衡水中學高考數(shù)學沖刺復習資料(5大專題)

高考數(shù)學沖刺復習資料（共分五大專題）

專題一：三角與向量的交匯題型分析及解題策略

1命題趨向】

三角函數(shù)與平面的向量的綜合主要體現(xiàn)為交匯型，在高考中，主要出現(xiàn)在解答題的第一

個試題位置上，其難度中等偏下，分值一般為12分，交匯性主要體現(xiàn)在：三角函數(shù)恒等變換

公式、性質(zhì)與圖象與平面的向量的數(shù)量積及平面向量的平行、垂直、夾角及模之間都有著不

同程度的交匯，在高考中是一個熱點.如08年安徽理科第5題（5分），考查三角函數(shù)的對稱性

與向量平移、08年山東文第8題理第15題（5分）考查兩角和與差與向量垂直、08福建文理第

17題（12分）考查三角函數(shù)的求值與向量積、07的天津文理第15題（4分）考查正余弦定理與向

量數(shù)量積等.根據(jù)2009年考綱預計在09年高考中解答題仍會涉及三角函數(shù)的基本恒等變換公

式、誘導公式的運用、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、向量的數(shù)量積、共線（平行）與垂直的充要條件

條件.主要考查題型：（1）考查純?nèi)呛瘮?shù)函數(shù)知識，即一般先通過三角恒等變換公式化簡三

角函數(shù)式，再求三角函數(shù)的值或研究三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)；（2）考查三角函數(shù)與向量的交匯,

般是先利用向量知識建立三角函數(shù)關(guān)系式，再利用三角函數(shù)知識求解；（3）考查三角函數(shù)知

識與解三角形的交匯，也就是將三角變換公式與正余弦定理交織在一起.

【考試要求】

1.理解任意角的正弦、余弦、正切的定義.了解余切、正割、余割的定義.掌握同角三

角函數(shù)的基本關(guān)系式.掌握正弦、余弦的誘導公式.了解周期函數(shù)與最小正周期的意義.

2.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.

3.能正確運用三角公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明.

4.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦

函數(shù)和函數(shù)y=Asin（u）x+。）的簡圖，理解A,3,。的物理意義.

5.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形.

6.掌握向量的加法和減法.掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件.

7.了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算.

8.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、

角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件.

9.掌握平面兩點間的距離公式以及線段的定比分點和中點坐標公式，并且能熟練運用.掌

握平移公式.

1考點透視］

向量具有代數(shù)運算性與幾何直觀性的“雙重身份”，即可以象數(shù)一樣滿足“運算性質(zhì)〃進行代

數(shù)形式的運算，又可以利用它的幾何意義進行幾何形式的變換.而三角函數(shù)是以“角”為自變量

的函數(shù)，函數(shù)值體現(xiàn)為實數(shù)，因此平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系.同時在

平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性.主要

考點如下：

1.考查三角式化簡、求值、證明及求角問題.

2.考查三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像，特別是y=Asin（cox+（p）的性質(zhì)和圖像及其圖像變換.

3.考查平面向量的基本概念，向量的加減運算及幾何意義，此類題一般難度不大，主要

用以解決有關(guān)長度、夾角、垂直、平行問題等.

4.考查向量的坐標表示，向量的線性運算，并能正確地進行運算.

5.考查平面向量的數(shù)量積及運算律（包括坐標形式及非坐標形式），兩向量平行與垂直的

充要條件等問題.

6.考查利用正弦定理、余弦定理解三角形問題.

工典例分析】

題型一三角函數(shù)平移與向量平移的綜合

三角函數(shù)與平面向量中都涉及到平移問題，雖然平移在兩個知識系統(tǒng)中講法不盡相同，

但它們實質(zhì)是一樣的，它們都統(tǒng)一于同一坐標系的變化前后的兩個圖象中.解答平移問題主要

注意兩個方面的確定：（1）平移的方向；（2）平移的單位.這兩個方面就是體現(xiàn)為在平移過程中對

應的向量坐標.

【例1】把函數(shù)y=sin2x的圖象按向量?=（一差，一3）平移后，得到函數(shù)y=Asin（3x+

IT

（p）（A>0,3>o,|（p|=5）的圖象，則（P和B的值依次為（）

7CK717C

A.五，—3B.3C.一3D.一五，3

x=x'+匹

【分析】根據(jù)向量的坐標確定平行公式為6,再代入已知解析式可得.還可以由

y=/+3

向量的坐標得圖象的兩個平移過程，由此確定平移后的函數(shù)解析式，經(jīng)對照即可作出選擇.

【解析】由平移向量知向量平移公式-X-即十代入得『+

1X6,x—x6,y=Sjn2x3

yf=y-3ly=y，+3

=sin2（x，+1）,即到y(tǒng)=sin（2x+各-3,由此知（p=$B=—3,故選C.

