專題07 比例應(yīng)用的常見4種壓軸題型全攻略（解析版）

專題07比例應(yīng)用的常見4種壓軸題型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一有關(guān)比例尺在計(jì)算中的應(yīng)用】 1【考點(diǎn)二4個(gè)數(shù)成比例易錯(cuò)題的辨析】 2【考點(diǎn)三比例在求圖形面積中的巧用】 2【考點(diǎn)四比例在解決實(shí)際問題應(yīng)用的拓展提高】 3【過關(guān)檢測】 4【典型例題】【考點(diǎn)一有關(guān)比例尺在計(jì)算中的應(yīng)用】【例題1】在一幅地圖上，用厘米的線段表示千米的實(shí)際距離，那么這幅地圖的比例尺是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)比例尺的意義求解即可．【詳解】解：千米厘米，．所以這幅地圖的比例尺是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了比例尺，掌握比例尺=圖上距離：實(shí)際距離是解題的關(guān)鍵．注意單位要統(tǒng)一．【變式1】東海大橋全長千米，如果東海大橋在某張地圖上的長為厘米，則這張地圖的比例尺是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】該地圖上距離與實(shí)際距離的比，就是東海大橋地圖上的長度與實(shí)際長度的比值．【詳解】比例尺圖上距離÷實(shí)際距離，比例尺．故選：B．【點(diǎn)睛】本題是對(duì)比例尺定義的考查，在求比值時(shí)注意對(duì)單位進(jìn)行統(tǒng)一，是解決本題的關(guān)鍵．【變式2】在比例尺是的地圖上，量得甲城到乙城的距離是2厘米，則甲城到乙城的實(shí)際距離是（

）A．0.4千米 B．4千米 C．40千米 D．400千米【答案】C【分析】根據(jù)“圖上距離÷比例尺=實(shí)際距離”列式計(jì)算即可．【詳解】解：（厘米），4000000厘米=40千米．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例尺，掌握圖上距離、比例尺和實(shí)際距離三者的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【變式3】在一幅比例尺是的地圖上，量得A、B兩地距離為9cm．一艘貨輪于上午6時(shí)以每小時(shí)24千米的速度從A地開向B地．貨輪到達(dá)B地的時(shí)間是（

）．A．15時(shí) B．19時(shí) C．21時(shí)【答案】C【分析】根據(jù)比例尺，得到實(shí)際距離，根據(jù)時(shí)間，路程，速度之間的關(guān)系，求得所用時(shí)間，根據(jù)出發(fā)時(shí)間即可得解．【詳解】解：A、B兩地的實(shí)際距離為，用時(shí)（小時(shí)）∴到達(dá)時(shí)間為。故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查比例尺，行程問題，理解比例尺的定義是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二4個(gè)數(shù)成比例易錯(cuò)題的辨析】【例題2】下面的算式中，能組成比例的是（

）A．∶和2.5∶1.5 B．3∶5和2.4∶40 C．和3∶5 D．1∶5和5∶25【答案】D【分析】可根據(jù)比例的性質(zhì)：兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)的積；也可以用求比值的方法：兩個(gè)比的比值相等，就能組成比例，比值不相等，就不能組成比例；據(jù)此逐項(xiàng)分析后再選擇．【詳解】解：A、因?yàn)?，所以?.5∶1.5不能組成比例；B、因?yàn)椋?∶5和2.4∶40不能組成比例；C、因?yàn)?，所以?∶5不能組成比例；D、因?yàn)?，所?∶5和5∶25能組成比例；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查比例的意義和性質(zhì)的運(yùn)用：驗(yàn)證兩個(gè)比能否組成比例，就看兩個(gè)比的比值是否相等或兩內(nèi)項(xiàng)的積是否等于兩外項(xiàng)的積，再做出判斷【變式1】用、2、6和12這四個(gè)數(shù)組成比例，不可能是（

