分類加法計數(shù)原理與乘法計數(shù)原理同步訓練 高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

6.1分類加法計數(shù)原理與乘法計數(shù)原理同步訓練學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．甲同學計劃分別從3份不同的語文試卷、5份不同的數(shù)學試卷中各任選1份試卷練習，則不同的選法共有()A．8種 B．15種 C．種 D．種2．文娛晚會中,學生的節(jié)目有5個,教師的節(jié)目有2個,如果教師的節(jié)目不排在第一個,也不排在最后一個,并且不相鄰,則排法種數(shù)為()A.720 B.1440 C.2400 D.28803．由未來科學大獎聯(lián)合中國科技館共同主辦的“同上一堂科學課”——科學點燃青春:未來科學大獎獲獎者對話青少年活動于2023年9月8日在全國各地以線上線下結合的方式舉行.現(xiàn)有某市組織5名獲獎者到當?shù)厝齻€不同的會場與學生進行對話活動,要求每個會場至少派一名獲獎者,每名獲獎者只去一個會場,則不同的派出方法有()A.60種 B.120種 C.150種 D.240種4．一個三位自然數(shù)百位,十位,個位上的數(shù)字依次為a,b,c,當且僅當,時稱為“凹數(shù)”（如213,312等）,若,且a,b,c互不相同,則這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率為()A. B. C. D.5．現(xiàn)將四名語文教師,三名心理教師,兩名數(shù)學教師分配到三所不同學校,每個學校三人,要求每個學校既有心理教師又有語文教師,則不同的安排種數(shù)為()A.216 B.432 C.864 D.10806．2023年的五一勞動節(jié)是疫情后的第一個小長假，公司籌備優(yōu)秀員工假期免費旅游.除常見的五個旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國，則甲、乙、丙、丁四個部門至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有()A.1800 B.1080 C.720 D.3607．2024年3月22日國家文物局在北京公布2023年《全國十大考古新發(fā)現(xiàn)》,安徽省皖南地區(qū)郎溪縣磨盤山遺址成功入選并排名第三,經(jīng)初步確認,該遺址現(xiàn)存馬家浜文化區(qū)?崧澤文化區(qū)?良渚文化區(qū)?錢山漾文化區(qū)四大區(qū)域,總面積約6萬平方米.該遺址延續(xù)時間長?譜系完整,是長江下游地區(qū)少有的連續(xù)時間近4000年的中心性聚落.對認識多元化一體中華文明在皖南地區(qū)的演進方式具有重要的價值,南京大學歷史學院趙東升教授團隊現(xiàn)在對該遺址四大區(qū)域進行考古發(fā)掘,現(xiàn)安排包含甲?乙在內的6名研究生同學到這4個區(qū)域做考古志愿者,每人去1個區(qū)域,每個區(qū)域至少安排1個人,則甲?乙兩人安排在相同區(qū)域的方法種數(shù)為()A.96 B.144 C.240 D.3608．甲、乙、丙、丁共4名同學參加某知識競賽,已決出了第1名到第4名（沒有并列名次）,甲、乙、丙三人向老師詢問成績,老師對甲和乙說：“你倆名次相鄰”,對丙說：“很遺憾,你沒有得到第1名”,從這個回答分析,4人的名次排列情況種數(shù)為()A.4 B.6 C.8 D.12二、多項選擇題9．某城市地鐵公司為鼓勵人們綠色出行，決定按照乘客的乘坐站數(shù)實施分段優(yōu)惠政策，不超過9站的地鐵票價如表：乘坐站數(shù)x票價/元234現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時從首站乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過9站，且他們各自在每個站下地鐵的可能性相同，則下列結論中正確的是()A.若甲和乙兩人共花費5元，則甲和乙下地鐵的方案共有9種B.若甲和乙兩人共花費5元，則甲和乙下地鐵的方案共有18種C.