浙江省杭州市文華、崇德、紫金港三校聯(lián)考2024-2025學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年浙江省杭州市文華、崇德、紫金港三校聯(lián)考八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷及解析一、選擇題（共30分）1．（3分）下列“表情”圖案中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，113．（3分）若a＜b，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．a(chǎn)+1＜b+1 B．2﹣a＜2﹣b C．3a＜3b D．＜4．（3分）一副三角板，如圖所示疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)是（）A．75° B．60° C．65° D．55°5．（3分）若x+3＞0，則（）A．x+1＜0 B．x﹣3＜0 C． D．﹣2x＜106．（3分）滿足下列條件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a(chǎn)：b：c＝6：8：10 C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c27．（3分）對于命題“若|x|＞|y|，則x＞y”，下面四組關(guān)于x，y的值中，能說明它是假命題的是（）A．x＝﹣1，y＝﹣2 B．x＝3，y＝﹣2 C．x＝2，y＝0 D．x＝﹣3，y＝﹣28．（3分）如圖，在△ABC中，AC＜AB＜BC，如果要用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點D，使AD+BD＝BC，那么符合要求的作圖痕跡是（）A． B． C． D．9．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝12，以A為圓心，適當長為半徑畫弧，交AC，AB于D，E兩點，再分別以D，E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧交于點M．作射線AM交BC于點F，則線段BF的長為（）A．5 B．4 C．3 D．2.810．（3分）如圖，四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成了一個大正方形ABCD，連結(jié)AC，交DH于點P，若AH＝HE，且△CPG的面積為4，則正方形ABCD的面積為（）A．20 B．30 C．40 D．50二、填空題（每題3分）11．（3分）用不等式表示“x的5倍不大于3”為：．12．（3分）在△ABC中，AB＝AC，外角∠ACD＝110°，則∠A＝．13．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，邊BC的垂直平分線EF交AB于點D，連接CD，如果CD＝6，那么AB的長為．14．（3分）一種荔枝的進價是每千克12.6元，銷售中估計有10%的荔枝正常損耗（包含剪枝），商家把售價至少定為每千克元，才能避免虧本．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，將△ABC折疊，使點B恰好落在邊AC上，與點B′重合，AE為折痕，則EB′＝．16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，．點D是線段AC中點，BF⊥AC，DE⊥AB，下列結(jié)論：①△AED≌△BFD．②△EFB為等邊三角形．③．④．其中正確的是（填序號）．三、解答題（共72分）17．（6分）解不等式：（1）5x+3≤x﹣1；（2）．18．（6分）如圖，已知等腰△ABC頂角∠A＝36°．（1）在AC上作一點D，使AD＝BD（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明，最后用黑色墨水筆加黑）；（2）求證：△BCD是等腰三角形．19．（8分）如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長線于點E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度數(shù)；（2）求證：∠BAC＝∠B+2∠E．20．（8分）如圖，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一點，且AD＝BE，∠AED＝∠ECB．（1）求證：ED＝EC；（2）若AD＝5，BC＝12，求△DEC的面積．21．（10分）對于任意實數(shù)a，b，定義關(guān)于@的一種運算如下a@b＝a﹣2b，例如5@3＝5﹣6＝﹣1，5@（﹣3）＝5﹣（﹣6）﹣11．（1）填空：8@2＝；2@（﹣1）＝；（2）若x@2＜1，求x的取值范圍；（3）若關(guān)于x的不等式3@（m﹣x）＜5恰有兩個正整數(shù)解，求m的取值范圍．22．（10分）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，點D是邊BC上一點，CD＝AB，點E在邊AC上．（1）若∠ADE＝∠B，求證：①∠BAD＝∠CDE；②BD＝CE；（2）若BD＝CE，∠BAC＝70°，求∠ADE的度數(shù)．23．（12分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點E是AC的中點．（1）求證：△BED是等腰三角形；（2）當∠BCD＝°時，△BED是等邊三角形；（3）當∠ADE+∠ABE＝45°時，若BD＝5，取BD中點F，求EF的長．24．（12分）在△ABC和△DEC中，AC＝BC，CD＝CE，且∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）如圖1，連結(jié)AD，BE，判斷AD和BE的關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若點A在線段DE延長線上，，DE＝14，求線段AE的長度；（3）如圖3，若AB＝8，點D在邊AB上運動，求△BDE周長的最小值．