【解析2］由向量才=（一/-3）,知圖象平移的兩個過程，即將原函數(shù)的圖象整體向

左平移段個單位，再向下平移3個單位，由此可得函數(shù)的圖象為丫=5訪2僅+5一3,即丫=$而（2乂

+多一3,由此知（p=g,B=-3,故選C.

【點評】此類題型將三角函數(shù)平移與向量平移有機地結(jié)合在一起，上要考查分析問題、

解決問題的綜合應用能力，同時考查方程的思想及轉(zhuǎn)化的思想.本題解答的關(guān)鍵，也是易出錯

的地方是確定平移的方向及平移的大小.

題型二三角函數(shù)與平面向量平行（共線）的綜合

此題型的解答一般是從向量平行（共線）條件入手，將向量問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后再利

用三角函數(shù)的相關(guān)知識再對三角式進行化簡，或結(jié)合三角函數(shù)的圖象與民性質(zhì)進行求解.此類

試題綜合性相對較強，有利于考查學生的基礎(chǔ)掌握情況，因此在高考中常有考查.

【例2】已知A、B、C為三個銳角，且A+B+C=TI.若向量/=（2-2sinA,cosA+sinA）

與向量4=（cosA—sinA,1+sinA）是共線向量.

（I）求角A；

C-3B

（II）求函數(shù)y=2siMB+cos-一的最大值.

【分析】首先利用向量共線的充要條件建立三角函數(shù)等式，由于可求得A角的正弦值,

再根據(jù)角的范圍即可解決第(I)小題；而第(II)小題根據(jù)第(I)小題的結(jié)果及A、B、C三個角的

關(guān)系，結(jié)合三角民恒等變換公式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于角B的表達式，再杈據(jù)B的范圉求最值.

【解】(I),.*/、#共線,(2—2sinA)(l+sinA)=(cosA+sinA)(cosA-sinA),則sin2A

3

=不

又A為銳角，所以sinA=號則A=?

C—3B(n-f-B)-3B

(II)y=2sin2B+cos--=2sin2B+cos--------------------

=2sin2B+cos(^-2B)=l-cos2B+|cos2B4--^sin2B

=^sin2B-|cos2B+l=sin(2B-^)+l.

BG(O,^),2B—^e(—I，y),/.2B-^=^,解得B=《ymax=2.

【點評】本題主要考查向量共線(平行)的充要條件、三角恒等變換公式及三角函數(shù)的有

界性.本題解答有兩個關(guān)鍵：(1)利用向量共線的充要條件將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題；

(2)根據(jù)條件確定B角的范圍.一般地，由于在三角函數(shù)中角是自變量，因此解決三角函數(shù)問

題確定角的范圍就顯得至關(guān)重要了.

題型三三角函數(shù)與平面向量垂直的綜合

此題型在高考中是一個熱點問題，解答時與題型二的解法差不多，也是首先利用向量垂

直的充要條件將向量問題轉(zhuǎn)化為三角問題，再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識進行求解.此類題型解

答主要體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化的思想等.

【例3】已知向量才=(3sinacosa),琮=(2sina,5sina—4cosa),aG(y,2R),且才JLR.

(I)求tana的值：

(H)求cosg+哥的值.

【分析】第(I)小題從向量垂直條件入手，建立關(guān)于a的三角方程，再利用同角三角函

數(shù)的基本關(guān)系可求得tana的值；第(II)小題根據(jù)所求得的tana的結(jié)果，利用二倍角公式求得

ta碌的值，再利用兩角和與差的三角公式求得最后的結(jié)果.

【解】(I),.甘_1_6，.,.甘將=0.而?=(3sina,cosa),R=(2sina,5sina—4cosa),

故才冷=6sin2a+5sinacosa—4cos2a=0.

、41

由于cosaxO,:6tan2a+5tana-4=0.解之，得tana=一或tana=Q.

,aW(5,2n),tana<0,故tana=?(舍去)...tana=一

3兀a3兀

(II)aG(子2R),(彳，R).

亞a2J5

,4—加a1a/人t、a

由tana=一求得tan/=-tan/=2(舍去).sin2—5，cos'=5'

aita兀a兀2第+亞

=—

cos(^+2)cos^cos2sin^sn§10

【點評】本題主要考查向量垂直的充要條件、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式

及兩角和與差的三角函數(shù).同時本題兩個小題的解答都涉及到角的范圍的確定，再一次說明了

在解答三角函數(shù)問題中確定角的范圍的重要性.同時還可以看到第(I)小題的解答中用到“弦

化切”的思想方法，這是解決在一道試題中同時出現(xiàn)"切函數(shù)與弦函數(shù)”關(guān)系問題常用方法.

