的幸福感指數(shù)為73，74，75，75，76，76，77，78，79，80．則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（）A.77.5 B.77 C.78 D.76.5【正確答案】A【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義即可求出.【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大進行排序，排序后依然為73，74，75，75，76，76，77，78，79，80．?dāng)?shù)據(jù)個數(shù)，，則，是整數(shù).因為是整數(shù)，所以70%分位數(shù)是第個數(shù)和第個數(shù)的平均值，第個數(shù)是77，第個數(shù)是78，則分位數(shù)為.故選：A.3.高二6班和高二7班進行班級籃球賽，采用3場2勝制，已知6班實力強勁，其每場獲勝的概率為，則最終7班能夠逆襲成功的概率是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】列出7班贏得比賽的情況，再根據(jù)獨立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案.【詳解】由題意得7班每場獲勝的概率為，每場輸?shù)舯荣惖母怕蕿?，則7班贏得比賽的情況有勝勝，勝敗勝，敗勝勝，則其贏得比賽的概率為.故選：D.4.直線方程的一個方向向量可以是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先根據(jù)直線方程得直線的一個法向量，再根據(jù)法向量可得直線的方向向量.【詳解】解：依題意，為直線的一個法向量，∴方向向量為，故選：D.5.如圖，在正方體中，是棱的中點，則異面直線與所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】延長至點，使得，根據(jù)四邊形為平行四邊形可知所求角為（或補角），利用余弦定理可求得所求角的余弦值，即可求得正弦值.【詳解】延長至點，使得，連接，，四邊形為平行四邊形，異面直線與所成角即為與所成角，即（或補角），設(shè)正方體的棱長為，，，，，，異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.本題考查立體幾何中異面直線所成角的求解，解題關(guān)鍵是能夠利用平行關(guān)系將異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為相交直線所成角的問題來進行求解.6.若方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)橢圓方程的特征分析求解.【詳解】由題意可得：，解得，所以的取值范圍為.故選：A.7.若圓上恰有三個點到直線的距離等于1，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)圓上點到直線距離為1的點的個數(shù)可知圓心到直線的距離為1，計算可得結(jié)果.【詳解】易知圓的圓心為，半徑為2，若圓上恰有三個點到直線的距離等于1可知圓心到直線的距離為1，即，解得.故選：B8.已知實數(shù)滿足，，則的最大值為（）A. B.4 C. D.8【正確答案】D【分析】依題可得點在圓上，且，原問題等價為求解點和點到直線距離之和倍的最大值，據(jù)此數(shù)形結(jié)合確定的最大值即可.【詳解】由題意，可知在圓上，由,可得,則,因，而和可理解為點到直線的距離和.如圖，取中點，連接,分別作于點，于點，于點，則，且.又,即點的軌跡方程為，要使最大值，需使取最大值，由圖知，顯然當(dāng)線段經(jīng)過圓心時，的值最大.由點到直線的距離為，故，此時，故.故選：D關(guān)鍵點點睛：本題主要考查距離公式的應(yīng)用，等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.解題關(guān)鍵在于根據(jù)條件數(shù)形結(jié)合，將兩個方程理解為單位圓上的兩點，由條件得，將所求式理解為點到直線距離之和的倍，根據(jù)圓的性質(zhì)和梯形中位線性質(zhì)即可求得其最大值.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.給出下列命題，其中正確的是

（

）A.若是空間的一個基底，則也是空間的一個基底B.在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是C.點P為平面ABC上一點，O為平面ABC外一點，且，則D.非零向量，，若，則為銳角【正確答案】AC【分析】利用空間向量的基本性質(zhì)即可判斷選項AC，選項B利用空間坐標(biāo)系的點對稱做出判斷，選項D利用向量的數(shù)量積做出判斷即可.【詳解】對A，若是空間的一個基底，則，，不共面，假設(shè)共面，則存在實數(shù)，，使，，，，不共面，，，無解，故不共面，也是空間的一個基底，故A正確.選項B：點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點是，選項B錯誤.選項C：由空間向量共面的推論可知成立，，則，選項C正確.選項D：，則，∴可能為零角或直角，選項D錯誤.故選：AC10.下列說法錯誤的是（）A.直線恒過定點B.經(jīng)過點，且在x，y軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為C.直線過點，且與以為端點的線段有公共點，則直線的斜率的取值范圍是D.已知直線過點，直線過點，若，則．【正確答案】BCD【分析】對A，整理成關(guān)于的方程即可；對B，舉出過原點的反例即可；對C，作出圖象并找到臨界位置即可；對D，舉出反例即可.【詳解】對于A，由直線方程，整理可得，令，解得，所以直線過定點，故A正確；對于B，過點，且在，軸上截距互為相反數(shù)的直線還有過原點的，其方程為，B錯誤；對C，根據(jù)題意作出圖象，如圖所示：

