第07講 等邊三角形的性質(zhì)與判定（3種題型）（解析版）-八年級(jí)數(shù)學(xué)

第07講等邊三角形的性質(zhì)與判定（3種題型）了解等邊三角形的有關(guān)概念，探索并掌握性質(zhì)及判定方法。一．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．二．等邊三角形的判定（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．說明：在證明一個(gè)三角形是等邊三角形時(shí)，若已知或能求得三邊相等則用定義來判定；若已知或能求得三個(gè)角相等則用判定定理1來證明；若已知等腰三角形且有一個(gè)角為60°，則用判定定理2來證明．三．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定．一．等邊三角形的性質(zhì)（共9小題）1．（2022秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，且CE＝1.5，則AB的長(zhǎng)為（）A．3 B．4.5 C．6 D．7.5【分析】由在等邊三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，則可求得CD的長(zhǎng)，又由BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，由三線合一的知識(shí)，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE＝30°，∵EC＝1.5，∴CD＝2EC＝3，∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，∴AD＝CD＝3，∴AB＝AC＝AD+CD＝6．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2．（2022秋?姜堰區(qū)月考）如圖，在等邊△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且∠E＝30°，則CE的長(zhǎng)是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)AB＝4cm，BD平分∠ABC，∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，∴CD＝CE＝2cm，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的三線合一解答．3．（2022秋?常州期中）如圖，△ABC是等邊三角形，P為BC上一點(diǎn)，在AC上取一點(diǎn)D，使AD＝AP，且∠APD＝70°，則∠PAB的度數(shù)是（）A．10° B．15° C．20° D．25°【分析】由已知條件AD＝AP可知∠ADP＝∠APD，結(jié)合∠APD＝70°可得∠ADP的度數(shù)，從而得到∠PAD的度數(shù)；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可以得到∠BAC＝60°，結(jié)合∠PAB＝∠BAC﹣∠PAD即可解答此題．【解答】解：∵AD＝AP，∴∠ADP＝∠APD．∵∠ADP＝∠APD，∠APD＝70°，∴∠ADP＝70°，∠PAD＝40°．∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠PAB＝60°﹣40°＝20°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì)，可以結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．4．（2022秋?海門市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足為點(diǎn)F．（1）求證：CE＝2CF；（2）若CF＝2，求△ABC的周長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知∠ACB＝60°，再由DF⊥BE可知∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由CF＝2可得出CD＝4，故可得出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，∴DC＝2CF．∵CE＝CD∴CE＝2CF；（2）解：∵CF＝2，由（1）知CE＝2CF，∴DC＝2CF＝4．∵△ABC為等邊三角形，BD是中線，∴AB＝BC＝AC＝2DC＝8，∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB+AC+BC＝8+8+8＝24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，熟知邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?啟東市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E在AD上，且DE＝BC，則∠AFE＝（）A．100° B．105° C．110° D．115°【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BAC＝60°，∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠DEC＝∠DCE＝45°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到答案．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是BC邊上的中線，∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∴∠CDE＝90°，∵DE＝BC，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠AEF＝∠DEC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?大豐區(qū)期中）如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上的中點(diǎn)，以A為圓心，AD為半徑畫弧，與AC邊交點(diǎn)為E，則∠ADE的度數(shù)為（）A．60° B．105° C．75° D．15°【分析】根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可求出∠DAC＝30°，結(jié)合AD等于AE求出∠ADE的度數(shù)即可．【解答】解：在等邊△ABC中，D為BC邊上的中點(diǎn)，∴∠DAC＝30°（三線合一），在△ADE中，AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣30°）＝75°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于能夠熟練掌握該知識(shí)并進(jìn)行合理運(yùn)用．7．（2022秋?如皋市期中）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交BC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CF，若△AFC是等邊三角形，則∠B的度數(shù)是（）A．60° B．45° C．30° D．15°【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到∠B＝∠BCF，再利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠AFC＝60°，從而可得∠B的度數(shù)．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF為等邊三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)得到∠B＝∠BCF．8．（2022秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC是等邊三角形，D，E分別是AC，BC上的點(diǎn)，若AE＝AD，∠CED＝25°，則∠BAE＝50°．【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠C＝∠BAC＝60°，從而利用三角形的外角性質(zhì)可得∠ADE＝85°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠AED＝∠ADE＝85°，從而利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠DAE＝10°，最后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°，∵∠CED＝25°，∴∠ADE＝∠CED+∠C＝85°，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝85°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝10°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣10°＝50°，故答案為：50．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）閱讀材料：如圖，△ABC中，AB＝AC，P為底邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r1，r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）．（1）類比與推理如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在三角形內(nèi)任一點(diǎn)”，即：已知等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為r1，r2，r3，等邊△ABC的高為h，試證明r1+r2+r3＝h（定值）．