若甲和乙兩人共花費6元，則甲和乙下地鐵的方案共有9種D.若甲和乙兩人共花費6元，則甲和乙下地鐵的方案共有27種10．將4個不同的小球放入3個分別標有1，2，3的盒子中，不允許有空盒子的放法有多少種？下列結論正確的有()A. B. C. D.1811．有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，不同的排列方法數(shù)正確的是()A.排成前后兩排，前排3人，后排4人，共有種方法B.全體排成一排，男生互不相鄰，共有種方法C.全體排成一排，女生必須站在一起，共有種方法D.全體排成一排，其中甲不站在最左邊，也不站在最右邊，共有種方法12．數(shù)學中蘊含著無窮無盡的美,尤以對稱美最為直觀和顯著.回文數(shù)是對稱美的一種體現(xiàn),它是從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù),如22,121,3443,94249等,顯然兩位回文數(shù)有9個：11,22,33,…,99;三位回文數(shù)有90個：101,111,121,…,191,202,…,999.下列說法正確的是()A.四位回文數(shù)有45個 B.四位回文數(shù)有90個C.位回文數(shù)有個 D.位回文數(shù)有個三、填空題13．某迷宮隧道貓爬架如圖所示,B,C為一個長方體的兩個頂點,A,B是邊長為3米的大正方形的兩個頂點,且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小貓從A點沿著圖中的線段爬到B點,再從B點沿著長方體的棱爬到C點,則小貓從A點爬到C點可以選擇的最短路徑共有_______________條.14．《九章算術》、《數(shù)書九章》、《周髀算經(jīng)》是中國古代數(shù)學著作,甲、乙、丙三名同學計劃每人從中選擇一種來閱讀,若三人選擇的書不全相同,則不同的選法有_________種．15．如圖是一個的九宮格,小方格內的坐標表示向量,現(xiàn)不改變這些向量坐標,重新調整位置,使得每行、每列各三個向量的和為零向量,則不同的填法種數(shù)為_______________.16．某比賽有8支隊伍參賽，分別為中國賽區(qū)1，2，3，4號隊伍，韓國賽區(qū)1，2，3號隊伍，歐洲賽區(qū)1號隊伍.現(xiàn)淘汰賽需要抽簽，分四組兩兩對決，要求來自同一賽區(qū)的隊伍不進行對戰(zhàn)且同一編號隊伍不進行對戰(zhàn).則會出現(xiàn)_________種不同的對局情況.四、解答題17．為慶祝3.8婦女節(jié),某中學準備舉行教職工排球比賽,賽制要求每個年級派出十名老師分為兩支隊伍,每支隊伍五人,并要求每支隊伍至少有兩名女老師,現(xiàn)高二年級共有4名男老師,6名女老師報名參加比賽.（1）高二年級一共有多少不同的分組方案？（2）若甲,乙兩位男老師和丙,丁,戊三位女老師組成的隊伍順利奪得冠軍,在領獎合影時從左到右站成一排,丙不宜站最右端,丁和戊要站在相鄰的位置,則一共有多少種排列方式？18．某次數(shù)學競賽初賽結束后，為了解競賽成績情況，從所有參加競賽的學生中隨機抽取100名學生，得到他們的成績，將數(shù)據(jù)整理后分成五組：，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）補全頻率分布直方圖，若只有的人能進入決賽，則入圍分數(shù)應設為多少分（保留兩位小數(shù)）？（2）采用分層抽樣的方法從成績?yōu)榈膶W生中抽取容量為6的樣本，再從該樣本中隨機抽取2名學生進行問卷調查，求至少有1名學生成績不低于90的概率.（3）進入決賽的同學需要再經(jīng)過考試才能參加冬令營活動.考試分為兩輪，第一輪為筆試，需要考2門學科，每科筆試成績從高到低依次有A+，A，B，C，D五個等級，若兩科筆試成績均為A+，則不需要第二輪面試直接參加冬令營活動；若一科筆試成績?yōu)锳+，另一科筆試成績不低于B，則要參加第二輪面試，面試通過也可參加冬令營活動，其他情況均不能參加活動.現(xiàn)有甲、乙二人報名參加考試.甲在每科筆試中取得A+，A，B，C，D的概率分別為，，，，；乙在每科筆試中取得A+，A，B，C，D的概率分別為，，，，；甲、乙在面試中通過的概率分別為，.