2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題（解析版）

2024年高考真題PAGEPAGE1絕密★啟用前2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國甲卷理科數(shù)學(xué)使用范圍：陜西、寧夏、青海、內(nèi)蒙古、四川注意事項：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號．3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將〖答案〗書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，則（）A. B. C.10 D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗結(jié)合共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的基本運算直接求解.【詳析】由，則.故選：A2.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由集合的定義求出，結(jié)合交集與補集運算即可求解.【詳析】因為，所以，則，故選：D3.若滿足約束條件，則的最小值為（）A.12 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗畫出可行域后，利用的幾何意義計算即可得.【詳析】實數(shù)滿足，作出可行域如圖：由可得，即的幾何意義為的截距的，則該直線截距取最大值時，有最小值，此時直線過點，聯(lián)立，解得，即，則.故選：D.4.記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由結(jié)合等差中項的性質(zhì)可得，即可計算出公差，即可得的值.【詳析】由，則，則等差數(shù)列的公差，故.故選：B.5.已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A.4 B.3 C.2 D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由焦點坐標(biāo)可得焦距，結(jié)合雙曲線定義計算可得，即可得離心率.【詳析】由題意，設(shè)、、，則，，，則，則.故選：C.6.設(shè)函數(shù)，則曲線y=fx在點0,1處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算可得其在點0,1處的切線方程，即可得其與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，即可得其面積.【詳析】，則，即該切線方程為，即，令，則，令，則，故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形面積.故選：A.7.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.【詳析】，又函數(shù)定義域為，故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，又，故可排除D.故選：B.8.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.【詳析】因為，所以，，所以，故選：B.9.設(shè)向量，則（）A.“”是“”的必要條件 B.“”是“”的必要條件C.“”是“”充分條件 D.“”是“”的充分條件〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【詳析】對A，當(dāng)時，則，所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；對C，當(dāng)時，，故，所以，即充分性成立，故C正確；對B，當(dāng)時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；對D，當(dāng)時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.故選：C.10.設(shè)為兩個平面，為兩條直線，且.下述四個命題：①若，則或②若，則或③若且，則④若與,所成的角相等，則其中所有真命題的編號是（）A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.【詳析】對①，當(dāng)，因為，，則，當(dāng)，因為，，則，當(dāng)既不在也不在內(nèi)，因為，，則且，故①正確；對②，若，則與不一定垂直，故②錯誤；對③，過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，因為，過直線的平面與平面的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，同理可得，則，因為平面，平面，則平面，因為平面，，則，又因為，則，故③正確；對④，若與和所成的角相等，如果，則，故④錯誤；綜上只有①③正確，故選：A.11.在中,內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到值，最后代入計算即可.【詳析】因為，則由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因為為三角形內(nèi)角，則，則.故選：C.12.已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則AB的最小值為（）A.1 B.2 C.4 D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過的定點，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.【詳析】因為成等差數(shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，設(shè)圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時，AB最小，，此時.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中，各項系數(shù)中的最大值為______．〖答案〗5〖解析〗〖祥解〗先設(shè)展開式中第項系數(shù)最大，則根據(jù)通項公式有，進(jìn)而求出即可求解.【詳析】由題展開式通項公式為，且，設(shè)展開式中第項系數(shù)最大，則，，即，又，故，所以展開式中系數(shù)最大的項是第9項，且該項系數(shù)為.故〖答案〗為：5.14.已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗先根據(jù)已知條件和圓臺結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺的高，再根據(jù)圓臺的體積公式直接代入計算即可得解.【詳析】由題可得兩個圓臺的高分別為，，所以.故〖答案〗為：.15.已知且，則______．〖答案〗64〖解析〗〖祥解〗將利用換底公式轉(zhuǎn)化成來表示即可求解.【詳析】由題，整理得，或，又，所以，故故〖答案〗為：64.16.有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，就的不同取值分類討論后可求隨機事件的概率.【詳析】從6個不同球中不放回地抽取3次，共有種，設(shè)前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，故，故，故，若，則，則為：，故有2種，若，則，則為：，，故有10種，當(dāng)，則，則為：，，故有16種，當(dāng)，則，同理有16種，當(dāng)，則，同理有10種，當(dāng)，則，同理有2種，共與的差的絕對值不超過12時不同的抽取方法總數(shù)為，故所求概率為.故〖答案〗為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題~第21題為必考題，每個考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進(jìn)行檢驗，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150（1）填寫如下列聯(lián)表：

優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間

乙車間

能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？（2）已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，設(shè)為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828〖答案〗（1）〖答案〗見詳析（2）〖答案〗見詳析〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算，并與臨界值對比分析；（2）用頻率估計概率可得，根據(jù)題意計算，結(jié)合題意分析判斷.【小問1詳析】根據(jù)題意可得列聯(lián)表：

