2024學年臨沂市高二數(shù)學上學期學科素養(yǎng)水平監(jiān)測試卷附答案解析

學年臨沂市高二數(shù)學上學期學科素養(yǎng)水平監(jiān)測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.橢圓的離心率為（）A. B. C. D.3.已知是直線的方向向量，為平面的法向量，若，則（）A. B. C. D.4若圓與圓有3條公切線，則（）A.5 B.4 C.3 D.25.空間三點，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A. B. C.7 D.6.若圓，點在直線上，過點作圓的切線，切點為，則切線長的最小值為（）A.1 B.2 C. D.47.若，兩點到直線的距離相等，則（）A B. C.2或 D.2或8.設為坐標原點，，為橢圓的兩個焦點，點在上，，則（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若直線過點，且在兩坐標軸上截距相等，則直線方程可能為（）A. B.C. D.10.在平面直角坐標系中，已知，，點滿足，設點的軌跡為，則（）A.當時，的方程是B.當時，以為直徑的圓與的公共弦長為C.當時，圓的圓心在線段的延長線上D.以為直徑圓始終與相交11.如圖是數(shù)學家GerminalDandelin用來證明一個平面截圓錐側面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）.在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側面、截面相切，截面分別與球，球切于點，（，是截口橢圓的焦點）.設圖中球，球的半徑分別為3和1，球心距，則（）A.橢圓的中心在直線上B.C.直線與橢圓所在平面所成的角為D.橢圓的離心率為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若點是點在坐標平面內的射影，則________.13.若圓上恰有個點到直線的距離等于，則的取值范圍是________.14.《九章算術》中記錄“羨除”是算學和建筑學術語，指的是一段類似地下車庫入口形狀的幾何體.如圖，羨除中，四邊形，均為等腰梯形，，，互相平行，平面平面，梯形，的高分別為2，4，且，，，則與平面所成角的正切值為________，異面直線與所成角的余弦值為_______四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在空間四邊形中，，分別為，的中點，點為的重心，設，，.（1）試用向量，，，表示向量；（2）若，，，求的值.16.已知圓的圓心在直線上，并且經過圓與圓的交點.（1）求的方程；（2）直線與交于，兩點，當弦最短時，求的值，并求出此時關于對稱的圓的方程.17.如圖，在直三棱柱中，，，，分別為棱，中點，是與的交點.（1）求點到平面的距離；（2）在線段上是否存在一點，使平面，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.18.在圓上任取一點，過作軸的垂線段，垂足為，點在線段的延長線上，且，當在圓上運動時，點形成的軌跡為.（當經過圓與軸的交點時，規(guī)定點與點重合.）（1）求的方程；（2）設的上頂點為，過點作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，，直線，分別與軸交于點，，證明：線段的中點為定點.19.已知曲線，對坐標平面上任意一點，定義，若兩點，，滿足，稱點，在曲線的同側；，稱點，在曲線的兩側.（1）若曲線，判斷，兩點在曲線的同側還是兩側；（2）已知曲線，為坐標原點，求點集所構成圖形的面積；（3）記到點與到軸的距離之和為的點的軌跡為曲線，曲線，若曲線上總存在兩點，在曲線兩側，求曲線的方程和實數(shù)的取值范圍2024學年臨沂市高二數(shù)學上學期學科素養(yǎng)水平監(jiān)測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直線方程計算直線斜率，即可得到直線的傾斜角.【詳解】由題意得，直線的斜率，故直線的傾斜角為.故選：D.2.橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把方程化為橢圓標準方程即可得到結果.【詳解】由得橢圓標準方程為，∴，∴離心率.故選：B.3.已知是直線的方向向量，為平面的法向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如果直線垂直于平面，那么直線的方向向量與平面的法向量平行.兩個向量平行，則它們對應坐標成比例，我們可以根據這個性質來求解的值.【詳解】因為，所以與平行.對于兩個平行向量和，根據向量平行的性質，它們對應坐標成比例，即.由，交叉相乘可得，解得.