已知甲、乙二人在筆試、面試的成績均互不影響，求甲、乙能同時參加冬令營活動的概率.19．在某設計活動中，李明要用紅色和藍色填涂四個格子（如圖所示），要求每種顏色都用兩次，李明共有多少種不同的填涂方法？20．已知6件不同的產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，現(xiàn)對這6件產(chǎn)品一一進行測試，直至確定出所有次品則測試終止.（以下請用數(shù)字表示結果）（1）若恰在第2次測試時，找到第一件次品，且第4次測試時，才找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試情況？（2）若至多測試4次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試情況？

參考答案1．答案：B解析：根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的選法共有種.故選：B2．答案：B解析：由題意可知,先將學生的節(jié)目全排列有種排法,然后對教師節(jié)目進行插空有種排法,所以滿足題意的排法種數(shù)為種.故選：B.3．答案：C解析：依題意,5名獲獎者按去到三個不同會場,有種方法,5名獲獎者按去到三個不同會場,有種方法,所以不同的派出方法有(種).故選:C4．答案：C解析：試題解題思路：由于,且a,b,c互不相同,故可得個三位數(shù).若,則“凹數(shù)”有：213,214,312,314,412,413共6個;若,則“凹數(shù)”有：324,423共2個.所以這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率為有.5．答案：B解析：求不同的安排種數(shù)需要分成3步,把3名心理教師分配到三所學校,有種方法,再把4名語文教師按分成3組,并分配到三所學校,有種方法,最后把2名數(shù)學教師分配到只有1名語文教師的兩所學校,有種方法,由分步乘法計數(shù)原理得不同的安排種數(shù)為.故選：B.6．答案：B解析：①恰有2個部門所選的旅游地相同，第一步，先將選相同的2個部門取出，有種；第二步，從6個旅游地中選出3個排序，有種，根據(jù)分步計數(shù)原理可得，方法有種；②4個部門所選的旅游地都不相同的方法有種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理得，則甲、乙、丙、丁四個部門至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有種.故選：B.7．答案：C解析：先將6名同學分成4組:一種方式是甲?乙組成一組,再從另外4人任選2人組成一組,其余的一人一組;另一種方式是甲?乙與另外4人中的1人組成一組,其余的一人一組.再把4組人分到4個區(qū)域,所以安排方法種數(shù)為.故選C.8．答案：C解析：解析：由題意可得丙不是第1名,甲,乙相鄰;所以丙是第2名時,甲,乙只能是第3,4名,丁為第1名,此時共2種情況;丙是第3名時,甲,乙只能是第1,2名,丁為第4名,此時共2種情況;丙是第4名時,甲,乙有可能是第1,2名,或第2,3名,當甲,乙是第1,2名時,丁為第3名,此時共2種情況;當甲,乙是第2,3名時,丁為第1名,此時共2種情況;所以一共有種情況.故選：C.9．答案：BD解析：因為甲、乙兩人乘坐地鐵，共花費5元，則其中一人的乘坐站數(shù)不超過3，另一人的乘坐站數(shù)超過3不超過6，設首站之后的前6站分別為，，，，，，若甲乘坐地鐵不超過3站，則兩人下地鐵的所有方案為，，，，，，，，共8種，同理，若乙乘坐地鐵不超過3站，也有8種方案，因此甲和乙兩人共花費5元時共有18種下地鐵的方案，故A錯誤，B正確；設首站之后的前9站分別為，，，，，，，，，若甲、乙兩人共付費6元，則共有三類方案，甲付2元，乙付4元；甲付3元，乙付3元；甲付4元，乙付2元；由選項AB的分析可知每類情況有9種方案，所以甲、乙兩人共付費6元時共有27種下地鐵的方案，故C錯誤，D正確.故選：BD.10．