（2）理解與應(yīng)用△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，△ABC內(nèi)部是否存在一點(diǎn)O，點(diǎn)O到各邊的距離相等？存在（填“存在”或“不存在”），若存在，請(qǐng)直接寫出這個(gè)距離r的值，r＝2．若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）連接AP，BP，CP．根據(jù)三角形ABC的面積的兩種計(jì)算方法進(jìn)行證明；（2）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等進(jìn)行求作．【解答】證明：（1）連接AP，BP，CP．則S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，即，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∴r1+r2+r3＝h（定值）；（2）存在．r＝2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要是考查了等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及三角形的面積公式．注意：直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊．二．等邊三角形的判定（共6小題）10．（2022秋?吳江區(qū)校級(jí)月考）若一個(gè)三角形有兩條邊相等，且有一內(nèi)角為60°，那么這個(gè)三角形一定為（）A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形【分析】根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形求解．【解答】解：根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得到該三角形一定為正三角形．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生對(duì)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形的運(yùn)用．11．（2022秋?梁溪區(qū)期中）如圖所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AF為BC的中線，D為AF上的一點(diǎn)，且BD的垂直平分線過點(diǎn)C并交BD于E．求證：△BCD是等邊三角形．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AF⊥BC，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出BD＝DC，BC＝CD，推出BD＝DC＝BC，根據(jù)等邊三角形的判定得出即可．【解答】證明：∵AB＝AC，AF為BC的中線，∴AF⊥BC，∴BD＝DC，∵CE是BD的垂直平分線，∴BC＝CD，∴BD＝DC＝BC，∴△BCD是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能正確運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．12．（2021秋?淮安期末）三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么這個(gè)三角形一定是（）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰非等邊三角形 D．鈍角三角形【分析】利用偶次方及絕對(duì)值的非負(fù)性可得出a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，進(jìn)而可得出a＝b＝c，再結(jié)合a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，即可得出這個(gè)三角形是等邊三角形．【解答】解：∵（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，∴a＝b＝c．又∵a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，∴這個(gè)三角形是等邊三角形．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定、偶次方及絕對(duì)值的非負(fù)性，牢記三條邊都相等的三角形是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?吳江區(qū)校級(jí)月考）在邊長(zhǎng)為9的等邊三角形ABC中，點(diǎn)Q是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）如圖1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如圖2，若點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)B經(jīng)點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為等邊三角形？【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，從而得出△BPQ是等邊三角形，列方程求解即可；（2）根據(jù)點(diǎn)Q所在的位置不同，分類討論△APQ是否為等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到等量關(guān)系，列方程求解即可．【解答】解：（1）如圖1，∵△ABC是等邊三角形，PQ∥AC，∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，又∠B＝60°，∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，∴△BPQ是等邊三角形，∴BP＝BQ，由題意可知：AP＝t，則BP＝9﹣t，∴9﹣t＝6，解得：t＝3，∴當(dāng)t的值為3時(shí)，PQ∥AC；（2）如圖2，①當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上時(shí)，此時(shí)△APQ不可能為等邊三角形；②當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時(shí)，若△APQ為等邊三角形，則AP＝AQ，由題意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，∴當(dāng)t＝6時(shí)，△APQ為等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形、等腰三角形、以及全等三角形的綜合運(yùn)用，以動(dòng)點(diǎn)問題為背景，根據(jù)等邊三角形、等腰三角形以及全等三角形的性質(zhì)尋找等量關(guān)系，再列方程求解，能根據(jù)題目要求進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋?常州期中）如圖，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度數(shù)；（2）求證：△ADE是等邊三角形．【分析】（1）因?yàn)锳B＝AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的兩個(gè)底角相等，又∠BAC＝120°，根據(jù)三角形內(nèi)角和，可求出∠C的度數(shù)為30°．（2）AD⊥AC，AE⊥AB，∠ADE＝∠AED＝60°，三個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，故答案為：30°．（2）證明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB．∴∠ADC＝∠AEB＝60°，∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，∴△ADE是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的底角相等，以及等邊三角形的判定定理，三個(gè)角是60°的三角形，是等邊三角形．15．（2022秋?江都區(qū)校級(jí)月考）等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論．【分析】先證△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再證∠PAQ＝60°，從而得出△APQ是等邊三角形．【解答】解：△APQ為等邊三角形．證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC．在△ABP與△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，∴△APQ是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】考查了等邊三角形的判定及全等三角形的判定方法．三．等邊三角形的判定與性質(zhì)（共9小題）16．（2022秋?梁溪區(qū)期中）一艘輪船由海平面上A地出發(fā)向南偏西40°的方向行駛100海里到達(dá)B地，再由B地向北偏西20°的方向行駛100海里到達(dá)C地，則A，C兩地相距（）A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里【分析】先求得∠CBA＝60°，然后可判斷△ABC為等邊三角形，從而可求得AC的長(zhǎng)．【解答】解：如圖所示：連接AC．∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏西40°方向，點(diǎn)C在點(diǎn)B的北偏西20°方向，∴∠ABD＝40°，∠CBD＝20°，∴∠CBA＝∠ABD+∠CBD＝60°．又∵BC＝BA，∴△ABC為等邊三角形．∴AC＝BC＝AB＝100海里．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是方向角、等邊三角形的性質(zhì)和判定，證得△ABC為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?玄武區(qū)期中）如圖，△ABC為等邊三角形，BD⊥AC交AC于點(diǎn)D，DE∥BC交AB于點(diǎn)E．（1）求證：△ADE是等邊三角形．（2）求證：AE＝AB．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明即可．（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等邊三角形．（2）∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等邊三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【點(diǎn)評(píng)】此題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答．18．（2022秋?姑蘇區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接BD，CE交于點(diǎn)F，CE∥AB．（1）判斷△DEF的形狀，并說明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的長(zhǎng)．【分析】（1）先證明△ABD是等邊三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行線的性質(zhì)可得∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，可得結(jié)論；（2）由等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可求AE＝CE＝8，即可求解．【解答】解：（1）△DEF是等邊三角形，理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∵CE∥AB，∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，∴△DEF是等邊三角形；（2）連接AC交BD于點(diǎn)O，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC是BD的垂直平分線，即AC⊥BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，∴AE＝CE＝8，∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，∵△DEF是等邊三角形，∴EF＝DE＝4，∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，證明AE＝CE是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋?南通期末）已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)D為直線BC上一點(diǎn)，BD＝1，DE∥AB交直線AC于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為4或6．【分析】分D在線段BC上，和D在線段CB的延長(zhǎng)線上，兩種情況，討論求解即可．【解答】解：①當(dāng)D在線段BC上，如圖：∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為5，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝5，∵BD＝1，∴CD＝BC﹣BD＝4，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEA＝∠A＝60°，∴△DEC為等邊三角形，∴DE＝CD＝4；②當(dāng)D在線段CB的延長(zhǎng)線上，如圖：同法可得：△DEC為等邊三角形，∴DE＝CD＝BC+BD＝6；綜上：DE的長(zhǎng)為：4或6；故答案為：4或6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握，兩直線平行，同位角相等，證明三角形是等邊三角形，是解題的關(guān)鍵．注意，分類討論．20．（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，在等邊△ABC中，AB＝9cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA邊向點(diǎn)A以5cm/s的速度移動(dòng)．P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它們移動(dòng)的時(shí)間為ts．（1）你能用含的式子表示BP和BQ的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)你表示出來．（2）請(qǐng)問幾秒后，△PBQ第一次為等邊三角形？（3）若P，Q兩點(diǎn)分別從C，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并且按順時(shí)針方向沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)問經(jīng)過幾秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可求得BC的長(zhǎng)，用t可表示出BP和BQ的長(zhǎng)；（2）由等邊三角形的性質(zhì)可知BQ＝BP，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；（3）設(shè)經(jīng)過t秒后第一次相遇，由條件可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值，可求得點(diǎn)P走過的路程，可確定出P點(diǎn)的位置．【解答】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴BC＝AB＝9cm，∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，∴BP＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm，∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為5cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，∴BQ＝5t（cm）；（2）若△PBQ為等邊三角形，則有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，解得t＝，∴s時(shí)，△PBQ第一次為等邊三角形；（3）設(shè)ts時(shí)，Q與P第一次相遇，根據(jù)題意得5t﹣2t＝18，解得t＝6，即6s時(shí)，兩點(diǎn)第一次相遇．當(dāng)t＝6s時(shí)，P走過的路程為2×6＝12cm，而9＜12＜18，即此時(shí)P在AB邊上，∴經(jīng)過6秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q在AB上第一次相遇．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、方程思想等知識(shí)．該題為運(yùn)動(dòng)型題目，解決這類問題的關(guān)鍵是化“動(dòng)”為“靜”，即用時(shí)間和速度表示出線段的長(zhǎng)．21．（2022秋?泰州月考）如圖，已知點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求證：BD＝CE；（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度數(shù)．【分析】（1）作AF⊥BC于點(diǎn)F，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BF＝CF，DF＝EF，相減后即可得到正確的結(jié)論．（2）根據(jù)等邊三角形的判定得到△ADE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系即可求解．【解答】（1）證明：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB＝∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用等邊三角形的判定是本題的關(guān)鍵．22．（2022秋?沭陽縣期中）已知：如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點(diǎn)E，BM交CN于點(diǎn)F．（1）求證：AN＝BM；（2）求證：△CEF為等邊三角形．【分析】（1）由等邊三角形可得其對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而可由SAS得到△ACN≌△MCB，結(jié)論得證；（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，進(jìn)而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF為等邊三角形．【解答】證明：（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE＝CF，∴△CEF為等腰三角形，又∵∠ECF＝60°，∴△CEF為等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定問題，能夠掌握并熟練運(yùn)用．