三講有限元一般過程

第三講 最小勢能原理與有限元分析的一般過程§3-1 最小勢能原理一、結構勢能的定義——結構勢能——內力勢能，即結構彈性應變能——外力勢能，數值上為在假定位移下外力的虛功的負值。結構彈性應變能可以表示為：v——結構或彈性體的體積外力虛功可以表示為:——結構外力已知表面。V——結構或彈性體的體積——結構內任意點的位移向量?！Y構體力載荷向量?！Y構面力載荷向量。二、最小勢能原理的描述在滿足協調條件及給定位移邊界條件的一切可能位移中，滿足平衡條件的位移使結構勢能取極小值。最小勢能原理的變分表達式為:§3-2

有限元分析的一般過程一、結構的離散化將結構或彈性體人為地劃分成由有限個單元，并通過有限個節(jié)點相互連接的離散系統(tǒng)。這一步要解決以下幾個方面的問題:1、選擇一個適當的參考系，既要考慮到工程設計習慣，又要照顧到建立模型的方便。2、根據結構的特點，選擇不同類型的單元。對復合結構可能同時用到多種類型的單元，此時還需要考慮不同類型單元的連接處理等問題。3、根據計算分析的精度、周期及費用等方面的要求，合理確定單元的尺寸和階次。4、根據工程需要，確定分析類型和計算工況。要考慮參數區(qū)間及確定最危險工況等問題。5.根據結構的實際支撐情況及受載狀態(tài)，確定各工況的邊界約束和有效計算載荷。二、選擇位移插值函數1.位移插值函數的要求在有限元法中通常選擇多項式函數作為單元位移插值函數，并利用節(jié)點處的位移連續(xù)性條件，將位移插值函數整理成以下形函數矩陣與單元節(jié)點位移向量的乘積形式。位移插值函數需要滿足相容（協調）條件，采用多項式形式的位移插值函數，這一條件始終可以滿足。但近年來有人提出了一些新的位移插值函數，如:三角函數、樣條函數及雙曲函數等，此時需要檢查是否滿足相容條件。2、位移插值函數的收斂性（完備性）要求：位移插值函數必須包含常應變狀態(tài)。位移插值函數必須包含剛體位移。3.復雜單元形函數的構造對于高階復雜單元，利用節(jié)點處的位移連續(xù)性條件求解形函數，實際上是不可行的。因此在實際應用中更多的情況下是利用形函數的性質來構造形函數。形函數的性質：相關節(jié)點處的值為1，不相關節(jié)點處的值為0。形函數之和恒等于1。以階梯軸的形函數為例兩個形函數分別為在節(jié)點有: 在節(jié)點有:在任何點有:這里我們稱

為點均為不相關節(jié)點。的相關節(jié)點,為 的相關節(jié)點,其它由幾何關系目的：計算單元彈性應變能和外力虛功。使用最小勢能原理，需要計算結構勢能，由彈性應變能和外力虛功兩部分構成。結構已經被離散，彈性應變能可以由單元彈性應變能疊加得到，外力虛功中的體力、面力都是分布在單元上的，也可以采用疊加計算。1.計算單元彈性應變能——單元體積。代入前式有:令:稱單元剛度矩陣,簡稱單剛。這樣單元彈性應變能可以表示為:三、單元分析2.計算單元外力功1)體力虛功令:稱單元等效體力載荷向量。單元體力虛功可以表示為:2)表面力虛功——單元上外力已知的表面,注意！這里只考慮結構的邊界表面。令： 稱單元等效面力載荷向量。單元表面力虛功可以表示為：從前面推導可以看出:單元彈性應變能可計算的部分只有單元剛度矩陣，單元外力虛功可計算的部分只有單元等效體力載荷向量和等效面力載荷向量。在實際分析時并不需要進行上述推導，只需要將假定的位移插值函數代入本節(jié)推導得出的單元剛度矩陣、等效體力載荷向量和等效面力載荷向量的計算公式即可。所以我們說有限元分析的第三步是計算單元剛度矩陣、等效體力載荷向量和等效面力載荷向量。幾點說明:單元剛度矩陣具有正定性、奇異性和對稱性三各重要特性。所謂正定性指所有對角線元素都是正數，其物理意義是位移方向與載荷方向一致；奇異性是說單元剛度矩陣不滿秩是奇異矩陣，其物理意義是單元含有剛體位移；對稱性是說單元剛度矩陣是對稱矩陣，程序設計時可以充分利用。按照本節(jié)公式計算的單元等效體力載荷向量和等效面力載荷向量稱為一致載荷向量。實際分析時有時也采用靜力學原理計算單元等效體力載荷向量和等效面力載荷向量，實際應用表明在大多數情況下，這樣做可以簡化計算，同時又基本上不影響分析結果。四、整體分析目的：計算整個結構的勢能，代入最小勢能原理：1.計算整個結構的彈性應變能。令:——結構整體剛度矩陣（總剛）此時結構的彈性應變能可以表示為:結構的彈性應變能可計算的部分只有所以我們說,結構的彈性應變能的計算就歸結為總剛的計算。2.計算整個結構的外力虛功。將變換形式寫成將 變換形式寫成外力虛功可以表示為:令:——結構整體等效節(jié)點載荷向量。外力虛功可以進一步表示為:結構的外力虛功可計算的部分只有所以我們說，結構的外力虛功可計算就歸結為結構整體等效節(jié)點載荷向量的計算。3.計算整個結構的勢能并代入最小勢能原理。將結構彈性應變能及外力虛功的表達式代入結構勢能表達式，則結構的勢能可以表示為:將上式代入泛函的極值條件或可以得到移項后有——結構近似平衡方程。結構近似平衡方程的物理意義與平衡微分方程等價,但該方程放松了對平衡的要求,給出的僅僅是近似的平衡條件。這非常有利于進行近似求解。4.實際應用時結構近似平衡方程的生成①②實際應用時我們完全可以根據單元剛度矩陣、單元等效體力載荷向量、單元等效面力載荷向量及節(jié)點集中載荷向量直接生成結構近似平衡方程，現在舉例說明生成過程。例3-1 一圖示桁架結構，各節(jié)點自由度編號如圖:③④①②③④局部自由度與整體自由度的對應關系為①以單元①為例注意要用累加運算！累加前總剛要清零！5.整體剛度矩陣的性質稀疏性整體剛度矩陣是一個大型稀疏矩陣，非零元素不到10%，對于大型實際問題可能只有2%~5%。帶狀分布帶狀分布是說整體剛度矩陣的非零元素全都分布在對角線附近的一個帶狀區(qū)域內。帶狀區(qū)域的寬度稱為帶寬，它與模型的節(jié)點編序有關，合理的節(jié)點編號，可以減小帶寬。因此，很多有限元前處理軟件都有帶寬優(yōu)化模塊。對稱性整體剛度矩陣也是是對稱矩陣。程序設計時可以充分利用這些特性來達到節(jié)約內存，提高計算效率的目的。例如：實際程序中通常采用半三角存儲、一維等帶寬存儲和一維變帶寬存儲等緊縮存儲方案。五、約束處理引入已知位移邊界條件,消除剛體位移,使方程具有唯一解。七、計算單元應力一般來說 是坐標的函數,實際分析是往往取幾個固定值（點）進行