22雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課件（第二課時(shí)）高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（第二課時(shí)）我們把

叫作雙曲線

的離心率，用

表示.

影響雙曲線的開口大小，

越大，雙曲線的開口就越大.雙曲線的離心率因?yàn)?/p>

，所以.

學(xué)習(xí)橢圓時(shí)，我們知道離心率會(huì)影響橢圓的扁平程度，那么雙曲線的離心率是否有類似的性質(zhì)？，所以

越大，也越大，因此雙曲線的離心率

可以用來表示雙曲線開口的程度.從上面的公式和左圖，我們可以發(fā)現(xiàn)離心率

越大，開口.越大我們發(fā)現(xiàn)雙曲線的兩支在不斷靠近兩條直線，為什么會(huì)靠近兩條直線呢？觀察第一象限的圖形我們可以發(fā)現(xiàn)什么？隨著

的增大，

也在隨之增大，慢慢地逼近于直線

，且在直線的下方.是否所有的雙曲線都有類似的性質(zhì)呢？

問題：雙曲線

在第一象限的方程

和直線

有沒有聯(lián)系？也就是說，當(dāng)

時(shí)，雙曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)

無限逼近于

.

因此，形象地稱直線

為雙曲線

的漸近線.

根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知

也為雙曲線

的漸近線

.

對(duì)于雙曲線

在第一象限上的任意一點(diǎn)

滿足方程

，當(dāng)

時(shí)，

且無限逼近于1，

無限逼近于

.對(duì)于任意的雙曲線

，雙曲線有沒有類似的漸近線？當(dāng)雙曲線上的點(diǎn)在第一象限時(shí)，有

，當(dāng)

時(shí)，

且無限逼近于1，所以點(diǎn)

在直線

的下方，且y無限逼近于.由雙曲線的對(duì)稱性可知，雙曲線的兩支在向外無限延伸時(shí)與直線

和

無限逼近.一般地，直線

和

稱為雙曲線

的漸近線.

雙曲線的漸近線例1

求雙曲線

的漸近線方程為（

）

解析：由題意知

，

，所以雙曲線的漸近線方程為

，

故選.例1（變式）求雙曲線

的漸近線方程為（

）

所以雙曲線的漸近線方程為

，

故選

D

.我們知道當(dāng)焦點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸時(shí)雙曲線的漸近線方程的公式是不同的，那么有沒有什么好的方法記憶呢？D解法一：由題意知例1（變式）求雙曲線

的漸近線方程為（

）

解法二：令

，得到

，故選D

.即

，對(duì)于雙曲線

，令

，得到漸近線方程為

.對(duì)于雙曲線

，令

，得到漸近線方程為.D例2

求雙曲線

的實(shí)軸和虛軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)坐標(biāo)，以及漸近線方程和離心率，并畫出該雙曲線.解

將

化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得

.所以實(shí)軸長(zhǎng)

，虛軸長(zhǎng)

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)

，(0,).

漸近線方程為雙曲線的離心率.怎么畫出的該雙曲線圖象呢？最后以漸近線為參照畫出雙曲線.怎么畫出的該雙曲線圖象呢？例2

求雙曲線

的實(shí)軸和虛軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)坐標(biāo)，以及漸近線方程和離心率，并畫出該雙曲線.解

首先畫漸近線.課堂小結(jié)雙曲線

的漸近線方程為.雙曲線

的漸近線方程為.我們把

叫作

的離心率，用

表示.

離心率

越大，開口.越大

鞏固練習(xí)變式:上述方程表示雙曲線，則m的取值范圍是

__________________m＜－2或m＞－1求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程①a=4,b=3，焦點(diǎn)在x軸上；②焦點(diǎn)為(0,－6),(0,6)，經(jīng)過點(diǎn)(2,－5)2.已知方程表示焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______________m＜－2隨堂練習(xí)3．在方程mx2－my2=n中，若mn<0，則方程表示的曲線是（

）(A)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(B)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(C)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(D)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線D4．若k>1，則關(guān)于x，y的方程(1－k)x2+y2=k2－1表示的曲線是（）(A)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