第07講 二次根式解析版-八年級(jí)數(shù)學(xué)

第07講二次根式了解二次根式的概念理解二次根式有意義的條件，會(huì)求二次根式的被開方數(shù)中所含字母的取值范圍。掌握二次根式的性質(zhì)，能利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡知識(shí)點(diǎn)1：二次根式二次根式的概念一般地，我們把形如的式子的式子叫做二次根式，稱為稱為二次根號(hào)．二次根式滿足條件：必須含有二次根號(hào)被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)如二次根式滿足條件：必須含有二次根號(hào)被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)2：二次根式有無意義的條件條件字母表示二次根式有意義被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)二次根式無意義被開方數(shù)為負(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)3：二次根式的性質(zhì)1.的性質(zhì)符號(hào)語言文字語言一個(gè)非負(fù)數(shù)的算數(shù)平方根是非負(fù)數(shù)提示有最小值，為02.的性質(zhì)符號(hào)語言應(yīng)用正用：逆用：若a≥0，則提示逆用可以再實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：如3.的性質(zhì)符號(hào)語言a（a＞0）0（a=0)-a(a＜0）文字語言任意一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對值應(yīng)用正用：逆用：考點(diǎn)一：根據(jù)二次根式概念判斷二次根式例1．（2023春?津南區(qū)期中）下列各式中，一定是二次根式的個(gè)數(shù)為（）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦（x＞0）；⑧；⑨．A．7個(gè) B．6個(gè) C．5個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解答】解：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦（x＞0）；⑧；⑨中，只有③；⑥；⑨不符合二次根式的定義，故是二次根式的有6個(gè)．故選：B．【變式1-1】（2023春?雄縣月考）若為二次根式，則a的值可以是（）A．2 B．﹣0.1 C．﹣2 D．﹣5【答案】A【解答】解：∵是二次根式，∴a≥0，∴a的值可以是2．故選：A．【變式1-2】（2023春?金安區(qū)校級(jí)月考）下列式子中是二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、中，當(dāng)a＜0時(shí)，不是二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；B、中，當(dāng)x＜1時(shí)，不是二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，（x+1）2≥0恒成立，因此該式是二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；D、中，被開方數(shù)﹣2＜0，不是二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【變式1-3】（2023春?青秀區(qū)校級(jí)月考）下列各式是二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、a2+1≥1，則是二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；B、無意義，故此選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)a＜0時(shí)，無意義，故此選項(xiàng)不符合題意；D、屬于三次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．考點(diǎn)二：根據(jù)二次根式的定義求字母的值例2.（2023春?崇左月考）已知是正整數(shù)，則自然數(shù)n的最小值為（）A．0 B．2 C．3 D．12【答案】C【解答】解：∵是正整數(shù)，n是整數(shù)，∴n的最小值是3．故選：C．【變式2-1】（2023春?西青區(qū)期中）已知是整數(shù)，非負(fù)整數(shù)n的最小值是（）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】D【解答】解：∵，且是整數(shù)，∴是整數(shù)，即2n是完全平方數(shù)，∴2n≥0，∴n的最小非負(fù)整數(shù)值為0，故選：D．【變式2-2】（2020春?江岸區(qū)校級(jí)期中）已知是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)n為（）A．0 B．1 C．2 D．8【答案】C【解答】解：∵＝2且是整數(shù)∴2n是完全平方數(shù)∴正整數(shù)n的最小值是2故選：C．【變式2-3】（2023春?天門校級(jí)月考）是一個(gè)正整數(shù)，則n的最小正整數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：由是一個(gè)正整數(shù)，得12﹣n＝9，n＝3，故選：C．考點(diǎn)三：根據(jù)二次根式有意義條件求范圍例3.（2023?貴港二模）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的值有可能是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解答】解：∵在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x﹣3≥0，解得：x≥3，故選：D．