2024-2025學(xué)年浙江省杭州市文華、崇德、紫金港三校聯(lián)考八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共30分）1．（3分）下列“表情”圖案中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，據(jù)此解答即可．【解答】解：選項A、C、D的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形．選項B的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故選：B．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，掌握軸對稱圖形的概念是解決問題的關(guān)鍵．2．（3分）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，11【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求【解答】解：A選項，3+4＝7＜8，兩邊之和小于第三邊，故不能組成三角形B選項，5+6＝11＞10，10﹣5＜6，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，故能組成三角形C選項，5+5＝10＜11，兩邊之和小于第三邊，故不能組成三角形D選項，5+6＝11，兩邊之和不大于第三邊，故不能組成三角形故選：B．【點評】此題主要考查三角形的三邊關(guān)系，要掌握并熟記三角形的三邊關(guān)系：在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．3．（3分）若a＜b，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．a(chǎn)+1＜b+1 B．2﹣a＜2﹣b C．3a＜3b D．＜【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個判斷即可．【解答】解：A．∵a＜b，∴a+1＜b+1，故本選項不符合題意；B．∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴2﹣a＞2﹣b，故本選項符合題意；C．∵a＜b，∴3a＜3b，故本選項不符合題意；D．∵a＜b，∴，故本選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，能正確根據(jù)不等式的性質(zhì)進行變形是解此題的關(guān)鍵，①不等式的性質(zhì)1：不等式的兩邊都加（或減）同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變，②不等式的性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，③不等式的性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．4．（3分）一副三角板，如圖所示疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)是（）A．75° B．60° C．65° D．55°【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∠α＝30°+45°＝75°，故選：A．【點評】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，運用三角形外角的性質(zhì)計算角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．（3分）若x+3＞0，則（）A．x+1＜0 B．x﹣3＜0 C． D．﹣2x＜10【分析】先根據(jù)不等式的性質(zhì)，求出x＞﹣3，然后再利用不等式的基本性質(zhì)，把x＞﹣3變形為各個選項中的不等式，然后進行判斷即可．【解答】解：∵x+3＞0，∴x＞﹣3，A．∵x＞﹣3，x+1＞﹣2，∴此選項的結(jié)論錯誤，故此選項不符合題意；B．∵x＞﹣3，x﹣3＞﹣6，∴此選項的結(jié)論錯誤，故此選項不符合題意；C．∵x+3＞0，∴x+3﹣3＞0﹣3，x＞﹣3，∴，∴此選項的結(jié)論錯誤，故此選項不符合題意；D．∵x+3＞0，x+3﹣3＞0﹣3，x＞﹣3，﹣2x＜6，∴﹣2x＜10，∴此選項的結(jié)論正確，故此選項符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握不等式的性質(zhì)，能夠利用不等式的性質(zhì)把不等式進行變形．6．（3分）滿足下列條件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a(chǎn)：b：c＝6：8：10 C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c2【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和勾股定理逆定理對各選項分析判斷利用排除法求解．【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝，所以不是直角三角形，正確；B、∵（6x）2+（8x）2＝（10x）2，∴是直角三角形，錯誤；C、∵∠C＝∠A﹣∠B，∴∠C+∠B＝∠A，∴∠A＝90°，是直角三角形，故本選項錯誤；D、∵b2＝a2﹣c2，∴是直角三角形，錯誤；故選：A．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，主要利用了三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理逆定理．7．（3分）對于命題“若|x|＞|y|，則x＞y”，下面四組關(guān)于x，y的值中，能說明它是假命題的是（）A．x＝﹣1，y＝﹣2 B．x＝3，y＝﹣2 C．x＝2，y＝0 D．x＝﹣3，y＝﹣2【分析】根據(jù)x，y的值一一判斷即可．【解答】解：∵x＝﹣3，y＝﹣2時，滿足|x|＞|y|，但是x＜y，故選：D．【點評】本題考查了命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．