2022年全國高考數(shù)學(xué)試卷合集

2022年全國甲卷高考理科數(shù)學(xué)真題及答案

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題

卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼

好條形碼。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。

寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.若z=-1+/,貝()

ZZ-1

A.-1+\/3iB.-1—A/31C.——+-^-i

D.

2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機(jī)抽取10

位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這1。位社區(qū)居民在

講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖:

講座前

講座后

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

3.設(shè)全集。={—2,—1,0,1,2,3},集合4={—1,2},8={X|f一4%+3=。}，則即(AUB)=

（）

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體

的體積為（）

5.函數(shù)y=(3x—3r)cos尤在區(qū)間—的圖像大致為()

h

6.當(dāng)尤=1時，函數(shù)/(x)=aln%+—取得最大值一2,則/'(2)=()

x

A.-1B.C.-D.1

22

7.在長方體ABC。-4用GR中，已知與。與平面A3CD和平面至四臺所成的角均為

30°,貝。()

A.AB=2ADB.四與平面ABC。所成的角為30°

C.AC=CBXD.耳。與平面551cle所成的角為45。

8.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，

如圖，是以。為圓心，的為半徑的圓弧，。是的中點，〃在上，CDJ_AB.“會

CD~

圓術(shù)”給出AB的弧長的近似值s的計算公式：s=AB+——.當(dāng)。4=2,ZAOB=60°時,

OA

s=()

9-4A/3

2

9.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S甲和S乙,

體積分別為%和彩.若券=2,則承=()

s乙彩

A.A/5B.272C.A/10D.

4

22

10.橢圓C:二+與=1（?！?〉0）的左頂點為4點戶，。均在。上，且關(guān)于y軸對稱.若

ab

直線的斜率之積為5，則C的離心率為（）

V21

c.D.

~T23

11.設(shè)函數(shù)/（x）=sin[tux+gj在區(qū)間（0,兀）恰有三個極值點、兩個零點，則0的取值范

圍是（）

12.已知。=一,/?=cos—,c=4sin—,貝U（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)向量。，〃的夾角的余弦值為:，且|們=1,傳|=3,則（2a+b}b=

14.若雙曲線>2—二=1（機(jī)〉0）的漸近線與圓式+9―4y+3=o相切，則冽=

m

15.從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為.

AC

16.已知△ABC中，點〃在邊上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)——取得

AB

最小值時，BD—.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考

題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（一）必考題：共60分。

17.（12分）

2s

記Sn為數(shù)列｛%｝的前〃項和.已知一丁+〃=2%+1.

（1）證明：｛4｝是等差數(shù)列；

（2）若%，%，為成等比數(shù)列，求S”的最小值.

18.（12分）

在四棱錐P—ABCD中，PDL底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=布.

（2）求知與平面245所成的角的正弦值.

19.（12分）

甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負(fù)方得。分，

沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝

的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.

（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

（2）用才表示乙學(xué)校的總得分，求才的分布列與期望.

20.（12分）

設(shè)拋物線C:;/=2px（p>0）的焦點為尸，點。（p,0）,過尸的直線交。于弘”兩點.當(dāng)

直線M垂直于x軸時，|皿耳=3.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線MD,ND與。的另一個交點分別為A,B,記直線的傾斜角分別為

a,j3.當(dāng)a—分取得最大值時，求直線4?的方程.

21.（12分）

（I）若〃力之0,求a的取值范圍;

（2）證明：若/（九）有兩個零點斗,々，則西々<1.

（-）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的

第一題計分。

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

2+%

x—,

在直角坐標(biāo)系九0y中，曲線G的參數(shù)方程為46（方為參數(shù)），曲線G的參數(shù)方程

y=

2+s

x—，

為，6(s為參數(shù)).

、y=-&

(i)寫出G的普通方程；

(2)以坐標(biāo)原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。3的極坐標(biāo)方程為

2cos?！猻in8=0,求C3與G交點的直角坐標(biāo)，及G與交點的直角坐標(biāo).

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知a,b,c均為正數(shù)，且標(biāo)+/+牝？=3,證明：

(1)。+b+2c<3；

(2)若b=2c,則工+,23.

ac

絕密★啟用前

理科數(shù)學(xué)參考答案

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題

卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼

好條形碼.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.C2.B.3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.11

14.縣

3

16.73-1##-1+73

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

2S

17.(1)解：因為——+zi-2^+1j即2S〃+/I?=十〃①，

n

當(dāng)2時，2S〃_i=2(〃一1)〃“1+(〃一1)②，

22

①-②得，2Sn+n-2Sn_1-(n-1)=2nan+n-2[n-l)an_i-(n-1),

即2an+2n-l-2nan-2(〃一1)%_]+1,

即2(孔一1)%-2(幾一1應(yīng)_1=2(幾一1),所以。,一?！╛1=1,且九wN*,

所以｛4｝是以1為公差的等差數(shù)列.