【變式3-1】（2023?寧波模擬）使有意義的x的取值，在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：使有意義，則x+1≥0，解得：x≥﹣1，在數(shù)軸上表示為：．故選：A．【變式3-2】（2023?長春模擬）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x≤2 D．x≥2【答案】C【解答】解：式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則2﹣x≥0，解得：x≤2．故選：C．【變式3-3】（2023春?淮北月考）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為（）A．0≤x＜1 B．0≤x≤1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1【答案】A【解答】解：根據(jù)題意得：，解得：0≤x＜1．故選：A．考點(diǎn)四：根據(jù)二次根式有意義求值例4.（2023春?東寶區(qū)月考）若，則（x+y）2023等于（）A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1【答案】D【解答】解：∵，∴x﹣2≥0，4﹣2x≥0．∴x≥2，x≤2．∴x＝2．∴＝0+0﹣3＝﹣3．∴（x+y）2023＝（2﹣3）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．故選：D．【變式4-1】（2022春?高青縣期末）若，則（x+y）2022等于（）A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1【答案】A【解答】解：∵，∴x﹣2≥0，4﹣2x≥0．∴x≥2，x≤2．∴x＝2．∴＝0+0﹣3＝﹣3．∴（x+y）2022＝（2﹣3）2022＝（﹣1）2022＝1．故選：A．【變式4-2】（2023春?慈溪市期中）若x，y為實(shí)數(shù)，且++2y＝4，則x+y的值為（）A．2 B．3 C．5 D．不確定【答案】B【解答】解：由題意，得x﹣1≥0，1﹣x≥0，解得x＝1，2y＝4y＝2．x+y＝1+2＝3．故選：B．【變式4-3】（2023春?潮南區(qū)期中）已知x、y為實(shí)數(shù)，且y＝+1，則x+y的值是（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【解答】解：∵x﹣2023≥0，2023﹣x≥0，∴x﹣2023＝0，∴x＝2023，∴y＝1，∴x+y＝2023+1＝2024，故選：C．考點(diǎn)五：利用二次根式的性質(zhì)化簡（數(shù)字型）例5.（2023春?樂清市期中）下列等式正確的是（）A． B．＝±4 C．＝﹣5 D．＝1【答案】A【解答】解：A．＝，故此選項(xiàng)正確，符合題意；B．＝4，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．＝，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．＝，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：A．【變式5-1】（2023春?東莞市校級(jí)期中）下列式子正確的是（）A．＝0.6 B．＝﹣13 C．＝﹣ D．＝±7【答案】C【解答】解：A．∵0.62＝0.36，∴A選項(xiàng)不符合題意；B.＝＝13，不符合題意；C．負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，符合題意；D.＝7，不符合題意．故選：C．【變式5-2】（2023春?漢陽區(qū)期中）化簡：＝（）A． B．﹣2 C．4 D．2【答案】D【解答】解：．故選：D．【變式5-3】（2023春?澄邁縣月考）把4根號(hào)外的因式移進(jìn)根號(hào)內(nèi)，結(jié)果等于（）A．﹣ B． C．﹣ D．【答案】D【解答】解：原式＝×＝，故選：D．考點(diǎn)六：根據(jù)二次根式性質(zhì)化簡（字母及復(fù)合型）例6.（2023春?普蘭店區(qū)期中）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是（）A．﹣a+b B．a(chǎn)﹣b C．﹣b D．b【答案】A【解答】解：由數(shù)軸可得：a﹣b＜0，故原式＝﹣（a﹣b）＝﹣a+b．故選：A．【變式6-1】（2022秋?開福區(qū)期末）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡+﹣的結(jié)果是（）A．0 B．﹣2 C．﹣2a D．2b【答案】B【解答】解：由題意得：a＜﹣1，b＞1，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+b﹣1﹣（b﹣a）＝﹣a﹣1+b﹣1﹣b+a＝﹣2．故選：B．【變式6-2】（2022秋?安岳縣期末）已知實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡：的結(jié)果為（）A．2 B．﹣2 C．2a﹣6 D．﹣2a+6【答案】A【解答】解：根據(jù)實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置得知：2＜a＜4，即：a﹣2＞0，a﹣4＜0，故原式＝a﹣2+4﹣a＝2．故選：A．考點(diǎn)七：根據(jù)參數(shù)范圍及二次根式的性質(zhì)化簡二次根式例7.（2023春?云浮校級(jí)期中）若1＜x＜3，則|x﹣3|+的值為（）A．2x﹣4 B．﹣2 C．2 D．4﹣2x【答案】C【解答】解：∵1＜x＜3，∴x﹣1＞0，x﹣3＜0，原式＝|x﹣3|+|x﹣1|＝﹣（x﹣3）+（x﹣1）＝﹣x+3+x﹣1＝2．故選：C．【變式7-1】（2023春?武穴市月考）已知1＜a＜3，那么化簡代數(shù)式﹣的結(jié)果是（）A．5﹣2a B．2a﹣5 C．