浙江省杭州市某校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)（實(shí)驗(yàn)班）試題（答案）

2027屆高一實(shí)驗(yàn)班第一學(xué)期數(shù)學(xué)月考3 時(shí)間：120分鐘滿分：150分 學(xué)號(hào)姓名____________一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，，若集合，則的值為（B）A. B.1 C. D.2解析：，，，，即，，當(dāng)時(shí),或，當(dāng)時(shí)，即得集合，不符合元素的互異性，故舍去，當(dāng)時(shí)，，即得集合，不符合元素的互異性，故舍去，綜上，,，，故選：B。2.已知，則（C）A.25 B.5 C. D.解析：因?yàn)椋?，即，所以，故選：C。3.已知向量，若與垂直，則實(shí)數(shù)（C）A.或7 B.或 C.或2 D.解析：，則，，與垂直，則，解得或，故選：C。4.函數(shù)的部分圖象形狀大致是（A）A. B.C. D.解析：根據(jù)題意可知，定義域?yàn)?，而，所以函?shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對(duì)稱，可排除CD；根據(jù)圖象可利用可排除B，故選：A。5.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則 （A）A. B. C. D.解析：，其中，，且，因?yàn)槠鋱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，從而，因?yàn)榍?，所以，從而，故選：A。6.將一直徑為的圓形木板，截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角滿足，則這塊四邊形木板周長(zhǎng)的最大值為（D）A. B. C. D.解析：如圖，不妨設(shè)，則，由正弦定理可得，，在中，由余弦定理可得，，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，在中，，由余弦定理可得，，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故這塊四邊形的周長(zhǎng)，所以這塊四邊形木板周長(zhǎng)的最大值為，故選：D。7.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（C） A. B. C. D.解析：當(dāng)時(shí)，，由是定義在上的奇函數(shù)知，，則，要使，則，即，故選C。8.已知函數(shù)，若在內(nèi)的兩個(gè)根為，，則（D

）A.B.C. D.解析：由，得，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，而函數(shù)的周期，區(qū)間長(zhǎng)度不超過(guò)，于是，即，則，而顯然，即有，又，因此，所以，故選：D。二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法中，正確的是（ABC）A.設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件B.“”是“二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”的充分不必要條件C.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則“”是“”的充要條件D.設(shè)平行四邊形的對(duì)角線分別為，，則“四邊形為矩形”是“”的既不充分也不必要條件解析：A.令，滿足，而，充分性不成立；若，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，所以必要性成立，故正確；B.當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故充分性成立當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，，則，故必要性不成立，故正確；C.在中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角，所以“”是“”的充要條件，故正確；D.若四邊形ABCD為矩形，則，所以充分性成立，故錯(cuò)誤。10.若實(shí)數(shù)，滿足，以下選項(xiàng)中正確的有（AD）A.mn的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.最小值為解析：對(duì)于A，由m，，得，又，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以mn最大值為，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，又m，，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由m，，，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，選項(xiàng)D正確。故選：AD。11.在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a2＝b（b+c），則下列結(jié)論正確的有（AC）A.A＝2B B.B的取值范圍為(0，πC.ab的取值范圍為(2，3) 解析：因?yàn)閍2＝b（b+c），又由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，即b（b+c）＝b2+c2﹣2bccosA，所以bc＝c2﹣2bccosA，所以b＝c﹣2bcosA，即c﹣b＝2bcosA，由正弦定理可得sinC﹣sinB＝2sinBcosA，又sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinB＝2sinBcosA，即sinAcosB﹣sinB＝sinBcosA，∴sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝sinB，∵A，B，C為銳角，∴A﹣B＝B，即A＝2B，故選項(xiàng)A正確；∵0＜2B＜π20＜π?3B＜π2，∵ab=sinA∵1tanB又π3＜A＜π2，∴32＜sinA＜1，令t＝sinA由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，f(t)=1t+2t又f(3∴1tanB?1tanA+2sinA=1sinA三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為_(kāi)_____。答案：1。解析：由題意知，（），設(shè)，則，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，所以在區(qū)間上的最大值與最小值的和為0，故，所以。13.在中，角所對(duì)的邊分別是，若，外接圓的半徑為，則的面積的最大值為_(kāi)____________。答案：。解析：由余弦定理得，，結(jié)合知，，則，由正弦定理有，，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”，故的面積的最大值為。14.在中，在的三邊上運(yùn)動(dòng)，是外接圓的直徑，若，，，則的取值范圍是_______________。答案：。解析：設(shè)外接圓圓心為，半徑為，由余弦定理有，所以，由正弦定理有，，即，，設(shè)到三邊，，的距離分別為，則，，，由知，，所以。四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.（本題滿分13分）已知函數(shù)。（1）求的值域；（2）若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：（1）令，當(dāng)時(shí)，，則可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以在上的值域?yàn)椤＃?）令，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立，可化為對(duì)恒成立，所以，即，又在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上的最大值為。故實(shí)數(shù)m的取值范圍為。16.（本題滿分15分）已知向量，滿足，且。（1）試用表示，并求出的最大值及此時(shí)與的夾角的值。（2）當(dāng)取得最大值時(shí)，求實(shí)數(shù)，使的值最小，并對(duì)這一結(jié)果做出幾何解釋。解：（1）由題意，向量，滿足，且，可得，整理得，即，可得，又由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，又由，所以。（2）由（2）知的最大值為，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，這一結(jié)果的幾何解釋：平行四邊形中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)角線最短為。17.（本題滿分15分）在△中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且。（1）求；（2）求的最小值。解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，又，所以，又，所以，而，所以。?）方法1：因?yàn)?，所以，因?yàn)椋缘淖畲笾禐?，故的最小值為。方法2：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為。18.（本題滿分17分）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知。（1）求的值；（2）若的面積為，求；（3）若，當(dāng)角A最大時(shí)，求的面積。解：（1），由正弦定理可得：，，，兩邊同時(shí)除以可得：。（2）方法1：，則，結(jié)合正弦定理得，，即，則，所以，即，解得，，所以。方法2：同方法1可得，由（1）中方法2得，所以，即，又，所以，解得，，所以。（3）方法1：，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)A取到最大值，，當(dāng)A最大時(shí)，。方法2：由（=1\*ROMANI）知，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“=”，此時(shí)，則，。19.（本題滿分17分）對(duì)于四個(gè)正數(shù)，，，，如果，那么稱是的“下位序列”。（1）對(duì)于2，3，7，11，試求的“下位序列”；（2）設(shè)，，，均為正數(shù)，且是的“下位序列”，試判斷：，，之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)正整數(shù)滿足條件：對(duì)集合內(nèi)的每個(gè)，總存在正整數(shù)，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整數(shù)的最小值。解：（1）設(shè)的“下位序列”為，則，又，所以，故