）A．1 B．3 C．4【答案】B【分析】分別取的值為1、3、4，根據(jù)比例的性質(zhì)代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，有，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；當(dāng)時(shí)，，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)，兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)，在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積，熟練掌握此知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（

）不能與1、2、3組成比例．A．1.5 B．6 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)成比例的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．∵，∴能與1、2、3組成比例，故A不符合題意；B．∵，∴能與1、2、3組成比例，故B不符合題意；C．∵，∴能與1、2、3組成比例，故C不符合題意；D．不能與1、2、3組成比例，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例定義．【變式3】下面的數(shù)中，能與6,8,10組成比例的是(

)．A．4.8 B．1.5 C．0.15 D．5.4【答案】A【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：A、∵，∴能組成比例，符合題意．B、1.5,6,8,10四個(gè)數(shù)中，任何兩個(gè)數(shù)的積不等于其他兩個(gè)數(shù)的積，不能組成比例，不符合題意．C、0.15,6,8,10四個(gè)數(shù)中，任何兩個(gè)數(shù)的積不等于其他兩個(gè)數(shù)的積，不能組成比例，不符合題意．D、5.4,6,8,10四個(gè)數(shù)中，任何兩個(gè)數(shù)的積不等于其他兩個(gè)數(shù)的積，不能組成比例，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟知兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三比例在求圖形面積中的巧用】【例題3】如圖中兩個(gè)正方形中陰影部分的面積比是，空白部分甲和乙的面積比是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由兩個(gè)正方形中陰影部分的面積比是，且這兩個(gè)三角形等底，可得這兩個(gè)三角形高的比是，即，從而可算出這兩個(gè)正方形的面積，則空白部分的面積等于每個(gè)正方形的面積去掉每個(gè)陰影部分的面積，從而可算出它們的面積比．【詳解】解：∵，又∵，∴，又∵，∴，即，∴，∴，，又∵，，即，∴大正方形中空白圖的面積為，小正方形空白圖的面積為，∴兩空白部分的面積是，故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查正方形面積公式的靈活運(yùn)用，以及比的意義的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)等高的三角形面積的比等于底邊的比，求出大小正方形邊長的比．【變式1】如圖，陰影部分的面積是甲圓面積的，是乙圓面積的，甲、乙兩個(gè)圓面積的比是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)陰影部分的面積是甲圓面積的，是乙圓面積的，可得：甲圓面積乙圓面積，再根據(jù)比例基本性即可求解．【詳解】解：由題意得：甲圓面積乙圓面積，即：甲圓面積：乙圓面積，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了比例基本性質(zhì)的計(jì)算，解答此題根據(jù)等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化為比例再解答即可．【變式2】如圖，兩個(gè)正方形中陰影部分的面積比是，則空白部分的面積比是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由兩個(gè)正方形中陰影部分的面積比是，且這兩個(gè)三角形等底，可得這兩個(gè)三角形高的比是，即，從而可算出這兩個(gè)正方形的面積，則空白部分的面積等于每個(gè)正方形的面積去掉每個(gè)陰影部分的面積，從而可算出它們的面積比．【詳解】解：∵，又∵，∴，又∵，∴，即，∴，∴，，又∵，，即，∴大正方形中空白圖的面積為，小正方形空白圖的面積為，∴兩空白部分的面積是，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查正方形面積公式的靈活運(yùn)用，以及比的意義的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)等高的三角形面積的比等于底邊的比，求出大小正方形邊長的比．【變式3】如圖，陰影部分與空白部分面積的比是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】陰影面積等于大長方形面積減去空白部分面積，由此可解．【詳解】解：空白部分面積，陰影面積，因此陰影部分與空白部分面積的比，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握根據(jù)方格計(jì)算面積．【考點(diǎn)四比例在解決實(shí)際問題的拓展提高】【例題4】商高是最早發(fā)現(xiàn)“勾股定理”的人．他提出了“勾三股四弦五”的說法，即一個(gè)直角三角形的短直角邊（勾）長是3，長直角邊（股）長是4，那么斜邊（弦）長一定是5，也就是“勾：股：弦”．用一根長72厘米的鐵絲可圍成這樣一個(gè)直角三角形，它的斜邊（弦）長是______厘米，面積是______平方厘米．【答案】30216【分析】根據(jù)三邊的比可以求出每條邊的長度，又因?yàn)槭侵苯侨切?，也可以求出面積．【詳解】解：勾：（厘米）股：（厘米）弦：（厘米）面積：（平方厘米）故答案為：30，216．【點(diǎn)睛】本題考查比的應(yīng)用，正確計(jì)算三邊長是解題的關(guān)鍵．【變式1】．在一張的地圖上，測得甲、乙兩個(gè)城市之間的距離是12厘米，一輛貨車和一輛客車同時(shí)從甲、乙兩城相對(duì)出發(fā)，8小時(shí)相遇．相遇時(shí)貨車與客車所行路程比是，貨車和客車每小時(shí)分別行多少千米？【答案】客車每小時(shí)行駛90千米，貨車每小時(shí)行駛60千米【分析】根據(jù)“實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺”，即可求得甲、乙兩地的實(shí)際距離，再除以相遇時(shí)間求得兩輛車的速度和，進(jìn)而利用按比例分配的方法求出客車和貨車每小時(shí)行的千米數(shù)．【詳解】解：厘米，厘米千米，千米，千米，答：客車每小時(shí)行駛90千米，貨車每小時(shí)行駛60千米．【點(diǎn)睛】此題主要考查比例尺、圖上距離和實(shí)際距離之間的關(guān)系，也考查了簡單的行程問題和按比例分配的問題．【變式2】人在正常情況下每分鐘眨眼約24次，與玩電腦游戲時(shí)每分鐘眨眼次數(shù)的比是．玩電腦游戲時(shí)每分鐘眨眼約多少次？【答案】玩電腦游戲時(shí)每分鐘眨眼約10次【分析】根據(jù)人在平常狀態(tài)下每分鐘眨眼的次數(shù)與玩電腦游戲時(shí)每分鐘眨眼次數(shù)的比是12：5，把電腦游戲每分鐘眨眼的次數(shù)看作單位“1”，則人在平常狀態(tài)下每分鐘眨眼的次數(shù)是玩電腦游戲的，根據(jù)已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少求這個(gè)數(shù)是多少用除法計(jì)算，據(jù)此解答即可．【詳解】（下）答：玩電腦游戲時(shí)每分鐘眨眼約10次．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少求這個(gè)數(shù)是多少用除法計(jì)算的理解和靈活運(yùn)用情況．【變式3】配制一種混凝土所用材料的配比情況如圖所示．