23．（2022秋?啟東市校級(jí)月考）數(shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題：例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度數(shù)．（答案：35°）例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度數(shù)．（答案：40°或70°或100°）張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式，小敏編的題目如下：變式題：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度數(shù)．（1）請(qǐng)你解答上面的變式題．（2）請(qǐng)繼續(xù)探索，完成下面問題：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，則∠B的度數(shù)為60°．（3）根據(jù)以上探索，我們發(fā)現(xiàn)，∠A的度數(shù)不同，得到的∠B度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同．請(qǐng)你直接寫出當(dāng)∠A滿足什么條件時(shí)，∠B能得到三個(gè)不同的度數(shù)．【分析】（1）∠A是頂角，則∠B是底角，根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等即可求解；∠B是頂角，則∠A是底角，則根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等，以及三角形的內(nèi)角和定理即可求解；∠C是頂角，則∠B與∠A都是底角，根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等即可求解；（2）分兩種情況：①90≤x＜180；②0＜x＜90，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)∠A＝80°為頂角時(shí)，∠B＝＝50°；當(dāng)∠B是頂角，則∠A是底角，則∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；當(dāng)∠C是頂角，則∠B與∠A都是底角，則∠B＝∠A＝80°，綜上所述，∠B的度數(shù)為50°或20°或80°；（2）因?yàn)橛幸粋€(gè)角為60°的等腰三角形為等邊三角形，所以∠B＝60°，故答案為：60°．（3）分兩種情況：設(shè)∠A＝x°，①當(dāng)90≤x＜180時(shí)，∠A只能為頂角，∴∠B的度數(shù)只有一個(gè)；②當(dāng)0＜x＜90時(shí)，若∠A為頂角，則∠B＝（）°；若∠A為底角，∠B為頂角，則∠B＝（180﹣2x）°；若∠A為底角，∠B為底角，則∠B＝x°．當(dāng)≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60時(shí)，∠B有三個(gè)不同的度數(shù)．綜上所述，可知當(dāng)0°＜∠A＜90°且x≠60°時(shí)，∠B有三個(gè)不同的度數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋?銅山區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，△DAC、△EBC均是等邊三角形，點(diǎn)A、C、B在同一條直線上，且AE、BD分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N．求證：（1）AE＝DB；（2）△CMN為等邊三角形．【分析】（1）根據(jù)△DAC、△EBC均是等邊三角形，求證△ACE≌△DCB（SAS）即可得出結(jié)論．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，和△DAC、△EBC均是等邊三角形，求證△ACM≌△DCN（ASA）即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵△DAC、△EBC均是等邊三角形，∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS）．∴AE＝DB．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，即∠CAM＝∠CDN．∵△DAC、△EBC均是等邊三角形，∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°．又點(diǎn)A、C、B在同一條直線上，∴∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，即∠DCN＝60°．∴∠ACM＝∠DCN．在△ACM和△DCN中，∴△ACM≌△DCN（ASA）．∴CM＝CN．又∠DCN＝60°，∴△CMN為等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題難度不大，但是步驟繁瑣，屬于中檔題．一．選擇題（共5小題）1．（2022秋?梁溪區(qū)期中）下列命題不正確的是（）A．等腰三角形的底角不能是鈍角 B．等腰三角形不能是直角三角形 C．若一個(gè)三角形有三條對(duì)稱軸，那么它一定是等邊三角形 D．兩個(gè)全等的且有一個(gè)銳角為30°的直角三角形可以拼成一個(gè)等邊三角形【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定的知識(shí)，對(duì)各選項(xiàng)逐項(xiàng)分析，即可得出結(jié)果．【解答】解：本題可采用排除法；A、利用等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的兩底角相等，若兩底角均為鈍角，不能構(gòu)成三角形，故這種說法錯(cuò)誤，故不選A；B、舉反例：等腰直角三角形，故B不正確．即答案選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中要對(duì)所學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行總結(jié)和復(fù)習(xí)，以便靈活的運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)．2．（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，∠AOB＝60°，OA＝OB，動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OB方向移動(dòng)，以AC為邊在右側(cè)作等邊△ACD，連接BD，則BD所在直線與OA所在直線的位置關(guān)系是（）A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直【分析】先判斷出OA＝OB，∠OAB＝∠ABO，分兩種情況判斷出∠ABD＝∠AOB＝60°，進(jìn)而判斷出△AOC≌△ABD，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等邊三角形，∴OA＝AB，∠OAB＝∠ABO＝60°①當(dāng)點(diǎn)C在線段OB上時(shí)，如圖1，∵△ACD是等邊三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，②當(dāng)點(diǎn)C在OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，同①的方法得出OA∥BD，∵△ACD是等邊三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，求出∠ABD＝60°是解本題的關(guān)鍵．3．（2022秋?射陽縣校級(jí)月考）如圖，將一等邊三角形的三條邊各8等分，按順時(shí)針方向（圖中箭頭方向）標(biāo)注各等分點(diǎn)的序號(hào)0、1、2、3、4、5、6、7、8，將不同邊上的序號(hào)和為8的兩點(diǎn)依次連接起來，這樣就建立了“三角形”坐標(biāo)系．在建立的“三角形”坐標(biāo)系內(nèi)，每一點(diǎn)的坐標(biāo)用過這一點(diǎn)且平行（或重合）于原三角形三條邊的直線與三邊交點(diǎn)的序號(hào)來表示（水平方向開始、按順時(shí)針方向、取與三角形外箭頭方向一致的一側(cè)序號(hào)），如點(diǎn)A的坐標(biāo)可表示為（1，2，5），點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為（4，3，1），按此方法，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，m，m﹣2），則m＝（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可表示為（1，2，5），點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為（4，3，1），得到經(jīng)過該點(diǎn)的三條直線對(duì)應(yīng)著等邊三角形三邊上的三個(gè)數(shù)，依次為左，上，下，即可解答．【解答】解：由題意得：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4，2），∴m＝4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找出題中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?