直線與圓專題復(fù)習(xí)第18講 曼哈頓距離、切比雪夫距離問題、直角距離問題 訓(xùn)練題集【老師版】

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2第18講曼哈頓距離、切比雪夫距離問題、直角距離問題參考答案與試題解析一.選擇題(共7小題)1.(2021?濟(jì)寧二模)“曼哈頓距離”是由赫爾曼閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯,是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語,例如在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),、,的曼哈頓距離為：.若點(diǎn),點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn),則的最大值為A. B. C. D.【解答】解：由題意設(shè),,則,當(dāng)時(shí),即當(dāng),時(shí),,,,,,則當(dāng)時(shí),的最大值為；當(dāng)時(shí),即當(dāng),時(shí),,,,則當(dāng)時(shí),的最大值為.綜上所述,的最大值為.故選：.【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,考查新定義下的兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用,訓(xùn)練了利用三角函數(shù)求最值,是中檔題.2.(2021?萬州區(qū)校級月考)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,為兩點(diǎn),、,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn),稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”記作,給出下列四個(gè)命題：①對任意三點(diǎn),,,都有,,,；②已知點(diǎn)和直線,則；③到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于1的點(diǎn)的軌跡是正方形.其中真命題的是A.①② B.②③ C.①③ D.①②③【解答】解：①對任意三點(diǎn)、、,若它們共線,設(shè),、,,,,如圖,結(jié)合三角形的相似可得,,為,,,或,,,則,,,；若,或,對調(diào),可得,,,；若,,不共線,且三角形中為銳角或鈍角,如圖,由矩形或矩形,,,,；則對任意的三點(diǎn),,,都有,,,,故①正確；②設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn),且,可得,,由,解得,即有,當(dāng)時(shí),取得最小值；由,解得或,即有,的范圍是,無最值；綜上可得,,兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為；故②正確；③由題,到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”的距離為1的點(diǎn)滿足,,即或,顯然點(diǎn)的軌跡為正方形,故③正確；故選：.【點(diǎn)評】本題考查新定義的理解和運(yùn)用,考查數(shù)形結(jié)合思想方法,以及運(yùn)算能力和推理能力,屬于難題.3.(2021?金山區(qū)校級期中)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,為兩點(diǎn),、,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn),稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”,記作,給出下列三個(gè)命題：①對任意三點(diǎn)、、,都有,,,；②已知點(diǎn)和直線,則；③定點(diǎn)、,動(dòng)點(diǎn)滿足,,,則點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).其中真命題的個(gè)數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.3【解答】解：①對任意三點(diǎn)、、,若它們共線,設(shè),、,,,,如圖,結(jié)合三角形的相似可得,,為,,,或,,,則,,,；若,或,對調(diào),可得,,,；若,,不共線,且三角形中為銳角或鈍角,如圖,由矩形或矩形,,,,；則對任意的三點(diǎn),,,都有,,,；故①正確；②設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn),且,可得,,由,解得或,即有,當(dāng)時(shí),取得最小值；由,解得,即有,的范圍是,,無最值,綜上可得,,兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為.故②錯(cuò)誤；③定點(diǎn)、,動(dòng)點(diǎn),滿足,,,可得不軸上,在線段間成立,可得,解得,由對稱性可得也成立,即有兩點(diǎn)滿足條件；若在第一象限內(nèi),滿足,,,即為,為射線,由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線,則點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).故③正確.真命題的個(gè)數(shù)是2.故選：.【點(diǎn)評】本題考查新定義的理解和運(yùn)用,考查數(shù)形結(jié)合思想方法,以及運(yùn)算能力和推理能力,屬于難題.4.