第09講數(shù)列的綜合應用、新定義、不等式（四種題型）-沖刺2025年高考數(shù)學熱點、重難點題型解題方法與策略+真題演練（新高考專用）（原卷版）

第09講數(shù)列的綜合應用、新定義、不等式（四種題型）題型一：分期付款一、單選題1．（2023春·云南昆明·高三?？茧A段練習）我們知道，償還銀行貸款時，“等額本金還款法”是一種很常見的還款方式，其本質是將本金平均分配到每一期進行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創(chuàng)業(yè)的大學生張華向銀行貸款的本金為48萬元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設張華第個月的還款金額為元，則（

）A．2192 B． C． D．2．（2022·四川達州·統(tǒng)考一模）某顧客在2020年1月1日采用分期付款的方式購買一輛價值2萬元的家電，在購買一個月后2月1日第一次還款，且以后每個月1日等額還款一次，如果一年內還清全部貸款（12月1日最后一次還款），月利率為0.5％.按復利計算，則該顧客每個月應還款多少元？（精確到1元，參考值，）（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習）某單位用分期付款方式為職工購買40套住房，總房價1150萬元.約定：2021年7月1日先付款150萬元，以后每月1日都交付50萬元，并加付此前欠款利息，月利率，當付清全部房款時，各次付款的總和為（

）A．1205萬元 B．1255萬元 C．1305萬元 D．1360萬元二、多選題4．（2022·全國·高三專題練習）參加工作年的小郭，因工作需要向銀行貸款萬元購買一臺小汽車，與銀行約定：這萬元銀行貸款分年還清，貸款的年利率為，每年還款數(shù)為萬元，則（

）A． B．小郭第年還款的現(xiàn)值為萬元C．小郭選擇的還款方式為“等額本金還款法” D．小郭選擇的還款方式為“等額本息還款法”5．（2022·全國·高三專題練習）市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.方式①：等額本金，每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；方式②：等額本息，每個月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當天開始首次還款（若2021年7月7日貸款到賬，則2021年8月7日首次還款）.已知小張該筆貸款年限為20年，月利率為0.004，則下列說法正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：，計算結果取整數(shù)）A．選擇方式①，若第一個還款月應還4900元，最后一個還款月應還2510元，則小張該筆貸款的總利息為289200元B．選擇方式②，小張每月還款額為3800元C．選擇方式②，小張總利息為333840元D．從經(jīng)濟利益的角度來考慮，小張應選擇方式①三、填空題6．（2022秋·遼寧·高三遼寧實驗中學?？茧A段練習）沈陽京東MALL于2022年國慶節(jié)盛大開業(yè)，商場為了滿足廣大數(shù)碼狂熱愛好者的需求，開展商品分期付款活動.現(xiàn)計劃某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的形式等額分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率為r，則愛好者每期需要付款______．7．（2022·全國·高三專題練習）趙先生準備通過某銀行貸款5000元，然后通過分期付款的方式還款．銀行與趙先生約定：每個月還款一次，分12次還清所有欠款，且每個月還款的錢數(shù)都相等，貸款的月利率為，則趙先生每個月所要還款的錢數(shù)為______元．（精確到元，參考數(shù)據(jù)）四、解答題8．（2022·浙江·高三專題練習）已知某新型水稻產量的年增長率為．某糧食種植基地計劃種植該品種水稻．已知該基地2020年儲有該品種水稻的產量為15萬噸．現(xiàn)計劃從下一年（2021年）起，每年年初種植，年底從中分出固定的產量用于銷售，15年后清空種植并更換種植品種．設年后該品種水稻的剩余產量為萬噸．(1)設每年用于銷售的產量為萬噸，請用和表示；(2)求（用表示）．9．（2022·全國·高三專題練習）市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式：①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每月的還款額均相同．銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當天開始首次還款（如2020年7月7日貸款到賬，則2020年8月7日首次還款）．已知該筆貸款年限為20年，月利率為0.4%．（1）若小張采取等額本金的還款方式，已知第一個還款月應還4900元，最后一個還款月應還2510元，試計算該筆貸款的總利息．（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半．已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張申請該筆貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）．參考數(shù)據(jù)：．（3）對比兩種還款方式，從經(jīng)濟利益的角度考慮，小張應選擇哪種還款方式．題型二：產值增長一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）科技創(chuàng)新離不開科研經(jīng)費的支撐，在一定程度上，研發(fā)投入被視為衡量“創(chuàng)新力”的重要指標.“十三五”時期我國科技實力和創(chuàng)新能力大幅提升，2020年我國全社會研發(fā)經(jīng)費投入達到了24426億元，總量穩(wěn)居世界第二，其中基礎研究經(jīng)費投入占研發(fā)經(jīng)費投入的比重是6.16%.“十四五”規(guī)劃《綱要草案》提出，全社會研發(fā)經(jīng)費投入年均增長要大于7%，到2025年基礎研究經(jīng)費占比要達到8%以上，請估計2025年我國基礎研究經(jīng)費為（