揚(yáng)州期中）在下列結(jié)論中：（1）有一個(gè)外角是120°的等腰三角形是等邊三角形（2）有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形（3）有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形（4）三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和定義，可得：有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形；三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形為等邊三角形；再由中線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的定義可解答本題．【解答】解：（1）：因?yàn)橥饨呛团c其對(duì)應(yīng)的內(nèi)角的和是180°，已知有一個(gè)外角是120°，即是有一個(gè)內(nèi)角是60°，有一個(gè)內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形．該結(jié)論正確．（2）：兩個(gè)外角相等說明該三角形中兩個(gè)內(nèi)角相等，而等腰三角形的兩個(gè)底角是相等的，故不能確定該三角形是等邊三角形．該結(jié)論錯(cuò)誤．（3）：等腰三角形的底邊上的高和中線本來就是重合的，“有一邊”可能是底邊，故不能保證該三角形是等邊三角形．該結(jié)論錯(cuò)誤．（4）：三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形．正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用的等邊三角形的判定方法解決問題．5．（2022秋?邗江區(qū)月考）如圖，直線m∥n，△ABC是等邊三角形，頂點(diǎn)B在直線n上，直線m交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，若∠1＝140°，則∠2的度數(shù)是（）A．80° B．100° C．120° D．140°【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由三角形外角的性質(zhì)可得∠AEF的度數(shù)，由平行線的性質(zhì)可得同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得結(jié)論．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°．對(duì)于△AEF，∵∠1＝∠A+∠AEF＝140°，∴∠AEF＝140°﹣60°＝80°，∴∠DEB＝∠AEF＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，題目比較基礎(chǔ)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共13小題）6．（2022秋?江陰市期中）已知△ABC中，AB＝AC＝6，∠C＝60°，則BC＝6．【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C＝60°，則可判斷△ABC為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BC＝AB．【解答】解：∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴BC＝AB＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三條邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．7．（2022秋?建鄴區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知△ABC是等邊三角形，AD是中線，E在AC上，AE＝AD，則∠EDC＝15°．【分析】由AD是等邊△ABC的中線，根據(jù)等邊三角形中：三線合一的性質(zhì)，即可求得AD⊥BC，∠CAD＝30°，又由AD＝AE，根據(jù)等邊對(duì)等角與三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠ADE的度數(shù)，繼而求得答案．【解答】解：∵AD是等邊△ABC的中線，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠CAD）＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故答案為：15°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．8．（2022秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知△ABC中，∠A＝60°，D為AB上一點(diǎn)，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，則∠DCB的度數(shù)是20°．【分析】通過作輔助線構(gòu)造等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)，得到角相等，邊相等，根據(jù)三角形全等，得到角相等，利用外角的性質(zhì)列方程求解．【解答】解：如圖延長(zhǎng)AB到E使BE＝AD，連接CE，∴AE＝AD+DB+BE＝2AD+BD，∵AC＝2AD+BD，∴AE＝AC，∵∠A＝60°，∴△AEC是等邊三角形，∴∠E＝∠ACE＝60°，∵∠ABC＝4∠ACD，設(shè)∠ACD＝x，則∠ABC＝4x，在△ADC與△EBC中，，∴△ADC≌△EBC，∠ACD＝∠ECB＝x，∴∠ABC＝∠E+∠BCE，∴4x＝60°+x，∴x＝20°，∴∠BCD＝60°﹣20°﹣20°＝20°，故答案為：20°【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，外交的性質(zhì)，列方程求解等知識(shí)點(diǎn)．9．（2022秋?淮陰區(qū)期中）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，D是BC上一點(diǎn)，BD＝2，DE⊥BC交AB于點(diǎn)E，則AE＝2．【分析】在Rt△BED中，求出BE即可解決問題；【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝90°，∠BED＝30°，∵BD＝2，∴EB＝2BD＝4，∴AE＝AB﹣BE＝6﹣4＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的30度角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．10．（2022秋?漣水縣期中）等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角均為60度．【分析】根據(jù)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，都是60°解答．【解答】解：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角均為60度．故答案為：60．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單．11．（2022秋?靖江市校級(jí)月考）如圖，CD是等邊△ABC的中線，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．若DE的長(zhǎng)度為3cm，則點(diǎn)D到BC的距離為3cm．【分析】過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得CD平分∠ACB，然后利用角平分線的性質(zhì)即可解答．【解答】解：過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，∵CD是等邊△ABC的中線，∴CD平分∠ACB，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF＝3cm，∴點(diǎn)D到BC的距離為3cm，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?鎮(zhèn)江期中）如圖，在一個(gè)池塘旁有一條筆直公路MN，池塘對(duì)面有一個(gè)建筑A，小明在公路一側(cè)點(diǎn)B處測(cè)得∠ABN＝60°，為了得到他與建筑物A之間的距離，小明沿公路MN繼續(xù)向東走到點(diǎn)C處，測(cè)得∠ACB＝60°，并測(cè)得他走了48米，則AB為48米．【分析】證明△ABC是等邊三角形，可得結(jié)論．【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝48米．故答案為：48．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)造等邊三角形解決問題．13．（2022秋?亭湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC是等邊三角形，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使CD＝AC，連接AD．若AB＝1，則AD的長(zhǎng)為．【分析】由△ABC是等邊三角形，得出邊相等都為4，每個(gè)內(nèi)角是60°，再根據(jù)CD＝AC，推出∠D＝∠CAD＝30°，從而推出∠BAD＝90°，再根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝1，∵CD＝AC＝1，∴∠D＝∠CAD，BD＝2，∵∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝30°，∴∠BAD＝90°，∴AD＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．14．（2022秋?