答案：BC解析：根據(jù)題意，4個不同的小球放入3個分別標有1，2，3的盒子中，且沒有空盒，則3個盒子中有1個中放2個球，剩下的2個盒子中各放1個球，有2種解法：（1）分兩步進行分析：①先將4個不同的小球分成3組，有種分組方法；②將分好的3組全排列，對應放到3個盒子中，有種放法，故沒有空盒的放法有種.（2）分兩步進行分析：①在4個小球中任選2個，在3個盒子中任選1個，將選出的2個小球放入選出的小盒中，有種方法；②將剩下的2個小球全排列，放入剩下的2個小盒中，有種放法，故沒有空盒的放法有種.選BC.11．答案：ACD解析：對于A：先選出前排3人，有種排法，剩余4人隨機排序有種排法，故有種方法，A正確.對于B：利用插空法，4名女生隨機排序有種排法，旁邊有5個空位，把男生排進去有種排法，故有種方法，B錯誤.對于C：把4名女生放在一起有種排法，再和3名男生排序有種排法，故有種方法，C正確.對于D：從其他6人抽出兩人排在兩側有種排法，再把剩余5人隨機排序有種排法，故有種方法，D正確.故選：ACD.12．答案：BD解析：據(jù)題意,對于四位回文數(shù),有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……9009、9119、9229、……、9999,共90個,則A錯誤,B正確;對于位回文數(shù),首位和個位數(shù)字有9種選法,第二位和倒數(shù)第二位數(shù)字有10種選法,……,第n和第位也有10種,則共有種選法,故C錯;對于位回文數(shù),首位和個位數(shù)字有9種選法,第二位和倒數(shù)第二位數(shù)字有10種選法,……,第個數(shù)字,即最中間的數(shù)字有10種選法,則共有種選法,即位回文數(shù)有個,所以D正確.故選：BD.13．答案：120解析：小貓要從A點爬到C點,需要先從A點爬到B點,需要走3橫3豎,則可選的路徑共有條,再從B點爬到C點的路徑共6條,用分步乘法計數(shù)原理可得小貓可以選擇的最短路徑有條.14．答案：24解析：若三人選書沒有要求,則有種,若三人選擇的書完全相同,則有3種,所以三人選擇的書不全相同,不同的選法有種.故答案為：24.15．答案：72解析：123456789首先對的九宮格每個位置標注數(shù)字,第一步先排,一共9個位置,因此有種排法,根據(jù)對稱性知,所在的行和列只能排,,,,不妨設在1位置,第二步排2位置,則從,,,選一個,因此有種排法,則3位置的數(shù)也定下來了,第三步排4位置,則從,,,剩余的兩個中挑一個,因此有種排法,接著排7位置,7位置是,,,中剩余的最后一個,相當于所在的行和列都定下來了,則使得每行、每列各三個向量的和為零向量,其他四個位置的向量排法是唯一的,因此按分步乘法計數(shù)原理知,（種）因此共有72種排法,故答案為：72.16．答案：8解析：記中國賽區(qū)1，2，3，4號隊伍分別為A，B，C，D，韓國賽區(qū)1，2，3號隊伍分別為a，b，c，歐洲賽區(qū)1號隊伍為m，根據(jù)題意，A只能對戰(zhàn)b，c中的一支隊伍，當A對戰(zhàn)b時，B可以對戰(zhàn)a，c，m中的一支隊伍，若B對戰(zhàn)a，則C只能對戰(zhàn)m，故D只能對戰(zhàn)c，只有1種情況；若B對戰(zhàn)c，則C可以對戰(zhàn)a，m中一支隊伍，D對戰(zhàn)剩下的隊伍，一共有2種情況；若B對戰(zhàn)m，則C只能對戰(zhàn)a，故D只能對戰(zhàn)c，只有1種情況；當A對戰(zhàn)c時，B只能對戰(zhàn)a，m中的一支隊伍，若B對戰(zhàn)a，則C可以對戰(zhàn)b，m中一支隊伍，D對戰(zhàn)剩下的隊伍，一共有2種情況；若B對戰(zhàn)m，則C可以對戰(zhàn)a，b中一支隊伍，D對戰(zhàn)剩下的隊伍，一共有2種情況；綜上：對局情況一共有種.故答案為：8.17．答案：（1）120種（2）36種解析：（1）兩組都是3女2男的情況有（種）：一組是1男4女,另一組是3男2女的情況有（種）,所以總情況數(shù)為（種）,故一共有120種不同的分組方案;（2）丙站在左1位,共有（種）不同的排列方式;丙站在左2位,共有（種）不同的排列方式;丙站在左3位,共有（種）不同的排列方式;丙站在左4位,共有（種）不同的排列方式.綜上所述,共有36種排列方式.18．答案：（1）圖見解析，入圍分數(shù)應設為76.25分（2）（3）解析：（1）由頻率分布直