(1)配制120噸這樣的混凝土，需要黃沙多少噸？(2)如果現(xiàn)有這三種材料各20噸，水泥要全部用完，石子還需增加多少噸？【答案】(1)需要黃沙36噸；(2)石子需要增加30噸．【分析】（1）由圖可知，水泥、黃沙和石子的比是2：3：5，可先求出三種物品共有多少份，再除120，求出每份的重量，然后乘黃沙占的份數(shù)即可；（2）用20除以2求出每份是多少，再求出需要石子的噸數(shù)，進(jìn)而可求出需要增加的噸數(shù)．【詳解】（1）解：（噸）答：需要黃沙36噸；（2）解：（噸）（噸）答：石子需要增加30噸．【點(diǎn)睛】本題考查了比的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)除法的意義求出每份是多少，進(jìn)而分析數(shù)量關(guān)系進(jìn)行解答．【過關(guān)檢測】1．如果，那么（

）．A． B． C．【答案】B【分析】利用兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積解答即可．【詳解】解：因?yàn)?，所以，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟知兩內(nèi)項(xiàng)積等于兩外項(xiàng)積．2．兩個(gè)數(shù)的比值是1.2，如果比的前項(xiàng)擴(kuò)大2倍，后項(xiàng)變?yōu)樵瓉淼囊话?，比值是?/p>

