數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：直線方程的幾種形式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.2.2直線方程的幾種形式5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類(lèi)訓(xùn)練，可用于課前)1。過(guò)點(diǎn)A(—2，1)且與x軸垂直的直線的方程是(）A.x=—2B。y=1C.x=1解析：過(guò)點(diǎn)（x0，y0）與x軸垂直的直線的方程是x=x0，所以所求直線的方程為x=—2.答案：A2。已知直線l過(guò)點(diǎn)P（3，2),且斜率為,則下列點(diǎn)不在直線l上的是()A。(8,-2）B.(4，-3)C。（-2，6）D。（-7,10)解法一：由斜率公式k=(x1≠x2），知選項(xiàng)A、C及D中的點(diǎn)與點(diǎn)P確定的直線斜率都為。解法二：由點(diǎn)斜式方程,可得直線l的方程為y-2=(x-3),即4x+5y-22=0.分別將A、B、C、D中的點(diǎn)代入方程,可知點(diǎn)(4，—3）不在直線上.答案：B3.過(guò)點(diǎn)P（3,2）和點(diǎn)Q(4，7)的直線方程為_(kāi)___________。解：過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1）、P2（x2,y2)的直線的兩點(diǎn)式方程，代入點(diǎn)P（3，2)和點(diǎn)Q(4,7）,求得直線方程為，整理得5x-y-13=0。答案：5x—y-13=010分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類(lèi)訓(xùn)練，可用于課中)1。在同一直角坐標(biāo)系中，表示直線y=ax與y=x+a的圖象正確的是（)圖2—2-2解析：結(jié)合四個(gè)圖象，a在兩方程中分別表示斜率和縱截距,它們的符號(hào)應(yīng)一致。逐一判斷知A、B、D均錯(cuò)，只有C正確.答案：C2。下列命題中：①=k表示過(guò)定點(diǎn)P(x0,y0）且斜率為k的直線;②直線y=kx+b和y軸交于B點(diǎn)，O是原點(diǎn),那么b=|OB|；③一條直線在x軸上的截距為a,在y軸上的截距為b，那么該直線的方程為=1;④方程（x1—x2)（y-y1)+(y2—y1）(x-x1)=0表示過(guò)P1(x1，y1）、P2(x2,y2）兩點(diǎn)的直線。其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是（）A。0B.1C.2解析：①不是點(diǎn)斜式，因?yàn)樗话c(diǎn)(x0，y0)；②b≠|(zhì)OB|，b是點(diǎn)B的縱坐標(biāo),可正、可負(fù)、可零；③當(dāng)a=b=0時(shí),直線方程不能寫(xiě)成=1;④正確，這是兩點(diǎn)式的變形形式,其可以表示過(guò)P1(x1,y1)、P2（x2，y2)的所有直線。答案：D3.直線y=x+1上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是3,把已知直線繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后所得的直線方程是_______________.解析:可先求出P點(diǎn)的坐標(biāo)再求出旋轉(zhuǎn)后直線的傾斜角和斜率.把x=3代入方程y=x+1中得y=4，即P（3，4)，因?yàn)橹本€y=x+1的傾斜角為45°,再將其繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得直線l的傾斜角為135°，所以直線l的斜率為—1。由點(diǎn)斜式得直線方程y-4=-(x—3),即x+y-7=0。答案:x+y-7=04.已知直線過(guò)點(diǎn)P（0,1)，并與直線l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分別交于點(diǎn)A、B，若線段AB被點(diǎn)P平分，求直線l的方程。解：∵點(diǎn)A、B分別在直線l1：x-3y+10=0和l2:2x+y—8=0上，∴可設(shè)A（a，)，B(b,8—2b).∵AB中點(diǎn)是P，有∴B(4，0）.由兩點(diǎn)式得l：x+4y—4=0。5。直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1)和點(diǎn)B（a,2）,求直線l的方程。解:①當(dāng)a=2時(shí)，直線的斜率不存在,直線上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為2,所以直線方程為x=2;②當(dāng)a≠2時(shí)，直線的斜率為k=,直線的點(diǎn)斜式方程為y—1=(x—2），化成一般式為x+(2—a)y—4+a=0.30分鐘訓(xùn)練(鞏固類(lèi)訓(xùn)練，可用于課后)1.若ac〈0，bc〉0，那么直線ax+by+c=0必不過(guò)(）A。