8．（3分）如圖，在△ABC中，AC＜AB＜BC，如果要用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點D，使AD+BD＝BC，那么符合要求的作圖痕跡是（）A． B． C． D．【分析】由AD+BD＝BC和CD+BD＝BC可得，點D在線段AC的垂直平分線上，因此這道題就轉(zhuǎn)化成了作線段AC的垂直平分線，與BC的交點即為點D．【解答】解：∵AD+BD＝BC，而DC+BD＝BC，∴DA＝DC，∴點D在線段AC的垂直平分線上，即點D為線段AC的垂直平分線與BC的交點．觀察四個選項，D選項符合題意，故選：D．【點評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的作法．9．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝12，以A為圓心，適當長為半徑畫弧，交AC，AB于D，E兩點，再分別以D，E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧交于點M．作射線AM交BC于點F，則線段BF的長為（）A．5 B．4 C．3 D．2.8【分析】過F點作FH⊥AB于H點，如圖，利用基本作圖得到AM平分∠BAC，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到FH＝FC，再利用勾股定理計算出BC＝9，接著證明Rt△AFH≌Rt△AFC得到AH＝AC＝12，所以BH＝3，設(shè)BF＝x，則FC＝FH＝9﹣x，利用勾股定理得32+（9﹣x）2＝x2，然后解方程即可．【解答】解：過F點作FH⊥AB于H點，如圖，由作圖痕跡得AM平分∠BAC，而FC⊥AC，F(xiàn)H⊥AB，∴FH＝FC，∵∠C＝90°，AB＝15，AC＝12，∴BC＝＝9，在Rt△AFH和Rt△AFC中，，∴Rt△AFH≌Rt△AFC（HL），∴AH＝AC＝12，∴BH＝AB﹣AH＝15﹣12＝3，設(shè)BF＝x，則FC＝FH＝9﹣x，在Rt△BHF中，32+（9﹣x）2＝x2，解得x＝5，即BF的長為5．故選：A．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了勾股定理和角平分線的性質(zhì)．10．（3分）如圖，四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成了一個大正方形ABCD，連結(jié)AC，交DH于點P，若AH＝HE，且△CPG的面積為4，則正方形ABCD的面積為（）A．20 B．30 C．40 D．50【分析】根據(jù)題意得到AE＝CG，AE∥CG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ME＝PG，得到AP＝PM，求得PH＝EM，根據(jù)三角形的面積公式得到CG＝2，根據(jù)勾股定理得到AB＝＝，于是得到正方形ABCD的面積為AB2＝30．【解答】解：根據(jù)題意得，AE＝CG，AE∥CG，∴∠EAM＝∠GCP，∵∠AEM＝∠CGP＝90°，∴△AEM≌△CGP（ASA），∴ME＝PG，∵HG＝EF，∴PH＝FM，∵AH＝HE，PH∥EM，∴AP＝PM，∴PH＝EM，∴PH＝，∴PG＝HG＝FG＝CG，∵△CPG的面積為4，∴?CG＝CG2＝4，∴CG＝2，∴AE＝CG＝2，∴BE＝EF＝，∴AB＝＝，∴正方形ABCD的面積為AB2＝30，故選：B．【點評】本題考查了勾股定理的證明，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每題3分）11．（3分）用不等式表示“x的5倍不大于3”為：5x≤3．【分析】首先表示x的5倍，再表示不大于3可得不等式．【解答】解：x的5倍表示為5x，不大于3表示為5x≤3，故答案為：5x≤3．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，關(guān)鍵是抓住題目中的關(guān)鍵詞，如“大于（小于）、不超過（不低于）、是正數(shù)（負數(shù)）”“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號．12．（3分）在△ABC中，AB＝AC，外角∠ACD＝110°，則∠A＝40°．【分析】先根據(jù)鄰補角定義得到∠ACB的度數(shù)，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和求出頂角A．【解答】解：如圖，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠ACD＝110°，∴∠ACB＝∠ABC＝180°﹣110°＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故答案為：40°．【點評】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理與等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)．屬于基礎(chǔ)題，比較簡單．13．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，邊BC的垂直平分線EF交AB于點D，連接CD，如果CD＝6，那么AB的長為12．【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到BD＝CD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AD，進而得到答案．【解答】解：∵EF是邊BC的垂直平分線，CD＝6，∴BD＝CD＝6，∴∠DCB＝∠B，∵∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD＝6，∴AB＝AD+BD＝12，故答案為：12．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．14．（3分）一種荔枝的進價是每千克12.6元，銷售中估計有10%的荔枝正常損耗（包含剪枝），商家把售價至少定為每千克14元，才能避免虧本．