2024-2025學年高中數(shù)學第三章函數(shù)的應用3.1.1方程的根與函數(shù)的零點課時作業(yè)含解析新人教A版必修1

PAGEPAGE4課時作業(yè)23方程的根與函數(shù)的零點時間：45分鐘——基礎鞏固類——一、選擇題1．函數(shù)y＝eq\f(1,x)－x的零點是(D)A．1 B．－1C．(1,0)，(－1,0) D．1，－1解析：由y＝0，即eq\f(1,x)－x＝0，解得x＝1或x＝－1.所以函數(shù)的零點為1，－1.故選D.2．已知函數(shù)f(x)的圖象是連綿不斷的，有如下的x，f(x)對應值表由表可知函數(shù)f(x)存在零點的區(qū)間有(D)A．1個B．2個C．3個D．4個解析：∵f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，f(6)f(7)<0，∴共有4個零點．3．方程0.9x－eq\f(2,21)x＝0的實數(shù)解的個數(shù)是(B)A．0個B．1個C．2個D．3個解析：設f(x)＝0.9x－eq\f(2,21)x，則f(x)為減函數(shù)，值域為R，故有1個．4．函數(shù)y＝x2＋a存在零點，則a的取值范圍是(B)A．a(chǎn)>0B．a(chǎn)≤0C．a(chǎn)≥0D．a(chǎn)<0解析：函數(shù)y＝x2＋a存在零點，則x2＝－a有解，所以a≤0.5．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，則該函數(shù)的零點個數(shù)是(B)A．1 B．2C．0 D．無法確定解析：因為ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以該函數(shù)有兩個零點，故選B.6．已知函數(shù)f(x)＝ex－x2＋8x，則在下列區(qū)間中f(x)必有零點的是(B)A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：依據(jù)零點存在性定理，看所給區(qū)間的端點值是否異號．因為f(－2)＝e－2－(－2)2＋8×(－2)<0，f(－1)＝e－1－(－1)2＋8×(－1)<0，f(0)＝1，所以f(－1)f(0)<0，那么函數(shù)f(x)的零點必在區(qū)間(－1,0)上．故選B.二、填空題7．函數(shù)f(x)＝lnx－x2＋2x＋5的零點個數(shù)為2.解析：令lnx－x2＋2x＋5＝0得lnx＝x2－2x－5，畫圖可得函數(shù)y＝lnx與函數(shù)y＝x2－2x－5的圖象有2個交點，即函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2.8．若f(x)＝x＋b的零點在區(qū)間(0,1)內(nèi)，則b的取值范圍為(－1,0)．解析：∵f(x)＝x＋b是增函數(shù)，又f(x)＝x＋b的零點在區(qū)間(0,1)內(nèi)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0<0，,f1>0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b<0，,1＋b>0.))∴－1<b<0.9．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x>0，,－x2－2x，x≤0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是[0,1)．解析：函數(shù)f(x)的簡圖如下圖，函數(shù)g(x)＝f(x)－m有三個零點等價于f(x)＝m有三個零點，即函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝m的圖象有三個交點．明顯，由圖象知，當直線y＝m在x軸和直線l：y＝l之間時符合題意，故0≤m<1.三、解答題10．已知函數(shù)f(x)＝2x－x2，問方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,0]內(nèi)是否有解，為什么？解：因為f(－1)＝2－1－(－1)2＝－eq\f(1,2)<0，f(0)＝20－02＝1>0，而函數(shù)f(x)＝2x－x2的圖象是連續(xù)曲線，所以f(x)在區(qū)間[－1,0]內(nèi)有零點，即方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,0]內(nèi)有解．11．若函數(shù)f(x)＝ax2－x－1的負零點有且僅有一個，求實數(shù)a的取值范圍．解：當a＝0時，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0，得x＝－1，符合題意；當a>0時，此函數(shù)圖象開口向上，又f(0)＝－1<0，結(jié)合二次函數(shù)圖象知符合題意；當a<0時，此函數(shù)圖象開口向下，又f(0)＝－1<0，從而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝1＋4a＝0，,－\f(－1,2a)<0，))即a＝－eq\f(1,4).綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))∪[0，＋∞)．——實力提升類——12．設函數(shù)f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3，若實數(shù)a，b滿意f(a)＝0，g(b)＝0，則(D)A．0<g(a)<f(b) B．f(b)<g(a)<0C．f(b)<0<g(a) D．g(a)<0<f(b)解析：由于函數(shù)f(x)＝ex＋x－2在R上單調(diào)遞增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，且f(a)＝0，所以a∈(0,1)，同理可知b∈(1,2)．由于函數(shù)g(x)，f(x)均在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則g(a)<g(1)＝－2<0，f(b)>f(1)＝e－1>0，于是有g(shù)(a)<0<f(b)，故選D.13．設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋lgx－2，x>2，,10|x－1|，x≤2，))若f(x)－b＝0有三個不等實數(shù)根，則b的取值范圍是(D)A．(0,10] B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，10))C．(1，＋∞) D．(1,10]解析：作出函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋lgx－2，x>2，,10|x－1|，x≤2))的圖象如圖：f(x)－b＝0有三個不等實數(shù)根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝b有三個不同的交點，由圖可知，b的取值范圍是(1,10]．14．若方程xlg(x＋2)＝1的實根在區(qū)間(k，k＋1)(k∈Z)內(nèi)，則k＝－2或1.解析：由題意知，x≠0，則原方程即為lg(x＋2)＝eq\f(1,x)，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)y＝lg(x＋2)與y＝eq\f(1,x)的圖象，如圖所示．由圖象可知，原方程有兩個根，一個在區(qū)間(－2，－1)內(nèi)，一個在區(qū)間(1,2)內(nèi)，所以k＝－2或k＝1.故填－2或1.15．已知二次函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋4，在下列條件下，求實數(shù)a的取值范圍．(1)零點均大于1；(2)一個零點大于1，一個零點小于1；(3)一個零點在(0,1)內(nèi)，另一個零點在(6,8)內(nèi)．解：(1)因為方程x2－2ax＋4＝0的兩根均大于1，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與零點存在性定理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2a2－16≥0，,f1＝5－2a>0，,a>1，))解得2≤a<eq\f(5,2).(2)因為方程x2－2ax＋4＝0的一個根大于1，一個根小于1，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與零點存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>eq\f(5,2).(3)因為方程x2－2ax＋4＝0