小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)不變量解題講解提高訓(xùn)練(附答案解析)

PAGE不變量解題一、知識(shí)要點(diǎn)一些分?jǐn)?shù)的分子與分母被施行了加減變化，解答時(shí)關(guān)鍵要分析哪些量變了，哪些量沒(méi)有變。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不變量進(jìn)行分析后，再轉(zhuǎn)化并解答。二、精講精練【例題1】將的分子與分母同時(shí)加上某數(shù)后得，求所加的這個(gè)數(shù)。解法一：因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的分子與分母加上了一個(gè)數(shù)，所以分?jǐn)?shù)的分子與分母的差不變，仍是18，所以，原題轉(zhuǎn)化成了一各簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)問(wèn)題：“一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子比分母少18，切分子是分母的EQ\F(7,9)，由此可求出新分?jǐn)?shù)的分子和分母?！狈帜福海?1-43）÷（1－EQ\F(7,9)）＝81分子：81×EQ\F(7,9)＝6381-61＝20或63-43＝20解法二：EQ\F(43,61)的分母比分子多18，EQ\F(7,9)的分母比分子多2，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的與分母的差不變，所以將EQ\F(7,9)的分子、分母同時(shí)擴(kuò)大（18÷2=）9倍。EQ\F(7,9)的分子、分母應(yīng)擴(kuò)大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）約分后所得的EQ\F(7,9)在約分前是：EQ\F(7,9)＝EQ\F(7×9,9×9)＝EQ\F(63,81)所加的數(shù)是81-61＝20答：所加的數(shù)是20。練習(xí)1：1、分?jǐn)?shù)EQ\F(97,181)的分子和分母都減去同一個(gè)數(shù)，新的分?jǐn)?shù)約分后是EQ\F(2,5)，那么減去的數(shù)是多少？2、分?jǐn)?shù)EQ\F(1,13)的分子、分母同加上一個(gè)數(shù)后得EQ\F(3,5)，那么同加的這個(gè)數(shù)是多少？3、將EQ\F(58,79)這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母都減去同一個(gè)數(shù)，新的分?jǐn)?shù)約分后是EQ\F(2,3)，那么減去的數(shù)是多少？【例題2】將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母減去2得EQ\F(4,5)，如果將它的分母加上1，則得EQ\F(2,3)，求這個(gè)分?jǐn)?shù)。解法一：因?yàn)閮纱味际歉淖兎謹(jǐn)?shù)的分母，所以分?jǐn)?shù)的分子沒(méi)有變化，由“它的分母減去2得EQ\F(4,5)”可知，分母比分子的EQ\F(5,4)倍還多2。由“分母加1得EQ\F(2,3)”可知，分母比分子的EQ\F(3,2)倍少1，從而將原題轉(zhuǎn)化成一個(gè)盈虧問(wèn)題。分子：（2+1）÷（EQ\F(3,2)－EQ\F(5,4)）=12分母：12×EQ\F(3,2)-1＝17解法二：兩個(gè)新分?jǐn)?shù)在未約分時(shí)，分子相同。=1\*GB3①將兩個(gè)分?jǐn)?shù)化成分子相同的分?jǐn)?shù)，且使分母相差3。EQ\F(2,3)＝EQ\F(4,6)＝EQ\F(12,18)，EQ\F(4,5)＝EQ\F(12,15)=2\*GB3②原分?jǐn)?shù)的分母是：18-1＝17或15+2＝17答：這個(gè)分?jǐn)?shù)為EQ\F(12,17)。練習(xí)2：1、將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加上2得EQ\F(7,9)，分母加上3得EQ\F(3,4)。原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？2、將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加上3得EQ\F(3,4)，分母加上2得EQ\F(4,5)。原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？3、將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加上5得EQ\F(3,7)，分母加上4得EQ\F(4,9)。原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？4、將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母減去9得EQ\F(5,8)，分母減去6得EQ\F(7,4)。原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？【例題3】在一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分子上加一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(5,7)。如果在它的分子上減去同一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(1,2)，求原來(lái)的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是多少。解法一：兩個(gè)新分?jǐn)?shù)在未約分時(shí)，分母相同。