2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列279 相似章末題型過關(guān)卷（人教版）含解析

2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列第27章

相似章末題型過關(guān)卷

【人教版】

考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分

姓名：班級(jí)：考號(hào)：

考卷信息：

本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時(shí)60分鐘，本卷題型針對(duì)性較高，覆蓋

面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2022?湖北荊州?中考真題）如圖，點(diǎn)P在蜘8c的邊4c上，要判斷MBP0MC8,添加一個(gè)條件,

不正確的是（）

2.（3分）（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，以點(diǎn)。為位似中心，把西8。放大為原圖形的2倍得到△4"。二

以下說法中錯(cuò)誤的是（）

A.△ABC?△48。B.點(diǎn)C,O,C，在同一直線上

C.40:44'=1:2D.AB||"

3.（3分）（2022?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A,B,C,。四個(gè)

點(diǎn)均在格點(diǎn)上，4c與8D相交于點(diǎn)E,連接他（以則^力命與乙⑺5的周長(zhǎng)二匕為（）

4.（3分）（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）P是線段AB上一點(diǎn)（AP>8P）,則滿足北=北，則稱點(diǎn)P是線

ABAr

段48的黃金分割點(diǎn).大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割點(diǎn)”.如圖，一片

樹葉的葉脈力B長(zhǎng)度為10cm,P為48的黃金分割點(diǎn)（AP>BP）,求葉柄BP的長(zhǎng)度.設(shè)BP=%cm,則符合

B

A.（10-x）2=10xB.x2=10（10-^）C.x（10-x）=102D.10（1-x）2=10-x

5.（3分）（2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列每個(gè)矩形都是由五個(gè)同樣的小正方形拼合組成，其中△ABC和

△CDE的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，則448。與△。?！?一定相似的圖形是（）

6.（3分）（2022?黑龍江大慶?中考真題）已知兩個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,4,m和6,8,九，且這

兩個(gè)直角三角形不相似，則m+n的值為（）

A.10+夕或5+2eB.15C.10+V7D.15+3夕

7.（3分）（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，。在AC邊上，AO:OC=1:2,。是8。的中點(diǎn),

連接A0并延長(zhǎng)交BC于E,若8尺1,則EC=（）

A

8.（3分）（2022?全國(guó)?九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在RtMBC中，NB4C=90°,中線3D,BE相交于點(diǎn)F.EGWBC,

交AD于點(diǎn)G.GF=1,則8c的長(zhǎng)為（）

A.5B.6C.10D.12

9.（3分）（2022?廣西?來賓城南初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，0BAD=6O°,AC、BD交

于點(diǎn)0,E為CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CD=DE,連接BE分別交AC,AD于點(diǎn)F、G,連結(jié)OG、AE.則下列結(jié)

論：①OGgAB；②四邊形ABDE是菱形；③S四邊為DGF=SAABF：其中正確的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

10.（3分）（2022?四川綿陽?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB//DC,AC1BC,CD=AD=5,

點(diǎn)3恰好和原點(diǎn)。重合，則m的值是（）

A.11.4B.11.6C.12.4D.12.6

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.13分）（2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖,ABHCDQEF,若AC=2.CE=5.BD=3510DF=

12.13分）（2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，點(diǎn)。，七分別在財(cái)3C的邊4C,人8上，（MDEBfMBC,M,

N分別是。E,8c的中點(diǎn)，磷哼則器=

13.（3分）（2022?湖北?武漢二中廣雅中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）將圖1中的矩形和正方形紙片沿圖2中的虛

線剪成5塊,再用這5塊拼接成如圖3所示矩形，其中陰影部分為空余部分，若48=2A。,則色的值為_______.

a--------------

14.13分）（2022?湖南?寧遠(yuǎn)縣中和鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOCB的

兩邊。4,OC分別在x軸和），軸上，且OA=2.OC=1,則矩形40cB的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是—；在第二象

限內(nèi)，將矩形40cB以原點(diǎn)。為位似中心放大為原來的|倍，得到矩形A/OC/8/,再將矩形AQG8/以原點(diǎn)

。為位似中心放大？倍，得到矩形人20c28…，按此規(guī)律，則矩形的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是一.

15.（3分）（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在A48C中，AB=9.BC=6,CO平分財(cái)CB

交于AB點(diǎn)。，點(diǎn)M是AC一動(dòng)點(diǎn)（AMV/C）,將沿OM折疊得到點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,

ED與AC交于點(diǎn)F,則CD的長(zhǎng)度是;若ME//CD,則AM的長(zhǎng)度是；

16.：3分）（2022?江西?九年級(jí)專題練天）如圖，菱形48CD的四個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上，對(duì)角線AC,BD交

于原點(diǎn)。，線段AD的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-V3,l）,P是菱形A8CD邊上的點(diǎn)，若APDE是等腰三角形，則點(diǎn)P的

坐標(biāo)可能是.

