半導(dǎo)體物理之平衡半導(dǎo)體

第四章 平衡半導(dǎo)體半導(dǎo)體中的載流子摻雜原子與能級非本征半導(dǎo)體施主和受主的統(tǒng)計學(xué)分布電中性狀態(tài)費(fèi)米能級位置本章中利用前邊所需的能帶及統(tǒng)計理論，分析熱平衡半導(dǎo)體中的載流子濃度及其能量狀態(tài)與摻雜、溫度等材料和環(huán)境因素的關(guān)系本章重點內(nèi)容：載流子濃度材料環(huán)境純凈半導(dǎo)體雜質(zhì)半導(dǎo)體溫度…載流子許可狀態(tài)多少載流子占據(jù)狀態(tài)的幾率平衡半導(dǎo)體平衡狀態(tài)或熱平衡狀態(tài)，是指沒有外界影響（如電壓、電場、磁場或者溫度梯度等）作用于半導(dǎo)體上的狀態(tài)。在半導(dǎo)體中主要關(guān)注產(chǎn)生和復(fù)合過程的動態(tài)平衡平衡態(tài)——不隨時間變化（動態(tài)平衡的結(jié)果）費(fèi)米能級是描述熱平衡狀態(tài)的重要參數(shù)平衡態(tài)是研究非平衡態(tài)的出發(fā)點EcEv產(chǎn)生復(fù)合ED○●○●§4.1 半導(dǎo)體中的載流子載流子：在半導(dǎo)體內(nèi)可以運(yùn)動形成電流的電子或空位（空穴）載流子的定向運(yùn)動形成電流；在半導(dǎo)體中有兩種載流子：電子和空穴半導(dǎo)體中電流的大小取決于：載流子的濃度，載流子的運(yùn)動速度（定向的平均速度）在本章內(nèi)容中，我們僅僅關(guān)注熱平衡狀態(tài)下的載流子的濃度對載流子濃度的推導(dǎo)和計算需要用到狀態(tài)密度和分布函數(shù)半導(dǎo)體內(nèi)的載流子：兩種載流子：電子和空穴絕對零度時，無電子和空穴。（所有的電子處于價鍵之中）一定溫度下，熱激發(fā)導(dǎo)致部分價鍵斷裂，電子能量增加，脫離固定晶格原子的束縛，躍遷至導(dǎo)帶，成為導(dǎo)帶電子，同時留下價帶空穴。電子：導(dǎo)帶電子；空穴：價帶空穴；導(dǎo)帶電子和價帶空穴的濃度n0和p0方程電子濃度 根據(jù)狀態(tài)密度和分布函數(shù)的定義，我們知道電子濃度的能量分布為：