當(dāng)直線過時，設(shè)直線的斜率為，則；

當(dāng)直線過時，設(shè)直線的斜率為，則，所以要使直線與線段有公共點，則直線的斜率的取值范圍是.，故C錯誤；對D，當(dāng)時，此時；，此時兩直線垂直，故D錯誤.故選：BCD.11.已知橢圓的兩個焦點分別為，點是橢圓上的動點，點是圓上任意一點．若的最小值為，則下列說法中正確的是（）A.的最小值為5 B.的最大值為5C.存在點使得 D.的最小值為【正確答案】ABD【分析】設(shè)，首先由圓得到圓心的坐標(biāo)與半徑，即可判斷點在橢圓外部，再由，求出，得到，得到橢圓的方程；根據(jù)橢圓的定義及橢圓的有界性可判斷A；由極化恒等式得可判斷B；由知以為圓心為半徑的圓在橢圓內(nèi)，可判斷C；將轉(zhuǎn)化成求其最小值可判斷D.【詳解】橢圓，則，所以，圓的圓心為，半徑，因為，所以，所以點在橢圓外部.，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線（在、之間）時等號成立，設(shè)，則所以，解得，所以，∴橢圓對于A：∵，設(shè)則，，所以，當(dāng)1或5時，取得最小值5，所以A正確；對于B：又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)在左、右頂點時取最大值5，故B正確；對于C：∵，∴以為圓心為半徑的圓在橢圓內(nèi)，所以不存在點使得，故C不正確；對于D：因為，當(dāng)且僅當(dāng)、、、四點共線（且、在、之間）時取等號，故D正確.故選：ABD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知為平面的一個法向量，為內(nèi)的一點，則點到平面的距離為_________．【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用點到平面的向量求法，列式計算作答．【詳解】依題意，，而為平面的一個法向量，所以點到平面的距離,故13.如圖所示，橢圓的中心在原點，焦點在軸上，是橢圓的頂點，是橢圓上一點，且軸，，則此橢圓的離心率是________．【正確答案】【分析】利用橢圓性質(zhì)寫出焦點以及頂點坐標(biāo)，再由軸，即可得，可求得離心率為.【詳解】根據(jù)題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，如圖所示則有，直線方程為，代入方程可得，所以，又，所以，即，整理可得；所以，即，即可得橢圓的離心率為.故14.已知集合，集合，若有兩個元素，則實數(shù)的取值范圍是__________．【正確答案】【分析】轉(zhuǎn)化為直線與半圓有兩個交點求解即可.【詳解】集合表示直線，集合表示圓心為（0，1），半徑為2的圓的下半部分．如圖所示．∵有兩個元素，∴直線與半圓有兩個交點．當(dāng)直線與圓相切時，即圖中直線，則有，解得或（舍去）．當(dāng)直線過點（2，1）時，即圖中直線，則有，解得．結(jié)合圖形可得．∴實數(shù)的取值范圍是．故答案：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在正六棱柱中，為的中點．設(shè)，，.（1）用，，表示向量，；（2）若求的值．【正確答案】（1），（2）【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算直接表示各向量；（2）利用轉(zhuǎn)化法可得向量數(shù)量積.【小問1詳解】，；【小問2詳解】由題意易知，則，，則．16.某公司招聘銷售員，提供了兩種日工資結(jié)算方案：方案（1）每日底薪100元，每銷售一單提成2元；方案（2）每日底薪200元，銷售的前50單沒有提成，從第51單開始，每完成一單提成4元．該公司記錄了銷售員的每日人均業(yè)務(wù)量，現(xiàn)隨機抽取一個季度的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求直方圖中的值；（2）若僅從人均日收入的角度考慮，請你利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為新聘銷售員做出日工資方案的選擇，并說明理由（同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；（3）假設(shè)該銷售員選擇了你在（2）中所選的方案，已知公司現(xiàn)有銷售員400人，他希望自己的收入在公司中處于前40名，求他每日的平均業(yè)務(wù)量至少應(yīng)達多少單？【正確答案】（1）0.002（2）選擇方案（2）（3）每日的平均業(yè)務(wù)量至少應(yīng)達82單【分析】（1）由頻率分布直方圖的矩形面積和為1求出的值；（2）由每日人均業(yè)務(wù)量的平均值分別求出方案（1）和（2）的人均日收入；比較大小后再做選擇；（3）用40除以400得到，該員工收入需要進入公司群體人員收入的前10%，即超過90%，分析90%是否在前5組頻率和以及前6組頻率和之間，設(shè)對應(yīng)銷為，由頻率分布直方圖的百分位數(shù)的公式得到對應(yīng)的值.【小問1詳解】∵，∴【小問2詳解】每日人均業(yè)務(wù)量的平均值為：，方案（1）人均日收入為：元，方案（2）人均日收入為：元，∵248元>224元，所以選擇方案（2）【小問3詳解】∵，即設(shè)該銷售員收入超過了90%的公司銷售人員.由頻率分布直方表可知：前5組的頻率和為前6組的頻率和為∵，設(shè)該銷售的每日的平均業(yè)務(wù)量為，則x?75×0.015+0.8>0.9∴，又∵∴最小取82，故他每日的平均業(yè)務(wù)量至少應(yīng)達82單.17.已知、，動點滿足，設(shè)動點的軌跡為曲線.（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點且與曲線相切的直線的方程.【正確答案】（1）（2）或.【分析】（1）設(shè)Px,y，由，得動點的軌跡方程；（2）利用圓心到直線的距離等于半徑，求切線方程.【小問1詳解】設(shè)Px,y，則，，由，得，所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】曲線是以為圓心，1為半徑的圓，過點的直線若斜率不存在，直線方程這，滿足與圓相切；過點的切線若斜率存在，設(shè)切線方程為，即，有圓心到直線距離，解得，則方程為.過點且與曲線相切的直線的方程為或.18.如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，已知，．（1）求證：；（2）求平面BDF與平面CDE夾角的余弦值；（3）線段上EC上是否存在點，使平面平面BDF？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，且【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理得平面，從而可證得結(jié)論；（2）以為原