題型四三角函數(shù)與平面向量的模的綜合

此類題型主要是利用向量模的性質(zhì)I?|2=力，如果涉及到向量的坐標解答時可利用兩種

方法：(1)先進行向量運算，再代入向量的坐標進行求解；(2)先將向量的坐標代入向量的

坐標，再利用向量的坐標運算進行求解.

【例3】已知向量才=(cosa,sina),6=(cosB,sinB),|?一=!\國(I)求cos(a-B)的

值;(11)^—^<3<0<a<p且sin0=一百,求sina的值.

【分析】利用向量的模的計算與數(shù)量積的坐標運算可解決第(I)小題；而第(1)小題則

可變角a=(a—劭+B，然后就須求sin(a—0)與cosp即可.

【解】(I):|才一6|.,.才2-2才冷+由=微，

將向量才=(cosa/sina)?6=(8sB,sin0)代入上式得

43

I2—2(cosacosp+sinasinp)+l2=g?cos(a—p)=—

(II)/-^<3<0<a<^,0<a-p<n,

334

由cos(a—B)=-g,得sin(a—B)=g,

p512

又sin0=一百cosp=yz,

sina=sin[(a—P)+p]=sin(a—P)cosP+cos(a—P)sin3=-

點評：本題主要考查向量的模、數(shù)量積的坐標運算、和角公式、司角三角函數(shù)的基本關(guān)

系.本題解答中要注意兩點：(1)化|7—2|為向量運算|才一?|2=(才一aE⑵注意解a—B的

范圍.整個解答過程體現(xiàn)方程的思想及轉(zhuǎn)化的思想.

題型五三角函數(shù)與平面向量數(shù)量積的綜合

此類題型主要表現(xiàn)為兩種綜合方式：(1)三角函數(shù)與向量的積直接聯(lián)系；(2)利用三角函數(shù)

與向量的夾角交匯，達到與數(shù)量積的綜合.解答時也主要是利用向量首先進行轉(zhuǎn)化，再利用三

角函數(shù)知識求解.

【例5】設(shè)函數(shù)f(x)=才冷.其中向量才=(m,cosx),R=(l+sinx,1),x￡R,且哈尸

2.(I)求實數(shù)m的值；(口)求因數(shù)f(x)的最小值.

分析：利用向量內(nèi)積公式的坐標形式，將題設(shè)條件中所涉及的向量內(nèi)積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)

中的“數(shù)量關(guān)系”，從而，建立函數(shù)f(x)關(guān)系式，第(I)小題直接利用條件f(卞=2可以求得，

而第(II)小題利用三角函數(shù)函數(shù)的有界性就可以求解.

解：(I)f(x)=?R=m(l+sinx)+cosx,

由啜=2,得m(l+si吟)+cos^=2,解得m=l.

(H)由(I)得f(x)=sinx+cosx+l=4isin(x+力+1,

當sin(x+力=-1時，f(x)的最小值為1一市.

點評：平面向量與三角函數(shù)交匯點較多，向量的平行、垂直、夾角、數(shù)量積等知識都可

以與三角函數(shù)進行交匯.不論是哪類向量知識與三角函數(shù)的交匯試題，其解法都差不多，首先

都是利用向量的知識將條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關(guān)系"，再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識進行

求解.

六、解斜三角形與向量的綜合

在三角形的正弦定理與余弦定理在教材中是利用向量知識來推導的，說明正弦定理、余

弦定理與向量有著密切的聯(lián)系.解斜三角形與向量的綜合主要體現(xiàn)為以三角形的角對應的三角

函數(shù)值為向量的坐標，要求根據(jù)向量的關(guān)系解答相關(guān)的問題.

【例6】己知角A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，其對邊分別為a、b、c,若京=(—cos冬

si&,#=(cos與，sin9,a=2木,且京才=與.

(I)若AABC的面積S=小,求b+c的值.

(II)求b+c的取值范圍.

【分析】第(I)小題利用數(shù)量積公式建立關(guān)于角A的三角函數(shù)方程，再利用二倍角公式

求得A角，然后通過三角形的面積公式及余弦定理建立關(guān)于b、c的方程組求取b+c的值；第

(II)小題正弦定理及三角形內(nèi)角和定理建立關(guān)于B的三角函數(shù)式，進而求得b+c的范圍.

【解】(I),/木=(一8段,sin/),#=(85萬，sin,),且盆?才=Q,

AA11

-cos2j+sin2T=-,即Qn一cosA=￡,

.2n

又A￡(0,n),A=§.

又由ABC='bcsinA=q5,所以be—4,

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bc-cos^=b2+c2+bc,/.16=(b+c)2,故b+c=4.