17.（6分）（2022?福建?原門市第五中學(xué)八年級(jí)期中）定義：若一個(gè)三角形最長(zhǎng)邊是最短邊的2倍，我們

把這樣的三角形叫做“和諧三角形在MBC中，點(diǎn)尸在邊AC上，。是邊8C上的一點(diǎn)，AB=BD,點(diǎn)A,

。關(guān)于直線/對(duì)稱，且直線/經(jīng)過點(diǎn)E

（1）如圖1,求作點(diǎn)尸；（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）如圖2,財(cái)4C是“和諧三角形〃，三邊長(zhǎng)BC,AC,48分別小b,c,且滿足下列兩個(gè)條件：a*2b,和

a2-\-^c2=^ac-\-a-b-1.

①求〃，力之間的等量關(guān)系；

②若AE是0ABO的中線.求證：0ACE是“和諧三角形〃.

AA

圖1圖2

18.（6分）（2022?上海?九年級(jí)專題練習(xí)）已知：Q：b:c=2:3:5.

（1）求代數(shù)式蕓言的值；

2a+3b-c

（2）如果3a—b+c=24,求a,b,c的值.

19.18分）（2022?浙江麗水?中考真題）如圖，在6x6的方格紙中，點(diǎn)4,B,C均在格點(diǎn)上，試按要求畫

出相應(yīng)格點(diǎn)圖形.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,作一條線段，使它是力8向右平移一格后的圖形；

⑵如圖2,作一個(gè)軸對(duì)稱圖形，使AB和AC是它的兩條邊；

⑶如圖3,作一個(gè)與△力BC相似的三角形，相似比不等于1.

20.（8分）（2022?安徽安慶?九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,

點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE,交AC于點(diǎn)F.

（1）如圖①，當(dāng)雪=；時(shí)，求受變的值；

EB34CDF

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)F作FG團(tuán)BC于點(diǎn)G,求證：CG=^BG.

men圖②

21.（8分）（2022?山東?棗莊市臺(tái)兒莊區(qū)教育局教研室九年級(jí)期中）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中建

立平面直角坐標(biāo)系，已知0ABe三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（-1,2）、8（2,1）、C（4,5）.

（1）以原點(diǎn)。為位似中心，在x軸的上方畫出刻向以使財(cái)向G與位似，且相似比為2：

（2）出V8/G的面積是平方單位.

22.（8分）（2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1,將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與A4紙較長(zhǎng)的

邊重合，如圖2,將1張A4紙對(duì)折，使其較長(zhǎng)的邊一分為二，沿折痕剪開，可得2張A5紙.

（1）A4紙較長(zhǎng)邊與較短邊的比為

（2）A4紙與A5紙是否為相似圖形？請(qǐng)說明理由.

23.18分）（2022?全國(guó)?九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，小明家窗外有一堵圉墻AB.由于圍墻的遮擋，清晨太陽

光恰好從窗戶的最高點(diǎn)C射進(jìn)房間的地板F處，中午太陽光恰好能從窗戶的最低點(diǎn)D射進(jìn)房間的地板E處,

小明洌得窗子距地面的高度OD=lm,窗高CD=1.5m,并測(cè)得OE=lm,OF=5m,求圍墻AB的高度.

第27章相似章末題型過關(guān)卷

【人教版】

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2022?湖北荊州?中考真題）如圖，點(diǎn)。在射8c的邊AC上，要判斷M8咂4CB,添加一個(gè)條件,

不正確的是（）

A.MBPWCB.MP8到8c

「APABnABAC

D.一=一

'AB~ACBPCB

【答案】D

【詳解】解：A.當(dāng)M8P=（3C時(shí)，

乂宛

加8甌AC8,

故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B..當(dāng)MP8=M8C時(shí)，

又皿如，

團(tuán)M8Ps04CB,

故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

c?卜=）時(shí)，

乂團(tuán)朋=朋，

^BfWACB,

故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.無法得到蜘8psMcB,故此選項(xiàng)正確.

故選：D.

2.（3分）（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把財(cái)8。放大為原圖形的2倍得到△A'B'C,

以下說法中錯(cuò)誤的是（）

A.A/IBC?△4B'C'B.點(diǎn)C,O,C‘在同一直線上

C.AO:AAf=1:2D.AB||A'B'

【答案】C

【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可得.

【詳解】解：???以點(diǎn)。為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到ANB工，，

???△A3C?△48'。'、點(diǎn)C,O,C'在同一直線上、AB||A'B\40:04=1:2,

???40:71A=1:3,

即選項(xiàng)A、B、D說法正確，選項(xiàng)C說法錯(cuò)誤，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.（3分）（2022?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A,B,C,。四個(gè)

【答案】D

【分析】運(yùn)用網(wǎng)格圖中隱藏的條件證明四邊形。CBM為平行四邊形，接著證明最后利相

似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比即可求出.

