新高考數(shù)學二輪復習強化練習技巧03 填空題解法與技巧（講）（原卷版）

第二篇解題技巧篇技巧03填空題解法與技巧（講）考向速覽熱點追蹤眾所周知，高考的核心功能是“立德樹人，服務(wù)選才，引導教學”，特別是在發(fā)揮“立德樹人”功能方面，更加注重“五育”并舉，它不但在選擇題中有所體現(xiàn)，而且，在填空題中也屢屢出現(xiàn)相關(guān)背景的題目，值得我們關(guān)注.1.弘揚傳統(tǒng)文化，滲透愛國教育【典例1】（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是SKIPIF1<0，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊SKIPIF1<0，則該三角形的面積SKIPIF1<0___________．【典例2】（2021·浙江·高考真題）我國古代數(shù)學家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長分別是3，4，記大正方形的面積為SKIPIF1<0，小正方形的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.【典例3】（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）我國古代數(shù)學家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列SKIPIF1<0就是二階等差數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0SKIPIF1<0的前3項和是________．【綜合分析】以我國古代數(shù)學家的研究成果為背景，設(shè)計相關(guān)計算問題，考查學生的發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力、數(shù)學運算能力，以及數(shù)學文化素養(yǎng)，同時，引導師生關(guān)注我國傳統(tǒng)數(shù)學文化，將愛國主義教育融入其中，展示了數(shù)學之美，謳歌了中國古代勞動人民的勤勞與智慧，以及為人類文明作出的突出貢獻．2.弘揚民間藝術(shù)，滲透勞美教育【典例4】（2021·全國·高考真題）某校學生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為SKIPIF1<0的長方形紙，對折1次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和SKIPIF1<0，對折2次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和SKIPIF1<0，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折SKIPIF1<0次，那么SKIPIF1<0______SKIPIF1<0.【典例5】（2020·海南·高考真題）某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，EF=12cm，DE=2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2．【綜合分析】1.以學生研究民間剪紙藝術(shù)的折紙為背景設(shè)計試題，考查了數(shù)列的概念與數(shù)列的求和計算，突出了“德育為先，立德樹人”的思想理念.考查學生的邏輯思維能力、數(shù)學建模及數(shù)學運算能力.又對學生進行了“美育”及勞動教育.2.以勞動教育為背景的考題，再現(xiàn)了學生到工廠勞動實踐的場景，引導學生關(guān)注勞動、尊重勞動、參加勞動，體現(xiàn)了勞動教育的要求．在考查幾何知識、三角知識的同時，培養(yǎng)學生的數(shù)學應(yīng)用意識，較好地發(fā)揮高考試題在培養(yǎng)勞動觀念中的引導作用.以勞動教育為背景的考題，多以社會實踐、動手操作實驗等為題材．3.關(guān)注賽事規(guī)則，滲透體育教育【典例6】（2019·全國·高考真題（理））甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是____________．【綜合分析】本題以學生喜歡的體育項目為背景設(shè)計試題，情境貼近實際，倡導學生關(guān)注體育賽事，積極參加體育鍛煉，體現(xiàn)了數(shù)學抽象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，凸顯了“體育”教育功能．4.立足社區(qū)生活，增強實踐意識【典例7】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為____________．【典例8】（2020·北京·高考真題）為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0的大小評價在SKIPIF1<0這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如下圖所示.給出下列四個結(jié)論：①在SKIPIF1<0這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；②在SKIPIF1<0時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；③在SKIPIF1<0時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；④甲企業(yè)在SKIPIF1<0這三段時間中，在SKIPIF1<0的污水治理能力最強．其中所有正確結(jié)論的序號是____________________．【點評】以社區(qū)服務(wù)為背景，引導學生關(guān)注社會實踐.以污水治理為背景，結(jié)合函數(shù)圖象理解平均變化率、瞬時變化率即導數(shù)的幾何意義，要求學生具備敏銳的觀察力、分析問題的能力，啟迪學生理解數(shù)學語言，用數(shù)學眼光認識世界，用數(shù)學的思維思考世界，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，有助于引導學生關(guān)注現(xiàn)實、增強環(huán)保意識．方法技巧典例分析01直接法【核心提示】直接從題設(shè)條件出發(fā)，運用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識，通過嚴密地推理和準確地運算，從而得出正確的結(jié)論，然后對照題目所給出的選項“對號入座”，作出相應(yīng)的選擇.涉及概念、性質(zhì)的辨析或運算較簡單的題目常用直接法.．【典例分析】典例1.（2022·浙江金華·高三浙江金華第一中學校考競賽）在平面直角坐標系中，已知直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0在第二象限交于點SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0.設(shè)點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為__________.典例2.（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為____________；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為____________02特例法【核心提示】當填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當特殊值(特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等)進行處理，從而得出探求的結(jié)論.為保證答案的正確性，在利用此方法時，一般應(yīng)多取幾個特例.特殊化法是“小題小做”的重要策略.但要注意以下兩點：第一，取特例盡可能簡單，有利于計算和推理；第二，若在取定的特殊情況下有兩個或兩個以上的結(jié)論相符，則應(yīng)選另一特例情況再檢驗，或改用其他方法求解．【典例分析】典例3.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)SKIPIF1<0_______．①SKIPIF1<0；②當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0是奇函數(shù)．典例4.（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓SKIPIF1<0，焦點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若過SKIPIF1<0的直線和圓SKIPIF1<0相切，與橢圓在第一象限交于點P，且SKIPIF1<0軸，則該直線的斜率是___________，橢圓的離心率是___________.03正反互推法【核心提示】多選型問題給出多個命題或結(jié)論，要求從中選出所有滿足條件的命題或結(jié)論．這類問題要求較高，涉及圖形、符號和文字語言，要準確閱讀題目，讀懂題意，通過推理證明，命題或結(jié)論之間互反互推，相互印證，也可舉反例判斷錯誤的命題或結(jié)論．【典例分析】典例5.（2022·上海閔行·上海市七寶中學?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，給出下列命題：①若對任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0一定不是奇函數(shù)；②若對任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為奇函數(shù)或偶函數(shù)；③若對任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0必為偶函數(shù)；④若對任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上增函數(shù)，則SKIPIF1<0必為奇函數(shù)；其中為真命題的序號為__（請寫出所有真命題的序號）．典例6.（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列SKIPIF1<0各項均為正數(shù)，其前n項和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．給出下列四個結(jié)論：①SKIPIF1<0的第2項小于3；