昆山市校級(jí)月考）已知如圖等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP＝OC，下面的結(jié)論：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等邊三角形；④AB＝AO+AP．其中正確的序號(hào)是①③④．【分析】①利用等邊對(duì)等角，即可證得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，則∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，據(jù)此即可求解；②因?yàn)辄c(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，所以BO不一定是∠ABD的角平分線，可作判斷；③證明∠POC＝60°且OP＝OC，即可證得△OPC是等邊三角形；④首先證明△OPA≌△CPE，則AO＝CE，AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP．【解答】解：①如圖1，連接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正確；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，∴∠ABO與∠DBO不一定相等，則∠APO與∠DCO不一定相等，故②不正確；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等邊三角形；故③正確；④如圖2，在AC上截取AE＝PA，連接PB，∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等邊三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP；故④正確；本題正確的結(jié)論有：①③④，故答案為①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．15．（2022秋?新北區(qū)期中）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交BC、AB于點(diǎn)E、F．若△AFC是等邊三角形，則∠B＝30°．【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到∠B＝∠BCF，再利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠AFC＝60°，從而可得∠B的度數(shù)．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF為等邊三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)得到∠B＝∠BCF．16．（2022秋?高新區(qū)校級(jí)月考）如圖，若BD為等邊△ABC的一條中線，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE＝CD＝1，連接DE，則DE＝．【分析】根據(jù)等腰三角形和三角形外角性質(zhì)求出BD＝DE，求出BC，在Rt△BDC中，由勾股定理求出BD即可．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC，∵BD為中線，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠E+∠CDE＝∠ACB，∴∠E＝30°＝∠DBC，∴BD＝DE，∵BD是AC中線，CD＝1，∴AD＝DC＝1，∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC＝1+1＝2，BD⊥AC，在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD＝，即DE＝BD＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出DE＝BD和求出BD的長(zhǎng)．17．（2022秋?泗陽縣期中）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則∠BAD＝30°．【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)和等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等的性質(zhì)填空．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC．又點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∴∠BAD＝∠BAC＝30°．故答案是：30°．【點(diǎn)評(píng)】考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．18．（2022秋?邗江區(qū)期中）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則△AMN的周長(zhǎng)為6．【分析】要求△AMN的周長(zhǎng)，根據(jù)題目已知條件無法求出三條邊的長(zhǎng)，只能把三條邊長(zhǎng)用其它已知邊長(zhǎng)來表示，所以需要作輔助線，延長(zhǎng)AB至F，使BF＝CN，連接DF，通過證明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，從而得出MN＝MF，△AMN的周長(zhǎng)等于AB+AC的長(zhǎng)．【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°∴∠BCD＝∠DBC＝30°∵△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°∴∠DBA＝∠DCA＝90°延長(zhǎng)AB至F，使BF＝CN，連接DF，在Rt△BDF和Rt△CDN中，BF＝CN，DB＝DC∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN∵∠MDN＝60°∴∠BDM+∠CDN＝60°∴∠BDM+∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM為公共邊∴△DMN≌△DMF，∴MN＝MF∴△AMN的周長(zhǎng)是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6．【點(diǎn)評(píng)】此題主要利用等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)來證明三角形全等，構(gòu)造另一個(gè)三角形是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題）19．（2022秋?徐州期中）如圖，等邊△ABC中，BD是邊AC上的高，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE＝CD，求證：BD＝DE．【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，證出∠CDE＝∠CED＝30°，則可得出結(jié)論．【解答】證明：∵等邊△ABC中，BD是邊AC上的高，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠DBC＝∠CED，∴BD＝DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋?棲霞區(qū)校級(jí)月考）如圖，P是在△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若∠PBC＝∠PCB＝10°，△APC是等邊三角形．求∠ABP的度數(shù)．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠PAC＝∠PCA＝60°，AP＝PC，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得PB＝PC，從而可得AP＝PB，然后利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵△APC是等邊三角形，∴∠PAC＝∠PCA＝60°，AP＝PC，∵∠PBC＝∠PCB＝10°，∴PB＝PC，∴AP＝PB，∴∠ABP＝∠PAB＝（180°﹣∠PBC﹣∠PCB﹣∠PAC﹣∠ACP）＝20°，∴∠ABP的度數(shù)為20°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋?興化市校級(jí)月考）如圖，在等邊三角形ABC中，BD⊥AC于D，延長(zhǎng)BC到E，使CE＝CD．判斷△BDE的形狀，并說明理由．【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得∠ABC＝∠ACB＝60°，∠CBD＝∠ABC＝30°，再由等腰三角形的性質(zhì)得∠CDE＝∠E，然后由三角形的外角性質(zhì)得∠E＝30°，即可解決問題．【解答】解：△BDE為等腰三角形．理由如下：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD⊥AC，∴∠CBD＝∠ABC＝30°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E，又∵∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°，∴∠E＝30°，∴∠CBD＝∠E，∴△BDE為等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋?興化市月考）已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，給出下列信息：①點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)；②CE＝CD；③DB＝DE．請(qǐng)?jiān)谏鲜?