）A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6【答案】C【分析】根據(jù)比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)擴(kuò)大2倍，后項(xiàng)變?yōu)樵瓉淼囊话?，比值將擴(kuò)大倍，由此倍數(shù)再乘1.2即可求出比值．【詳解】解：答：比值是4.8．故選C【點(diǎn)睛】此題考查比的性質(zhì)的運(yùn)用：比的前項(xiàng)擴(kuò)大（或縮?。?倍，后項(xiàng)縮?。ɑ驍U(kuò)大）2倍，比值將擴(kuò)大（或縮?。?倍．3．在下面各比中，能與組成比例式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，組成比例的計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：、，故原選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；、，故原選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；、，故原選項(xiàng)正確，符合題意；、，故原選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查比例的概念，有理數(shù)除法的運(yùn)算，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．下面哪組中的兩個(gè)比不可以組成比例（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：，所以和可以組成比例，A選項(xiàng)不符合題意；，所以和可以組成比例，B選項(xiàng)不符合題意；，所以和不可以組成比例，C選項(xiàng)符合題意；，所以和可以組成比例，D選項(xiàng)不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)，內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積．5．如果的前項(xiàng)增加16，要使比值不變，后項(xiàng)應(yīng)增加（

）．A．20 B．16 C．25【答案】A【分析】如果比的前項(xiàng)增加16，16是4的4倍，即增加4倍，要使比值不變，后項(xiàng)也要增加4倍，得到答案．【詳解】如果比的前項(xiàng)增加16，16是4的4倍，即增加4倍，要使比值不變，后項(xiàng)也要增加4倍，即，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查比的基本性質(zhì)，掌握比的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．在一幅比例尺是的學(xué)校平面圖上，量得校門口到行政樓的距離是4.5厘米，校門口到高年級(jí)教學(xué)樓的實(shí)際距離是（）米．A．225 B．450 C．2250 D．4500【答案】A【分析】根據(jù)比例尺的意義，知道在圖上是1厘米的距離，實(shí)際距離是5000厘米，現(xiàn)在知道圖上距離是4.5厘米，根據(jù)整數(shù)乘法的意義，即可求出實(shí)際距離是多少．【詳解】解：（厘米）；22500厘米米；即：校門口到高年級(jí)教學(xué)樓的實(shí)際距離是225米．故選：A．【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是，弄懂比例尺的意義，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)量，特別注意對(duì)應(yīng)量的單位名稱，找出數(shù)量關(guān)系，列式解答即可．二、填空題7．寫出1個(gè)用18的因數(shù)組成的比例：()．【答案】（答案不唯一）【分析】18的因數(shù)有，再根據(jù)組成的比例一定要滿足兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積進(jìn)行求解即可【詳解】解：18的因數(shù)有，則滿足題意的比例可以為，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查比例的定義，解題的關(guān)鍵在于熟知兩內(nèi)項(xiàng)積等于兩外項(xiàng)積．8．如果（、），那么：．【答案】35【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：因?yàn)?，所以．故答案為?，5．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)，熟練掌握比例的兩內(nèi)項(xiàng)之積與兩外項(xiàng)之積相等是解答本題的關(guān)鍵．9．已知，且，則．【答案】1【分析】利用設(shè)法進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：，設(shè)，，，，，解得：，，，，，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握設(shè)法是解題的關(guān)鍵．10．在比例尺為的地圖上，量得A與兩地的距離是厘米，則A與兩地的實(shí)際距離是．【答案】【分析】根據(jù)實(shí)際距離圖上距離比例尺計(jì)算即可．【詳解】解：實(shí)際距離圖上距離比例尺，可知兩地實(shí)際距離為，【點(diǎn)睛】考查應(yīng)用比例尺的定義，比例尺圖上距離實(shí)際距離，注意單位的轉(zhuǎn)化．11．一杯鹽水重120g，鹽與水質(zhì)量比是再加上g的鹽，才能使鹽與水的比是．【答案】15【分析】根據(jù)原來水占鹽水的，求出原來水的質(zhì)量，現(xiàn)在水占鹽水的，因?yàn)樗疀]變，所以現(xiàn)在鹽水質(zhì)量就是水的質(zhì)量除以現(xiàn)在水占鹽水的分率，再用現(xiàn)在的鹽水質(zhì)量減去原來鹽水的質(zhì)量就可以求出答案．【詳解】解：（克），（克），所以加上15g的鹽，才能使鹽與水的比是．故答案為：15．【點(diǎn)睛】解題關(guān)鍵是抓住水的質(zhì)量不變這一重要條件，求出后來鹽水的質(zhì)量．12．在一幅線段比例尺為