(II)由正弦定理得：捻=素=就=坐=4,又B+C=LA=W，

sin§

兀71

b+c=4sinB+4sinC=4sinB—4sin(§—B)=4sin(B+§),

*/0<B<7，則則當Vsin(B+Mwl,即b+c的取值范圍是(2S，4].

［點評］本題解答主要考查平面向量的數(shù)量積、三角恒等變換及三角形中的正弦定理、余

弦定理、面積公式、三角形內(nèi)角和定理等.解答本題主要有兩處要注意：第(I)小題中求b+c

沒有利用分別求出b、c的值為解，而是利用整體的思想，使問題得到簡捷的解答；⑵第(口)

小題的求解中特別要注意確定角B的范圍.

【專題訓練】

一、選擇題

I.己知N=(cos40。，sin40。)，B=(cos20°,sin20°)?則甘()

V31也

A.1B.2C.2D.

2.將函數(shù)y=2sin2x一3的圖象按向量(當為平移后得到圖象對應的解析式是(

)

A.2cos2xB.—2cos2xC.2sin2xD.—2sin2x

已知△中，品=?，注=?,若才冷<則△是

3.ABC0,ABC()

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.任意三角形

4.設(shè)才=6，sina),R=(cosa,；),且才11寸，則銳角a為

()

A.30°B.45°C,60°D.75°

5.己知甘=(sinO,3+cosO),X=(l,*\/l—cosG),其中?！?兀，竽)，則一定有()

A.tilB.tC.?與6夾角為45P.|?|=冷|

6.已知向量m=(6,—4),6=(0,2)]=m+入2,若C點在函數(shù)y=sin拼的圖象上，實數(shù)￡

=()

5353

A.2B.C.~2D.—2

7.由向量把函數(shù)y=sin(x+弟)的圖象按向量才=(m,0)(m>0)平移所得的圖象關(guān)于v軸對稱,

則m的最小值為()

2n5K

AXB.fC.■yD.

6~6

已知兩個向量2—cos切，則向量語2長

8.設(shè)04次27r時，$i=(cos9,sin。)，(5^2=(2+sin0,

度的最大值是()

A..B..C.3&D.2m

9.若向量N=(cosa,sina),X=(cosp,sinp),則才與b一定滿足()

A.2與6的夾角等于a—。B.才追

C.tiltD.(才+R)J_Q-R)

10.已知向量?=(cos25o,sin25。)，t=(sin20°/cos20°),若t是實數(shù)，且/=才+論,則|6|

的最小值為)

A.\[2B.1C.乎D.1

11.。是平面上一定點，A、B、C是該平面上不共線的3個點，一動點P滿足：加=私+入(盒

+愛：)，K￡(0,+8),則直線AP一定通過△ABC的()

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

12.對于非零向量?我們可以用它與直角坐標軸的夾角a,0(O?a攵,0鄒。)來表示它的方向，稱

a,p為非零向量2的方向角，稱cosa,cos。為向量才的方向余弦，則cos2a+cos2p=()

下1

A.1B.-yC.JD.0

二、填空題

13.已知向量謫=(sin。，2COS0),?=(，3,一：).若才1才則sin28的值為.

14.已知在△OAB(。為原點)中，金=(2cosa,2sina),貸=(5cosp,5sinp),若金?貸=-5,

則SAAOB的值為.

15.將函數(shù)f(x)=tan(2x+M+l按向量。平移得到奇函數(shù)g(x),要使|。|最小，則。=

16.已知向量滴=(1,1)向量力與向量京夾角為莖，且富?*=—!■.則向量力=.

三、解答題

17.在d48c中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若病?成:=擠虎=k(k￡R).

(I)判斷』ABC的形狀；

(n)若c=也，求k的值.

18.已知向量謫=(sinA,cosA),才=(函,一1),且4為銳角.(I)求角A的大?。?II)

求函數(shù)f(x)=cos2x+4cosAsinx|xGR)的值域.

19.在△ABC中，A、B、C所對邊的長分別為a、b、c,已知向量6=(1,2sinA),9=(sinA,

1+cosA),滿足加I才b+c=45a.(I)求A的大小；(II)求sin(B―/)的值.

20.已知A、B、C的坐標分別為A(4,0),B(0,4),C<3cosa,3sina).

(I)若a￡(—Ji,0),且位|=|型I，求角a的大小;

2sin2pt+sin2a

(II)若定:_L院，求的值.

1+tana

21.△ABC的角A、B、C的對邊分別為a、b、c,r^=(2b-c,a),6=(cosA,-cosC),且1J"才.

(I)求角A的大??；

(口)當y=2siMB+sin(2B+￡)取最大值時，求角B的大小.

22.已知才=(cosx+sinx,sinx),E=(cosx-sinx,2cosx),

(I)求證：向量才與向量6不可能平行；

(口)若f(x)=才冷，且x可一簫時，求函數(shù)f(x)的最大值及最小值.

