2025屆重慶第一中學高三第二次調研數學試卷含解析

2025屆重慶第一中學高三第二次調研數學試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知三棱錐中，為的中點，平面，，，則有下列四個結論：①若為的外心，則；②若為等邊三角形，則；③當時，與平面所成的角的范圍為；④當時，為平面內一動點，若OM∥平面，則在內軌跡的長度為1．其中正確的個數是（）．A．1 B．1 C．3 D．42．為了研究國民收入在國民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國統計學家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖所示.勞倫茨曲線為直線時，表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時，表示收入完全不平等.記區(qū)域為不平等區(qū)域，表示其面積，為的面積，將稱為基尼系數.對于下列說法：①越小，則國民分配越公平；②設勞倫茨曲線對應的函數為，則對，均有；③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則；④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則.其中正確的是：A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④3．某校團委對“學生性別與中學生追星是否有關”作了一次調查，利用列聯表，由計算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結論是()A．有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星無關”B．有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星有關”C．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“學生性別與中學生追星無關”D．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“學生性別與中學生追星有關”4．在平面直角坐標系中，若不等式組所表示的平面區(qū)域內存在點，使不等式成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．5．已知，橢圓的方程，雙曲線的方程為，和的離心率之積為，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．6．“”是“，”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件7．函數的圖象大致為（）A． B．C． D．8．已知x,y滿足不等式組,則點所在區(qū)域的面積是()A．1 B．2 C． D．9．已知數列是以1為首項，2為公差的等差數列，是以1為首項，2為公比的等比數列，設，，則當時，的最大值是（）A．8 B．9 C．10 D．1110．復數為純虛數，則()A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i11．若是定義域為的奇函數，且，則A．的值域為 B．為周期函數，且6為其一個周期C．的圖像關于對稱 D．函數的零點有無窮多個12．已知為等比數列，，，則（）A．9 B．－9 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則的值為______.14．已知點M是曲線y＝2lnx＋x2﹣3x上一動點，當曲線在M處的切線斜率取得最小值時，該切線的方程為_______．15．已知函數，則曲線在點處的切線方程是_______．16．已知（且）有最小值，且最小值不小于1，則的取值范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，函數.（Ⅰ）判斷函數的單調性；（Ⅱ）若時，對任意，不等式恒成立，求實數的最小值.18．（12分）已知，且滿足，證明：.19．（12分）如圖，在中，已知，，，為線段的中點，是由繞直線旋轉而成，記二面角的大小為.（1）當平面平面時，求的值；（2）當時，求二面角的余弦值.20．（12分）已知二階矩陣A=abcd，矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個特征向量為α121．（12分）如圖,四棱錐中,平面平面,底面為梯形.，且與均為正三角形.為的中點為重心,與相交于點.(1)求證:平面；(2)求三棱錐的體積.22．（10分）[選修45：不等式選講]已知都是正實數，且，求證:．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由線面垂直的性質,結合勾股定理可判斷①正確;反證法由線面垂直的判斷和性質可判斷②錯誤;由線面角的定義和轉化為三棱錐的體積,求得C到平面PAB的距離的范圍,可判斷③正確;由面面平行的性質定理可得線面平行,可得④正確.【詳解】畫出圖形：若為的外心，則，平面,可得,即，①正確;若為等邊三角形，，又可得平面，即,由可得，矛盾，②錯誤;若，設與平面所成角為可得，設到平面的距離為由可得即有，當且僅當取等號.可得的最大值為，即的范圍為，③正確；取中點，的中點，連接由中位線定理可得平面平面可得在線段上，而，可得④正確；所以正確的是：①③④故選：C【點睛】此題考查立體幾何中與點、線、面位置關系有關的命題的真假判斷，處理這類問題，可以用已知的定理或性質來證明，也可以用反證法來說明命題的不成立.屬于一般性題目.2、A【解析】

對于①，根據基尼系數公式，可得基尼系數越小，不平等區(qū)域的面積越小，國民分配越公平，所以①正確.對于②，根據勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線，由圖得，均有，可得，所以②錯誤.對于③，因為，所以，所以③錯誤.對于④，因為，所以，所以④正確.故選A．3、B【解析】

通過與表中的數據6.635的比較，可以得出正確的選項.【詳解】解:，可得有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星有關”，故選B.【點睛】本題考查了獨立性檢驗的應用問題，屬于基礎題.4、B【解析】

依據線性約束條件畫出可行域，目標函數恒過，再分別討論的正負進一步確定目標函數與可行域的基本關系，即可求解【詳解】作出不等式對應的平面區(qū)域，如圖所示：其中，直線過定點，當時，不等式表示直線及其左邊的區(qū)域，不滿足題意；當時，直線的斜率，不等式表示直線下方的區(qū)域，不滿足題意；當時，直線的斜率，不等式表示直線上方的區(qū)域，要使不等式組所表示的平面區(qū)域內存在點，使不等式成立，只需直線的斜率，解得.綜上可得實數的取值范圍為，故選：B.【點睛】本題考查由目標函數有解求解參數取值范圍問題，分類討論與數形結合思想，屬于中檔題5、A【解析】

根據橢圓與雙曲線離心率的表示形式，結合和的離心率之積為，即可得的關系，進而得雙曲線的離心率方程.【詳解】橢圓的方程，雙曲線的方程為，則橢圓離心率，雙曲線的離心率，由和的離心率之積為，即，解得，所以漸近線方程為，化簡可得，故選：A.【點睛】本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質應用，橢圓與雙曲線離心率表示形式，雙曲線漸近線方程求法，屬于基礎題.6、B【解析】