【詳解】如圖：由題意可知，OM=3,BC=3,

回OM=BC,

而DMIBC,

團(tuán)四邊形DC8M為平行四邊形，

^ABWDC,

BzF/lE=乙DCE,AABE=乙CDE,

QAABE~&CDE?

產(chǎn)ABE=絲=丁2竺=W5=2

C^CDECDVI2+22VSI

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)

并正確計(jì)算是解題關(guān)鍵.

4.（3分）（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）P是線段48上一點(diǎn)（AP>BP）,則滿足喘=啜，則稱點(diǎn)P是線

ABAP

段48的黃金分割點(diǎn).大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割點(diǎn)如圖，一片

樹葉的葉脈4B長(zhǎng)度為10cm,P為力B的黃金分割點(diǎn)（AP>BP）,求葉柄BP的長(zhǎng)度.設(shè)8P=%cm,則符合

題意的方程是（）

A.(10-x)2=10xB.x2=10(10-x)C.x(10-x)=102D.10(1-x)2=10-x

【答案】A

【分析】根據(jù)黃金分割的特點(diǎn)即可求解.

【詳解】財(cái)8=10,BP=xf

(MP=10-x,

回尸點(diǎn)是黃金分割點(diǎn),

^AP2=AB-BP,

13(10—x')2=10x?

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)黃金分割點(diǎn)列一元二次方程的知識(shí)，依據(jù)蕓=三得到AP2=AB.8P是解答本

題關(guān)鍵.

5.（3分）（2022?全國(guó),九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列每個(gè)矩形都是由五個(gè)同樣的小正方形拼合組成，其中AABC和

△CDE的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上,

【答案】A

【分析】由已知根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)分析論證得出正確選項(xiàng).

【詳解】解：已知每個(gè)矩形都是由五個(gè)同樣的小正方形拼合組成.

A：國(guó)4BC=900+45°=135°,團(tuán)8￡=90°+45°=135°,

團(tuán)財(cái)3CWCOE,

BC=DC=V2,

BC_42

嚷=^=當(dāng)法=3

的鉆。30COE；

B：胡8。為等腰三角形，則（3COE不是等腰三角形，所以不相似;

C：0ABC中財(cái)BC=90°+45°=135°,而E1CDE中同8石=團(tuán)135°,對(duì)應(yīng)角不相等，所以不相似;

cCDABD2

D：方=1'族=7

喘W器，所以不相似.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)

分析論證得出正確選項(xiàng).

6.（3分）（2022?黑龍江大慶?中考真題〕已知兩個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,4,m和6,8,九，且這

兩個(gè)直角三角形不相似，則m+n的值為（）

A.10+77或5+2夕8.15C.10+V7D.154-377

【答案】A

【分析】判斷未知邊機(jī)、〃是直角三角形的直角邊還是斜邊，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出"人〃的值，最后根據(jù)

題目中兩個(gè)三角形不相似，對(duì)應(yīng)邊的比值不同進(jìn)行判斷.

【詳解】解：在第一個(gè)直接三角形中，若〃，是直角邊，則加=用=二6，

若帆是斜邊，則m=V42+32=5；

在第二個(gè)直接三角形中，若〃是直角邊，則九="82—62=畫=26,

若n是斜邊，則幾=V82+62=10；

又因?yàn)閮蓚€(gè)直角三角形不相似，故加=5和〃=10,m3和〃=2夕不能同時(shí)取，

即當(dāng)用=5,n=2V7,m+n=5+2夕，

當(dāng)m=??=10,m+n=10+77,

故選：4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)，在直角三角形中對(duì)未知邊是直角邊還是斜邊進(jìn)

行不同情況的討論是解題的關(guān)鍵.

7.（3分）（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，。在AC邊上，AO:0C=1:2,。是40的中點(diǎn),

【分析】過點(diǎn)。作OFII4E交于凡根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，器=照普=3再根據(jù)。

crOUrCDCZ

是8。的中點(diǎn)，可得8斤E凡進(jìn)而解答即可.

【詳解】解：過點(diǎn)。作。FII4E交BC于F,如圖,

A

國(guó)0是8。的中點(diǎn)，

班0=00,

班￡=M,

0DFH4E,

用=任=\

FCDC2

⑦CF=2EF,

⑦BE:EC=BE:3BE=1:3,

05￡=1,

（3EC=3,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.過分點(diǎn)作平

行線構(gòu)建平行線分線段成比例定理的基本圖形是解決問題的關(guān)鍵.