將這兩個(gè)分?jǐn)?shù)化成分母相同的分?jǐn)?shù)，即EQ\F(5,7)=EQ\F(10,14)，EQ\F(1,2)=EQ\F(7,14)。根據(jù)題意，兩個(gè)新分?jǐn)?shù)分子的差應(yīng)為2的倍數(shù)，所以分別想EQ\F(10,14)和EQ\F(7,14)的分子和分母再乘以2。所以EQ\F(5,7)＝EQ\F(10,14)＝EQ\F(20,28)，EQ\F(1,2)＝EQ\F(7,14)＝EQ\F(14,28)故原來(lái)的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是EQ\F(17,28)。解法二：根據(jù)題意，兩個(gè)新分?jǐn)?shù)的和等于原分?jǐn)?shù)的2倍。所以（EQ\F(5,7)+EQ\F(1,2)）÷2＝EQ\F(17,28)答：原來(lái)的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是EQ\F(17,28)。練習(xí)3：1、一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，在它的分子上加一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(5,8)。如果在它的分子上減去同一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(1,2)，求這個(gè)分?jǐn)?shù)。2、一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，在它的分子上加一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(6,7)。如果在它的分子上減去同一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(1,3)，求這個(gè)分?jǐn)?shù)?！纠}4】將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加3得EQ\F(7,9)，分母加5得EQ\F(3,4)。原分?jǐn)?shù)是多少？解法一：兩個(gè)新分?jǐn)?shù)在未約分時(shí)，分子相同。將兩個(gè)分?jǐn)?shù)化成分子相同的分?jǐn)?shù)，即EQ\F(7,9)＝EQ\F(21,27)，EQ\F(3,4)＝EQ\F(21,28)。根據(jù)題意，兩個(gè)新分?jǐn)?shù)的分母應(yīng)相差2，而現(xiàn)在只相差1，所以分別將EQ\F(21,27)和EQ\F(21,28)的分子和分母再同乘以2。則EQ\F(7,9)＝EQ\F(21,27)＝EQ\F(42,54)，EQ\F(3,4)＝EQ\F(21,28)＝EQ\F(42,56)。所以，原分?jǐn)?shù)的分母是（54－3＝）51。原分?jǐn)?shù)是EQ\F(42,51)。解法二：因?yàn)榉肿記](méi)有變，所以把分子看做單位“1”。分母加3后是分子的EQ\F(9,7)，分母加5后是分子的EQ\F(4,3)，因此，原分?jǐn)?shù)的分子是（5－3）÷（EQ\F(4,3)－EQ\F(9,7)）＝42。原分?jǐn)?shù)的分母是42÷7×9-3=51，原分?jǐn)?shù)是EQ\F(42,51)。練習(xí)4：1、一個(gè)分?jǐn)?shù)，將它的分母加5得EQ\F(5,6)，加8得EQ\F(4,5)，原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？（用兩種方法）2、將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母減去3，約分后得EQ\F(6,7)；若將它的分母減去5，則得EQ\F(7,8)。原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？（用兩種方法做）3、把一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母減去2，約分后等于EQ\F(3,4)。如果給原分?jǐn)?shù)的分母加上9，約分后等于EQ\F(5,7)。求原分?jǐn)?shù)?！纠}5】有一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子加1，這個(gè)分?jǐn)?shù)等于EQ\F(1,2)；如果分母加1，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(1,3)，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？根據(jù)“分子加1，這個(gè)分?jǐn)?shù)等于EQ\F(1,2)”可知，分母比分子的2倍多2；根據(jù)“分母加1這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(1,3)”可知，分母比分子的3倍少1。所以，這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是（1+2）÷（3-2）=3，分母是3×2+2=8。所以，這個(gè)分?jǐn)?shù)是EQ\F(3,8)。練習(xí)5：1、一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子加3，這個(gè)分?jǐn)?shù)等于EQ\F(1,2)，如果分母加上1，這個(gè)分?jǐn)?shù)等于EQ\F(1,3)，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？2、一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子加5，這個(gè)分?jǐn)?shù)等于EQ\F(1,2)，如果分母減3，這個(gè)分?jǐn)?shù)等于EQ\F(1,3)，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？