(2)-78.

18.(1)證明：在四邊形ABCD中，作DELAfi于E,CFLAB于尸，

因為C￡>//A&AD=CD=C5=1,AB=2,

所以四邊形ABCZ)為等腰梯形，

所以AE=BE=L,

2

故DE=號,BD=yjDE2+BE2=V3>

所以A￡>2+3￡>2="2,

所以ADL8D，

因為？D_L平面ABCD，u平面ABC。，

所以？DL5D,

又PDcAD=D,

所以80,平面

又因K4u平面PAD,

所以5DLR4；

⑵好.

5

19.(1)0.6；

(2)分布列見解析，E(X)=13.

【解析】依題可知，X的可能取值為0」0,20,30,所以，

p(x=0)=0.5x0.4x0.8=0.16,

P(X=10)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P(X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

p(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E(X)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

20.⑴>2=4%；

(2)AB:x=y/2y+4.

21.已知函數(shù)f(x)=---Inx+x—a.

Cl)(-oo,e+l]

(2)由題知，/(x)一個零點小于1,一個零點大于1

不妨設(shè)石<l<x2

1

要證XjX2<1,即證西〈不

1(1

因為X],—e(0,l),即證/(玉)〉/—

7

因為/(%)=/(%)，即證/(々)>/—

\X2j

QX11

即證---]nx+x-xex-Inx——>0,xe(1,+oo)

xx

即證----xex-2]nx——x——>0

x2\x)

下面證明%>1時,<0

、ex-

設(shè)g(x)=----xex,x>[,

x

1--

X

e%x—1

設(shè)9(x)=—(x>l),^(x)=1.J_e-^ex>0

Xx2x

所以0(x)>0(l)=e,而￡<e

x-

所以Jee%>0,所以g'(x)>。

x

所以g(x)在(l,y)單調(diào)遞增

x-

即g(x)>g⑴=0,所以Je—xe，>0

x

1

令//(x)=lnx-Ax,X>1

X

2X-X2-1_-(x-1)2

<0

x22x22x2

所以/無)在(l,y)單調(diào)遞減

即/i(x)<h(l)=0,所以Inx-;1x1

<0；

x

ex11

綜上，----XQX—2In%——|x—>0,所以占々<1.

xx

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的

第一題計分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.（1）y1=6x-2（y>0）；

（2）G，G的交點坐標(biāo)為W，（1,2）,6，。2的交點坐標(biāo)為,3，—1；（-1,-2）.

［選修4-5：不等式選講］

23.（1）證明：由柯西不等式有+（2c）］（仔+仔+F）+6+2c）,

所以Q+Z?+2c<3，

當(dāng)且僅當(dāng)〃=人=2。=1時，取等號，

所以〃+b+2c<3；

（2）證明：因為Z?=2c,〃>0,b>0,c>0,由（1）得a+Z?+2c=a+4c<3,

即0<a+4c<3,所以

。+4c3

由權(quán)方和不等式知工+3=4+與>（+2）2=9之3,

aca4ca+4ca+4c

1?1

當(dāng)且僅當(dāng)一二一，即a=l,c=一時取等號，

a4c2

所以一+—23

ac

2022年全國甲卷高考文科數(shù)學(xué)真題及答案

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題

卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼

好條形碼。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上、

寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.設(shè)集合A={—2,—1,0,1,2},3=|刀|0,,%<|},則4口3=()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機(jī)抽取10

位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在

講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：

則()

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

3.若z=l+i.則|iz+3z|=()

A.4A/5B.472C.2A/5D.272

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面體

的體積為()

A.8B.12C.16D.20

5.將函數(shù)/。）=5m［。%+1］（0〉0）的圖像向左平移5個單位長度后得到曲線4若。

關(guān)于y軸對稱，則。的最小值是（）

A.-B.-C.-D.-

6432

6,從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上

的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

2

A.-B.-C.D.