第一象限B.第二象限C。第三象限D(zhuǎn).第四象限解析：由條件ac＜0，bc＞0知ab＜0,而原方程可化為y=,由于,所以直線過(guò)第一、三、四象限,不過(guò)第二象限。答案：B2.對(duì)于直線ax+y-a=0(a≠0），以下說(shuō)法正確的是（)A.恒過(guò)定點(diǎn),且斜率與縱截距相等B.恒過(guò)定點(diǎn)，且橫截距恒為定值C.恒過(guò)定點(diǎn)，且與x軸平行的直線D.恒過(guò)定點(diǎn)，且與x軸垂直的直線解析:將直線ax+y—a=0化為點(diǎn)斜式方程為y-0=—a（x-1)，由此可得直線過(guò)定點(diǎn)(1,0)，橫截距為定值1.答案：B3.過(guò)點(diǎn)（3，-4）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是()A。x+y+1=0B。4x—3y=0C.4x+3y=0D。4x+3y=0或x+y+1=0解析：（1)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可得y=;（2）當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí),可設(shè)x+y=a,即得x+y+1=0.答案：D4。已知兩直線的方程分別為l1：x+ay+b=0,l2：x+cy+d=0，它們?cè)谧鴺?biāo)系中的位置如圖2—2—3所示，則（)圖2-2-3A。b〉0，d<0，a<cB。b>0,d<0,a〉cC。b<0，d〉0,a〉cD。b<0，d〉0，a<c解析：由已知直線表達(dá)式，得l1:y=,由圖象知答案：C5.過(guò)點(diǎn)P（3,2）的直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為6的直線有()A。1條B.2條C.3條D.4條解析：此題畫(huà)圖分析會(huì)比較簡(jiǎn)單直觀,符合條件的直線有如圖所示兩種情況.若直線經(jīng)過(guò)一、二、四象限,此時(shí)三角形面積一定大于長(zhǎng)與寬分別為3與2的距形的面積，即大于6，不符合條件。另外，此題還可能通過(guò)方程的根求解，過(guò)程如下：設(shè)直線方程y—2=k(x-3)與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為A(0，2—3k）、B（,0),∵S△=6,∴|2—3k|·｜|=6.∴(3k—2)2=±6k,即9k2-12k+4=±6k。9k2—18k+4=0或9k2-6k+4=0，∴k=或無(wú)解.∴k=1±為所求。答案：B6.過(guò)點(diǎn)P（2，1),以為斜率的直線方程為_(kāi)___________.解:依題意得y-1=(x-2),整理得.答案:7。設(shè)A(0,3),B(3，3)，C（2，0),直線x=m將△ABC面積兩等分,則m的值為_(kāi)__________.解：設(shè)直線x=m交AB和AC分別于D、E兩點(diǎn)，由S△ABC=得S△ADE=，又AC的方程是=1,E在AC上,可求得E(m，)，則｜DE|=＞0，所以·m·=，解得m=.答案:38.求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且經(jīng)過(guò)以下兩條直線的交點(diǎn)的直線的方程:l1：x-2y+2=0，l2：2x—y-2=0。解：解方程組所以，l1與l2的交點(diǎn)是（2,2）.設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線方程為y=kx，把點(diǎn)（2，2）的坐標(biāo)代入以上方程,得k=1。所以所求直線方程為y=x.另解：求直線交點(diǎn)，求解直線方程也可應(yīng)用兩點(diǎn)式，即y=x。9。已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A（-5，0)、B（3,—3)、C(0，2),求BC邊所在的直線方程，以及該邊上中線所在的直線方程。解：過(guò)B(3,-3）、C（0,2）的兩點(diǎn)式方程為，整理得BC邊所在直線方程為5x+3y—6=0。由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得BC邊中點(diǎn)M坐標(biāo)為（，）。過(guò)A（-5，0）、M（，）的直線方程為，即x+13y+5=0.10。設(shè)直線l的方程為(m2-2m-3)x+（2m2+m-1）y=2m（1）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（2，—1）；（2）在y軸上截距為6；（3）與y軸平行；(4)與x軸平行。解：（1)點(diǎn)P在直線l上,即P（2,—1）適合方程(m2-2m-3）x+（2m2+m-1)y=2m—6,把P（2,—1）代入,得2（m2-2m-3）—(2m2+m-1)=2m—6,解得m=（2)令x=0，得y=,由題意知=6，解得m=或0。（3)與y軸平行,則有解得m=。（4）與x軸平行，則有解得m=3.11.已知直線l:5ax-5y—a+3=0.(1）求證:不