2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.1第1課時(shí)數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式學(xué)案含解析新人教A版必修5

PAGE1-其次章數(shù)列2.1數(shù)列的概念與簡潔表示法第1課時(shí)數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式[目標(biāo)]1.知道數(shù)列的定義，理解數(shù)列的依次性；2.知道數(shù)列的幾種分類；3.知道數(shù)列是特別的函數(shù)，體會(huì)數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)間的關(guān)系，并能依據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式．[重點(diǎn)]數(shù)列的定義，依據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式．[難點(diǎn)]數(shù)列與函數(shù)關(guān)系的理解，用歸納法寫數(shù)列的通項(xiàng)．學(xué)問點(diǎn)一數(shù)列的定義以及有關(guān)概念[填一填]1．?dāng)?shù)列的定義：依據(jù)肯定依次排列的一列數(shù)叫做數(shù)列．2．?dāng)?shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．3．?dāng)?shù)列的一般形式：a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}，其中an是數(shù)列的第n項(xiàng)．[答一答]1．1,2,3,4和1,2,4,3是相同的數(shù)列嗎？提示：不是．兩個(gè)數(shù)列相同，每一項(xiàng)都必需相同，而且數(shù)列具有依次性．2．怎樣表示一個(gè)數(shù)列的某一項(xiàng)？數(shù)列中的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)有何區(qū)分？提示：數(shù)列的項(xiàng)通常用字母a加右下標(biāo)表示，其中右下標(biāo)表示項(xiàng)的位置序號(hào)．例如，a5代表數(shù)列的第5項(xiàng)，an代表數(shù)列的第n項(xiàng)．?dāng)?shù)列中的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)不是同一概念，項(xiàng)是指該數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在這個(gè)數(shù)列中的位置序號(hào)．3．推斷下列各組元素能否構(gòu)成數(shù)列，并說明理由．(1)a，－3，－1,1，b,5,7,9,11；(2)非負(fù)整數(shù)．提示：(1)當(dāng)a，b都代表數(shù)時(shí)能構(gòu)成數(shù)列；當(dāng)a，b中有一個(gè)不代表數(shù)時(shí)，不能構(gòu)成數(shù)列．因?yàn)閿?shù)列是按肯定的依次排列的一列數(shù)．(2)能構(gòu)成數(shù)列，可以按依次排列為0,1,2,3,4,5,6，….學(xué)問點(diǎn)二數(shù)列的分類[填一填]1．依據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)分類．可分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列2．依據(jù)數(shù)列中項(xiàng)的改變趨勢分類[答一答]4．?dāng)?shù)列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,22)，eq\f(1,23)，…，eq\f(1,2n－1)與數(shù)列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,22)，eq\f(1,23)，…，eq\f(1,2n－1)，…是同一數(shù)列嗎？提示：不是同一數(shù)列，前者是有窮數(shù)列，共有n項(xiàng)，后者是一個(gè)無窮數(shù)列．5．同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)嗎？提示：可以；如常數(shù)列2,2,2,2,2，….學(xué)問點(diǎn)三數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系及數(shù)列的通項(xiàng)公式[填一填]1.序號(hào)1234…n…項(xiàng)a1a2a3a4…an…所以數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n}為定義域的函數(shù)an＝f(n)，當(dāng)自變量依據(jù)從小到大的依次依次取值時(shí)，所對應(yīng)的一列函數(shù)值．反過來，對于函數(shù)y＝f(x)，假如f(i)＝ai(i＝1,2,3,4…)有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(n)，….2．假如數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．[答一答]6．對于隨意數(shù)列，我們是否都可以求出其通項(xiàng)公式呢？數(shù)列的通項(xiàng)公式是否唯一確定呢？提示：與全部的函數(shù)關(guān)系不肯定都有解析式一樣，并不是全部數(shù)列都有通項(xiàng)公式．有些數(shù)列的通項(xiàng)公式可以用不同形式表示．例如，數(shù)列－1,1，－1,1，…的通項(xiàng)公式可以寫成an＝(－1)n，也可以寫成an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，n＝2k－1n∈N*，,1，n＝2kn∈N*.))類型一數(shù)列的概念及分類[例1]已知下列說法：(1)數(shù)列1,2,3,4,5，…是無窮遞增數(shù)列；(2)數(shù)列1,1,2,2,3,3共3項(xiàng)；(3)數(shù)列－1,0,3,4,7,9的第2項(xiàng)是0；(4)2024年從1月份到12月份全國每月新生嬰兒數(shù)可組成數(shù)列；(5)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，4，－\f(1,3)，3，－\f(1,2)，2，－1，1))是有窮搖擺數(shù)列．