故選：A.4.若圓與圓有3條公切線，則（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】若兩圓有3條公切線，則外切.我們需要先通過圓的方程，求出圓心坐標和半徑，再根據兩圓外切時圓心距等于兩圓半徑之和來求解的值.【詳解】圓，其圓心坐標為，半徑.圓，其圓心坐標為，半徑.因為兩圓有3條公切線，所以兩圓外切，此時圓心距.根據兩點間距離公式，圓心與的距離.又因為，即.移項可得.兩邊平方可得，解得.故選：A.5.空間三點，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A. B. C.7 D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的數(shù)量積求出的值，然后利用三角形的面積公式可求得平行四邊形的面積.【詳解】因為，，，所以，，所以，，，所以，因為，所以，所以，以，為鄰邊的平行四邊形的面積為.故選：D6.若圓，點在直線上，過點作圓的切線，切點為，則切線長的最小值為（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】先求出圓心到直線的距離，根據勾股定理，切線長、圓的半徑和圓心到點的距離構成直角三角形，圓的半徑固定，當圓心到點的距離最小時，切線長最小，而圓心到直線上點的最小距離就是圓心到直線的距離.【詳解】對于圓，其圓心坐標為，半徑.根據點到直線的距離公式，則.根據切線長、圓半徑和圓心到點距離構成直角三角形，設切線長為，圓心到點的距離為，圓半徑.由勾股定理，當取最小值時，最小，此時.故選：B.7.若，兩點到直線的距離相等，則（）A. B. C.2或 D.2或【答案】C【分析】由題意，根據點到直線的距離公式建立關于的方程，解之即可求解.【詳解】由題意知，，得，解得或，即實數(shù)的值為或.故選：C8.設為坐標原點，，為橢圓的兩個焦點，點在上，，則（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根據橢圓方程求出焦點坐標以及橢圓的基本參數(shù)，再利用余弦定理求出與的關系，然后通過向量關系求出.【詳解】對于橢圓，可得，.可求出，所以焦點，.設，，在中，根據余弦定理.已知，，則.又因為點在橢圓上，根據橢圓的定義，將展開得.用減去可得：即則.代入中，可得.因為，所以..則，所以.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若直線過點，且在兩坐標軸上截距相等，則直線方程可能為（）A. B.C. D.【答案】BC【分析】對截距分類討論，利用截距式及其斜率計算公式即可得出．【詳解】當直線經過原點時，可得直線方程為：，即．當直線不經過原點時，可設的直線方程為：，把點代入可得：，可得．綜上可得：直線的方程為：或．故選：BC．10.在平面直角坐標系中，已知，，點滿足，設點的軌跡為，則（）A.當時，的方程是B.當時，以為直徑的圓與的公共弦長為C.當時，圓的圓心在線段的延長線上D.以為直徑的圓始終與相交【答案】ACD【分析】根據題意設，由可得軌跡，當時，可得軌跡的方程，根據圓與圓的位置關系確定相交弦長從而可判斷A，B；根據圓心的坐標確定與，坐標關系即可判斷C；分別判斷與時，圓的端點在圓內還是外即可判斷圓與圓的位置，從而判斷D.【詳解】設，因為，，則，整理得點的軌跡為為，對于A，B，當時，的方程是，故A正確；此時圓心，半徑，又以為直徑的圓圓心為，半徑為2，圓的方程為，所以兩圓方程作差可得公共弦長所在直線方程為：，故公共弦長，故B不正確；對于C，由于方程為，則此時圓心坐標為，當時，，則圓的圓心在線段的延長線上，故C正確；對于D，由于以為直徑的圓方程為，圓的圓心為，半徑為，當時，，因為圓的圓心在線段的延長線上，又，則，，故點在圓內，在圓外，即此時以為直徑的圓始終與相交；當時，，的圓心在線段的延長線上，又，，則，，故點在圓外，在圓內，即此時以為直徑的圓始終與相交；綜上，以為直徑的圓始終與相交，故D正確.故選：ACD.11.如圖是數(shù)學家GerminalDandelin用來證明一個平面截圓錐側面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）.在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側面、截面相切，截面分別與球，球切于點，（，是截口橢圓的焦點）.設圖中球，球的半徑分別為3和1，球心距，則（）A.橢圓的中心在直線上B.C.直線與橢圓所在平面所成的角為D.橢圓的離心率為【答案】BD【分析】根據給定的幾何體，作出軸截面，結合圓的切線性質及勾股定理求出橢圓長軸和焦距作答.