8.（3分）（2022?全國(guó)?九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在RtMBC中,乙BAC=90°,中線3D,BE相交于點(diǎn)F.EGWC,

交力。于點(diǎn)G.G尸=1,貝IJBC的長(zhǎng)為（）

A.5B.6C.10D.12

【答案】D

【分析】首先根據(jù)G￡0CD得到"G/mADC、AFEG0AFBD,求出AD=6,然后利用直角三角形斜邊的中線

性質(zhì)得出結(jié)果.

【詳解】解：0G￡0CD,

0AAG￡EI3ADC.AFEG^XFBD.

AG_G￡_A￡_1

AD~CD~AC~2

又（3MCQ,

0DF=2GF=2,

WG=DF+GF=3

（L4Z>2DG=6,

在直角AABC中，團(tuán)84090。，

^BC=2AD=12,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定以及直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)平行得到相似三角形是解決問題

的關(guān)鍵.

9.（3分）（2022?廣西?來賓城南初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，0BAD=6O°,AC、BD交

于點(diǎn)。，E為CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CD=DE,連接BE分別交AC,AD于點(diǎn)F、G,連結(jié)0G、AE.則下列結(jié)

論：①。G=[AB；②四邊形ABDE是菱形；③S四邊的DGF=SAABF：其中正確的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】證明四邊形ABDE為平行四邊形可得0B=0D,由菱形ABCD可得AG=DG,根據(jù)三角形中位線定理可

判斷①；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定可得團(tuán)ABD為等邊三角形AB=BD,從而可判斷平行四邊形ABDE是菱

形，由此判斷②：借助相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形中線有關(guān)的面積問題可判斷③.

【詳解】解：回四邊形ABCD是菱形，

0AB0CD,AB=CD=AD,0A=0C,0B=0D,

0CD=DE,

0AB=DE.

又回ABQDE,

團(tuán)四邊形ABDE是平行四邊形，

0BG=EG,AB=DE,AG=DG,

又（30D=0B,

0OG是（3BDA是中位線，

BOG=|AB,

故①:E確；

00BAD=6O°,AB=AD,

物BAD是等邊二角形，

團(tuán)BD=AB,

她4BDE是菱形，

故②王確；

0OB=OD,AG=DG,

0OG是（3ABD的中位線，

0OG0AB,OG=-AB,

2

00GODS0ABD（ASA）,0ABF03OGF（ASA）,

酶GOD的面積&ABD的面積，鼬BF的面積WOGF的面積的4倍，AF：0F=2：1,

4

00AFG的面積=13OGF的面積的2倍，

X00GOD的面積=0AOG的面積WBOG的面積，

0SRiAJBODGF=SAABF;

故③王確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中

位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).判斷①的關(guān)鍵是三角形中位線定理的運(yùn)用，②的關(guān)鍵是利用

等邊三角形證明BD=AB：③的關(guān)鍵是通過相似得出面積之間的關(guān)系.

10.（3分）（2022?四川綿陽?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB//DC,ACIBC,CD=AD=5,

AC=6,將四邊形力BCD向左平移?n個(gè)單位后，點(diǎn)B恰好和原點(diǎn)。重合，則m的值是（）

【答案】A

【分析】由題意可得，m的值就是線段0B的長(zhǎng)度，過點(diǎn)。作0E14C,過點(diǎn)C作CF108,根據(jù)勾股定理求

得。E的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形相似求得BF,矩形的性質(zhì)得到OF,即可求解.

【詳解】解：由題意可得，m的值就是線段。8的長(zhǎng)度，

過點(diǎn)”作DE1AC,過點(diǎn)C作CF1OB,如下圖：

BCD=AD=5,DELAC

^CE=^AC=3,Z.DEC=90°

由勾股東理得DE=VCD2-CE2=4

^AB//DC

(3NDCE=ABAC,/-ODC=乙BOD=90°

又124c1BC

團(tuán)乙力CB=乙CED=90°

DEC?△BCA

解得BC=8,AB=10

0CFJLOB

團(tuán)ZACB=乙BFC=90°

12ABCFs&BAC

解得BF=6.4

由題意可知四邊形。尸CD為矩形，0OF=CD=5

OB=BF+OF=11.4

故選A

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圖形的平移，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握

相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.13分）（2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB^CD^EF,若AC=2,CE=5,〃。=3貝U￡>F=—.

【分析】直接根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出結(jié)論.

【詳解】解：團(tuán)直線4況1CD3E凡AC=2,CE=5,BD=3,

啥嘮，即"/解得"=75

故答案為：7.5.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，熟知三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例是

解答此題的關(guān)鍵.

12.（3分）（2022,江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，點(diǎn)Q,E分別在財(cái)BC的邊4C,上，^ADESBABC,憶

N分別是BC的中點(diǎn)，若?=；，則沁=_.

AN2S^ABC一

【答案】:

4

【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比求出北，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解

BC

答即可.