則整個導(dǎo)帶范圍內(nèi)的電子濃度為：

對應(yīng)于該能量的狀態(tài)密度對應(yīng)于該能量狀態(tài)被的占據(jù)幾率空穴濃度 某一能量值的空穴濃度為：

則整個導(dǎo)帶范圍內(nèi)的空穴濃度為：

對應(yīng)于該能量的狀態(tài)密度對應(yīng)于該能量的空位幾率將上節(jié)得到的狀態(tài)密度和分布函數(shù)代入公式得到

狀態(tài)密度函數(shù)波爾茲曼近似費(fèi)米分布函數(shù)對于本征半導(dǎo)體，費(fèi)米能級位于禁帶中心（附近）費(fèi)米能級的位置需保證電子和空穴濃度的相等如果電子和空穴的有效質(zhì)量相同，狀態(tài)函數(shù)關(guān)于禁帶對稱。對于普通的半導(dǎo)體（Si）來說，禁帶寬度的一半，遠(yuǎn)大于kT（~21kT），從而導(dǎo)帶電子和價帶空穴的分布可用波爾茲曼近似來代替因而可化簡為： 為了方便計算，變量代換：積分項被稱為伽馬函數(shù)因而：其中Nc為導(dǎo)帶的有效狀態(tài)密度（數(shù)量級一般在1019):相應(yīng)的計算表明空穴濃度： 其中Nv為價帶的有效狀態(tài)密度例4.1有效狀態(tài)密度和有效質(zhì)量有關(guān)在一定溫度下，特定半導(dǎo)體的有效狀態(tài)密度為常量平衡半導(dǎo)體的載流子濃度和費(fèi)米能級EF的位置密切相關(guān)指數(shù)項里的分子總為負(fù)數(shù)，這保證了指數(shù)項小于1，對應(yīng)于載流子濃度小于狀態(tài)密度的事實常溫下（300K）：計算過程中近似假設(shè)的合理性波爾茲曼近似的合理性：EF一般位于禁帶中，和導(dǎo)帶底和價帶頂?shù)木嚯x都比較遠(yuǎn)在狀態(tài)密度的推導(dǎo)過程中我們使用的E-k關(guān)系（拋物線近似）實際上只在能帶極值附近成立將積分范圍從導(dǎo)帶頂Ec’（價帶底Ev’）推廣到了正無窮大∞（負(fù)無窮大-∞），這樣做是否合適？這樣做的合理性在于：導(dǎo)帶（價帶）中的電子（空穴）基本集中在導(dǎo)帶底（價帶頂）附近；數(shù)學(xué)上，指數(shù)衰減更快，高階無窮小影響n0

和p0

的因素mn*

和mp*

的影響—材料的影響溫度的影響NC、NV

～Tf(EC)、f(EV)～T

例4.2P80說明T↑，NC、NV↑T↑，幾率↑EF

位置的影響EF→Ec，Ec-EF↓，n0↑—EF越高，電子（導(dǎo)帶）的填充水平（幾率）越高，對應(yīng)ND（施主雜質(zhì)濃度）較高；EF→Ev，EF-Ev↓，po↑—EF越低，電子（價帶）的填充水平越低（空位幾率越高），對應(yīng)NA（受主雜質(zhì)濃度）較高。EF偏離本征費(fèi)米能級EFi的距離，決定著材料的非本征程度的大小。對于非本征半導(dǎo)體，no和po與摻雜有關(guān)，決定于摻雜的類型和數(shù)量。當(dāng)溫度一定時，n0

、p0之積與EF無關(guān);這表明：導(dǎo)帶電子濃度與價帶空穴濃度是相互制約的，這是動態(tài)熱平衡的一個反映。本征半導(dǎo)體：n0=p0=ni，（ni本征載流子濃度）n型半導(dǎo)體：n0>p0p型半導(dǎo)體：n0<p0非簡并半導(dǎo)體的載流子濃度乘積只與本征材料有關(guān)本征載流子濃度本征半導(dǎo)體：不含有雜質(zhì)原子的半導(dǎo)體材料。本征半導(dǎo)體中，載流子主要來源于本征激發(fā)。本征半導(dǎo)體中導(dǎo)帶電子濃度ni等于價帶空穴濃度pi，稱為本征載流子濃度，用ni來表示本征激發(fā)的過程同時產(chǎn)生一個電子和一個空穴本征半導(dǎo)體的費(fèi)米能級稱為本征費(fèi)米能級EFi。在本征半導(dǎo)體中，電中性條件： 可見本征載流子濃度只和材料、溫度、禁帶寬度Eg有關(guān)。本征載流子濃度和溫度、禁帶寬度的關(guān)系禁帶寬度Eg越大，本征載流子濃度越低禁帶寬度Eg越大，本征載流子濃度越低本征載流子濃度和溫度、禁帶寬度的關(guān)系計算出的硅材料本征載流子濃度與實測的本征載流子濃度有偏離，這是因為我們使用的有效質(zhì)量等參數(shù)是在低溫下測出的，而隨著溫度變化E-k關(guān)系可能變化，因而理論值與實際值有偏差。表4.2例4.3，E4.3-4.5T↑，lnT↑，1/T↓，ni↑本征費(fèi)米能級位置由本征半導(dǎo)體的電中性條件：當(dāng)空穴有效質(zhì)量大時，相對應(yīng)價帶有效狀態(tài)密度大，因而費(fèi)米能級向?qū)埔员ＷC導(dǎo)帶電子與價帶空穴相等。相反亦然50meVEg(Si)：1.12eVfF(E)=0由于kT是個很小的能量值（常溫下），對于常見的半導(dǎo)體（Si、Ge、GaAs）來說，其禁帶能量要遠(yuǎn)大于kT，從而使得費(fèi)米能級相對于禁帶中央的偏移總是很?。◣资甿eV）（例4.4、E4.6）摻雜原子存在方式及導(dǎo)電類型硅中的施主雜質(zhì)與受主雜質(zhì)替位式摻雜“施主”——捐獻(xiàn)電子 “受主”——沒收電子摻雜原子與能級完美半導(dǎo)體晶體中只有非常少量的電子和空穴，通過摻雜可使得其濃度發(fā)生十幾個數(shù)量級的變化電子導(dǎo)電與空穴導(dǎo)電——N型與P型半導(dǎo)體電場作用