533

7.函數(shù)/（%）=（3*—3-工卜。5%在區(qū)間一的圖像大致為（）

A.-1B.--C.-D.1

22

9.在長方體ABC。-中，已知耳。與平面A3CD和平面A443所成的角均為

30°,貝ij()

A.AB=2ADB.4?與平面A4￡O所成的角為30。

C.AC=CB]D.耳。與平面3gGC所成的角為45。

10.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S甲和S乙,

體積分別為%和彩.若妙=2,則氏=（

)

s乙吟

5M

A.A/5B.2^/2C.A/TO

4

Y2y2I

11.已知橢圓。:二十4=1（〃>6>0）的離心率為士，A，4分別為。的左、右頂點，B

ab3

為。的上頂點.若麗?甌=—1,則。的方程為（

2222

A,工+匕=1B,二+上=1C.

181698

12.已知9'”=10,a=10'"—11力=8"—9,貝。（

A.a>0>bB.a>b>QC.b>a>0D.b>Q>a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量a=（根,3）,〃=（1,根+1）.若。_1辦，則加二

14.設(shè)點〃在直線2x+y—1=0上，點（3,0）和（0,1）均在。M上，則。M的方程為

15.記雙曲線=—4=1（?！?/〉0）的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與C

ab~

無公共點”的e的一個值______________.

16.已知ZVIBC中，點，在邊況上，4405=120。,40=2,8=260.當(dāng)——取得最

AB

小值時，BD=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（-）必考題：共60分。

17.（12分）

甲、乙兩城之間的長途客車均由/和方兩家公司運營，為了解這兩家公司長途客車的運行情

況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點班次數(shù)未準(zhǔn)點班次數(shù)

A24020

B21030

（1）根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點的概率；

（2）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點與客車所屬公司有關(guān)?

n(ad-be)?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2..k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

18.(12分)

記S”為數(shù)列｛4｝的前A項和.已知二、+"=2a〃+l.

n

（1）證明：｛4｝是等差數(shù)列；

（2）若a4M7,為成等比數(shù)列，求S“的最小值.

19.（12分）

小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面A3CD是

邊長為8（單位：cm）的正方形，△EAB,AFBC,AGCD,Z\HDA均為正三角形,且它

們所在的平面都與平面A3CD垂直.

（1）證明：即〃平面ABCZ）；

（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）.

20.（12分）

已知函數(shù)/（x）=d—》,g（x）=x2+a,曲線y=/（x）在點（%,/（%））處的切線也是曲線

y=g（x）的切線.

（1）若X］=-1,求a：

（2）求a的取值范圍.

21.（12分）

設(shè)拋物線C：/=2px（p〉0）的焦點為凡點。（夕,0）,過歹的直線交。于例”兩點.當(dāng)

直線必垂直于x軸時，可=3.

（1）求C的方程：

（2）設(shè)直線MD,NO與。的另一個交點分別為A,B,記直線的傾斜角分別為

a,/3?當(dāng)a-6取得最大值時，求直線的方程.

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的

第一題計分。

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

2+1

JQ-----

在直角坐標(biāo)系九0y中，曲線C］的參數(shù)方程為｛6（1為參數(shù)），曲線G的參數(shù)方程

2+s

x=------

為46（S為參數(shù)）.

y=一

(1)寫出q的普通方程；

(2)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為

2cos6>-sin6>=0,求C3與4交點的直角坐標(biāo)，及C3與02交點的直角坐標(biāo).

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知均為正數(shù)，S.a2+b2+4c2=3,證明：

(1)a+b+2c?3

(2)若b=2c,貝I］LL.3.

ac

文科數(shù)學(xué)解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={—2,-1,0,1,2},3={討0<》<：］,則()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)集合的交集運算即可解出.

【詳解】因為A={—2,—1,0,1,2},B=L|0<X<|L所以4門3={0,1,2}.

故選：A.

2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位

社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講

座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：

95%..........................?-...........*

90%?...........?............冰.............

樹85%...............-?...........*...?...

遑80%.........?............................*....*講座前

目75%------------------------松------------------?講座后

70%........*..............................

65%*........-...........-...-.....-.......

...*........詠...........................

12345678910

居民編號

則()

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

【答案】B

【解析】

【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項判斷即可得解.

70%+75%

【詳解】講座前中位數(shù)為>70%,所以A錯;

2

講座后問卷答題的正確率只有一個是80%,4個85%,剩下全部大于等于90%,所以講座后

問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%,所以B對；

講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確

率的標(biāo)準(zhǔn)差，所以C錯；

講座后問卷答題的正確率的極差為100%—80%=20%,

講座前問卷答題正確率的極差為95%—60%=35%>20%,所以D錯.