(2021?浦東新區(qū)校級期中)在平面直角坐標(biāo)系中,定義為兩點(diǎn),、,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點(diǎn)及直線上任意一點(diǎn),稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”,記作,給出下列三個(gè)命題：①對任意三點(diǎn)、、,都有,,,；②已知點(diǎn)和直線,則③定義,動(dòng)點(diǎn)滿足,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡圍成平面圖形的面積是4.其中真命題的個(gè)數(shù)A.0 B.1 C.2 D.3【解答】解：①對任意三點(diǎn)、、,設(shè),、,,,,則,,,則對任意的三點(diǎn),,,都有,,,,故①正確；②設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn),且,可得,,當(dāng)時(shí),取得最小值2,,故②不正確；③定義,動(dòng)點(diǎn)滿足,可得,表示邊長為的正方形(如右圖),其面積為2,故③錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)評】本題考查新定義的理解和運(yùn)用,數(shù)形結(jié)合思想方法,以及運(yùn)算能力和推理能力,屬于中檔題.5.(2021?重慶模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,為兩點(diǎn),,,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn),稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”,記作,給出下列三個(gè)命題：①對任意三點(diǎn)、、,都有,,,；②已知點(diǎn)和直線,則；③到定點(diǎn)的距離和到的“切比雪夫距離”相等的點(diǎn)的軌跡是正方形.其中正確的命題有A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【解答】解：①對任意三點(diǎn)、、,若它們共線,設(shè),、,,,,如右圖,結(jié)合三角形的相似可得,,為,,,或,,,則,,,；若,或,對調(diào),可得,,,；若,,不共線,且三角形中為銳角或鈍角,由矩形或矩形,,,,；則對任意的三點(diǎn),,,都有,,,；故①正確；②設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn),且,可得,,由,解得,即有,當(dāng)時(shí),取得最小值；由,解得或,即有,的范圍是,,,,無最值,綜上可得,,兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為.故②正確；③到定點(diǎn)的距離和到的“切比雪夫距離”相等的點(diǎn)；設(shè),即為,,若,則,兩邊平方整理得；若,則,兩邊平方整理得；故沒法說所求軌跡是正方形,故③不對；故選：.【點(diǎn)評】本題考查新定義的理解和運(yùn)用,考查數(shù)形結(jié)合思想方法,以及運(yùn)算能力和推理能力,屬于難題也是易錯(cuò)題目6.(2021?浦東新區(qū)校級月考)在平面直線坐標(biāo)系中,定義,為兩點(diǎn),、,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn),稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”記作,給出下列四個(gè)命題：①對任意三點(diǎn)、、,都有,,,；②已知點(diǎn)和直線,則；③到定點(diǎn)的距離和到的“切比雪夫距離”相等點(diǎn)的軌跡是正方形；④定點(diǎn)、,動(dòng)點(diǎn)滿足,,,則點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).其中真命題的個(gè)數(shù)是A.4 B.3 C.2 D.1【解答】解：①對任意三點(diǎn)、、,若它們共線,設(shè),、,,,,如右圖,結(jié)合三角形的相似可得,,為,,,或,,,則,,,；若,或,對調(diào),可得,,,；若,,不共線,且三角形中為銳角或鈍角,由矩形或矩形,,,,；則對任意的三點(diǎn),,,都有,,,；故①正確；②設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn),且,可得,,由,解得,即有,當(dāng)時(shí),取得最小值；由,解得或,即有,的范圍是,,,,無最值,綜上可得,,兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為.故②正確；③到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于1的點(diǎn),即為,,若,則；若,則,故所求軌跡是正方形,故③正確；④定點(diǎn)、,動(dòng)點(diǎn)滿足,,,可得不軸上,在線段間成立,可得,解得,由對稱性可得也成立,即有兩點(diǎn)滿足條件；若在第一象限內(nèi),滿足,,,即為,為射線,由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線,則點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).故④正確；故選：.【點(diǎn)評】本題考查新定義的理解和運(yùn)用,考查數(shù)形結(jié)合思想方法,以及運(yùn)算能力和推理能力,屬于難題也是易錯(cuò)題目.7.(2021?