導(dǎo)帶電子電流電場作用

價帶電子電流

價帶空穴電流空穴概念的引入不僅僅是字面上的方便，而實際上帶來的是數(shù)學(xué)處理上的方便。電子與空穴在電場下的移動本征激發(fā)下的導(dǎo)帶電子與空穴由熱或光作用造成的價帶電子躍遷至導(dǎo)帶而形成導(dǎo)帶電子和價帶空穴的過程稱為本征激發(fā)。顯然：本征激發(fā)同時形成導(dǎo)帶電子和價帶空穴，而雜質(zhì)電離只貢獻(xiàn)單一載流子E本征激發(fā)水平“只”與熱有關(guān)，因而本征載流子濃度是溫度的函數(shù)。本征激發(fā)與雜質(zhì)電離的區(qū)別疑難問題：電子和空穴怎么可以同時存在？能帶角度的解釋：電子和空穴存在于不同的能帶中。導(dǎo)帶和價帶之間存在著本征激發(fā)與復(fù)合的動態(tài)平衡。因而電子和空穴同時存在。本征激發(fā)與熱擾動有關(guān)，因而在一定的溫度下，總是存在著一定數(shù)量的電子和空穴。由于整體上呈現(xiàn)電中性的半導(dǎo)體材料中正電荷與負(fù)電荷分離存在，所以半導(dǎo)體又可被稱為固態(tài)等離子體。熱平衡疑難問題：電子與空穴共存？直觀解釋：本征電子與空穴密度ni=pi～1.5×1010，體原子密度：5×1022。平均約每3333333333333個原子中有一對導(dǎo)帶電子和價帶空穴。幾率！施主摻雜5×1016，大約每1000000個原子中有一個電子，每3333333333333個原子中的電子數(shù)是3333333個。這會導(dǎo)致空穴存在的幾率大大減小。事實上，其幾率成為了原來的1/3333333。這導(dǎo)致空穴濃度下降為1.5e10×1/3333333

=0.45e4。重要結(jié)論：0.45e4×5e16=2.25e20=(1.5e10)2半導(dǎo)體物理中最重要的公式之一：疑難問題：電子與空穴共存？為什么要摻雜？半導(dǎo)體的導(dǎo)電性強(qiáng)烈地隨摻雜而變化硅中的施主雜質(zhì)與受主雜質(zhì)能級EcEvEdEcEvEd施主雜質(zhì)電離，n型半導(dǎo)體受主雜質(zhì)電離，p型半導(dǎo)體電離能：ΔED=EC–ED