三、課后練習(xí)1、EQ\F(3,19)的分子、分母加上同一個(gè)數(shù)并約分后得EQ\F(5,7)，那么加上的數(shù)是多少？2、將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加上2得EQ\F(3,4)，分母加上2得EQ\F(4,5)。原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？3、一個(gè)分?jǐn)?shù)，在它的分子上加一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(7,9)。如果在它的分子上減去同一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(3,5)，求這個(gè)分?jǐn)?shù)。4、一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子減1，這個(gè)分?jǐn)?shù)等于EQ\F(1,2)；如果分母加11，這個(gè)分?jǐn)?shù)等于EQ\F(1,3)，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？不變量解題(答案及解析)一、知識(shí)要點(diǎn)一些分?jǐn)?shù)的分子與分母被施行了加減變化，解答時(shí)關(guān)鍵要分析哪些量變了，哪些量沒(méi)有變。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不變量進(jìn)行分析后，再轉(zhuǎn)化并解答。二、精講精練【例題1】將EQ\F(43,61)的分子與分母同時(shí)加上某數(shù)后得EQ\F(7,9)，求所加的這個(gè)數(shù)。解法一：因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的分子與分母加上了一個(gè)數(shù)，所以分?jǐn)?shù)的分子與分母的差不變，仍是18，所以，原題轉(zhuǎn)化成了一各簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)問(wèn)題：“一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子比分母少18，切分子是分母的EQ\F(7,9)，由此可求出新分?jǐn)?shù)的分子和分母?！狈帜福海?1-43）÷（1－EQ\F(7,9)）＝81分子：81×EQ\F(7,9)＝6381-61＝20或63-43＝20解法二：EQ\F(43,61)的分母比分子多18，EQ\F(7,9)的分母比分子多2，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的與分母的差不變，所以將EQ\F(7,9)的分子、分母同時(shí)擴(kuò)大（18÷2=）9倍。EQ\F(7,9)的分子、分母應(yīng)擴(kuò)大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）約分后所得的EQ\F(7,9)在約分前是：EQ\F(7,9)＝EQ\F(7×9,9×9)＝EQ\F(63,81)所加的數(shù)是81-61＝20答：所加的數(shù)是20。練習(xí)1：1、分?jǐn)?shù)EQ\F(97,181)的分子和分母都減去同一個(gè)數(shù)，新的分?jǐn)?shù)約分后是EQ\F(2,5)，那么減去的數(shù)是多少？2、分?jǐn)?shù)EQ\F(1,13)的分子、分母同加上一個(gè)數(shù)后得EQ\F(3,5)，那么同加的這個(gè)數(shù)是多少？3、EQ\F(3,19)的分子、分母加上同一個(gè)數(shù)并約分后得EQ\F(5,7)，那么加上的數(shù)是多少？4、將EQ\F(58,79)這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母都減去同一個(gè)數(shù)，新的分?jǐn)?shù)約分后是EQ\F(2,3)，那么減去的數(shù)是多少？【例題2】將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母減去2得EQ\F(4,5)，如果將它的分母加上1，則得EQ\F(2,3)，求這個(gè)分?jǐn)?shù)。解法一：因?yàn)閮纱味际歉淖兎謹(jǐn)?shù)的分母，所以分?jǐn)?shù)的分子沒(méi)有變化，由“它的分母減去2得EQ\F(4,5)”可知，分母比分子的EQ\F(5,4)倍還多2。由“分母加1得EQ\F(2,3)”可知，分母比分子的EQ\F(3,2)倍少1，從而將原題轉(zhuǎn)化成一個(gè)盈虧問(wèn)題。分子：（2+1）÷（EQ\F(3,2)－EQ\F(5,4)）=12分母：12×EQ\F(3,2)-1＝17解法二：兩個(gè)新分?jǐn)?shù)在未約分時(shí)，分子相同。=1\*GB3①將兩個(gè)分?jǐn)?shù)化成分子相同的分?jǐn)?shù)，且使分母相差3。EQ\F(2,3)＝EQ\F(4,6)＝EQ\F(12,18)，EQ\F(4,5)＝EQ\F(12,15)=2\*GB3②原分?jǐn)?shù)的分母是：18-1＝17或15+2＝17答：這個(gè)分?jǐn)?shù)為EQ\F(12,17)。練習(xí)2：1、將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加上2得EQ\F(7,9)，分母加上3得EQ\F(3,4)。原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？2、將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加上3得EQ\F(3,4)，分母加上2得EQ\F(4,5)。原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？