【專題訓練】參考答案

一、選擇題

I.B解析：由數(shù)量積的坐標表示知了下=8$40叼1120。+$訪40。8520。=$訪60。=拳

2.D【解析】y=2sin2x-]fy=2sin2(x+^)一/+/，即y=-2sin2x.

癥.癥才冷

3.A【解析】因為cos/BAC=F-丁==—^-<0,NBAC為鈍角.

I屆H稔I才HmI

31

4.B【解析】由平行的充要條件得50一sinacosa=0,sin2a=l,2a=90。，a=45°.

5.B【解析】寸?T?=siii8+|siii例,5，「(兀,竽)，.?.|sin<9|=—sin^,.*."a>T>=0,.*.~a±lT.

6.A【解析】2九6=(6,—4+2入)，代入y=sin與得，-4+2A=sin/=l,解得入

_5

=Z

7.B【解析】考慮把函數(shù)y=sin(x+等的圖象變換為y=cosx的圖象，而y=sin(x+^)=cos(x

+勺，即把y=cos(x+M的圖象變換為y=cosx的圖象，只須向右平轉(zhuǎn)個單位，所以m=全

故選B.

8.C【解析】||=((2+sin。-cos?)?+(2—cosO—sin。)2=*\/10—8cos6?3班.

9.D【解析】才+6=(cosa+cos0,sina+sinB),才一6=(cosa+cos0,sina—sin。),「.(才+6卜(才

—^)=cos2a—cos2p+sin2a—$in2(3=O,(_^+?)_L(才一6).

10.C【解析】I^|2=|tp+t2|^|2+2tt^=14-t2+2t(sin200cos250+cos200sin250)=t2+

*t+l=(t+乎尸+今口I京*，??|3|min=*.

11.C【解析】設(shè)BC的中點為D,則心+病=2庭)，又由濟=*+■心+企：)，心=2九病,

所以心與心共線，即有直線AP與直線AD重合，即直線AP一定通過△ABC的重心.

12.A【解析】設(shè)才=(x,y),x軸、y軸、z軸方向的單位向量分別為7=(1,0),7=(0,1),由

72x

向量知識得cosa==一二-=/■—-,cosp=11?則COs2a+cOs2B=l.

|7|-|7|\x2+y2

二、填空題

—【解析】由京II#，得一］sin8=2bcosB,.，.tanO=—4出，/.sin20=T^^^^

13.

2tan88^3

=tan20+l=-49*

14.【解析】5=>10cosacops+lOsinasin(3=-5=>10cos(a—P)=-5=>cos(a-

P)=—..sin/AOB=坐，又|金|=2,|向=5,SAAOB=^X2X5X^=^^.

IFIT

15.(g,-1)【解析】要經(jīng)過平移得到奇函數(shù)g(x),應將函數(shù)f(x)=tan(2x+§)+l的圖象

向下平移1個單位，再向右平移一號+/k￡Z)個單位.即應按照向量?=(一竽+茅-1)

(k￡Z)進行平移.要使⑶最小,

16.(―1,0)或(0,—1)【解析】設(shè)7=(x,y),由二7=-1,有x+y=-1①，由有與胃

夾角為尊有有了=|疝向co與，二片|=1,則x?+y2=l②，由①②解得{；工/{

x0

y=_］，即7=(—1,0)或k=(o,—1).

三、解答題

17.【解】(I)二?危位=bccosA,或貸=cacosB,

乂品庭=際.院，bccosA=cacosB,

二.由正弦定理，WsinBcosA=sinAcosB,HPsinAcosB—sinBcosA=0,sin(A—B)=0

V-n<A-B<Jt,AA-B=0.即A=B,△ABC為等腰三角形.

、、|^2Q2—g2Q2

(II)由(I)知。=/?,AB-Au=bccosA=be-----------------=y,

c=1\［2,k=l.

18.【解】(I)由題意得第.才=，^sinA—cosA=l,2sin(A—^)=1,sin(A-￡)=稱,

由4為銳角得A—U，A=1.

(口)由(I)知cosA=],所以t(x)=cos2x+2sinx=l-2sin2x+2sinx=-2(sinx—5+丞

因為x￡R,所以sinx￡[—1,1],因此，當sinx4時，/(x)有最大值方.

3

當sinx=-l時，f(x)有最小值一3,所以所求函數(shù)f(x)的值域是[—3,

19.【解】(I)由京II才，得ZsWA—1—cosA=0,即2cos2A+cosA—1=0,cosA=s或cosA

=-l.

.A是△ABC內(nèi)角，cosA=T舍去，「.AJ

(II)「b+c=，5a,由正弦定理，sinB+sinC=#sinA=Q,

2汽2K3

B+C=§,sinB+sin(-^—B)=2?