【詳解】解：團(tuán)M,N分別是OE,8C的中點(diǎn),

（MM、AN分別為MZ）E、園48C的中線,

配L4O￡0EL4BC,

DE_.4M_1

BC~^AN-29

啜宜=鏟%

故答案為：;.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三角形對(duì)應(yīng)中

線的比等于相似比是解題的關(guān)鍵.

13.（3分）（2022?湖北?武漢二中廣雅中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）將圖1中的矩形和正方形紙片沿圖2中的虛

線剪成5塊,再用這5塊拼接成如圖3所示矩形，其中陰影部分為空余部分，若4慶：MO,則士的值為

圖1

【答案】竺修

6

【分析】如圖，設(shè)FH=EJ=AK=x,則PF=5a+26-x,AB=4a-2b,首先證明x=36-2a,利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)

建關(guān)系式，即可解決問題.

【詳解】解：如圖，設(shè)尸樂E/=AK=x,則PF=5d2b-x,AB=4a-2b,

^JR=DQ=5a-x,AB=2CD,

^CD=2a-b,

^KQ=PF,

^x+2a-b+Sa-x=5a+2b-Xf

^x=3b-2a,

00EWF=SP=0EFr=9O0,

^HFE^PFT=90°,@PF7+0F7P=9O%

^BEFH^FTP,

^EHI^FPT,

爬=匕

FPPT

g4a_____3b-2a

《5a+2白-(3b—2a)-2b，

整理得，3b2-1Sah+14a2=0,

,15二府

鼬ra=-----a、

6

團(tuán)4。-2/>>0,

■V2,

a

故答案為：竺號(hào).

【點(diǎn)睛】本題考查圖形拼剪，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決

問題，屬于中考?？碱}型.

14.（3分）（2022?湖南?寧遠(yuǎn)縣中和鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形A0C8的

兩邊OA,OC分別在x軸和），軸上，且04=2.OC=1,則矩形40cB的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是—；在第二象

限內(nèi)，將矩形40C8以原點(diǎn)0為位似中心放大為原來的日倍，得到矩形40。助，再將矩形AQGB/以原點(diǎn)

0為位似中心放大舞，得到矩形42。。2笈...，按此規(guī)律，則矩形40a&的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是.

【分析】先利用矩形的性質(zhì)寫出B點(diǎn)坐標(biāo)，則根據(jù)線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式可寫出矩形AOCB的對(duì)稱中心的坐標(biāo);

再利用以原點(diǎn)為位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系分別寫出B】、Bz、B3、B，的坐標(biāo)，然后矩形A40c4B4

的對(duì)稱中心的坐標(biāo).

【詳解】解：0OA-2.OC-1,

團(tuán)B（-2,1）,

回矩形AOCB的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（-1,p,

回將矩形AOCB以原點(diǎn)0為位似中心放大為原來的消，得到矩形AiOCiBi，

%（-3,,

同理可得Bz（g；）,B（子，片）,B（片,與,

Z434o4o16

團(tuán)矩形A40c4B4的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是（-弟同，，

故答窠為（-1,“，（?弟少.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-位似變換：先確定位似中心；再分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；

接著根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；然后順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形.

15.13分）（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在A4BC中，AB=9、BC=6,EL4CB=2EL4,CD平分財(cái)C8

交于AB點(diǎn)O,點(diǎn)M是AC一動(dòng)點(diǎn),將A4OM沿。M折疊得到AEDM,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,

與AC交于點(diǎn)凡則CO的長(zhǎng)度是：若ME〃CD,則AM的長(zhǎng)度是；

【分析】（1）根據(jù)已知條件可得MQX0AWBCD,所以40=8,然后證明“8。犯C5D,進(jìn)而可以解決問

題；

（2）由翻折可得4M=EM,（3C4D=QE,,由MEHCO,可得田代團(tuán)EQC,DF//BC,且OF=CE進(jìn)而得到

AADF^AABC,求出。F、CF的長(zhǎng)，再由4尸：CF=AD：4。求出4戶及MF的長(zhǎng)，再證明/MER2J8F,最

后求得AM的長(zhǎng).

【詳解】（1）畫4cB=2財(cái)，CO平分財(cái)CB,

00BCD=（MCD=0CAD,

酬BWB,

0JSCD0JBAC,

05C：AB=BD：BC,

即6：9=BD：6,BD=4,

財(cái)Z）=CD=9-4=5；

（2）ElAAOM沿OM折疊得到/EDM,

^AM=EM,0CA￡>=aE,

aME//CD,

釀EWCDE,

配BCZMMCOWCA。，

00CDE=0BCD=0ACD,

QDF”BC,KDF=CF,

^AADF^AABC.