）A．1500億元左右 B．1800億元左右 C．2200億元左右 D．2800億元左右2．（2022·全國·高三專題練習）《九章算術》第三章“衰分”介紹比例分配問題，“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例為“衰分比”.如：已知，，三人分配獎金的衰分比為，若分得獎金1000元，則，所分得獎金分別為800元和640元.某科研所四位技術人員甲、乙、丙、丁攻關成功，共獲得單位獎勵68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配獎金，且甲與丙共獲得獎金36200元，則“衰分比”與丁所獲得的獎金分別為A．，14580元 B．，14580元C．，10800元 D．，10800元3．（2023·全國·高三專題練習）在“全面脫貧”行動中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開發(fā)的農產品、土特產品加工廠的原材料進貨，因產品質優(yōu)價廉，上市后供不應求，據(jù)測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底街繳房租800元和水電費400元，余款作為資金全部用于再進貨，如此繼續(xù)，預計2020年小王的農產品加工廠的年利潤為（

）（取，）A．25000元 B．26000元 C．32000元 D．36000元4．（2021秋·江蘇淮安·高三江蘇省盱眙中學?？计谥校?020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽脫貧攻堅取得重大勝利！為進步鞏固脫貧攻堅成果，接續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金500萬元，資金年平均增長率可達到20%．每年年底扣除下一年必須的消費資金后，剩余資金全部投入再生產為了實現(xiàn)5年后投入再生產的資金達到800萬元的目標，每年應扣除的消費資金至多為（

）（單位：萬元，結果精確到萬元）（參考數(shù)據(jù)：，）A．83 B．60 C．50 D．445．（2022·全國·高三專題練習）為了更好地解決就業(yè)問題，國家在2020年提出了“地攤經(jīng)濟”為響應國家號召，有不少地區(qū)出臺了相關政策去鼓勵“地攤經(jīng)濟”．老王2020年6月1日向銀行借了免息貸款10000元，用于進貨.因質優(yōu)價廉，供不應求，據(jù)測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費1000元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續(xù)，預計到2021年5月底該攤主的年所得收入為（

）（取，）A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元二、多選題6．（2022·全國·高三專題練習）在“全面脫貧”行動中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開設的農產品土特產品加工廠的原材料進貨，因產品質優(yōu)價廉，上市后供不應求，據(jù)測算每月獲得的利潤是該月月初投人資金的，每月月底需繳納房租600元和水電費400元，余款作為資金全部用于再進貨，如此繼續(xù).設第月月底小王手中有現(xiàn)款為，則下列論述正確的有（