'^cosB即sin(B+￡)=^^.

20.【解】(I)由已知得：d(3cosa-4)2+9sin2(x=d9cos2a+(3sina—4戶,則sina=cosa,

因為aW(-7t,0),a=-y.

(II)Et|(3cosa—4)-3cosa+3sina-(3sina-4)=0?得

sina+cosa=w，平方，得sin2a=一看.

_^2sin2a+sin2a2sin2acosa-l-2sinacos2a7

而—TV;=:―V=2sinacosa=sin2a=-77.

1+tanasina+cosa16

21.【解】(I)由京_1_才得滴；=0,從而(2b—c)cosA-acosC=0,

由正弦定理得2sinBcosA—sinCcosA-sinAcosC=0

2sinBcosA—sin(A4-C)=0,2sinBcosA—sinB=0?

1,,7C

「A、BG(0,n),「.sinB/0,cosA=j,故A=§.

(II)y=2sin2B+2$in(2B+^)=(l-cos2B)+Sin2Bcos^+cos2Bsin^

=1+乎sin2B—cos2B=l+sin(2B—￡).

1Ta2TCnnIn

由(I)得z，OVBV-7,

5ooo

二.當2B-^=p即B=孕寸，y取最大值2.

22.【解】(I)假設(shè)才II則28sx(cosx+sinx)—sinx(cosx—sinx)=0,

、，、l+cos2x11—cos2x

2cos2x+sinxcosx4-sin2x=0,2--------------+/sin2x+------3------=0,

BPsin2x+cos2x=-3,

???，i(sin2x+今=-3,與|鏡(sin2x+力16n矛盾，

故向量才與向量R不可能平行.

(II)f(x)=a?D=(cosx+sinx)'(cosx-sinx)4-sinx.2cosx

=cos2x—sln2x十2slnxcosx=cos2x+sln2x

=由(乎cos2x+乎sin2x)=A/i(sin2x+'，

?二一為(若，-%2x+%當，.?.當2x+%=當即x1時，f(x)有最大值市;

當2x+§=—：,即*=一；時，f(x)有最小值-1.

專題二：函數(shù)與導數(shù)的交匯題型分析及解題策略

【命題趨向】

函數(shù)的觀點和方法既貫穿了高中代數(shù)的全過程，又是學習高等數(shù)學的基礎(chǔ)，是高考數(shù)學

中極為重要的內(nèi)容，縱觀全國及各自主命題省市近三年的高考試題，函數(shù)與導數(shù)在選擇、填

空、解答三種題型中每年都有試題，分值26分左右，如08年福建文11題理12題（5分）為容

易題，考查函數(shù)與導函數(shù)圖象之間的關(guān)系、08年江蘇14題（5分）為容易題，考查函數(shù)值恒成

立與導數(shù)研究單調(diào)性、08年北京文17題（12分）為中檔題考查函數(shù)單調(diào)性、奇偶性與導數(shù)的交

匯、08年湖北理20題（12分）為中檔題，考查利用導數(shù)解決函數(shù)應用題、08年遼寧理22題（12

分）為中檔題，考查函數(shù)利用導數(shù)確定函數(shù)極值與單調(diào)性問題等.預測2009年關(guān)于函數(shù)與導數(shù)

的命題趨勢，仍然是難易結(jié)合，既有基本題也有綜合題，函數(shù)與導數(shù)的交匯的考查既有基本

題也有綜合題，基本題以考查基本概念與運算為主，考查函數(shù)的基礎(chǔ)知識及函數(shù)性質(zhì)及圖象

為主，同時考查導數(shù)的相關(guān)知識，知識載體主要是三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)綜合題.主

要題型：（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題；（2）考查以函數(shù)為載體的實際應用

題，主要是首先建立所求量的目標函數(shù)，再利用導數(shù)進行求解.

1考試要求］

1.了解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法.

2.了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù).

3.掌握有理指數(shù)暴的運算性質(zhì).掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).

4.掌握對數(shù)的運算性質(zhì)；掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).

5.能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問題.

6.了解導數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌

握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義：理解導函數(shù)的概念.

熟記基本導數(shù)公式m為有理數(shù)），xx的導數(shù)）；

7.（c,x（msinx,cosx,e,a,Inx,logax

掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導法則.了解復合函數(shù)的求導法則，會求某些簡單函數(shù)的

導數(shù).

8.理解可導函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關(guān)系；了解可導函數(shù)在某點取得極值的必要條件和

充分條件(導數(shù)在極值點兩側(cè)異號)；會求一些實際問題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小

值.

