數(shù)值分析方法 課件 4-7 積分區(qū)間逐次分半求積方法

數(shù)值分析方法面向“四新”人才培養(yǎng)普通高等教育系列教材主編

李冬果李林高磊首都醫(yī)科大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院智能醫(yī)學(xué)工程學(xué)學(xué)系第四章

數(shù)值積分基礎(chǔ)目錄/Contents4.1數(shù)值積分的基本思想

4.2機(jī)械求積公式

4.3二、三節(jié)點(diǎn)的高斯求積公式

4.4機(jī)械求積公式的誤差估計(jì)

4.5牛頓-科茨公式

4.6復(fù)合求積公式及其誤差估計(jì)

4.7積分區(qū)間逐次分半求積方法

4.8數(shù)值微分

上節(jié)例4.6.2通過(guò)估計(jì)誤差來(lái)確定積分區(qū)間的分點(diǎn)數(shù)目,一般而言,誤差隨分點(diǎn)數(shù)增加而減少,但這種方法不是對(duì)所有被積函數(shù)都易于使用.那么如何確定適當(dāng)（最少）的分點(diǎn)數(shù)使真值與近似值之差在允許的范圍之內(nèi)是一個(gè)令人們關(guān)注的問(wèn)題，將積分區(qū)間逐次分半是這類方法之一.4.7積分區(qū)間逐次分半求積方法1.梯形求積公式的逐次分半法對(duì)區(qū)間[a,b]用梯形公式：將區(qū)間[a,b]二等分，用梯形公式，得

其中將區(qū)間再等分，分別用梯形公式，再相加得其中是第二次等分區(qū)間三個(gè)分點(diǎn).一般地有由復(fù)化梯形求積公式的誤差估計(jì)式（2），可以看出這里c為常數(shù)，僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間相關(guān).再次二分區(qū)間后誤差為以上兩式相減得因此，可以利用估計(jì)誤差由此，可以判斷近似值是否以滿足要求，只需考查是否滿足，這里

是容許誤差。如果該條件成立，說(shuō)明近似值滿足計(jì)算要求，否則可以將區(qū)間繼續(xù)二分，直到滿足為止。2.拋物線求積公式的逐次對(duì)區(qū)間[a,b]用拋物線求積公式：其中將區(qū)間[a,b]二等分，分別于上用拋物線求積公式，得（*）與（*）式比較，假定與近似相等，則有（**）與（**）式相比較得由此，可以判斷近似值是否以滿足要求，只需考查是否滿足，這里

是容許誤差。如果該條件成立，說(shuō)明近似值滿足計(jì)算要求，否則可以將區(qū)間繼續(xù)二分，直到滿足為止。例4.7.1對(duì)于積分,利用逐次分半的梯形求積公式,逐次分半的拋物線求積公式考察積分值。解逐次將區(qū)間分半，分別利用逐次分半的梯形求積公式,逐次分半的拋物線求積公式進(jìn)行計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果列于表中?？梢钥闯?，隨著積分區(qū)間半分，計(jì)算結(jié)果逐步接近于真值2，如果考慮容許誤差，那么梯形公式需要到小區(qū)間長(zhǎng)度為時(shí)終止，因?yàn)?/p>

注意到例4.6.2給出復(fù)合梯形公式給出的結(jié)果是要將區(qū)間進(jìn)行72等分，小區(qū)間長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于區(qū)間逐次半分的結(jié)果。對(duì)于拋物線公式，達(dá)到同樣的精度，需要到小區(qū)間長(zhǎng)度為