先求出滿足的值，然后根據充分必要條件的定義判斷．【詳解】由得，即，，因此“”是“，”的必要不充分條件．故選：B．【點睛】本題考查充分必要條件，掌握充分必要條件的定義是解題基礎．解題時可根據條件與結論中參數的取值范圍進行判斷．7、A【解析】

用偶函數的圖象關于軸對稱排除,用排除,用排除.故只能選.【詳解】因為,所以函數為偶函數,圖象關于軸對稱,故可以排除;因為,故排除,因為由圖象知,排除.故選:A【點睛】本題考查了根據函數的性質,辨析函數的圖像,排除法,屬于中檔題.8、C【解析】

畫出不等式表示的平面區(qū)域，計算面積即可.【詳解】不等式表示的平面區(qū)域如圖：直線的斜率為，直線的斜率為，所以兩直線垂直，故為直角三角形，易得，，，，所以陰影部分面積.故選：C.【點睛】本題考查不等式組表示的平面區(qū)域面積的求法，考查數形結合思想和運算能力，屬于?？碱}.9、B【解析】

根據題意計算，，，解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項，2為公差的等差數列，∴.∵是以1為首項，2為公比的等比數列，∴.∴.∵，∴，解得.則當時，的最大值是9.故選：.【點睛】本題考查了等差數列，等比數列，f分組求和，意在考查學生對于數列公式方法的靈活運用.10、B【解析】

復數為純虛數，則實部為0，虛部不為0，求出，即得.【詳解】∵為純虛數，∴，解得..故選：.【點睛】本題考查復數的分類，屬于基礎題.11、D【解析】

運用函數的奇偶性定義，周期性定義，根據表達式判斷即可.【詳解】是定義域為的奇函數，則，，又，，即是以4為周期的函數，，所以函數的零點有無窮多個；因為，，令，則，即，所以的圖象關于對稱，由題意無法求出的值域，所以本題答案為D.【點睛】本題綜合考查了函數的性質，主要是抽象函數的性質，運用數學式子判斷得出結論是關鍵.12、C【解析】

根據等比數列的下標和性質可求出,便可得出等比數列的公比,再根據等比數列的性質即可求出.【詳解】∵,∴,又,可解得或設等比數列的公比為,則當時,,∴；當時,,∴.故選：C．【點睛】本題主要考查等比數列的性質應用,意在考查學生的數學運算能力,屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求，再根據的范圍求出即可.【詳解】由題可知，故.故答案為：.【點睛】本題考查分段函數函數值的求解，涉及對數的運算，屬基礎題.14、【解析】

先求導數可得切線斜率，利用基本不等式可得切點橫坐標，從而可得切線方程.【詳解】，，＝1時有最小值1，此時M(1，﹣2)，故切線方程為：，即．故答案為：.【點睛】本題主要考查導數的幾何意義，切點處的導數值等于切線的斜率是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養(yǎng).15、【解析】

求導，x=0代入求k，點斜式求切線方程即可【詳解】則又故切線方程為y=x+1故答案為y=x+1【點睛】本題考查切線方程，求導法則及運算，考查直線方程，考查計算能力，是基礎題16、【解析】

真數有最小值，根據已知可得的范圍，求出函數的最小值，建立關于的不等量關系，求解即可.【詳解】，且（且）有最小值，，的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查對數型復合函數的性質，熟練掌握基本初等函數的性質是解題關鍵，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)故函數在上單調遞增，在上單調遞減;(2).【解析】試題分析：（Ⅰ）根據題意得到的解析式和定義域，求導后根據導函數的符號判斷單調性．（Ⅱ）分析題意可得對任意，恒成立，構造函數，則有對任意，恒成立，然后通過求函數的最值可得所求．試題解析：（I）由題意得，，∴.當時，，函數在上單調遞增；當時，令，解得；令，解得.故函數在上單調遞增，在上單調遞減.綜上，當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.（II）由題意知.，當時，函數單調遞增．不妨設，又函數單調遞減，所以原問題等價于：當時，對任意，不等式恒成立，即對任意，恒成立.記，由題意得在上單調遞減.所以對任意，恒成立.令，，則在上恒成立.故，而在上單調遞增，所以函數在上的最大值為.由，解得.故實數的最小值為．18、證明見解析【解析】

將化簡可得，由柯西不等式可得證明.【詳解】解：因為，，所以，又，所以，當且僅當時取等號.【點睛】本題主要考查柯西不等式的應用，相對不難，注意已知條件的化簡及柯西不等式的靈活運用.19、(1);(2).【解析】

(1)平面平面,建立坐標系，根據法向量互相垂直求得;(2)求兩個平面的法向量的夾角.【詳解】(1)如圖，以為原點，在平面內垂直于的直線為軸所在的直線分別為軸,軸，建立空間直角坐標系，則，設為平面的一個法向量,由得,取,則因為平面的一個法向量為由平面平面，得所以即.(2)設二面角的大小為，當平面的一個法向量為,綜上,二面角的余弦值為.【點睛】本題考查用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,難度一般.20、A=【解析】

運用矩陣定義列出方程組求解矩陣A【詳解】由特征值、特征向量定義可知，Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩陣【點睛】本題考查了由矩陣特征值和特征向量求矩陣，只需運用定義得出方程組即可求出結果，較為簡單21、（1）見解析（2）【解析】

（1）第（1）問，連交于,連接.證明//，即證平面.(2)第(2)問，主要是利用體積變換，,求得三棱錐的體積.【詳解】（1）方法一：連交于,連接.由梯形，且，知又為的中點，為的重心，∴在中，,故//.又平面,平面,∴平面.方法二：過作交PD于N,過F作FM||AD交CD于M,連接MN,G為△PAD的重心，又ABCD為梯形，AB||CD,又由