﹣3 D．3【答案】B【解答】解：∵1＜a＜3，∴a﹣1＞0，a﹣3＜0，∴﹣＝|a﹣1|﹣|a﹣4|＝a﹣1+a﹣4＝2a﹣5，故選：B．【變式7-2】（2023春?東湖區(qū)校級(jí)期中）已知﹣1＜x＜3，化簡：＝4．【答案】4．【解答】解：∵1＜x＜3，∴x﹣3＜0、x+1＞0，則原式＝|x﹣3|+|x+1|＝3﹣x+x+1＝4，故答案為：4．考點(diǎn)八：含隱含條件的參數(shù)范圍化簡二次根式例8.（2023春?花山區(qū)校級(jí)期中）化簡的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵有意義，∴a﹣1＞0，∴1﹣a＜0，∴＝﹣（a﹣1）＝﹣＝﹣．故選：B．【變式8-1】（2023春?黃陂區(qū)校級(jí)月考）把根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由已知可得：，∴x﹣1＜0，即1﹣x＞0，∴．故選：B．【變式8-2】（2023春?德城區(qū)校級(jí)月考）若某三角形的三邊長分別為2，5，n，則化簡+|8﹣n|的結(jié)果為（）A．5 B．2n﹣10 C．2n﹣6 D．10【答案】A【解答】解：∵三角形的三邊長分別為2，5，n，∴5﹣2＜n＜5+2，∴3＜n＜7，∴+|8﹣n|＝|3﹣n|+|8﹣n|＝n﹣3+8﹣n＝5，故選：A．考點(diǎn)九：復(fù)雜的復(fù)合二次根式化簡例9.（2022春?宜秀區(qū)校級(jí)月考）已知|2020﹣a|+＝a，則4a﹣40402的值為（）A．8084 B．6063 C．4042 D．2021【答案】A【解答】解：由題意得，a﹣2021≥0，解得，a≥2021，原式變形為：a﹣2020+＝a，則＝2020，∴a﹣2021＝20202，∴4a＝4×20202+8084，∴4a﹣40402＝40402+8084﹣40402＝8084，故選：A．1．（2022?廣州）代數(shù)式有意義時(shí)，x應(yīng)滿足的條件為（）A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1【答案】B【解答】解：代數(shù)式有意義時(shí)，x+1＞0，解得：x＞﹣1．故選：B．2．（2023?番禺區(qū)一模）下列計(jì)算正確的是（）A．＝2 B．＝﹣2 C．＝2 D．＝±2【答案】A【解答】解：A．正確；符合題意．B.＝2；不符合題意．C.＝﹣2；不符合題意．D.＝2；不符合題意．故選：A．3．（2021?益陽）將化為最簡二次根式，其結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：＝＝，故選：D．4．（2023?潮南區(qū)模擬）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖，則化簡的結(jié)果為（）A．2a﹣b B．2a+b C．b D．﹣2a+b【答案】C【解答】解：由圖可得：a＜0，b＞0，|a|＜|b|，∴+|a+b|＝|a|+（a+b）＝﹣a+a+b＝b．故選：C．1．（2023春?巴南區(qū)期中）下列式子一定是二次根式是（）A． B．π C． D．【答案】D【解答】解：A、該代數(shù)式無意義，不符合題意；B、π是無理數(shù)，不是二次根式，故此選項(xiàng)不合題意；C、該代數(shù)式是三次根式，故此選項(xiàng)不合題意；D、是二次根式，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．2．（2023春?荊州月考）若是整數(shù)，則正整數(shù)a的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解答】解：；由是整數(shù)，得a最小值為6，故選：C．3．（2022春?裕安區(qū)校級(jí)期中）若x，y為實(shí)數(shù)，且y＝2++，則|x+y|的值是（）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】A【解答】解：∵，∴，∴x＝3，∴y＝2，∴|x+y|＝|3+2|＝5，故選：A．4．（2023?蕭山區(qū)模擬）下列各式中，正確的是（）A．＝﹣4 B．＝﹣2 C．＝3 D．＝±4【答案】C【解答】解：A.＝|﹣4|＝4，因此選項(xiàng)A不符合題意；B．由于負(fù)數(shù)沒有平方根，因此無意義，因此選項(xiàng)B不符合題意；C.，即9的算術(shù)平方根，9的算術(shù)平方根是3，所以＝3，因此選項(xiàng)C符合題意；D.，即16的算術(shù)平方根，16的算術(shù)平方根是4，所以＝4，因此選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．5．（2023春?渦陽縣期中）化簡的結(jié)果是（）A．3﹣π B．﹣3﹣π C．π﹣3 D．π+3【答案】C【解答】解：原式＝|3﹣π|＝π﹣3，故選：C．6．（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡結(jié)果為（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．無法確定【答案】A【解答】解：∵由圖可知：4＜a＜10，∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，∴原式＝+＝a﹣4+11﹣a＝7．故選：A．7．（2023春?大冶市期中）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，則化簡﹣|a﹣b|+得（）A．0 B．2a C．2b D．﹣2b【答案】A【解答】解：根據(jù)數(shù)軸得a＜0，b＞0，a﹣b＜0，原式＝|a|﹣|a﹣b|+|b|＝﹣a+a﹣b+b＝0，故選：A．8．（2022秋?大名縣期末）化簡二次根式的結(jié)果為（）A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a【答案】A【解答】解：∵﹣8a3≥0，∴a≤0∴＝2|a|＝﹣2a故選：A．9．（2023春?泰山區(qū)校級(jí)期中）