0DF：BC=AD：ABt

即。氏6=5：9,

解得川巖,

0CF=Y；

聞DF“BC,

0AF：CF=AD：BD,

即A尸：y=5：4,

解得：AF=g,

設(shè)AM=ME=xf則MF^y-xx

6

OME/jCD,

^AMEF^ACDF,

團(tuán)ME：CD=MF：CF,

?./25、10

即x：5=（-x）：一,

63

解得尸2.5；

故答案：5；2.5；

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是得到CM=OE=5,然后由

△ABaamcBO解決問題.

16.：3分）（2022?江西?九年級(jí)專題練如圖，菱形486的四個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上，對(duì)角線AC,BD交

于原點(diǎn)。，線段AD的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-6,1）,P是菱形/BCD邊上的點(diǎn)，若APDE是等腰三角形，則點(diǎn)P的

坐標(biāo)可能是.

【答案】（，-1）或（倔1）或（今-習(xí)

【分析】根據(jù)線段4。的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（一6,1）,易得。E=2,根據(jù)菱形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)，可

得菱形的邊長(zhǎng)4,乙40。=60。，然后分別從①當(dāng)PE=DE時(shí)，②當(dāng)DP=DE時(shí)，③當(dāng)PE=P。時(shí)去分析求

解即可求得答案.

【詳解】解：①過點(diǎn)E作EM1AC于M,延長(zhǎng)EM交AB于點(diǎn)區(qū),連接0E,

回點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-75,1),

^RtAEMO^,EM=1,OM=V3,

WE=\/EM2+MO2=Jl2+(V3)2=2,

0ZEOM=30°,

同點(diǎn)E為菱形ABCD的邊4。的中點(diǎn)，

(34C18O,AD=2OE=4,AE=DE=2t

(3EPi|BD,CD=AD=4,

曄=生=些=

8PlOMDE

團(tuán)4M=OM,APr=BP、,

回點(diǎn)M是線段4。的中點(diǎn)，點(diǎn)Pi是線段48的中點(diǎn)，

WD=2DO=2x2EM=4,BO=DO=2,

AO=2MO=2V3,AO=CO=2A/3,

0FP,=2,MPl=\BO=1

OEPi=ED,

明(-V5,-l)；

②過點(diǎn)E作EN1BD于N,延長(zhǎng)￡W交CO于點(diǎn)P3,

自點(diǎn)E為菱形HBCD的邊4。的中點(diǎn)，ACLBD

回"3||AC,

脛="=絲=

CP3ONAE

(3DN=ON,DP3=CP3,

閉點(diǎn)N是線段。。的中點(diǎn)，點(diǎn)P3是線段CD的中點(diǎn)，

由①知：CO=2^,CD=4,

WP3=>/3,ON=^DO=1,DP2=|CD=2,

0DF=DP3,

0P3(V3,1);

③過點(diǎn)。作OG_LAD于G,延長(zhǎng)GO交BC于點(diǎn)P2,連接EP2,DP2,

由①知：EO=EA=ED,Z.EOA=30°,AC1BD,

團(tuán)乙40D=90°,

□zEi4O=Z.EOA=30°.AADO=90°-30°=60°.

0AED。是等邊三角形，

回點(diǎn)G是線段DE的中點(diǎn)，

囹OG是OE的垂直平分線,

0^2^=P?D，

站（一乃,1）,OD=2,

0D（O,2）,

根據(jù)題意，菱形A8CD關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱，

叫仁V）.

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（一次,一1）或（祗1）或停一3

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，三角形的中位線，平行線分線段成比例，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰

三角形的性質(zhì)，勾股定理，中點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn).掌握菱形的性質(zhì)及分類討論是解答本題的關(guān)鍵.

三.解答題（共7小題，滿分52分）

17.16分）（2022?福建?原門市第五中學(xué)八年級(jí)期中）定義：若一個(gè)三角形最長(zhǎng)邊是最短邊的2倍，我們

把這樣的三角形叫做“和諧三角形在MBC中，點(diǎn)尸在邊AC上，。是邊8C上的一點(diǎn)，AB=BD,點(diǎn)A,

。關(guān)于直線/對(duì)稱，且直線/經(jīng)過點(diǎn)E

（1）如圖1,求作點(diǎn)尸；（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）如圖2,財(cái)4C是“和諧三角形〃，三邊長(zhǎng)BC,AC,48分別小b,c,且滿足下列兩個(gè)條件：a*2b,和

a2-\-^c2=^ac-\-a-b-1.

①求〃，力之間的等量關(guān)系；

②若AE是0ABO的中線.求證：0ACE是“和諧三角形〃.

AA

【答案】（1）見解析（2）①用Hl②見解析

【分析】（1）作4。的垂直平分線，交力C于尸點(diǎn)即可；

（2）①根據(jù)題意得到a=2c,聯(lián)立o2+4c2=4ac+a-b-l即可求解;

②證明團(tuán)48K配C84,得到獸=：,故可求解.