；ΔEA=EA–EV

P86頁給出了采用玻爾等氫原子模型近似計算出的電離能。表明施主雜質(zhì)在硅和鍺中的電離能大約為幾十個meV。玻爾半徑為晶格常數(shù)的四倍。常溫下，這些雜質(zhì)處于完全電離狀態(tài)III-V族半導(dǎo)體中的替位式雜質(zhì)II族元素（Be、Mg、Zn）,受主雜質(zhì)VI族元素（S、Se、Te），施主雜質(zhì)IV族元素？

兩性雜質(zhì)常規(guī)：C、受主雜質(zhì)，Si施主雜質(zhì)右表所示為幾種常見雜質(zhì)在砷化鎵材料中的雜質(zhì)離化能。由表中數(shù)據(jù)可見，在正常的室溫條件下，這些雜質(zhì)在砷化鎵材料中都處于完全電離狀態(tài)。

本征半導(dǎo)體在應(yīng)用上的限制本征半導(dǎo)體的純度對于硅，常溫下本征載流子濃度~1010cm-3。為達(dá)到本征條件，要求施主雜質(zhì)（受主雜質(zhì)）的濃度小于本征載流子濃度（考慮完全電離）。則知道雜質(zhì)濃度ND（NA）<1010cm-3，則要求硅材料的純度大于（1-1010/1023）=99.99999999999%本征載流子濃度隨溫度變化很大在室溫附近：Si:T↑，8Kni↑一倍；Ge:T↑，12Kni↑一倍本征半導(dǎo)體的電導(dǎo)率不能控制§4.3 非本征半導(dǎo)體非本征半導(dǎo)體：摻入定量的特定的雜質(zhì)原子（施主或受主），從而熱平衡電子和空穴濃度不同于本征載流子濃度的半導(dǎo)體材料。摻入的雜質(zhì)原子會改變電子和空穴的分布。費(fèi)米能級偏離禁帶中心位置（本征費(fèi)米能級位置）。摻入施主雜質(zhì)，雜質(zhì)電離形成導(dǎo)帶電子和正電中心（施主離子），而不產(chǎn)生空穴（實際上空穴減少），因而電子濃度會超過空穴，我們把這種半導(dǎo)體叫做n型半導(dǎo)體；在n型半導(dǎo)體中，電子稱為多數(shù)載流子，相應(yīng)空穴成為少數(shù)載流子。相反，摻入受主雜質(zhì)，形成價帶空穴和負(fù)電中心（受主離子），空穴濃度超過電子，p型，多子為空穴。摻入施主雜質(zhì)，費(fèi)米能級向上（導(dǎo)帶）移動，導(dǎo)帶電子濃度增加，空穴濃度減少過程：施主電子熱激發(fā)躍遷到導(dǎo)帶增加導(dǎo)帶電子濃度；施主電子躍遷到價帶與空穴復(fù)合，減少空穴濃度；施主原子改變費(fèi)米能級位置，導(dǎo)致重新分布摻入受主雜質(zhì)，費(fèi)米能級向下（價帶）移動，導(dǎo)帶電子濃度減少，空穴濃度增加過程：價帶電子熱激發(fā)到受主能級產(chǎn)生空穴，增加空穴濃度；導(dǎo)帶電子躍遷到受主能級減少導(dǎo)帶電子濃度；受主原子改變費(fèi)米能級位置，導(dǎo)致重新分布EvEcEd載流子濃度n0和p0的公式：只要滿足玻爾茲曼近似條件，該公式即可成立只要滿足玻爾茲曼近似條件，n0p0的乘積依然為本征載流子濃度（和材料性質(zhì)有關(guān)，摻雜無關(guān)）的平方。（雖然在這里本征載流子很少）例4.5直觀地說明了費(fèi)米能級的移動，對載流子濃度造成的影響：費(fèi)米能級抬高了約0.3eV，則電子濃度變?yōu)楸菊鳚舛鹊?00000倍。載流子濃度n0、p0的另一種表達(dá)方式：同樣地：EF>EFi