千米的地圖上，1厘米表示實(shí)際距離()千米．把這個(gè)線段比例尺用數(shù)值比例尺表示為()．如果甲、乙兩城之間的實(shí)際距離是400千米，在該地圖上應(yīng)畫()厘米．【答案】508【分析】根據(jù)比例尺等于圖上距離除以實(shí)際距離進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意得，1厘米表示實(shí)際距離50千米，即該地圖的比例尺為，則當(dāng)甲、乙兩城之間的實(shí)際距離是400千米，在該地圖上應(yīng)畫厘米，故答案為：50；；8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例尺的應(yīng)用，熟知比例尺的定義是解題的關(guān)鍵．13．如圖，長方形被分成兩個(gè)長方形，，為上一點(diǎn)，三角形的面積是平方厘米，那么長方形的面積是平方厘米．

【答案】【分析】圖中三角形的面積是平方厘米，由此我們可以求出長方形的面積，再根據(jù)有關(guān)比的解答方法進(jìn)一步求出原長方形的面積．【詳解】解：，，平方厘米．答：長方形的面積是平方厘米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比的應(yīng)用，長方形的面積公式，根據(jù)題意列出算式是解題的關(guān)鍵．14．如下圖，將長方形平均分成三個(gè)小長方形，再將三個(gè)小長方形分別平均分成2份、3份、4份，那么陰影部分面積是長方形面積的（填幾分之幾）．

【答案】九分之五【分析】先分別表示出每層陰影部分的小長方形的面積占各層的長方形的面積的比例，然后將它們求和計(jì)算即可獲得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，每一行都是長方形面積的，則有，即陰影部分面積是長方形面積的九分之五．故答案為：九分之五．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，正確列式求解是解題關(guān)鍵．15．王老師買鋼筆和鉛筆共36支，一共用去96元．如果將鋼筆和鉛筆的支數(shù)調(diào)換一下，則要246元．已知鋼筆和鉛筆的單價(jià)比為，每支鋼筆元．【答案】【分析】根據(jù)題意列出算式求出一支鋼筆和一支鉛筆的價(jià)格之和，然后根據(jù)鋼筆和鉛筆的單價(jià)比為求出結(jié)果即可．【詳解】解：（元），（元）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整數(shù)混合運(yùn)算的意義，按比例分配解決問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出一支鋼筆和一支鉛筆的價(jià)格之和．16．在一張標(biāo)有比例尺是4∶1的精密零件圖紙上，量得零件長是40毫米，這個(gè)零件實(shí)際長()毫米．【答案】10【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離得出實(shí)際距離是，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：∵比例尺是4∶1的精密零件圖紙上，量得零件長是40毫米∴實(shí)際距離是毫米．故答案為：10．【點(diǎn)睛】此題考查了比例尺，解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離．17．在比例尺是1：5000000的地圖上，量得上海到杭州的距離是3.4厘米，上海到杭州的實(shí)際距離是千米．【答案】170【分析】依據(jù)實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺，直接列式解答即可．【詳解】解：（厘米），17000000厘米千米．故答案為：170．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例尺的應(yīng)用，熟練掌握圖上距離、實(shí)際距離和比例尺的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．18．下午點(diǎn)，測量得出小明的影子長，小明的身高是．同一時(shí)間，同一地點(diǎn)測得一棵樹的影子長是．這棵樹