【詳解】依題意，截面橢圓的長軸與圓錐的軸相交，橢圓長軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體，得圓錐的軸截面及球，球的截面大圓，如圖，點分別為圓與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點，線段是橢圓長軸，可知橢圓C的中心（即線段的中點）不在直線上，故A錯誤；橢圓長軸長，過作于D，連，顯然四邊形為矩形，又，則，過作交延長線于C，顯然四邊形為矩形，橢圓焦距，故B正確；所以直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為，故C錯誤；所以橢圓的離心率，故D正確；故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若點是點在坐標平面內的射影，則________.【答案】【分析】由題意可得，結合空間向量模的坐標表示即可求解.【詳解】因為點是點在坐標平面內的射影，所以，得，所以.故答案為：13.若圓上恰有個點到直線的距離等于，則的取值范圍是________.【答案】【分析】求圓心到直線的距離，根據直線與圓的位置關系列不等式，求解即可得的取值范圍.【詳解】圓心到直線的距離為，若圓上恰有個點到直線的距離等于，所以，則，解得。所以的取值范圍是.故答案為：.14.《九章算術》中記錄的“羨除”是算學和建筑學術語，指的是一段類似地下車庫入口形狀的幾何體.如圖，羨除中，四邊形，均為等腰梯形，，，互相平行，平面平面，梯形，的高分別為2，4，且，，，則與平面所成角的正切值為________，異面直線與所成角的余弦值為_______【答案】①.2②.##0.2【解析】分析】利用面面垂直得線面垂直，建立空間直角坐標系，表示各點坐標，利用空間向量解決線面角和線線角問題.【詳解】過點作的垂線，垂足分別為，則.由四邊形，均為等腰梯形得，，.∵，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴.以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，∴,由題意得，平面的法向量為.設與平面所成角為，則，由得，，∴.∵，∴異面直線與所成角的余弦值為.故答案：2；.【點睛】思路點睛：本題考查立體幾何綜合問題，具體思路如下：（1）過點作的垂線，垂足分別為，由得.（2）由平面平面得平面，.（3）以為原點建立空間直角坐標系，表示各點坐標，利用空間向量解決線面角和線線角問題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在空間四邊形中，，分別為，的中點，點為的重心，設，，.（1）試用向量，，，表示向量；（2）若，，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據空間向量的線性運算化簡即可得解；（2）用，，表示出向量，再由空間向量數(shù)量積公式計算即可.【小問1詳解】【小問2詳解】，，.16.已知圓的圓心在直線上，并且經過圓與圓的交點.（1）求的方程；（2）直線與交于，兩點，當弦最短時，求的值，并求出此時關于對稱的圓的方程.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）設出過圓與圓的交點的圓系方程，得到圓心后代入直線中計算即可得；（2）由題意可得直線所過定點，再借助垂徑定理即可得，再求出的圓心關于直線的對稱點的坐標即可得解.【小問1詳解】設經過圓與圓的交點的圓的方程為：，即為，圓心為，代入得，，所以方程為；【小問2詳解】由得，所以直線經過與的交點，由，得交點，所以當時最短，因為，所以，解得，即直線的方程為由（1）得，半徑，設圓心關于直線的對稱點，則，解得，所以關于對稱的圓的方程為.17.如圖，在直三棱柱中，，，，分別為棱，的中點，是與的交點.（1）求點到平面的距離；（2）在線段上是否存在一點，使平面，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根據給定的幾何體建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，再利用點到平面距離的向量求求解.（2）由（1）中信息，利用空間位置關系的向量證明推理得解.【小問1詳解】在直三棱柱中，，，以為原點，直線，，分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，設平面的法向量為m=x1,y1,z所以點到平面的距離.【小問2詳解】由（1）知，，設，則，，平面的一個法向量為，由，得，而平面，所以存在點，當時，平面.18.在圓上任取一點，過作軸的垂線段，垂足為，點在線段的延長線上，且，當在圓上運動時，點形成的軌跡為.（當經過圓與軸的交點時，規(guī)定點與點重合.）（1）求的方程；（2）設的上頂點為，過點作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，，直線，分別與軸交于點，，證明：線段的中點為定點.【答案】（1）（2