條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結(jié)論組成一個(gè)命題．試判斷這個(gè)命題是否正確，并說明理由．你選擇的條件是①、②，結(jié)論是③（只要填寫序號(hào)）．【分析】以①②為條件，③為結(jié)論，則由等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACB＝∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，則可求得∠CBD＝30°，再由三角形的外角性質(zhì)得∠BCD＝∠E+∠CDE，由等腰三角形的性質(zhì)得∠E＝∠CDE，即可求得∠E＝30°，從而有∠E＝∠CBD，即可判斷DB＝DE．【解答】解：選擇的條件是①、②，結(jié)論是③，命題正確，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝30°，∵∠BCD是△CDE的外角，∴∠BCD＝∠E+∠CDE，∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∴∠E＝∠CDE＝∠BCD＝30°，∴∠E＝∠CBD，∴DB＝DE．故答案為：①、②，③．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，命題，解答的關(guān)鍵是熟記等邊三角形的性質(zhì)并靈活運(yùn)用．23．（2022秋?泰州月考）如圖，點(diǎn)D在等邊△ABC的外部，連接AD、CD，AD＝CD，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E．（1）判斷△CEF的形狀，并說明理由；（2）連接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝BC，CF＝CE＝4．推出BD是線段AC的垂直平分線，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABD＝∠CBD．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABD＝∠BDE，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）△CEF是等邊三角形，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AB∥DE，∴∠CEF＝∠ABC＝60°，∴∠CEF＝∠CFE＝∠ECF＝60°，∴△CEF是等邊三角形；（2）∵△ABC是等邊三角形，△CEF是等邊三角形，∴AB＝BC，CF＝CE＝4．∵AD＝CD，∴BD是線段AC的垂直平分線，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵AB∥DE，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠BDE＝∠CBD，∴BE＝DE．∵BC＝BE+EC＝DE+CF，∴DE＝BC﹣CF＝10﹣4＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋?啟東市校級(jí)月考）如圖，△ABC是等邊三角形，D、E、F分別是AB、BC、AC上一點(diǎn)，且∠DEF＝60°．（1）若∠1＝50°，求∠2；（2）連接DF，若DF∥BC，求證：∠1＝∠3．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和解答即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和解答即可．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，∵∠DEF＝60°，∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，∴∠2＝∠1＝50°；（2）連接DF，∵DF∥BC，∴∠FDE＝∠DEB，∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，∴∠1＝∠3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和解答．25．（2022秋?江陰市校級(jí)月考）如圖1，點(diǎn)P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P從頂點(diǎn)A、點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的運(yùn)動(dòng)速度相同，連接AQ、CP交于點(diǎn)M．（1）求證：△ABQ≌△CAP；（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC變化嗎？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠QMC變化嗎？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△ABQ≌△CAP；（2）由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ＝∠ACP，從而得到∠QMC＝60°；（3）由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ＝∠ACP，從而得到∠QMC＝120°．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，又∵點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ與△CAP中，∵，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）解：點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠QMC不變．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°…（6分）（3）解：點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC不變．（7分）理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°．【點(diǎn)評(píng)】此題是一個(gè)綜合性題目，主要考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．26．（2022秋?銅山區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，△DAC、△EBC均是等邊三角形，點(diǎn)A、C、B在同一條直線上，且AE、BD分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N．求證：（1）AE＝DB；（2）△CMN為等邊三角形．【分析】（1）根據(jù)△DAC、△EBC均是等邊三角形，求證△ACE≌△DCB（SAS）即可得出結(jié)論．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，和△DAC、△EBC均是等邊三角形，求證△ACM≌△DCN（ASA）即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵△DAC、△EBC均是等邊三角形，∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS）．∴AE＝DB．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，即∠CAM＝∠CDN．∵△DAC、△EBC均是等邊三角形，∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°．又點(diǎn)A、C、B在同一條直線上，∴∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，即∠DCN＝60°．∴∠ACM＝∠DCN．在△ACM和△DCN中，∴△ACM≌△DCN（ASA）．∴CM＝CN．又∠DCN＝60°，∴△CMN為等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題難度不大，但是步驟繁瑣，屬于中檔題．一．選擇題（共5小題）1．如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，若AB＝12，BD＝7，則△ADE的周長(zhǎng)為（）A．5 B．36 C．21 D．15【分析】利用平行線和等邊三角形的性質(zhì)，證明△ADE是等邊三角形即可．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∴∠A＝∠ADE＝∠AED＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∵AB＝12，BD＝7，∴AD＝5，∴C△ADE＝5×3＝15，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，證明△ADE是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．2．在等邊三角形ABC中，AD是高，∠B的平分線交AD于E，下面判斷中錯(cuò)誤的是（）A．點(diǎn)E在AB的垂直平分線上 B．點(diǎn)E到AB、BC、AC的距離相等 C．點(diǎn)E是AD的中點(diǎn) D．過點(diǎn)E且垂直于AB的直線必經(jīng)過點(diǎn)C【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得E是AB，BC，AC的垂直平分線的交點(diǎn)，也是∠ABC，∠BAC，∠ACB的交點(diǎn)，即可求解．【解答】解：在等邊三角形ABC中，AD是高，BE平分∠ABC，∴AD垂直平分BC，BE垂直平分AC，∴點(diǎn)E是AB，BC，AC的垂直平分線的交點(diǎn)，也是∠ABC，∠BAC，∠ACB的交點(diǎn)，∴故選項(xiàng)A，B，D不合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．