）(參考數(shù)據(jù)：)A．B．C．2020年小王的年利潤為40000元D．兩年后，小王手中現(xiàn)款達41萬三、解答題7．（2022·上海金山·統(tǒng)考一模）近兩年，直播帶貨逐漸成為一種新興的營銷模式，帶來電商行業(yè)的新增長點.某直播平臺第1年初的啟動資金為500萬元，由于一些知名主播加入，平臺資金的年平均增長率可達，每年年底把除運營成本萬元，再將剩余資金繼續(xù)投入直播平合.(1)若，在第3年年底扣除運營成本后，直播平臺的資金有多少萬元？(2)每年的運營成本最多控制在多少萬元，才能使得直播平臺在第6年年底?除運營成本后資金達到3000萬元？（結果精確到萬元）8．（2022秋·山東濟寧·高三?？茧A段練習）某臺商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費12萬美元，以后每年比上一年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元，設表示前n年的純利潤（前n年的總收入-前n年的總支出-投資額）．(1)從第幾年開始獲得純利潤？(2)若五年后，該臺商為開發(fā)新項目，決定出售該廠，現(xiàn)有兩種方案：①年平均利潤最大時，以48萬美元出售該廠；②純利潤總和最大時，以16萬美元出售該廠．問哪種方案較合算？9．（2022·全國·高三專題練習）保障性租賃住房，是政府為緩解新市民、青年人住房困難，作出的重要決策部署．2021年7月，國務院辦公廳發(fā)布《關于加快發(fā)展保障性租賃住房的意見》后，國內多個城市陸續(xù)發(fā)布了保障性租賃住房相關政策或征求意見稿．為了響應國家號召，某地區(qū)計劃2021年新建住房40萬平方米，其中有25萬平方米是保障性租賃住房．預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長，另外，每年新建住房中，保障性租賃住房的面積均比上一年增加5萬平方米．(1)到哪一年底，該市歷年所建保障性租賃住房的累計面積(以2021年為累計的第一年)將首次不少于475萬平方米?(2)到哪一年底，當年建造的保障性租賃住房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于?10．（2023·全國·高三專題練習）某企業(yè)2015年的純利潤為500萬元,因為企業(yè)的設備老化等原因,企業(yè)的生產能力將逐年下降.若不進行技術改造,預測從2015年開始,此后每年比上一年純利潤減少20萬元.如果進行技術改造,2016年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元,在未扣除技術改造資金的情況下,預計2016年的利潤為750萬元,此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元.(1)設從2016年起的第n年(以2016年為第一年),該企業(yè)不進行技術改造的年純利潤為萬元;進行技術改造后,在未扣除技術改造資金的情況下的年利潤為萬元,求和;(2)設從2016年起的第n年(以2016年為第一年),該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為萬元,進行技術改造后的累計純利潤為萬元,求和;(3)依上述預測,從2016年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年,進行技術改造的累計純利潤將超過不進行技術改造的累計純利潤?11．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）某化工廠從今年一月起，若不改善生產環(huán)境，按生產現(xiàn)狀，每月收入為70萬元，同時將受到環(huán)保部門的處罰，第一個月罰3萬元，以后每月增加2萬元．如果從今年一月起投資500萬元添加回收凈化設備（改造設備時間不計），一方面可以改善環(huán)境，另一方面也可以大大降低原料成本．據(jù)測算，添加回收凈化設備并投產后的前5個月中的累計生產凈收入是生產時間個月的二次函數(shù)（是常數(shù)），且前3個月的累計生產凈收入可達309萬，從第6個月開始，每個月的生產凈收入都與第5個月相同．同時，該廠不但不受處罰，而且還將得到環(huán)保部門的一次性獎勵100萬元．（1）求前8個月的累計生產凈收入的值；（2）問經(jīng)過多少個月，投資開始見效，即投資改造后的純收入多于不改造時的純收入．題型三：數(shù)列新定義一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，即，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.記，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習）在數(shù)學和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學家歐拉命名的常數(shù)?公式和定理，如：歐拉函數(shù)（）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)，（互素是指兩個整數(shù)的公約數(shù)只有1），例如：；（與3互素有1?2）；（與9互素有1?2?4?5?7?8）.記為數(shù)列的前n項和，則=（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習）0-1周期序列在通信技術中有著重要應用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個序列的周期.對于周期為的0-1序列，是描述其性質的重要指標，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高三專題練習）對于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對一切正整數(shù)，恒有，則稱數(shù)列有界；若這樣的正數(shù)不存在，則稱數(shù)列無界，已知數(shù)列滿足：，，記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，則下列結論正確的是（

）A．當時，數(shù)列有界 B．當時，數(shù)列有界C．當時，數(shù)列有界 D．當時，數(shù)列有界5．（2022·浙江·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，記表示數(shù)列的前n項乘積.則（

）A． B． C． D．二、多選題6．（2023·全國·高三專題練習）設正整數(shù)，其中，記．則（

）A． B．C． D．7．（2022·全國·高三專題練習）在數(shù)學課堂上，教師引導學生構造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構造出新的數(shù)列.將數(shù)列1,2進行構造，第1次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；…；第次得到數(shù)列1，，2；…記，數(shù)列的前項為，則（