其中正確的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4[分析]利用數(shù)列概念表示，分類進(jìn)行推斷．[解析](2)中數(shù)列共有6項(xiàng)，故(2)錯(cuò)誤；(5)數(shù)列不能用集合表示，故(5)錯(cuò)誤．(1)(3)(4)正確．[答案]C推斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，只需考察數(shù)列是有限項(xiàng)還是無限項(xiàng).若數(shù)列含有限項(xiàng)，則是有窮數(shù)列，否則為無窮數(shù)列.而推斷數(shù)列的單調(diào)性，則須要從第2項(xiàng)起，視察每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的大小關(guān)系，若滿意an<an＋1，則是遞增數(shù)列；若滿意an>an＋1，則是遞減數(shù)列；若滿意an＝an＋1，則是常數(shù)列；若an與an＋1的大小不確定時(shí)，則是搖擺數(shù)列.[變式訓(xùn)練1](1)下列說法正確的是(A)A．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))的第k項(xiàng)是1＋eq\f(1,k)B．?dāng)?shù)列0,2,4,6,8，…可記為{2n}(n∈N*)C．?dāng)?shù)列的項(xiàng)數(shù)都是無限的D．?dāng)?shù)列1，－1,1，－1，…與數(shù)列－1,1，－1,1，…是相同數(shù)列(2)下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是(C)A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)類型二數(shù)列的通項(xiàng)公式命題視角1：依據(jù)數(shù)字特征寫數(shù)列的通項(xiàng)公式[例2]寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8，eq\f(25,2)，…；(2)1，－3,5，－7,9，…；(3)9,99,999,9999，…；(4)eq\f(22－1,1)，eq\f(32－2,3)，eq\f(42－3,5)，eq\f(52－4,7)，…；(5)－eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，－eq\f(1,3×4)，eq\f(1,4×5)，….[分析]經(jīng)過視察、分析找尋每一項(xiàng)與其項(xiàng)數(shù)的統(tǒng)一規(guī)律．[解](1)數(shù)列的項(xiàng)有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再視察：eq\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，eq\f(25,2)，…，所以，它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n2,2).(2)數(shù)列各項(xiàng)的肯定值分別為1,3,5,7,9，…是連續(xù)的正奇數(shù)，其通項(xiàng)公式為2n－1；考慮(－1)n＋1具有轉(zhuǎn)換符號(hào)的作用，所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n＋1(2n－1)．(3)各項(xiàng)加1后，分別變?yōu)?0,100,1000,10000，此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n，可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝10n－1.(4)數(shù)列中每一項(xiàng)均由三部分組成，分母是從1起先的奇數(shù)列，其通項(xiàng)公式為2n－1；分子的前一部分是從2起先的自然數(shù)的平方，其通項(xiàng)公式為(n＋1)2，分子的后一部分是減去一個(gè)自然數(shù)，其通項(xiàng)公式為n，綜合得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n＋12－n,2n－1)＝eq\f(n2＋n＋1,2n－1).(5)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的肯定值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝(－1)n·eq\f(1,nn＋1).此類問題主要靠視察視察規(guī)律、比較比較已知數(shù)列、歸納、轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為特別數(shù)列、聯(lián)想聯(lián)想常見的數(shù)列等方法.詳細(xì)方法為：1分式中分子、分母的特征；2相鄰項(xiàng)的改變特征；3拆項(xiàng)后的特征；4各項(xiàng)的符號(hào)特征和肯定值特征；5化異為同.對于分式，還可以考慮對分子、分母各個(gè)擊破，或找尋分子、分母之間的關(guān)系.[變式訓(xùn)練2]依據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)eq\f(1,2)，eq\f(4,5)，eq\f(9,10)，eq\f(16,17)，…；(2)1,11,111,1111，…；(3)1，eq\f(1,2)，3，eq\f(1,4)，…；(4)4,0,4,0,4,0，….解：(1)an＝eq\f(n2,n2＋1)(n∈N*)；(2)an＝eq\f(1,9)(10n－1)(n∈N*)；(3)an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n，n為奇數(shù)，,\f(1,n)，n為偶數(shù)；))(4)an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n為奇數(shù)，,0，n為偶數(shù)))或an＝2＋2×(－1)n＋1.命題視角2：依據(jù)圖表特征寫數(shù)列的通項(xiàng)公式[例3]傳聞古希臘畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras，約公元前570年—約公元前500年)學(xué)派的數(shù)學(xué)家常常在沙灘上探討數(shù)學(xué)問題，他們在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子來表示數(shù)．