優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間2624乙車間7030可得，因為，所以有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異，沒有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異.【小問2詳析】由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品的頻率為，用頻率估計概率可得，又因為升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，則，可知，所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.18.記為數(shù)列的前項和，已知．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列bn的前項和．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用退位法可求的通項公式．（2）利用錯位相減法可求.【小問1詳析】當(dāng)時，，解得．當(dāng)時，，所以即，而，故，故，∴數(shù)列是以4為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.【小問2詳析】,所以故所以，.19.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．〖答案〗（1）證明見詳析；（2）〖解析〗〖祥解〗（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；（2）作交于，連接，易證三垂直，采用建系法結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.【小問1詳析】因為為的中點，所以，四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面；【小問2詳析】如圖所示，作交于，連接，因為四邊形為等腰梯形，，所以，結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，所以為等邊三角形，為中點，所以，又因為四邊形為等腰梯形，為中點，所以，四邊形為平行四邊形，，所以為等腰三角形，與底邊上中點重合，，，因為，所以，所以互相垂直，以方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x1平面的法向量為n=x則，即，令，得，即m=3,3,1，則，即，令，得，即，，則，故二面角的正弦值為.20.已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸．（1）求的方程；（2）過點的直線交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：軸．〖答案〗（1）（2）證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）設(shè)Fc,0，根據(jù)的坐標(biāo)及軸可求基本量，故可求橢圓方程.（2）設(shè)，Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用【小問1詳析】設(shè)Fc,0，由題設(shè)有且，故，故，故，故橢圓方程為.【小問2詳析】直線的斜率必定存在，設(shè)，Ax1,y1由可得，故，故，又，而，故直線，故，所以，故，即軸.【『點石成金』】方法『點石成金』：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的極值；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍．〖答案〗（1）極小值為，無極大值.（2）〖解析〗〖祥解〗（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點可求函數(shù)的極值.（2）求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，就、、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【小問1詳析】當(dāng)時，，故，因為在上為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，而，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在處取極小值且極小值為，無極大值.【小問2詳析】，設(shè)，則，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，故，即，所以在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，故在上，即在上f'x<0即故在上，不合題意，舍.當(dāng)，此時在0,+∞上恒成立，同理可得在0,+∞上恒成立，不合題意，舍；綜上，.【『點石成金』】思路『點石成金』：導(dǎo)數(shù)背景下不等式恒成立問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，有時還需要對導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)研究其符號特征，處理此類問題時注意利用范圍端點的性質(zhì)來確定如何分類.（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l：（為參數(shù)），若與l相交于兩點，若，求.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)可得的直角方程.（2）將直線的新的參數(shù)方程代入的直角方程，法1：結(jié)合參數(shù)的幾何意義可得關(guān)于的方程，從而可求參數(shù)的值；法2：將直線的直角方程與曲線的直角方程聯(lián)立，結(jié)合弦長公式可求的值.【小問1詳析】由，將代入，故可得，兩邊平方后可得曲線的直角坐標(biāo)方程為.【小問2詳析】對于直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，得直線的普通方程為.法1：直線的斜率為，故傾斜角為，故直線的參數(shù)方程可設(shè)為，.將其代入中得設(shè)兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，且，故，，解得.法2：聯(lián)立，得，，解得，設(shè)Ax1,則，解得[選修4-5：不等式選講]23.已知實數(shù)滿足．（1）證明：；（2）證明：．〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）直接利用即可證明.（2）根據(jù)絕對值不等式并結(jié)合（1）中結(jié)論即可證明.【小問1詳析】因為，當(dāng)時等號成立，則，因為，所以;【小問2詳析】絕密★啟用前2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國甲卷理科數(shù)學(xué)使用范圍：陜西、寧夏、青海、內(nèi)蒙古、四川注意事項：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號．3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將〖答案〗書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，則（）A. B. C.10 D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗結(jié)合共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的基本運算直接求解.【詳析】由，則.故選：A2.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由集合的定義求出，結(jié)合交集與補集運算即可求解.【詳析】因為，所以，則，故選：D3.若滿足約束條件，則的最小值為（）A.12 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗畫出可行域后，利用的幾何意義計算即可得.【詳析】實數(shù)滿足，作出可行域如圖：由可得，即的幾何意義為的截距的，則該直線截距取最大值時，有最小值，此時直線過點，聯(lián)立，解得，即，則.故選：D.4.記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由結(jié)合等差中項的性質(zhì)可得，即可計算出公差，即可得的值.【詳析】由，則，則等差數(shù)列的公差，故.故選：B.5.已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A.4 B.3 C.2 D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由焦點坐標(biāo)可得焦距，結(jié)合雙曲線定義計算可得，即可得離心率.【詳析】由題意，設(shè)、、，則，，，則，則.故選：C.6.設(shè)函數(shù)，則曲線y=fx在點0,1處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算可得其在點0,1處的切線方程，即可得其與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，即可得其面積.【詳析】，則，即該切線方程為，即，令，則，令，則，故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形面積.故選：A.7.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.【詳析】，又函數(shù)定義域為，故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，又，故可排除D.故選：B.8.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.【詳析】因為，所以，，所以，故選：B.9.設(shè)向量，則（）A.“”是“”的必要條件 B.“”是“”的必要條件C.“”是“”充分條件 D.“”是“”的充分條件〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【詳析】對A，當(dāng)時，則，所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；對C，當(dāng)時，，故，所以，即充分性成立，故C正確；對B，當(dāng)時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；對D，當(dāng)時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.故選：C.10.設(shè)為兩個平面，為兩條直線，且.下述四個命題：①若，則或②若，則或③若且，則④若與,所成的角相等，則其中所有真命題的編號是（）A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.【詳析】對①，當(dāng)，因為，，則，當(dāng)，因為，，則，當(dāng)既不在也不在內(nèi)，因為，，則且，故①正確；對②，若，則與不一定垂直，故②錯誤；對③，過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，因為，過直線的平面與平面的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，同理可得，則，因為平面，平面，則平面，因為平面，，則，又因為，則，故③正確；對④，若與和所成的角相等，如果，則，故④錯誤；綜上只有①③正確，故選：A.11.在中,內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到值，最后代入計算即可.【詳析】因為，則由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因為為三角形內(nèi)角，則，則.故選：C.12.已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則AB的最小值為（）A.1 B.2 C.4 D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過的定點，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.【詳析】因為成等差數(shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，設(shè)圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時，AB最小，，此時.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中，各項系數(shù)中的最大值為______．〖答案〗5〖解析〗〖祥解〗先設(shè)展開式中第項系數(shù)最大，則根據(jù)通項公式有，進(jìn)而求出即可求解.【詳析】由題展開式通項公式為，且，設(shè)展開式中第項系數(shù)最大，則，，即，又，故，所以展開式中系數(shù)最大的項是第9項，且該項系數(shù)為.故〖答案〗為：5.14.已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗先根據(jù)已知條件和圓臺結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺的高，再根據(jù)圓臺的體積公式直接代入計算即可得解.【詳析】由題可得兩個圓臺的高分別為，，所以.故〖答案〗為：.15.已知且，則______．〖答案〗64〖解析〗〖祥解〗將利用換底公式轉(zhuǎn)化成來表示即可求解.【詳析】由題，整理得，或，又，所以，故故〖答案〗為：64.16.有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，就的不同取值分類討論后可求隨機事件的概率.【詳析】從6個不同球中不放回地抽取3次，共有種，設(shè)前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，故，故，故，若，則，則為：，故有2種，若，則，則為：，，故有10種，當(dāng)，則，則為：，，故有16種，當(dāng)，則，同理有16種，當(dāng)，則，同理有10種，當(dāng)，則，同理有2種，共與的差的絕對值不超過12時不同的抽取方法總數(shù)為，故所求概率為.故〖答案〗為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題~第21題為必考題，每個考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進(jìn)行檢驗，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150（1）填寫如下列聯(lián)表：