3、將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加上5得EQ\F(3,7)，分母加上4得EQ\F(4,9)。原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？4、將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母減去9得EQ\F(5,8)，分母減去6得EQ\F(7,4)。原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？【例題3】在一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分子上加一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(5,7)。如果在它的分子上減去同一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(1,2)，求原來(lái)的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是多少。解法一：兩個(gè)新分?jǐn)?shù)在未約分時(shí)，分母相同。將這兩個(gè)分?jǐn)?shù)化成分母相同的分?jǐn)?shù)，即EQ\F(5,7)=EQ\F(10,14)，EQ\F(1,2)=EQ\F(7,14)。根據(jù)題意，兩個(gè)新分?jǐn)?shù)分子的差應(yīng)為2的倍數(shù)，所以分別想EQ\F(10,14)和EQ\F(7,14)的分子和分母再乘以2。所以EQ\F(5,7)＝EQ\F(10,14)＝EQ\F(20,28)，EQ\F(1,2)＝EQ\F(7,14)＝EQ\F(14,28)故原來(lái)的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是EQ\F(17,28)。解法二：根據(jù)題意，兩個(gè)新分?jǐn)?shù)的和等于原分?jǐn)?shù)的2倍。所以（EQ\F(5,7)+EQ\F(1,2)）÷2＝EQ\F(17,28)答：原來(lái)的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是EQ\F(17,28)。練習(xí)3：1、一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，在它的分子上加一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(5,8)。如果在它的分子上減去同一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(1,2)，求這個(gè)分?jǐn)?shù)。2、一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，在它的分子上加一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(6,7)。如果在它的分子上減去同一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(1,3)，求這個(gè)分?jǐn)?shù)。3、一個(gè)分?jǐn)?shù)，在它的分子上加一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(7,9)。如果在它的分子上減去同一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(3,5)，求這個(gè)分?jǐn)?shù)?！纠}4】將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加3得EQ\F(7,9)，分母加5得EQ\F(3,4)。原分?jǐn)?shù)是多少？解法一：兩個(gè)新分?jǐn)?shù)在未約分時(shí)，分子相同。將兩個(gè)分?jǐn)?shù)化成分子相同的分?jǐn)?shù)，即EQ\F(7,9)＝EQ\F(21,27)，EQ\F(3,4)＝EQ\F(21,28)。根據(jù)題意，兩個(gè)新分?jǐn)?shù)的分母應(yīng)相差2，而現(xiàn)在只相差1，所以分別將EQ\F(21,27)和EQ\F(21,28)的分子和分母再同乘以2。則EQ\F(7,9)＝EQ\F(21,27)＝EQ\F(42,54)，EQ\F(3,4)＝EQ\F(21,28)＝EQ\F(42,56)。所以，原分?jǐn)?shù)的分母是（54－3＝）51。原分?jǐn)?shù)是EQ\F(42,51)。解法二：因?yàn)榉肿記](méi)有變，所以把分子看做單位“1”。分母加3后是分子的EQ\F(9,7)，分母加5后是分子的EQ\F(4,3)，因此，原分?jǐn)?shù)的分子是（5－3）÷（EQ\F(4,3)－EQ\F(9,7)）＝42。原分?jǐn)?shù)的分母是42÷7×9-3=51，原分?jǐn)?shù)是EQ\F(42,51)。練習(xí)4：1、一個(gè)分?jǐn)?shù)，將它的分母加5得EQ\F(5,6)，加8得EQ\F(4,5)，原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？（用兩種方法）2、將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母減去3，約分后得EQ\F(6,7)；若將它的分母減去5，則得EQ\F(7,8)。原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？（用兩種方法做）3、把一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母減去2，約分后等于EQ\F(3,4)。如果給原分?jǐn)?shù)的分母加上9，約分后等于EQ\F(5,7)。求原分?jǐn)?shù)?！纠}5】有一個(gè)分?jǐn)?shù)，