）A． B． C． D．8．（2022·福建南平·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點，其中且.記，如記為，記為，記為，以此類推；設數(shù)列的前項和為.則（

）A． B． C． D．三、雙空題9．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預測）數(shù)學家祖沖之曾給出圓周率的兩個近似值：“約率”與“密率”．它們可用“調日法”得到：稱小于3.1415926的近似值為弱率，大于3.1415927的近似值為強率．由，取3為弱率，4為強率，得，故為強率，與上一次的弱率3計算得，故為強率，繼續(xù)計算，……．若某次得到的近似值為強率，與上一次的弱率繼續(xù)計算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強率繼續(xù)計算得到新的近似值，依此類推，已知，則________；________．四、解答題10．（2021秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學?？茧A段練習）設p為實數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個性質，則稱為數(shù)列：①，且；②；③，．（1）如果數(shù)列的前4項為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設數(shù)列的前項和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．11．（2022·全國·高三專題練習）已知是無窮數(shù)列．給出兩個性質：①對于中任意兩項，在中都存在一項，使；②對于中任意項，在中都存在兩項．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質①，說明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時滿足性質①和性質②，說明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時滿足性質①和性質②，證明：為等比數(shù)列.12．（2022·全國·高三專題練習）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．13．（2023·全國·高三專題練習）設為正整數(shù)，若無窮數(shù)列滿足，則稱為數(shù)列.(1)數(shù)列是否為數(shù)列？說明理由；(2)已知其中為常數(shù).若數(shù)列為數(shù)列，求；(3)已知數(shù)列滿足，，，求.14．（2023·北京海淀·高三101中學?？茧A段練習）如果無窮數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足：①、，，使得；②，、，使得，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.(1)下列無窮等差數(shù)列中，是“數(shù)列”的為___________；（直接寫出結論）、、、、、、、、、、、、(2)證明：若數(shù)列是“數(shù)列”，則且公差；(3)若數(shù)列是“數(shù)列”且其公差為常數(shù)，求的所有通項公式.15．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列：，，…，，其中是給定的正整數(shù)，且.令，，，，，.這里，表示括號中各數(shù)的最大值，表示括號中各數(shù)的最小值.(1)若數(shù)列：2，0，2，1，-4，2，求，的值；(2)若數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，且，求的值；(3)若數(shù)列是公差的等差數(shù)列，數(shù)列是數(shù)列中所有項的一個排列，求的所有可能值（用表示）.16．（2022·北京·校考三模）對于數(shù)列，，…，，定義變換，將數(shù)列變換成數(shù)列，，…，，，記，，．對于數(shù)列，，…，與，，…，，定義．若數(shù)列，，…，滿足，則稱數(shù)列為數(shù)列．(1)若，寫出，并求；(2)對于任意給定的正整數(shù)，是否存在數(shù)列，使得若存在，寫出一個數(shù)列，若不存在，說明理由：(3)若數(shù)列滿足，求數(shù)列A的個數(shù)．題型四：數(shù)列不等式一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2022·河北·模擬預測）十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學的基礎，著名的“康托三分集”是數(shù)學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作：再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過程不斷地進行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的區(qū)間長度記為，則（

）A． B．C． D．3．（2023春·廣東揭陽·高三?？奸_學考試）在數(shù)列中，對于任意的都有，且，則下列結論正確的是（

）A．對于任意的，都有B．對于任意的，數(shù)列不可能為常數(shù)列C．若，則數(shù)列為遞增數(shù)列D．若，則當時，4．（2022秋·福建泉州·高三校聯(lián)考期中）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和記為，則下列說法正確的是（

）A．任意 B．任意C．任意 D．任意5．（2022·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）已知正項數(shù)列，對任意的正整數(shù)m、n都有，則下列結論可能成立的是（

）A． B．C． D．三、雙空題6．（2022秋·北京昌平·高三昌平一中校考階段練習）已知數(shù)列對任意的，都有，且．①當時，_________．②若存在，當且為奇數(shù)時，恒為常數(shù)P，則P＝_________．四、解答題7．（2022·