2025屆浙江省五校高三最后一模數(shù)學試題含解析

2025屆浙江省五校高三最后一模數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知實數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．2．若θ是第二象限角且sinθ=，則=A． B． C． D．3．已知是的共軛復(fù)數(shù),則（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，，若對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，則的最大值是()A．3 B．2 C．4 D．55．設(shè)函數(shù)，若在上有且僅有5個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．設(shè)且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍（）A． B． C． D．8．直線l過拋物線的焦點且與拋物線交于A，B兩點，則的最小值是A．10 B．9 C．8 D．79．設(shè)a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．10．已知是等差數(shù)列的前項和，若，設(shè)，則數(shù)列的前項和取最大值時的值為()A．2020 B．20l9 C．2018 D．201711．已知，，，若，則（）A． B． C． D．12．黨的十九大報告明確提出：在共享經(jīng)濟等領(lǐng)域培育增長點、形成新動能.共享經(jīng)濟是公眾將閑置資源通過社會化平臺與他人共享，進而獲得收入的經(jīng)濟現(xiàn)象.為考察共享經(jīng)濟對企業(yè)經(jīng)濟活躍度的影響，在四個不同的企業(yè)各取兩個部門進行共享經(jīng)濟對比試驗，根據(jù)四個企業(yè)得到的試驗數(shù)據(jù)畫出如下四個等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟對該部門的發(fā)展有顯著效果的圖形是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足對任意，若，則數(shù)列的通項公式________．14．已知函數(shù)，則曲線在處的切線斜率為________.15．已知函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________.16．已知，為正實數(shù)，且，則的最小值為________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，直三棱柱中，分別是的中點，.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）設(shè)，，其中．（1）當時，求的值；（2）對，證明：恒為定值．19．（12分）已知，，設(shè)函數(shù)，.（1）若，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最小值為1，證明：.20．（12分）記為數(shù)列的前項和，已知，等比數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式；（2）求的前項和.21．（12分）已知函數(shù)，其中．（1）①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；②若滿足，且．求證：．（2）函數(shù)．若對任意，都有，求的最大值．22．（10分）設(shè)，函數(shù).（1）當時，求在內(nèi)的極值；（2）設(shè)函數(shù)，當有兩個極值點時，總有，求實數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

所求的分母特征，利用變形構(gòu)造，再等價變形，利用基本不等式求最值.【詳解】解：因為滿足，則，當且僅當時取等號，故選：．【點睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提.2、B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知：，．所以．3、A【解析】

先利用復(fù)數(shù)的除法運算法則求出的值，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求出a+bi，從而確定a，b的值，求出a+b．【詳解】i，∴a+bi＝﹣i，∴a＝0，b＝﹣1，∴a+b＝﹣1，故選：A．【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題．4、A【解析】

根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為，對于恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，然后求出的范圍，進一步得到的最大值.【詳解】，，對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，易得，即恒成立，，對于恒成立,設(shè)，則，令，在恒成立，，故存在，使得，即，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.,將代入得：，，且，故選：A【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點存在定理和不等式恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.5、A【解析】

由求出范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象零點特征，建立不等量關(guān)系，即可求解.【詳解】當時，，∵在上有且僅有5個零點，∴，∴.故選:A.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，整體代換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】項，由得到，則，故項正確；項，當時，該不等式不成立，故項錯誤；項，當，時，，即不等式不成立，故項錯誤；項，當，時，，即不等式不成立，故項錯誤．綜上所述，故選．7、B【解析】

由,可得,結(jié)合在上單調(diào)遞增,易得,即可求出的范圍.【詳解】由,可得,時,,而,又在上單調(diào)遞增,且,所以,則,即,故.故選:B.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查了學生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

根據(jù)拋物線中過焦點的兩段線段關(guān)系，可得；再由基本不等式可求得的最小值．【詳解】由拋物線標準方程可知p=2因為直線l過拋物線的焦點，由過拋物線焦點的弦的性質(zhì)可知所以因為為線段長度，都大于0，由基本不等式可知，此時所以選B【點睛】本題考查了拋物線的基本性質(zhì)及其簡單應(yīng)用，基本不等式的用法，屬于中檔題．9、D【解析】