CA2

【詳解】（1）如圖，點(diǎn)F為所求；

（2）①畫48C是"和諧三角形”

0?=2c

又/+4/=4〃。+以-b-1.

聯(lián)立化簡(jiǎn)得到。4+1:

②團(tuán)E點(diǎn)是8。中點(diǎn)

班E=；BD=：AB

22

由①得到4陷BC

度=些一

BCAB2

又3A

團(tuán)財(cái)BE013C84

故MCE是“和諧三角形

【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知垂直平分線的做法.

18.16分）（2022?上海?九年級(jí)專題練習(xí)）已知：o:b:c=2:3:5.

（1）求代數(shù)式笠好的值；

2a+3b-c

（2）如果3a-b+c=24,求a,b,c的值.

【答案】（1）1:（2）a=6,b=9,c=15

【分析】（1）設(shè)a=2k,b=3k,c=5k（k工0）,代入代數(shù)式蕓磬，即可求出答案；

2a+3O-C

（2）把a(bǔ)、b、c的值代入，求出即可.

［詳解］0a:b:c=2:3:5

團(tuán)設(shè)a=2k,b=3k,c=5k（kw0）,

,“、3a—b+c6k—3k+5k8k

（1）=-------------=—=14;

2a+3b-c4k+9k-5k8k

（2）03a-b+c=24

06k-3k+5k=24,

0k=3,

0a=2x3=6）b=3x3=9,c=5x3=15.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力.

19.（8分）（2022?浙江麗水?中考真題）如圖，在6x6的方格紙中，點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上，試按要求畫

出相應(yīng)格點(diǎn)圖形.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,作一條線段，使它是4B向右平移一格后的圖形；

⑵如圖2,作一個(gè)軸對(duì)稱圖形，使48和力C是它的兩條邊；

⑶如圖3,作一個(gè)與A/IBC相似的三角形，相似比不等于1.

【答案】⑴畫圖見解析

⑵畫圖見解析

⑶畫圖見解析

【分析】(1)分別確定人用平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)CD,從而可得答案:

(2)確定線段AB,AC關(guān)于直線5C對(duì)稱的線段即可；

(3)分別計(jì)算△ABC的三邊長(zhǎng)度，再利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例確定△/)"的三邊長(zhǎng)度，再畫HMD"

即可.

(1)

解：如圖，線段CO即為所求作的線段，

(2)

如圖，四邊形ABDC是所求作的軸對(duì)稱圖形,

如圖，如圖，△￡)￡1/即為所求作的三角形,

由勾股定理可得：AB=V12+32=y/W,AC=V2,而BC=2,

同理：DF=V22+62=2屈,DE=2V2..而EF=4,

AB_AC_BC_1

DF~DE~EF~2’

???△ABCDFE.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平移的作圖，軸對(duì)稱的作圖，相似三角形的作圖，掌握平移軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三

角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵.

20.18分）（2022?安徽安慶?九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,

點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE,交AC于點(diǎn)F.

（1）如圖①，當(dāng)署=：時(shí)，求鬻的值；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)F作FGEIBC于點(diǎn)G,求證：CG=^BG.

網(wǎng)①圖②

【答案】（1）2=；;（2）證明見解析.

SACDF4

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理，得團(tuán)CEF團(tuán)鼬DF,可得署；，進(jìn)而即可得到結(jié)論;

DF4

（2）由AD0CB,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，得（aEFOWFA.CF：AF=EC：AD,由FG〃AB,得CG：BG=CF：AF,進(jìn)而

即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）噂=%

岸上

BC4

團(tuán)四邊形ABCD是正方形，

0AD0BC,AD=BC,

00CEF00ADF,

(—SACEFEF1

SACDFDF4

(2)?AD團(tuán)CB,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),

00EFC00DFA.

0CF：AF=EC：AD=1：2,

0FGSBC,

HFG//AB.

0CG：BG=CF：AF=1：2,

團(tuán)CG=*G.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)定理以及平行線分線段成比例定理，掌握

相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，是解題的關(guān)鍵.

21.〔8分)(2022?山東?棗莊市臺(tái)兒莊區(qū)教育局教研室九年級(jí)期中)如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中建

立平面直角坐標(biāo)系，已知(B48C三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-1,2)、8(2,1)、C(4,5).

(1)以原點(diǎn)O為位似中心，在x軸的上方畫出刻汨/。，使財(cái)/以。與財(cái)8c位似，且相似比為2：

(2)M/8/G的面積是平方單位.

(3)點(diǎn)F(a,b)為0ABe內(nèi)一點(diǎn)，則在aA/3/G內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

【答案】(1)見解析；(2)28；(3)(2a,2b).