【分析】設(shè)商家把售價定為每千克x元，根據(jù)荔枝的進價是每千克12.6元，銷售中估計有10%的荔枝正常損耗（包含剪枝），避免虧本，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：設(shè)商家把售價定為每千克x元，根據(jù)題意得：x（1﹣10%）≥12.6，解得：x≥14，即商家把售價至少定為每千克14元，才能避免虧本，故答案為：14．【點評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，將△ABC折疊，使點B恰好落在邊AC上，與點B′重合，AE為折痕，則EB′＝3．【分析】設(shè)EB′＝x，根據(jù)勾股定理求出AC的長，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用x表示出EC、EB′、CB′，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)EB′＝x，∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，由折疊的性質(zhì)可知，BE＝EB′＝x，AB′＝AB＝6，則CB′＝AC﹣AB′＝4，EC＝BC﹣BE＝8﹣x，由勾股定理得，x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴EB′＝3．故答案為：3．【點評】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，．點D是線段AC中點，BF⊥AC，DE⊥AB，下列結(jié)論：①△AED≌△BFD．②△EFB為等邊三角形．③．④．其中正確的是（填序號）①②③．【分析】由∠ABC＝90°，AB＝6，CB＝2，求得AC＝4，則BD＝CD＝AD＝2，所以∠C＝∠BDC＝∠CBD＝60°，則∠A＝∠DBA＝30°，而BF⊥AC于點F，DE⊥AB于點E，則AE＝BE，∠AED＝∠BFD＝90°，∠DBF＝∠CBF＝30°，即可根據(jù)“AAS”證明△AED≌△BFD，可判斷①正確；所以AE＝BF，則BE＝BF，因為∠EBF＝∠DBA+∠DBF＝60°，所以△EFB為等邊三角形，可判斷②正確；再證明∠DGF＝90°，∠DFG＝30°，因為DF＝CF＝，所以DG＝DF＝，可判斷③正確；由EF＝BE＝AE＝3，BD＝2，且BD⊥EF，求得S四邊形DFBE＝3，可判斷④錯誤，于是得到問題的答案．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，CB＝2，∴AC＝＝＝4，∵點D是線段AC的中點，∴BD＝CD＝AD＝AC＝2＝CB，∴△BCD是等邊三角形，∴∠C＝∠BDC＝∠CBD＝60°，∴∠A＝∠DBA＝30°，∵BF⊥AC于點F，DE⊥AB于點E，∴AE＝BE，∠AED＝∠BFD＝90°，∠DBF＝∠CBF＝∠CBD＝30°，在△AED和△BFD中，，∴△AED≌△BFD（AAS），故①正確；∴AE＝BF，∴BE＝BF，∵∠EBF＝∠DBA+∠DBF＝60°，∴△EFB為等邊三角形，故②正確；∵∠DBE＝∠DBF＝30°，BE＝BF，∴BD⊥EF，∴∠DGF＝90°，∵∠BFD＝90°，∠BFE＝60°，∴∠DFG＝∠BFD﹣∠BFE＝30°，∵DF＝CF＝CD＝，∴DG＝DF＝，故③正確；∵EF＝BE＝AE＝AB＝3，BD＝2，且BD⊥EF，∴S四邊形DFBE＝EF?BD＝×3×2＝3≠2，故④錯誤，故答案為：①②③．【點評】此題重點考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△BCD是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共72分）17．（6分）解不等式：（1）5x+3≤x﹣1；（2）．【分析】（1）先移項，再合并同類項，把x的系數(shù)化為1即可；（2）先去分母，再移項，合并同類項，把x的系數(shù)化為1即可．【解答】解：（1）5x+3≤x﹣1，5x﹣x≤﹣1﹣3，4x≤﹣4，x≤﹣1；（2），2x﹣4＞6x，2x﹣6x＞4，﹣4x＞4，x＜﹣1．【點評】本題考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步驟是解題的關(guān)鍵．18．（6分）如圖，已知等腰△ABC頂角∠A＝36°．（1）在AC上作一點D，使AD＝BD（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明，最后用黑色墨水筆加黑）；（2）求證：△BCD是等腰三角形．【分析】（1）作AB的垂直平分線交AC于D；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出∠ABC＝∠C＝72°，再利用DA＝DB得到∠ABD＝∠A＝36°，所以∠BDC＝72°，從而可判斷△BCD是等腰三角形．【解答】（1）解：如圖，點D為所作；（2）證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，∵DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BCD是等腰三角形．【點評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．19．（8分）如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長線于點E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度數(shù)；（2）求證：∠BAC＝∠B+2∠E．【分析】（1）根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠ACD，即可求出∠ACE，求出∠CAE，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠E即可；（2）利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：（1）∵∠ACB＝40°，∴∠ACD＝180°﹣40°＝140°，∵∠B＝30°，∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，∴∠ACE＝70°，∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；（2）∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∵∠DCE＝∠B+∠E，∴∠ACE＝∠B+∠E，∵∠BAC＝∠ACE+∠E，∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．