崇明縣二模)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,為兩點(diǎn)、,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn),稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”,記作,給出下列三個(gè)命題：①對任意三點(diǎn)、、,都有,,,；②已知點(diǎn)和直線,則；③定點(diǎn)、,動(dòng)點(diǎn)滿足,,,則點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)；其中真命題的個(gè)數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.3【解答】解：①對任意三點(diǎn)、、,若它們共線,設(shè),、,,,,如圖,結(jié)合三角形的相似可得,,為,,,或,,,則,,,；若,或,對調(diào),可得,,,；若,,不共線,且三角形中為銳角或鈍角,如圖,由矩形或矩形,,,,；則對任意的三點(diǎn),,,都有,,,；故①正確；②設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn),且,可得,,由,解得,即有,當(dāng)時(shí),取得最小值；由,解得或,即有,的范圍是,,,.無最值,綜上可得,,兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為.故②正確；③定點(diǎn)、,動(dòng)點(diǎn)滿足,,,可得不軸上,在線段間成立,可得,解得,由對稱性可得也成立,即有兩點(diǎn)滿足條件；若在第一象限內(nèi),滿足,,,即為,為射線,由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線,則點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).故③正確.真命題的個(gè)數(shù)是3.故選：.【點(diǎn)評】本題考查新定義的理解和運(yùn)用,考查數(shù)形結(jié)合思想方法,以及運(yùn)算能力和推理能力,屬于難題.二.多選題(共2小題)8.(2021?沙坪壩區(qū)校級模擬)曼哈頓距離(或出租車幾何)是由十九世紀(jì)的赫爾曼.閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯,是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語.例如,在平面上,點(diǎn),和點(diǎn),的曼哈頓距離為：.若點(diǎn),為圓上一動(dòng)點(diǎn),,為直線上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)為,兩點(diǎn)的曼哈頓距離的最小值,則的可能取值有A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解：過定點(diǎn),①當(dāng)?shù)男甭蕰r(shí),如圖1,作一條縱截距為負(fù)數(shù)的切線平行于直線,顯然,要使得最小,應(yīng)位于切點(diǎn)處,作軸交直線于點(diǎn),過作于點(diǎn),當(dāng)位于點(diǎn)的左方時(shí),,當(dāng)位于點(diǎn)的右方時(shí),顯然也有,此時(shí),設(shè)直線與圓相切,有,切線縱截距為,直線的縱截距為,,得.當(dāng)時(shí),顯然單調(diào)遞增,得；②當(dāng)?shù)男甭?時(shí),如圖2,作一條縱截距為負(fù)數(shù)的切線平行于直線,顯然,要使得最小,應(yīng)位于切點(diǎn)處,作軸交直線于點(diǎn),過作于點(diǎn),當(dāng)位于點(diǎn)的左方時(shí),,當(dāng)位于點(diǎn)的右方時(shí),顯然也有,此時(shí).設(shè)直線與圓相切,有,切線橫截距為,直線的橫截距為,,得單調(diào)遞減,得,綜上,,結(jié)合選項(xiàng)可得,的可能取值有.故選：.【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的解題思想,考查運(yùn)算求解能力,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值,屬難題.9.(2021?鼓樓區(qū)校級期中)“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼閔可夫斯基所創(chuàng)辭匯,定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn),,的曼哈頓距離為：.在此定義下以下結(jié)論正確的是A.已知點(diǎn),滿足的點(diǎn)軌跡圍成的圖形面積為2 B.已知點(diǎn),,滿足,,的點(diǎn)軌跡的形狀為六邊形 C.已知點(diǎn),,不存在動(dòng)點(diǎn)滿足方程：,, D.已知點(diǎn)在圓上,點(diǎn)在直線上,則、的最小值為【解答】解：對于,設(shè),因?yàn)?所以,①當(dāng)時(shí),②當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；作出圖象如下圖所示,易知這是一個(gè)邊長為的正方形,所以面積為,故正確對于,設(shè),因?yàn)?,,所以,①當(dāng)且時(shí),,②當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；作出圖象如下圖所示,所以點(diǎn)軌跡是一個(gè)六邊形,故正確.