【考點透視】

高考對導數(shù)的考查主要以工具的方式進行命題，充分與函數(shù)相結(jié)合.其主要考點：

(1)考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、極值與最值)；

(2)考查原函數(shù)與導函數(shù)之間的關(guān)系；

(3)考查利用導數(shù)與函數(shù)相結(jié)合的實際應用題.從題型及考查難度上來看主要有以下幾個

特點：①以填空題、選擇題考查導數(shù)的概念、求函數(shù)的導數(shù)、求單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的極值與

最值；②與導數(shù)的幾何意義相結(jié)合的函數(shù)綜合題，利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間、

最值或極值，屬于中檔題；③利用導數(shù)求實際應用問題中最值，為中檔偏難題.

【典例分析】

題型一導函數(shù)與原函數(shù)圖象之間的關(guān)系

如果原函數(shù)定義域內(nèi)可導，則原函數(shù)的圖象f(x)與其導函數(shù)f，(x)的圖象有密切的關(guān)系：

1.導函數(shù)「(X)在X軸上、下方圖象與原函數(shù)圖象上升、下降的對應關(guān)系：

(1)若導函數(shù)F(x)在區(qū)間D上恒有f，(x)>0,則f(x)在區(qū)間D上為增函數(shù)，由此進一步得到

導函數(shù)F(x)圖象在x軸上方的圖象對應的區(qū)間D為原函數(shù)圖象中的上升區(qū)間D：

(2)若導函數(shù)F(x)在區(qū)間D上恒有f1x)VO,則f(x)在區(qū)間D上為減函數(shù)，由此進一步得到

導函數(shù)「(x)圖象在x軸下方的圖象對應的區(qū)間為原函數(shù)圖象中的下降區(qū)間.

2.導函數(shù)「(x)圖象的零點與原函數(shù)圖象的極值點對應關(guān)系：導函數(shù)f，(x)圖象的零點是原函

數(shù)的極值點.如果在零點的左側(cè)為正，右側(cè)為負，則導函數(shù)的零點為原函數(shù)的極大值點；

如果在零點的左側(cè)為負，右側(cè)為正，則導函數(shù)的零點為原函數(shù)的極小值點.

【例1】如果函數(shù)y=f(x)的圖象如右圖，那么導函數(shù)y=F(x)的圖象可能是()

【分析】根據(jù)原函數(shù)y=f(x)的圖象可知，f(x)有在兩個上升區(qū)間，有兩個下降區(qū)間，且

第一個期間的上升區(qū)間，然后相間出現(xiàn)，則反映在導函數(shù)圖象上就是有兩部分圖象在x軸的上

方，有兩部分圖象在x軸的下方，且第一部分在x軸上方，然后相間出現(xiàn).

【解】由原函數(shù)的單調(diào)性可以得到導函數(shù)的正負情況依次是正^負1正3負，只有答案A

滿足.

【點評】本題觀察圖象時主要從兩個方面：(1)觀察原函數(shù)耳x)的圖象哪些的上升區(qū)間？

哪些下降區(qū)間？：(2)觀察導函數(shù)F(x)的圖象哪些區(qū)間在大于零的區(qū)間？哪些部分昌小于零的區(qū)

間？

【例2】設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，y=F(x)的圖象如圖所示，則y=f(x)的圖象最有

可能是()

區(qū)間，二者結(jié)合起來即可作出正確的選擇.本題還可以通過確定導函數(shù)v=F(x)的圖象零點0、2

對應原函數(shù)的極大或極小值點來判斷圖象.

【解法1】由y=f，(x)的圖象可以清晰地看出，當x￡(0,2)時，y=f，(x)V0,則f(x)為減函

數(shù)，只有C項符合，故選C.

【解法2】在導函數(shù)f1x)的圖象中，零點0的左側(cè)函數(shù)值為正，右側(cè)為負，由可知原函

數(shù)f(x)在x=0時取得極大值.又零點2的左側(cè)為負，右側(cè)為正，由此可知原函數(shù)f(x)在x=0時

取得極小值，只有C適合，故選C.

【點評】(D導函數(shù)值的符號決定函數(shù)的單調(diào)性為“正增、負減"，導函數(shù)的零點確定原函

數(shù)的極值點；(2)導函數(shù)的增減性與函數(shù)增減性之間沒有直接的關(guān)系，但它刻畫函數(shù)圖象上的

點的切線斜率的變化趨勢.

題型二利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性問題

若f(x)在某區(qū)間上可導，則由F(x)>0(f，(x)V0)可推出f(x)為增(減)函數(shù)，但反之則不一

定,如：函數(shù)f(x)=x?在R上遞增,而f，(x)20.f(x)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充要條件是

f(xo)>O(<O),且f[x)在(a,b)的任意子區(qū)間上都不恒為零.利用導數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性的主要題型:

⑴根據(jù)函數(shù)解析式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)求解參數(shù)問題；(3)求解與

函數(shù)單調(diào)性相關(guān)的其它問題，如函數(shù)圖象的零點、不等式恒成立等問題.