優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間

乙車間

能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？（2）已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，設(shè)為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828〖答案〗（1）〖答案〗見詳析（2）〖答案〗見詳析〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算，并與臨界值對比分析；（2）用頻率估計概率可得，根據(jù)題意計算，結(jié)合題意分析判斷.【小問1詳析】根據(jù)題意可得列聯(lián)表：

優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間2624乙車間7030可得，因為，所以有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異，沒有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異.【小問2詳析】由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品的頻率為，用頻率估計概率可得，又因為升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，則，可知，所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.18.記為數(shù)列的前項和，已知．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列bn的前項和．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用退位法可求的通項公式．（2）利用錯位相減法可求.【小問1詳析】當(dāng)時，，解得．當(dāng)時，，所以即，而，故，故，∴數(shù)列是以4為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.【小問2詳析】,所以故所以，.19.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．〖答案〗（1）證明見詳析；（2）〖解析〗〖祥解〗（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；（2）作交于，連接，易證三垂直，采用建系法結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.【小問1詳析】因為為的中點，所以，四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面；【小問2詳析】如圖所示，作交于，連接，因為四邊形為等腰梯形，，所以，結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，所以為等邊三角形，為中點，所以，又因為四邊形為等腰梯形，為中點，所以，四邊形為平行四邊形，，所以為等腰三角形，與底邊上中點重合，，，因為，所以，所以互相垂直，以方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x1平面的法向量為n=x則，即，令，得，即m=3,3,1，則，即，令，得，即，，則，故二面角的正弦值為.20.已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸．（1）求的方程；（2）過點的直線交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：軸．〖答案〗（1）（2）證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）設(shè)Fc,0，根據(jù)的坐標(biāo)及軸可求基本量，故可求橢圓方程.（2）設(shè)，Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用【小問1詳析】設(shè)Fc,0，由題設(shè)有且，故，故，故，故橢圓方程為.【小問2詳析】直線的斜率必定存在，設(shè)，Ax1,y1由可得，故，故，又，而，故直線，故，所以，故，即軸.【『點石成金』】方法『點石成金』：利用韋達(dá)