對于,設(shè),因?yàn)?,,所以,解得,所以點(diǎn)的軌跡為兩條直線,故錯(cuò)誤；對于,如下圖所示,為圓上一點(diǎn),為直線上一點(diǎn),過點(diǎn)作軸的平行線交直線與點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)固定時(shí),顯然當(dāng)在,點(diǎn)上方時(shí)最小,則,又因?yàn)?所以,由幾何關(guān)系易得當(dāng)時(shí)此時(shí)取得最小值,如下圖所示由點(diǎn)到直線的距離公式得,所以所以,故正確.故選：.【點(diǎn)評】本題考查新定義問題,考查分類討論思想,考查絕對值方程的解法,考查點(diǎn)到直線的距離公式,綜合性比較強(qiáng),屬于難題.三.填空題(共7小題)10.(2021?浦東新區(qū)校級期末)定義兩點(diǎn),,,的曼哈頓距離為,若表示到點(diǎn)、的曼哈頓距離相等的所有點(diǎn)的集合,其中,,,則點(diǎn)集與坐標(biāo)軸及直線所圍成的圖形的面積為52.5.【解答】解：由題意可知,,,,①當(dāng),時(shí),,,無解,②當(dāng),時(shí),,,③當(dāng),時(shí),,,無解,④當(dāng),時(shí),,,無解,⑤當(dāng),時(shí),,,⑥當(dāng),時(shí),,,無解,⑦當(dāng),時(shí),,,無解,⑧當(dāng),時(shí),,,⑨當(dāng),時(shí),,,無解,綜上,符合條件線段有：,,；,,,,；,,,,,如圖所示：,圖中陰影部分面積為所求面積,面積.故答案為：52.5.【點(diǎn)評】本題主要考查了簡單的合情推理,考查了分類討論思想,同時(shí)考查了學(xué)生的邏輯推理能力,是中檔題.11.(2013?寶山區(qū)一模)設(shè),,,是平面直角坐標(biāo)系上的兩點(diǎn),定義點(diǎn)到點(diǎn)的曼哈頓距離.若點(diǎn),在上,則的最小值為.【解答】解：如圖,因?yàn)樵诘诙笙?根據(jù)拋物線的對稱性,要使拋物線上的點(diǎn)與點(diǎn)的曼哈頓距離最小,則在第一象限(或原點(diǎn)).設(shè),則當(dāng)時(shí),,所以,當(dāng)時(shí),有最小值.當(dāng)時(shí),.綜上,的最小值為.故答案為.【點(diǎn)評】本題考查了新定義下的兩點(diǎn)間的距離公式,考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想和分類討論思想,解答的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),此題是中檔題.12.(2017秋?浦東新區(qū)校級期中)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,為兩點(diǎn),、,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn),稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”,記作,給出四個(gè)命題,正確的是①②③④①對任意三點(diǎn)、、,都有,,,；②到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于1的點(diǎn)的軌跡是正方形；③已知點(diǎn)和直線,則；④定點(diǎn)、,動(dòng)點(diǎn)滿足,,,則點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).【解答】解：①對任意三點(diǎn)、、,若它們共線,設(shè),、,,,,如右圖,結(jié)合三角形的相似可得,,為,,,或,,,則,,,；若,或,對調(diào),可得,,,；若,,不共線,且三角形中為銳角或鈍角,由矩形或矩形,,,,；則對任意的三點(diǎn),,,都有,,,；故①正確；②到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于1的點(diǎn),即為,,若,則；若,則,故所求軌跡是正方形,則②正確；③設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn),且,可得,,由,解得,即有,當(dāng)時(shí),取得最小值；由,解得或,即有,的范圍是,,,.無最值,綜上可得,,兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為.故③正確；④定點(diǎn)、,動(dòng)點(diǎn)滿足,,,可得不軸上,在線段間成立,可得,解得,由對稱性可得也成立,即有兩點(diǎn)滿足條件；若在第一象限內(nèi),滿足,,,即為,為射線,由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線,則點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).故④正確；故答案為：①②③④.【點(diǎn)評】本題考查新定義的理解和運(yùn)用,考查數(shù)形結(jié)合思想方法,以及運(yùn)算能力和推理能力,屬于難題.13.(2015秋?九江校級月考)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,,為兩點(diǎn),,,的“切比雪夫距離”,則點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為.【解答】解：設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn),且,可得,,由,解得,即有,當(dāng)時(shí),取得最小值；由,解得或,即有,的范圍是,,,.無最值,綜上可得,,兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為.