故選:B

3.若z=l+i.則位+3泊=()

A.475B.472C.2^D.272

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則，共軌復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)模的計算公式即可求出.

【詳解】因為z=l+i，所以iz+35=i（l+i）+3（l—i）=2—2i,所以

|iz+3z|=V4+4=2V2.

故選：D.

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面體的

體積為（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.

【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖，

則該直四棱柱的體積V=——x2x2=12.

2

故選：B.

5,將函數(shù)/（x）=sin[0x+1]（0〉O）的圖像向左平移1個單位長度后得到曲線C,若C

關(guān)于y軸對稱，則。的最小值是（）

Illi

A.-B.—C.—D.-

6432

【答案】C

【解析】

Cf'lTT7T7T

【分析】先由平移求出曲線。的解析式，再結(jié)合對稱性得一+—=—+br,左eZ,即可

232

求出。的最小值.

/JT\TT（f）JTIT

【詳解】由題意知：曲線。為丁=5111%+—l+y=sin（（y%+—+y）,又。關(guān)于y

,.一匚r.CO71TC7111r

軸對標(biāo)，則---1—=—Hki,keZ,

232

解得。=』+2左/eZ,又。＞0,故當(dāng)k=0時，。的最小值為

33

故選：C.

6.從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上

的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

1122

A.—B.—C.—D.一

5353

【答案】C

【解析】

【分析】先列舉出所有情況，再從中挑出數(shù)字之積是4的倍數(shù)的情況，由古典概型求概率即

可.

【詳解】從6張卡片中無放回抽取2張，共有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)

15種情況，

其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6種情況，故概率為

6_2

155'

故選：C.

7.函數(shù)y=(3'-3一1cos尤在區(qū)間—與］的圖象大致為()

【解析】

【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可得解.

【詳解】令/(x)=(3"—3*)cosx,xe—?—,

則/(-^)=(3"x-3')cos(-%)=-(3工一3T)cosx=-/(%),

所以/(X)為奇函數(shù)，排除BD；

又當(dāng)時，3*—3T〉0,cosx〉0,所以/(力＞0,排除C.

故選：A.

b

8.當(dāng)％=1時，函數(shù)/(%)=。1口%+—取得最大值—2,貝1」/'(2)=()

x

11

A.—1B.----C.—D.1

22

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知/(I)=-2,/'⑴=0即可解得。力，再根據(jù)尸(九)即可解出.

【詳解】因為函數(shù)"％)定義域為(0,+。)，所以依題可知，/(I)=-2,尸⑴=0,而

r(x)=q_與,所以P=-2,a——=0,即a=_2力=_2,所以/■'(%)=_2+鼻,因

X-XXX

此函數(shù)/(%)在(0,1)上遞增，在(L”)上遞減，x=1時取最大值，滿足題意，即有

r(2)=-i+；=j

故選：B.

9.在長方體ABCO-中，已知四。與平面A3CD和平面A&與3所成的角均為30。，

則()

A.AB^2ADB.AB與平面ABiG。所成的角為30。

C.AC=CB{D.用。與平面所成的角為

45°

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)線面角的定義以及長方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出.

【詳解】如圖所示：

不妨設(shè)A3=a,AD="A&=c,依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，耳。與平面A3CD所

cb

成角為NB^DB,用。與平面441AB所成角為/。耳A,所以sin30。=與木=%大，即

D}L)D}U

b=c,B.D=2c=^Ja~+b2+c2，解得a=0c.

對于A,AB=a,AD=b,AB=A/5AD，A錯誤；

對于B,過B作5E_LA4于￡,易知班1平面ABC]。，所以A3與平面做a。所成

角為NBAE,因為tanNR4E=￡=Y2,所以/BAEw30°，B錯誤；

a2

222

對于C，AC=da+b?=也（3,CB1-yjb+c=Mc，ACwCB],C錯誤；

對于D,耳。與平面54cle所成角為NDBC,sinZDB,C=—=—=—,而

B.D2c2

0<ZD^C<90°,所以ZD4c=45°.D正確.

故選：D.

10.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為際和S乙，

體積分別為。和吃.若"=2,貝i]}=()

3乙V乙

A.75B.2V2c.710D.

4

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)母線長為/,甲圓錐底面半徑為彳，乙圓錐底面圓半徑為弓，根據(jù)圓錐的側(cè)面積

公式可得4=2%,再結(jié)合圓心角之和可將分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩

圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.