【分析】(1)連接OB,延長(zhǎng)OB到Bi使得OBi=2OB,同法作出A1,Ci，連接AiJ,BiCi，A】Bi即可.

(2)兩條分割法求出三角形的面積即可.

(3)利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可.

【詳解】解：(1)向A】BiG即為所求.

(2)用AiBiJ的面積=4SAABC=4X(4X5-^x3x5-|xlx3-1x2x4)=28,

故答案為：28.

（3）點(diǎn)P（a,b）為團(tuán)ABC內(nèi)一點(diǎn)，則在鼬出遍1內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，的坐標(biāo)為（2a,2b）,

故答案為：（2a.2b）.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一一位似變換，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常

考題型.

22.（8分）（2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1,將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與A4紙較長(zhǎng)的

邊重合，如圖2,將1張A4紙對(duì)折，使其較長(zhǎng)的邊一分為二，沿折痕剪開，可得2張A5紙.

□

A5

圖2

（1）A4紙較長(zhǎng)邊與較短邊的比為―；

（2）A4紙與A5紙是否為相似圖形？請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）V2;（2）相似，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)邊的關(guān)系得出比例等式解答即可;

（2）根據(jù)相似圖形的判定解答即可.

解：：1）如圖1,設(shè)

由上面兩個(gè)圖，由翻折的性質(zhì)我們知道，

MCF=^HDF,^ACB=WDBf0ECF=45°,

皿8c/=團(tuán)8。尸=90°,

5l^ACE=^ACB^ECB=^BCF=WCE+^ECF,

團(tuán)IMCB=SEC尸=45°,

^BC-y/2x,

姐O=8C=&AD=AB+BD=（V2+1）x,

^EF=CE=AD=（V2+1）x,

^DE=AC=AB=xt

0DF=DE+EF=（V2+2）x,

_（在+2」_Vz+2_

嗝一（V2+l）x一而一

故答窠為：V2.

（2）由（1）知：A5紙長(zhǎng)邊為A4紙短邊，長(zhǎng)為（企+1）x,A5紙短邊長(zhǎng)為（等）工,

（0+l）x

回對(duì)A5紙，長(zhǎng)邊：短邊==V2,

M4紙與45紙相似.

【點(diǎn)睛】此題考查了相似圖形，關(guān)鍵是根據(jù)相似圖形判斷和性質(zhì)解答.

23.18分）（2022?全國(guó)?九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，小明家窗外有一堵圍墻AB,由于圍墻的遮擋，清晨太陽

光恰好從窗戶的最高點(diǎn)C射進(jìn)房間的地板F處，中午太陽光恰好能從窗戶的最低點(diǎn)D射進(jìn)房間的地板E處,

小明測(cè)得窗子距地面的高度OD=lm,窗高CD=1.5m,并測(cè)得OE=lm,OF=5m,求圍墻AB的高度.

【答案】4m

【分析】首先根據(jù)DO=OE=lm,可得（3DEB=45。，然后證明AB=BE,再證明（3ABF00COF,可得翌=路然后代

BFOF

入數(shù)值可得方程，解出方程即可得到答案.

【詳解】解：延長(zhǎng)0D,

0DO0BF,

00DOE=9O°,

(210D=lm,OE=lm,

00DEB=45%

0AB0BF,

釀BAE=45。，

0AB=BE,

設(shè)AB=EB=xm,

0AB0BF,CO0BF,

0AB0CO,

00ABF2ECOF,

x1.5+1

=

x+(5-l)-----5

解得：x=4.

經(jīng)檢驗(yàn)：x=4是原方程的解.

答：圍墻AB的IWJ度是4m.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似二角形的應(yīng)用,解決問題的關(guān)鍵是求出AB=BE.根據(jù)相似三角形的判定方法證

明△ABFs/\COF.

專題28.1銳角的三角函數(shù)【十大題型】

【人教版】

?方媽宮巾

【題型1銳角的三角函數(shù)概念辨析】...........................................................36

【題型2直接根據(jù)定義求銳角的三角函數(shù)值】...................................................37

【題型3構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】.................................................38

【題型4根據(jù)銳角的三角函數(shù)值求邊長(zhǎng)】........................................................39

【題型5根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】................................................40

【題型6求特殊角的三角函數(shù)值】.............................................................41

【題型7同角的三角函數(shù)值的證明或求值】.....................................................42

【題型8互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系的計(jì)算】.....................................................43

【題型9利用增減性判斷三角函數(shù)的取值范圍】.................................................43

【題型10三角函數(shù)在等腰直角三角形中的應(yīng)用】................................................44

”片聲一定三

【知識(shí)點(diǎn)1銳角三角函數(shù)】

在用AABC中，ZC=90°,則NA的三角函數(shù)為

定義表達(dá)式