故答案是：.【點(diǎn)評】本題考查新定義的理解和運(yùn)用,考查點(diǎn)到直線的距離,屬于中檔題.14.(2021?南平模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,、,兩點(diǎn)間的直角距離為,如圖是圓當(dāng)時(shí)的一段弧,是與軸的交點(diǎn),將依次以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)五次,得到由六段圓弧構(gòu)成的曲線.則.若點(diǎn)為曲線上任一點(diǎn),則的最大值為.【解答】解：由圖可得,點(diǎn),,；根據(jù)對稱性,只需討論點(diǎn)在第一象限的情況：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí),設(shè),,則,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號)；當(dāng)點(diǎn)不在上時(shí),所在圓的圓心坐標(biāo),設(shè),,可得,,,,,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號).綜上所述,的最大值為.故答案為：,.【點(diǎn)評】本題考查直角距離、三角換元、三角函數(shù)化簡求最值等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng),體現(xiàn)創(chuàng)新性和綜合性,是中檔題.15.(2021?碑林區(qū)校級模擬)在直角坐標(biāo)系中,定義兩點(diǎn),與,之間的“直角距離”為.若,是橢圓上任意兩點(diǎn),則的最大值是.【解答】解：設(shè),,由柯西不等式知,.故答案為：.【點(diǎn)評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì),訓(xùn)練了利用柯西不等式求最值,是中檔題.16.(2021?鏡湖區(qū)校級期中)定義點(diǎn),,,之間的“直角距離”為,若點(diǎn)到點(diǎn)的“直角距離”等于2,其中,滿足,,則所有滿足條件的點(diǎn)的軌跡的長度之和為.【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的“直角距離”等于2,所以點(diǎn)的軌跡方程為,因?yàn)?滿足,,所以當(dāng),時(shí),；當(dāng),時(shí),；當(dāng),時(shí),；當(dāng),時(shí),.作出在,表示的圖形,由,,,,,可得其周長為,故答案為：.【點(diǎn)評】本題考查新定義“直角距離”、分類討論的思想方法、兩點(diǎn)之間的距離公式,考查運(yùn)算能力和推理能力,屬于中檔題.四.解答題(共7小題)17.(2021春?寶山區(qū)校級期末)在平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn),、,的“曼哈頓距離”定義為,記為,如點(diǎn)、的“曼哈頓距離”為9,記為.(1)點(diǎn),是滿足的動(dòng)點(diǎn)的集合,求點(diǎn)集所占區(qū)域的面積；(2)動(dòng)點(diǎn)在直線上,動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)圖象上,求的最小值；(3)動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,點(diǎn),的最大值記為,請選擇下列二問中的一問,做出解答：①求證：不存在實(shí)數(shù)、,使；②求的最小值.【解答】解：(1)設(shè)點(diǎn),由得：,因曲線是原點(diǎn)為中心,順次連接四點(diǎn),,,的正方形,將其左移1個(gè)單位,下移2個(gè)單位即可得曲線：,于是得點(diǎn)集所占區(qū)域是四點(diǎn),,,為頂點(diǎn)的正方形,面積為2.(2)設(shè)出動(dòng)點(diǎn),,,,則,將看做關(guān)于的函數(shù),則在或時(shí)取得最小值,即,,而,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.當(dāng)時(shí),或,此時(shí).(3)設(shè)點(diǎn),則,選擇①,假定存在實(shí)數(shù),使得,則對任意,成立,取,有,取,有,于是得,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)取等.而,即有,矛盾,所以假設(shè)錯(cuò)誤.所以不存在實(shí)數(shù),使得；選擇②,若存在實(shí)數(shù),使得,則對任意,成立,取,有,取,有,于是得,,取,,是,上是偶函數(shù),,,若,,若,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.所以存在實(shí)數(shù),且,,使得最小值為.【點(diǎn)評】本題主要考查曼哈頓距離的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,需要學(xué)生較強(qiáng)的綜合能力,屬于中檔題.18.(2021?嘉定區(qū)期中)設(shè)在二維平面上有兩個(gè)點(diǎn),,,,它們之間的距離有一個(gè)新的定義為,這樣的距離在數(shù)學(xué)上稱為曼哈頓距離或絕對值距離；在初中時(shí)我們學(xué)過的兩點(diǎn)之間的距離公式是,這樣的距離稱為是歐幾里得距離(簡稱歐式距離)或直線距離.(1)已知,兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,,如果它們之間的曼哈頓距離不大于3,那么的取值范圍是多少？