【點評】本題考查了三角形外角性質(zhì)，角平分線定義的應(yīng)用，注意：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．20．（8分）如圖，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一點，且AD＝BE，∠AED＝∠ECB．（1）求證：ED＝EC；（2）若AD＝5，BC＝12，求△DEC的面積．【分析】（1）由“AAS”可證△DAE≌△EBC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE＝EC；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BEC＝∠ADE，由余角的性質(zhì)可得∠DEC＝90°，由勾股定理可求DE的長根據(jù)三角形的面積公式可求解．【解答】（1）證明：∵AB∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝180°﹣90°＝90°，在△DAE與△EBC中，，∴△DAE≌△EBC（AAS），∴DE＝EC；（2）解：由（1）可知△DAE≌△EBC，∠BEC＝∠ADE，∴∠AED+∠BEC＝90°，∴∠DEC＝90°，∴△DEC為等腰直角三角形；又∵AD＝5，BC＝12，∴AE＝BC＝12，∴DE＝CE＝＝13，∴△DEC的面積＝DE?CE＝．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明△DAE≌△BEC是本題的關(guān)鍵．21．（10分）對于任意實數(shù)a，b，定義關(guān)于@的一種運算如下a@b＝a﹣2b，例如5@3＝5﹣6＝﹣1，5@（﹣3）＝5﹣（﹣6）﹣11．（1）填空：8@2＝4；2@（﹣1）＝4；（2）若x@2＜1，求x的取值范圍；（3）若關(guān)于x的不等式3@（m﹣x）＜5恰有兩個正整數(shù)解，求m的取值范圍．【分析】（1）按照定義的新運算進行計算，即可解答；（2）按照定義的新運算可得x﹣2×2＜1，然后進行計算即可解答；（3）按照定義的新運算可得3﹣2（m﹣x）＜5，然后進行計算即可解答．【解答】解：（1）由題意得：8@2＝8﹣2×2＝8﹣4＝4；2@（﹣1）＝2﹣2×（﹣1）＝2+2＝4；故答案為：4；4；（2）∵x@2＜1，∴x﹣2×2＜1，x﹣4＜1，x＜5；（3）3@（m﹣x）＜5，3﹣2（m﹣x）＜5，3﹣2m+2x＜5，2x＜5﹣3+2m，2x＜2+2m，x＜1+m，∵不等式3@（m﹣x）＜5恰有兩個正整數(shù)解，∴2＜1+m≤3，解得：1＜m≤2．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次不等式的整數(shù)解，實數(shù)的運算，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．22．（10分）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，點D是邊BC上一點，CD＝AB，點E在邊AC上．（1）若∠ADE＝∠B，求證：①∠BAD＝∠CDE；②BD＝CE；（2）若BD＝CE，∠BAC＝70°，求∠ADE的度數(shù)．【分析】（1）利用ASA證明△ABD≌△DCE，即可解決問題；（2）由SAS證明△ABD≌△DCE，可得∠BAD＝∠CDE，進而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題．【解答】（1）證明：①∵在△ABC中，∠BAD+∠B+∠ADB＝180°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，又∵∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，且∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE；②由①得：∠BAD＝∠CDE，在△ABD與△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD＝CE；（2）解：在△ABD與△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴∠BAD＝∠CDE，又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∴∠ADE＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝∠B，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×110°＝55°，∴∠ADE＝55°．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABD≌△DCE．23．（12分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點E是AC的中點．（1）求證：△BED是等腰三角形；（2）當∠BCD＝150°時，△BED是等邊三角形；（3）當∠ADE+∠ABE＝45°時，若BD＝5，取BD中點F，求EF的長．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BE＝AC，DE＝AC，從而得到BE＝DE．（2）利用等邊對等角以及三角形外角的性質(zhì)得出∠DEB＝∠DAB，即可得出∠DAB＝30°，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和即可求得答案；（3）利用等腰三角形的性質(zhì)得EF⊥BD，再利用勾股定理可得答案．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，點E