電子濃度超過本征載流子濃度；EF<EFi

空穴濃度超過本征載流子濃度簡并與非簡并半導(dǎo)體在n0、p0的推導(dǎo)過程中，使用了玻爾茲曼假設(shè)，該假設(shè)只能處理非簡并系統(tǒng)。而當(dāng)導(dǎo)帶電子（價帶空穴）濃度超過了狀態(tài)密度Nc（Nv）時，費(fèi)米能級位于導(dǎo)帶（價帶）內(nèi)部，稱這種半導(dǎo)體為n（p）型簡并半導(dǎo)體。發(fā)生簡并的條件大量摻雜溫度的影響（低溫簡并）簡并系統(tǒng)的特點：雜質(zhì)未完全電離雜質(zhì)能級相互交疊分裂成能帶，甚至可能與帶邊相交疊。雜質(zhì)上未電離電子也可發(fā)生共有化運(yùn)動參與導(dǎo)電。從費(fèi)米積分曲線上可以看出當(dāng)ηF<-2時為直線，即玻爾茲曼近似成立§4.4 施主和受主的統(tǒng)計學(xué)分布我們在前邊提到，費(fèi)米－狄拉克幾率分布函數(shù)能夠成立的前提條件是滿足泡利不相容定律，即一個量子態(tài)上只允許存在一個電子，這個定律同樣也適用于施主態(tài)和受主態(tài)。我們將費(fèi)米－狄拉克分布幾率用于施主雜質(zhì)能級，則有： 其中g(shù)d為施主電子能級的簡并度，通常為2。

Nd為施主雜質(zhì)的濃度，nd為占據(jù)施主能級的電子濃度，Ed為施主雜質(zhì)能級，Nd＋為離化的施主雜質(zhì)濃度。與此類似，當(dāng)我們將費(fèi)米－狄拉克分布幾率用于受主雜質(zhì)能級時，則有：

Na為受主雜質(zhì)的濃度，pa為占據(jù)受主能級的空穴濃度，Ea為受主雜質(zhì)能級，Na為離化的受主雜質(zhì)濃度，ga為受主能級的簡并度，對于硅和砷化鎵材料來說通常為4在具體的應(yīng)用中，我們往往對電離的雜質(zhì)濃度更感興趣，而不是未電離的部分完全電離和束縛態(tài)Ed-EF>>kT此時對于導(dǎo)帶電子來說，波爾茲曼假設(shè)成立則占據(jù)施主能級的電子數(shù)和總的電子數(shù)（導(dǎo)帶中和施主能級中）的比值為：Nc在1019左右，而Ec-Ed為雜質(zhì)電離能，幾十meV，則指數(shù)項近似等于1，因而在摻雜濃度不高的情況下，雜質(zhì)完全電離。例4.7同樣，對于摻入受主雜質(zhì)的p型非本征半導(dǎo)體材料來說，在室溫下，對于1016cm-3左右的典型受主雜質(zhì)摻雜濃度來說，其摻雜原子也已經(jīng)完全處于離化狀態(tài)。室溫條件下n型半導(dǎo)體和p型半導(dǎo)體中雜質(zhì)的完全電離狀態(tài)絕對零度時EF位于Ec和Ed之間，雜質(zhì)原子處于完全未電離態(tài)，稱為束縛態(tài)例4.8的結(jié)果表明，即使在零下100度的低溫條件下，仍然有90%的受主雜質(zhì)發(fā)生了電離。這表明完全電離假設(shè)在常溫條件附近是近似成立的。絕對零度時，所有施主雜質(zhì)能級都被電子所占據(jù)，導(dǎo)帶無電子?！?.5 摻雜半導(dǎo)體的載流子濃度前邊討論了本征半導(dǎo)體的載流子濃度；討論了施主雜質(zhì)和受主雜質(zhì)在半導(dǎo)體中的表現(xiàn)。定性的給出了雜質(zhì)在不同溫度下的電離情況，并且定性的知道了載流子濃度和摻雜水平的相關(guān)性。這節(jié)我們要具體推導(dǎo)摻雜半導(dǎo)體的載流子濃度和摻雜的關(guān)系。EcEv補(bǔ)償半導(dǎo)體：同時施有施主摻雜和受主摻雜的半導(dǎo)體稱為補(bǔ)償半導(dǎo)體。補(bǔ)償?shù)暮x：施主雜質(zhì)電子空穴受主雜質(zhì)施主雜質(zhì)抬高費(fèi)米能級降低費(fèi)米能級受主雜質(zhì)EdEan0p0電離施主Nd+電離受主Na-未電離施主未電離受主施主電子受主空穴本征電子本征空穴電中性條件在平衡條件下，補(bǔ)償半導(dǎo)體中存在著導(dǎo)帶電子，價帶空穴，還有離化的帶電雜質(zhì)離子。但是作為一個整體，半導(dǎo)體處于電中性狀態(tài)。因而有：