【例3】(08全國高考)己知函數(shù)f(x)=x3+ax?+x+l,a￡R.(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)

21

間；(II)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(一§,一§)內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍.

【分析】第(I)小題先求導函數(shù)r(x),由于含有參數(shù)a,根據(jù)判別式確定對a的分類

標準，進而確定單調(diào)區(qū)間；第(H)小題根據(jù)第(I)小題的結(jié)果，建立關(guān)于a的不等式組,

由此可確定a的范圍.

【解】(【)由f(x)=x3+ax2+x+l,求導得f(x)=3x2+2ax+l,

當a2V3時，△=4(a2-3M0,f(x)>0,f(x卜在R上遞增，

當a2>3,f[x)=求得兩根為則

_a+{a2-3、

函數(shù)f(x)在區(qū)間(一8,一③一嚴三司上遞增,在區(qū)間(一a—產(chǎn)三,--------3-------）上遞減,

在區(qū)間(——g——，+間上遞增.

-a-\/a2-32

3

_a+行與1，且a2>3,解得M2.

{-HP~^3

【點評】本題是利用導數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性問題的兩類最典型的題型.由于函數(shù)解析式中

含有字母參數(shù)a,因此解答第(I)小題時注意分類討論.第(H)小題的解答是根據(jù)第(1)小題的結(jié)

果，利用集合集合間的關(guān)系建立不等式來求解的.第(H)小題還是利用函數(shù)在已知區(qū)間上減函數(shù)

2

f'(一/

建立不等式Ji來求解.

lr(一薩o

題型三求函數(shù)的極值問題

極值點的導數(shù)一定為0,但導數(shù)為o的點不一定是極值點，同時不可導的點可能是極值點.

因此函數(shù)的極值點只能在導數(shù)為o的點或不可導的點產(chǎn)生.利用導數(shù)求函數(shù)的極值主要題型：

⑴根據(jù)函數(shù)解析式求極值；(2)根據(jù)函數(shù)的極值求解參數(shù)問題.解答時要注意準確應用利用導數(shù)

求極值的原理求解.

[例4](08?四川)設(shè)x=l和x=2是函數(shù)f(x)=x5+ax3+bx+l的兩個極值點.(I)求a和

b的值；(H)略.

【分析】先求導函數(shù)f(x),然后由x=l和x=2是f(x)=0的兩個根建立關(guān)于a、b的方

程組求解.

【解】因為F(x)=5d+3ax2+b,

由x=l和x=2是函數(shù)f(x)=x5+ax3+bx+l的兩個極值點，所以「(1)=0,且？(2)=0,

即l5x24+3ax22+b=0'解得a=?b=20.

【點評】解答本題要明確極值點與導函數(shù)方程之間的關(guān)系；對于二次函數(shù)極值點的導

數(shù)一定為0,但導數(shù)為0的點不一定是極值點.本題解得充分利用上述關(guān)系，通過建立方程組

求得了a和b的值.

kx1

【例5】(08陜西高考)已知函數(shù)f(x)=Hj7*c>0,且81,k￡R)恰有一個極大值點和

一個極小值點，其中一個是x=-c.(I)求函數(shù)f(x)的另一個極值點；(H)求函數(shù)f(x)的極大值

M和極小值m,并求M—m“時k的取值范圍.

【分析】先求導函數(shù)f(x),然后令f(-c)=0及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可解決第

(I)小題；而解答第(II)小題須對k與c進行分類討論進行解答.

k(x2+c)—2x(kx+l)-kx2-2x+ck

【解】(I)f'(x)=—西不一

(x2+c)2

由題意知？(一c)=0,即得c2k—2c—ck=0,即c=l+稱(*)

K

Vc*0,/.k*0.由f(0)=0,得一kx?—2x+ck=0,

由韋達定理知另一個極值點為x=l.

(II)由(*)式得c=l+V，當c>l時，k>0；當OVcVl時，k<-2.

一)當1<>0時,f(x)在(一8,—C)和(1,+8)內(nèi)是減函數(shù)，在(一c,1)內(nèi)是增函數(shù).

k+1k—kc+1-k2

耳1)=壬=5>°'m=f(—6=-^=5^<0.

kk2

由M—m=5+二工弁1及k>0,解得

(m)當1<<—2時，f(x)在(一8,—c)和(1,+8)內(nèi)是增函數(shù)，在(一c,1)內(nèi)是減函數(shù).

—k?k+1k—1(2k(k+l)2+l

AM=f(1)=i(k+i)>0>m=可=3<。，而乂_皿=示而_5=1—k+2“恒成

立.

綜上可知，所求欠的取值范圍為(一8,-2)U[\[1,+°°).