(2)已知,兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,,如果它們之間的曼哈頓距離要恒大于2,那么的取值范圍是多少？(3)已知三個(gè)點(diǎn),,,,,,在平面幾何的知識中,很容易的能夠證明與,與的歐氏距離之和不小于和的歐氏距離,那么這三個(gè)點(diǎn)之間的曼哈頓距離是否有類似的共同的結(jié)論？如果有,請給出證明；若果沒有,請說明理由.【解答】解：(1),,,由它們之間的曼哈頓距離不大于3,,解得；故的取值范圍為,；(2),,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,它們之間的曼哈頓距離要恒大于2,,解得或,故的范圍為,,；(3)有類似的結(jié)論,與,與,曼哈頓距離之和不小于與曼哈頓距離,證明：,,,,,,則,,,由絕對值不等式可得,,,,,,故與,與,曼哈頓距離之和不小于與曼哈頓距離.【點(diǎn)評】本題考查了新定義,實(shí)質(zhì)考查了絕對值不等式,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.19.(2021?楊浦區(qū)校級月考)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),對于任意兩點(diǎn),,,,定義它們之間的“曼哈頓距離”為.(1)求線段上一點(diǎn)到原點(diǎn)的“曼哈頓距離”；(2)求所有到定點(diǎn)的“曼哈頓距離”均為2的動(dòng)點(diǎn)圍成的圖形的周長；(3)眾所周知,對于“歐幾里得距離”,有如下三個(gè)正確的結(jié)論：①對于平面上任意三點(diǎn),,,都有；②對于平面上不在同一直線上的任意三點(diǎn),,,若,則是以為直角的直角三角形；③對于平面上兩個(gè)不同的定點(diǎn),,若動(dòng)點(diǎn)滿足,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線；上述結(jié)論對于“曼哈頓距離”是否依然正確？說明理由.【解答】解：(1)由題意：線段上一點(diǎn)到原點(diǎn)的“曼哈頓距離”為：；(2)設(shè)點(diǎn)到定點(diǎn)的“曼哈頓距離”為2,則：①當(dāng),時(shí),,此時(shí)為線段,②當(dāng),時(shí),,此時(shí)為線段,③當(dāng),時(shí),,此時(shí)為線段,④當(dāng),時(shí),,此時(shí)為線段,易得圍成的圖形的形狀為以,為頂點(diǎn)的正方形,故周長為；(3)①設(shè),,,,,,則,,,根據(jù)絕對值三角不等式可得：,同理：,故,即成立,故①正確；②設(shè),,,則,,,不滿足“歐幾里得距離”,但滿足“曼哈頓距離”,故②錯(cuò)誤；③設(shè),,,則,,滿足“曼哈頓距離”,但點(diǎn)不在的垂直平分線上,故③錯(cuò)誤；綜上：①正確；②錯(cuò)誤；③錯(cuò)誤.【點(diǎn)評】本題考查了新定義問題,考查絕對值不等式問題,考查分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.20.(2021?東莞市期末)對于一個(gè)具有正南正北、正東正西方向規(guī)則布局的城鎮(zhèn)街道,從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的距離是在南北方向上行進(jìn)的距離加上在東西方向上行進(jìn)的距離,這種距離即“曼哈頓距離”,也叫“出租車距離”.對于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn),和,,兩點(diǎn)間的“曼哈頓距離”,.(1)如圖6,若為坐標(biāo)原點(diǎn),,兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為和,求,,；(2)若點(diǎn)滿足,試在圖中畫出點(diǎn)的軌跡,并求該軌跡所圍成圖形的面積；(3)已知函數(shù),,,試在圖象上找一點(diǎn),使得最小,并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【解答】解：(1)由題得,,.(2)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,因?yàn)辄c(diǎn)滿足,則,點(diǎn)的軌跡為如圖所示正方形,該正方形所圍成圖形的面積.(3)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則由題,因?yàn)?,,設(shè),任取,,,且,則,,,,且,,,,,在,上是減函數(shù),當(dāng),即點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),(2),即最小為4.【點(diǎn)評】本題考查軌跡方程的求法,函數(shù)與方程的應(yīng)用,基本不等式以及新定義的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,是中檔題.21.(2021春?西城區(qū)校級期末)在平面直角坐標(biāo)系中,定義,為兩點(diǎn),,,的“切比雪夫距離”,又設(shè)點(diǎn)及直線上任一點(diǎn),稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”,記作.(1)已知點(diǎn)和直線,求；(2)求證：對任意三點(diǎn),,,都有,,,；(3)定點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)滿足,,請求出點(diǎn)所在的曲線所圍成圖形的面積.【解答】解：(1)設(shè)為直線上一