其中，n0:導(dǎo)帶電子濃度；p0：價帶空穴濃度。nd是施主中電子密度；Nd+代表離化的施主雜質(zhì)濃度；pa：受主中的空穴密度；Na-：離化的受主雜質(zhì)濃度。完全電離（常溫低摻雜）的條件下，、都等于零在非簡并條件下關(guān)系仍然成立求解該方程，得到：根式取正號，因為要求零摻雜時為本征載流子濃度摻雜水平相等時，完全補(bǔ)償，類本征半導(dǎo)體摻雜濃度大于ni時，雜質(zhì)電子濃度才起主要作用同理利用 可推導(dǎo)出空穴濃度為：例4.9的結(jié)果顯示，在非簡并條件下，多數(shù)載流子濃度近似等于摻雜濃度（非補(bǔ)償）例4.10結(jié)果顯示，在摻雜濃度和本征載流子濃度相差不大時，須考慮本征載流子濃度的影響例4.11結(jié)果顯示，對于非簡并完全電離的補(bǔ)償半導(dǎo)體，多子濃度等于有效摻雜濃度。有效摻雜濃度少數(shù)載流子濃度應(yīng)當(dāng)根據(jù) 推導(dǎo)

雜質(zhì)原子不僅僅增加了多數(shù)載流子濃度，而且還減少了少數(shù)載流子濃度高溫下的載流子濃度由于本征載流子濃度ni是溫度的強(qiáng)函數(shù)，因而隨著溫度的增加，ni迅速增大而使得本征激發(fā)載流子濃度超過雜質(zhì)載流子濃度，這將導(dǎo)致半導(dǎo)體的摻雜效應(yīng)弱化或消失。在一個施主雜質(zhì)濃度為5×14cm-3的半導(dǎo)體材料中，電子濃度隨著溫度的變化關(guān)系如下圖所示，當(dāng)溫度由絕對零度不斷升高時，圖中曲線分別經(jīng)歷了雜質(zhì)凍結(jié)區(qū)、雜質(zhì)部分離化區(qū)、雜質(zhì)完全離化區(qū)（非本征激發(fā)區(qū)）和本征激發(fā)區(qū)。低溫未完全電離區(qū)完全電離區(qū)（飽和電離區(qū)）非本征區(qū)本征激發(fā)區(qū)100K左右雜質(zhì)即可完全電離；非本征區(qū)的電子濃度近似等于摻雜濃度隨著摻雜濃度的增加，本征激發(fā)區(qū)域的溫度會增高例4.12 當(dāng)摻雜為1.39×1015cm-3時，在550K的情況下，本征載流子濃度不超過總濃度的5%?！?.6 費(fèi)米能級的位置電子和空穴濃度隨費(fèi)米能級位置