【詳解】解：設(shè)母線長為/,甲圓錐底面半徑為(，乙圓錐底面圓半徑為馬,

則并署/2,

所以彳=2%,

又過+包=2?,

則二1，

所以4=|/,2=；/,

所以甲圓錐的高4=j/2—3/2=與,

乙圓錐的高％=J7—\/2=孚

1兀產(chǎn)h4廣義逐

町九個與

所以Tio.

K12,

乙父丫24

93

故選：C.

2]

11.已知橢圓c：J+去=1（?！?〉0）的離心率為§,4,4分別為c的左、右頂點，B

a

為C的上頂點.若明.砥=—1,則C的方程為（

22R爐十9722

A九y1

A.----1-----=1D.---H------1C.土+乙=1D.

18169832

2

—X+V2=11

2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)離心率及珂?麗=-1,解得關(guān)于的等量關(guān)系式，即可得解.

【詳解】解：因為離心率e=￡K解得》[T二

a

A，4分別為c左右頂點，則4（—0）,4（。,0）,

B為上頂點，所以3（0,。）.

所以珂=（—。，―份,砥=（。,—5）,因為珂?砥=—1

Q

所以—/+〃=—1，將代入，解得/=9/2=8,

22

故橢圓的方程為三+乙=1.

98

故選：B.

12.已知9'"=10,a=10"'—11,>=8"'—9,則（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>QD.

b>Q>a

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知加=1。891。＞1，再利用基本不等式,

換底公式可得加>ign,iog89>根，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出.

【詳解】由9"'=10可得〃，=1。8910=怨〉1，而

1g9

lg91gli<[g9；gn]=[等]<i=(igioy,所以需〉黑，即機(jī)>ign,所

以。=10"'—11〉10電”-11=0.

又Ig81gio<[lg8；gl。)=僵2)<0g9)2,所以皆>■,Bplog89>m,

所以b=8"'—9<8”曲9—9=0.綜上，a>0>b.

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量彳=(加,3),5=(1,加+1).若￡_1心，則加=.

3

【答案】一—##-0.75

4

【解析】

【分析】直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.

一3

【詳解】由題意知：a-b=m+3(m+1)=0,解得m=—.

4

3

故答案為：-

4

14.設(shè)點M在直線2x+y—1=。上，點(3,0)和(0,1)均在O/上，則的方程為

【答案】(x-l)2+(y+l)2=5

【解析】

【分析】設(shè)出點M的坐標(biāo)，利用(3,0)和(0,1)均在OM上，求得圓心及半徑，即可得圓的

方程.

【詳解】解：回點M在直線2x+y—1=0上，

團(tuán)設(shè)點M為(?,l-2a),又因為點(3,0)和(0,1)均在0M上，

團(tuán)點M到兩點的距離相等且為半徑R,

07(?-3)2+(1-2?)2=M+(-2a)2=R，

a2—6a+9+4?2—4a+1=5?2>解得a—\,

0M(1,-1),R=^

QM的方程為(1)2+(y+1)2=5.

故答案為：(x-l)2+(y+l)2=5

22

15.記雙曲線C:鼻-1=1（。＞0力＞0）的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2元與C無公

ab

共點''的e的一個值______________.

【答案】2（滿足皆可）

【解析】

bb

【分析】根據(jù)題干信息，只需雙曲線漸近線y=±—x中0（一〈2即可求得滿足要求的e

aa

值.

22Z_

【詳解】解：C:二-口=1（。＞0力＞0）,所以C的漸近線方程為丁=土一X,

a"ba

bh2

結(jié)合漸近線的特點，只需0〈一＜2,即勺＜4,

aa

可滿足條件"直線y=2%與c無公共點"

所以e=￡=Jl+—＜J1+4=5/5，

a\a~

又因為e＞l,所以l＜eV6，

故答案為：2（滿足1＜小有皆可）

16.已知AABC中，點。在邊BC上，ZADB=12Q°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)——取得最

AB

小值時，BD=.

【答案】6-1##-1+石

【解析】

Ar2

【分析】設(shè)CD=28D=2m＞0,利用余弦定理表示出絲—后，結(jié)合基本不等式即可得

AB2

解.

【詳解】設(shè)CD=2BD=2m＞0,

則在△AB。中，AB2=BD2+AD2-2BDADcosZADB=m2+4+2m，

在AAC￡>中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4m2+4-4m,

4(m2+4+2m)-12(l+m)

AC24m2+4—4m“12

=4-----------

所以至7―功2+4+2〃m2+4+2m

(m+l)+----

I7m+1

>4——.=4-2A/3

+3

V7m+1