比如，他們將小石子擺成如圖所示的三角形態(tài)，就將其所對應(yīng)的小石子個(gè)數(shù)稱為三角形數(shù)，則第10個(gè)三角形數(shù)是________．[分析]通過題中給出的圖形計(jì)數(shù)，探究項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系，猜想通項(xiàng)公式求解，或者依據(jù)圖形改變規(guī)律，將小石子的個(gè)數(shù)逐個(gè)寫出，直到第10個(gè)．[解析]方法一(計(jì)數(shù)探規(guī)律)：三角形數(shù)依次為：1,3,6,10,15，…；從第2項(xiàng)起，規(guī)律為：3＝1＋2(第2個(gè))；6＝1＋2＋3(第3個(gè))；10＝1＋2＋3＋4(第4個(gè))；…；第10個(gè)三角形數(shù)為：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.方法二(圖形找規(guī)律)：如圖，矩形框內(nèi)的圖形是比前一個(gè)圖形多出的圖形，這樣逐次寫出三角形數(shù)為：1,3,6,10,15,15＋6,15＋6＋7,15＋6＋7＋8,15＋6＋7＋8＋9,15＋6＋7＋8＋9＋10＝55.[答案]55圖形、數(shù)表等形式的信息條件，隱含著各種數(shù)的排列規(guī)律，要處理好這些問題，關(guān)鍵在于讀懂圖形或數(shù)表中數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，從中找出規(guī)律.[變式訓(xùn)練3]黑、白兩種顏色的正六邊形地面磚按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第n個(gè)圖案中有白色地面磚4n＋2塊．解析：第1個(gè)圖案中有白色地面磚6塊，第2個(gè)圖案中有白色地面磚10塊，第3個(gè)圖案中有白色地面磚14塊，…，后一個(gè)圖案總比前一個(gè)圖案多4塊白色地面磚，從而第n個(gè)圖案中有4n＋2塊白色地面磚．類型三數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用[例4]已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(9n2－9n＋2,9n2－1)))，(1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；(2)eq\f(98,101)是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，為什么？(3)求證：數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi)．[分析]將n代入或列方程求解；對于(3)，將通項(xiàng)化簡，依據(jù)n≥1求出項(xiàng)的取值范圍．[解]設(shè)f(n)＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1)＝eq\f(3n－13n－2,3n－13n＋1)＝eq\f(3n－2,3n＋1).(1)令n＝10，得第10項(xiàng)a10＝f(10)＝eq\f(28,31).(2)令eq\f(3n－2,3n＋1)＝eq\f(98,101)，得9n＝300.此方程無正整數(shù)解，所以eq\f(98,101)不是該數(shù)列中的項(xiàng)．(3)證明：∵an＝eq\f(3n－2,3n＋1)＝eq\f(3n＋1－3,3n＋1)＝1－eq\f(3,3n＋1)，又n∈N*，∴0<eq\f(3,3n＋1)<1，∴0<an<1.即數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi)．1.數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng).,2.推斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)，需先假定它是數(shù)列中的項(xiàng)，列方程求解.若方程的解為正整數(shù)，則該數(shù)值是數(shù)列中的項(xiàng)；若方程無解或解不是正整數(shù)，則該數(shù)值不是此數(shù)列的項(xiàng).[變式訓(xùn)練4](1)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n2,n2＋1)，試推斷0.7是不是數(shù)列{an}中的一項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？(2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3－2coseq\f(nπ,2).求證：am＋4＝am.解：(1)令eq\f(n2,n2＋1)＝0.7，則3n2＝7，即n2＝eq\f(7,3)，此時(shí)n無整數(shù)解，故0.7不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)．(2)證明：因?yàn)閍m＋4＝3－2coseq\f(m＋4π,2)＝3－2coseq\f(mπ,2)，又am＝3－2coseq\f(mπ,2).所以am＋4＝am.1．將正整數(shù)的前5個(gè)數(shù)排列如下：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.那么可以稱為數(shù)列的有(D)A．① B．①②C．①②③ D．①②③④解析：數(shù)列是按“肯定依次”排列著的一列數(shù)．因此選D.留意此題易錯(cuò)選B.2．在數(shù)列－1,0，eq\f(1,9)，eq\f(1,8)，…，eq\f(n－2,n2)，…中，0.08是它的(C)A．第100項(xiàng) B．第12項(xiàng)C．第10項(xiàng) D．第8項(xiàng)解析：∵an＝eq\f(n－2,n2)，令eq\f(n－2,n2)＝0.08，解得n＝10或n＝eq\f(5,2)(舍去)．3．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝3－2n，則a2n＝3－4n，eq\f(a2,a3)＝eq\f(1,5).解析：依據(jù)通項(xiàng)公式我們可以求出這個(gè)數(shù)列的隨意一項(xiàng)．∵an＝3－2n，∴a2n＝3－22n＝3－4n，eq\f(a2,a3)＝eq\f(3－22,3－23)＝eq\f(1,5).4．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)滿意eq\f(an,n)＝n－2，那么15是這個(gè)數(shù)列的第5項(xiàng)．解析：由eq\f(an,n)＝n－2可知，an＝n2－2n，令n2－2n＝1