②SKIPIF1<0為等比數(shù)列；③SKIPIF1<0為遞減數(shù)列；

④SKIPIF1<0中存在小于SKIPIF1<0的項．其中所有正確結(jié)論的序號是__________．04數(shù)形結(jié)合法【核心提示】一些含有幾何背景的填空題，若能“數(shù)中思形”“以形助數(shù)”，則往往可以借助圖形的直觀性，迅速作出判斷，簡捷地解決問題，得出正確的結(jié)果，Venn圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖象及方程的曲線等，都是常用的圖形.【典例分析】典例7.（2023春·浙江·高三校聯(lián)考開學考試）三棱錐SKIPIF1<0內(nèi)接于半徑為SKIPIF1<0的球O，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為________．典例8.（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0，給出下列四個結(jié)論：①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恰有2個零點；②存在負數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有1個零點；③存在負數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有3個零點；④存在正數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有3個零點．其中所有正確結(jié)論的序號是_______．典例9.（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)SKIPIF1<0，對任意實數(shù)x，記SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0至少有3個零點，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為______.05構(gòu)造法【核心提示】構(gòu)造法解填空題的關(guān)鍵是由條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出數(shù)學模型，從而簡化推導與運算過程，構(gòu)造法是建立在觀察聯(lián)想、分析綜合的基礎(chǔ)之上的，首先應(yīng)觀察題目，觀察已知(例如代數(shù)式)形式上的特點，然后積極調(diào)動思維，聯(lián)想、類比已學過的知識及各種數(shù)學結(jié)構(gòu)、數(shù)學模型，深刻地了解問題及問題的背景(幾何背景、代數(shù)背景)，從而構(gòu)造幾何、函數(shù)、不等式、數(shù)列、向量等具體的數(shù)學