已知三個(gè)城鎮(zhèn)中心A、B、C恰好位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，在A、B、C之間鋪設(shè)光纜連接，實(shí)線為所鋪的路線，四種方案中光纜鋪設(shè)路線最短的是（）A． B． C． D．【分析】方案A中求出兩邊之和得到鋪設(shè)通訊電纜的長(zhǎng)度；方案C中，如圖1，AD⊥BC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理表示出AD，由AD+BC表示出鋪設(shè)通訊電纜的長(zhǎng)度；由垂線段最短得方案B中光纜比方案C中長(zhǎng)；方案D中，O為三角形三條高的交點(diǎn)，根據(jù)方案2求出的高AD，求出AO的長(zhǎng)，由OA+OB+OC表示出鋪設(shè)通訊電纜的長(zhǎng)度，比較大小即可．【解答】解：設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，A、鋪設(shè)的電纜長(zhǎng)為a+a＝2a；C、如圖1：∵△ABC為等邊三角形，AD⊥BC，∴D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝DC=12BC=在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：AD=A則鋪設(shè)的電纜長(zhǎng)為a+32a=B、由垂線段最短得：方案B中光纜比方案C中長(zhǎng)；D、如圖2所示，∵△ABC為等邊三角形，且O為三角形三條高的交點(diǎn)，∴設(shè)DO＝x，則BO＝2x，BD=a故x2+（a2）2＝（2x）2解得：x=36則BO=33則鋪設(shè)的電纜長(zhǎng)為AO+OB+OC＝3×33a=∵3a＜2+32a∴方案D中光纜最短；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、垂線段最短以及勾股定理等知識(shí)，是一道方案型試題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．4．一邊上的中線等于這邊的一半，此三角形一定是（）A．等邊三角形 B．有一角為鈍角的等腰三角形 C．直角三角形 D．頂角是36°的等腰三角形【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠1，∠2＝∠B，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠2+∠B+∠A+∠1＝180°，代入即可求出∠1+∠2＝90°，即可推出答案．【解答】解：如圖：∵AD＝CD＝BD，∴∠A＝∠1．∠2＝∠B．∵∠2+∠B+∠A+∠1＝180°，即2（∠1+∠2）＝180°，∴∠1+∠2＝90°，即：∠ACB＝90°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理的運(yùn)用．5．已知如圖等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP＝OC，下面的結(jié)論：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等邊三角形；④AB＝AO+AP．其中正確的是（）A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④【分析】①利用等邊對(duì)等角，即可證得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，則∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，據(jù)此即可求解；②因?yàn)辄c(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，所以BO不一定是∠ABD的角平分線，可作判斷；③證明∠POC＝60°且OP＝OC，即可證得△OPC是等邊三角形；④首先證明△OPA≌△CPE，則AO＝CE，AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP．【解答】解：①如圖1，連接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD=12∠BAC∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正確；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，∴∠ABO與∠DBO不一定相等，則∠APO與∠DCO不一定相等，故②不正確；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等邊三角形；故③正確；④如圖2，在AC上截取AE＝PA，連接PE，∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等邊三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，PA=PE∠APO=∠CPE∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP；故④正確；本題正確的結(jié)論有：①③④故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．二．填空題（共3小題）6．如圖，兩塊完全一樣的含30°角的直角三角板，將它們重疊在一起并繞其較長(zhǎng)直角邊的中點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)，使上面一塊三角板的斜邊剛好過下面一塊三角板的直角頂點(diǎn)C．已知AC＝4，則這兩塊直角三角板頂點(diǎn)A、A′之間的距離等于．【分析】連接AA'，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CM＝C'M＝2，AM＝A'M＝2，可證△AMA'是等邊三角形，即可求AA'的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，連接AA'，∵點(diǎn)M是AC中點(diǎn)，∴AM＝CM=12∵旋轉(zhuǎn)，∴CM＝C'M，AM＝A'M∴A'M＝MC＝AM＝2，∴∠C'A'B'＝∠A'CM＝30°∴∠AMA'＝∠C'A'B'+∠MCA'＝60°，且AM＝A'M∴△AMA'是等邊三角形∴A'A＝AM＝2故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．7．在△ABC中，∠A＝∠B＝60°，AB＝3，則BC等于．【分析】先判定三角形ABC是等邊三角形，進(jìn)而利用等邊三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝∠B＝60°，∴∠C＝60°，∴△ABC是等邊三角形，又∵AB＝3，∴BC＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定．8．如圖，已知△ABC中高AD恰好平分邊BC，∠B＝30°，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)且OP＝OC，下面的結(jié)論：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等邊三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四邊形AOCP．其中正確的為．（填序號(hào)）【分析】①連接OB，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)即可求得OB＝OC＝OP，即可解題；②根據(jù)周角等于360°和三角形內(nèi)角和為180°即可求得∠POC＝2∠ABD＝60°，即可解題；③在AC上截取AE＝PA，易證△OPA≌△CPE，可得AO＝CE，即可解題；④作CH⊥BP，可證△CDO≌△CHP和Rt△ABD≌Rt△ACH，根據(jù)全等三角形面積相等即可解題．【解答】解：①連接OB，如圖1，∵△ABC中高AD恰好平分邊BC，即AD是BC垂直平分線，∴AB＝AC，BD＝CD，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，∵∠ABC＝∠ABO+∠DBO＝30°，∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正確；②△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，∴∠POC＝2∠ABD＝60°，∵PO＝OC，∴△OPC是等邊三角形，故②正確；③如圖2，在AC上截取AE＝PA，∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等邊三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，PA=PE∠APO=∠CPE∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AC＝AE+CE＝AO+AP；故③正確；④如圖3，作CH⊥BP，∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°，∴∠PCH＝∠OCD，在△CDO和△CHP中，∠ODC=∴△CDO≌△CHP（AAS），∴S△OCD＝S△CHP∴CH＝CD，∵CD＝BD，∴BD＝CH，在Rt△ABD和Rt△ACH中，AB=ACBD=CH∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），∴S△ABD＝S△AHC，∵四邊形OAPC面積＝S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC＝S△AOC+S△ABD+S△OCD∴四邊形OAPC面積＝S△ABC．故④正確．故答案為：①②③④．