《空間向量運算的坐標表示》同步學案(教師版)

高中數學精編資源2/2《空間向量運算的坐標表示》同步學案情境導入1.平面直角坐標系中的坐標運算能推廣到空間直角坐標系中去嗎?2.你能根據平面直角坐標系中兩點間的距離公式|AB|=x1-自主學習自學導引1.空間向量運算的坐標表示設a=a(1)a+(2)a-(3)λa=_________,(4)a?2.空間向量的平行與垂直設a=a當b≠0時,a//b?3.空間向量的模設a=a1a4.空間向量的夾角公式設a=a1a5.空間兩點間的距離公式設P1則P1所以P1答案:1.(1)a(2)a(3)λ42.a3.4.5.x預習測評1.已知向量a=-325,b=1A.3B.4C.5D.62.已知點A-423關于Ozx平面的對稱點為A1,點A1關于z軸的對稱點為點A.8B.12C.16D.193.在空間直角坐標系Oxyz中,下列說法正確的是()A.向量AB的坐標與點A的坐標相同B.向量AB的坐標與點B的坐標相同C.向量AB與向量OB的坐標相同D.向量AB與向量OB-4.在空間直角坐標系中,已知點A102,B1-31,點M在y軸上,且點M到點A與到點答案1.C解析:因為a?b=-3×1+2x+5×-12.A解析:點A-423關于Ozx平面的對稱點為A1-4-23,點A13.D解析:因為點A,B不一定為坐標原點,所以選項A,B,C都不正確.因為AB=OB-OA,4.0解析:設M0y0.由|MA|=|MB|得1-0新知探究探究點1空間向量運算的坐標表示知識詳解設a=a(1)a+(2)a-(3)λa(4)a?特別提示1.空間向量運算的坐標表示與平面向量運算的坐標表示是完全一致的.例如,一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.2.在確定了向量的坐標后,就可以用空間向量的加、減、數乘、數量積的坐標運算公式進行計算了,還要熟練應用下列有關的乘法公式:(1)a+b2典例探究例1已知空間四點A,B,C,D的坐標分別是(-1,2,1),134,0-1(1)p+2(2)3p(3)p-(4)cosp解析:已知兩點的坐標,根據公式表示由這兩點構成的向量的坐標,再根據向量的加、減、數乘、數量積的坐標運算的法則求解即可.答案:因為A-121所以p=(1)p+2q=(2)3p-q(3)p-(4)cosp變式訓練1已知a=2(1)a+b;(2)a-b;(3)(5)(a答案:1234因為2a=4-2-45探究點2利用向量的坐標運算解決平行、垂直問題知識詳解1.設a=a當b≠0時;a2.平行與垂直問題主要有兩種題型:(1)平行與垂直的判斷;(2)利用平行與垂直求參數或其他問題,即平行與垂直的應用.解題時要注意:(1)適當引入求參數(比如向量a,b平行,可設a=λb,λ∈R),典例探究例2已知空間中三點A-202,B-11(1)若|c|=3,且c//BC(2)若ka+b與ka-2b(3)若λa+b+μa-b與解析:答案:(1)因為c//BC,所以c=m所以|c所以m=±1,所以c=-2-1(2)由題意知ka+b所以k-1k所以k=2或k=-52,即ka+b與ka-2b互相垂直時(3)由題意知a+b=0由題意知2μλ+μ即當λ,μ滿足λ-μ=0時,可使λa+b+μ變式訓練2已知a=(1)若a//b,求實數λ與m(2)若|a|=5,且與c=2答案:(1)由a//b,得λ+112λ所以實數λ=1(2)因為|a|=5,所以λ+1化簡,得5λ2+2λ=3,因此,a=探究點3利用空間向量運算的坐標表示求夾角與距離知識詳解1.利用空間向量運算的坐標表示求向量夾角和空間兩點間的距離.(1)利用|a|=a(2)利用cosa?b(3)利用P1P22.注意異面直線所成的角與向量的夾角不一致,它們可能相等,也可能互補.典例探究例3在長方體OABC-O1A1B1C1中,OA=2,AB=3,A(1)求直線AO1與B(2)作O1D?AC于D,求點O1到點解析:建系Oxyz→得各點的坐標→數量及運算→夾角、長度公式→幾何結論答案:建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz(1)由題意得A200所以AO所以cosA所以AO1與B1(2)由題意得O1因為C030,所以O1所以-2x+3y=0,x-2-2所以D18所以O1變式訓練3如圖所示,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D(1)求證:EF?CF;(2)求EF與GC所成角的余弦值;(3)求CE的長.答案:以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,由題可得D00所以EF(1)因為EF?所以EF?CF,即(2)EF?CG|所以cosEF(3)CE=|CE易錯易混解讀例在ΔABC中,已知AB=240,BC錯解:因為AB=所以cosAB所以∠ABC=45錯因分析:錯解中忽視了向量的方向,事實上,∠ABC的大小不是向量AB,BC的夾角,而是向量BA正解:因為AB=所以BA=所以cosBABC=BA糾錯心得:在利用向量求角時,一定要注意向量的方向,若AB與BC的夾角為θ,則BA與BC的夾角為π-θ