，，得解．【詳解】，，，所以，故選D【點睛】比較不同數(shù)的大小，找中間量作比較是一種常見的方法．10、B【解析】

根據(jù)題意計算，，，計算，，，得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項和，若，故，，，，故，當時，，，，，當時，，故前項和最大.故選：.【點睛】本題考查了數(shù)列和的最值問題，意在考查學生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.11、B【解析】

由平行求出參數(shù)，再由數(shù)量積的坐標運算計算．【詳解】由，得，則，，，所以．故選：B．【點睛】本題考查向量平行的坐標表示，考查數(shù)量積的坐標運算，掌握向量數(shù)量積的坐標運算是解題關(guān)鍵．12、D【解析】根據(jù)四個列聯(lián)表中的等高條形圖可知，圖中D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟活躍度的差異最大，它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟對該部門的發(fā)展有顯著效果，故選D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由可得，利用等比數(shù)列的通項公式可得，再利用累加法求和與等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)論.【詳解】由，得，數(shù)列是等比數(shù)列，首項為2，公比為2，，，，，滿足上式，.故答案為:.【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式，遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵，利用累加法求通項公式，屬于中檔題.14、【解析】

求導(dǎo)后代入可構(gòu)造方程求得，即為所求斜率.【詳解】，，解得：，即在處的切線斜率為.故答案為：.【點睛】本題考查切線斜率的求解問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

當時，轉(zhuǎn)化條件得有唯一實數(shù)根，令，通過求導(dǎo)得到的單調(diào)性后數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】當時，，故不是函數(shù)的零點；當時，即，令，，，當時，；當時，，的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為，又，可作出的草圖，如圖：則要使有唯一實數(shù)根，則.故答案為：.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.16、【解析】

由，為正實數(shù)，且，可知，于是，可得，再利用基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】解：，為正實數(shù)，且，可知，，.當且僅當時取等號.的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)應(yīng)用，恰當變形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】

（1）連接交于點，由三角形中位線定理得，由此能證明平面．（2）以為坐標原點，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系．分別求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】證明：證明：連接交于點，則為的中點．又是的中點，連接，則．因為平面，平面，所以平面．（2）由，可得：，即所以又因為直棱柱，所以以點為坐標原點，分別以直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，則，設(shè)平面的法向量為，則且，可解得，令，得平面的一個法向量為，同理可得平面的一個法向量為，則所以二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．18、（1）1（2）1【解析】分析：（1）當時可得，可得.（2）先得到關(guān)系式，累乘可得，從而可得，即為定值．詳解：（1）當時，，又，所以.（2）即，由累乘可得，又，所以．即恒為定值1．點睛：本題考查組合數(shù)的有關(guān)運算，解題時要注意所給出的的定義，并結(jié)合組合數(shù)公式求解．由于運算量較大，解題時要注意運算的準確性，避免出現(xiàn)錯誤．19、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）利用零點分段法，求出各段的取值范圍然后取并集可得結(jié)果.（2）利用絕對值三角不等式可得，然后使用柯西不等式可得結(jié)果.【詳解】（1）由，所以由當時，則所以當時，則當時，則綜上所述：（2）由當且僅當時取等號所以由，所以所以令根據(jù)柯西不等式，則當且僅當，即取等號由故，又則【點睛】本題考查使用零點分段法求解絕對值不等式以及柯西不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.20、（1）（2）當時，；當時，.【解析】

（1）利用數(shù)列與的關(guān)系，求得；（2）由（1）可得：，，算出公比，利用等比數(shù)列的前項和公式求出.【詳解】（1）當時，，當時，，因為適合上式，所以.（2）由（1）得，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，當時，，當時，.【點睛】本題主要考查數(shù)列與的關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式、前項和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力..21、（1）①單調(diào)遞增區(qū)間，，單調(diào)遞減區(qū)間；②詳見解析；（2）.【解析】

(1)①求導(dǎo)可得,再分別求解與的解集,結(jié)合定義域分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.②根據(jù)(1)中的結(jié)論,求出的表達式,再分與兩種情況,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析的范圍即可.(2)求導(dǎo)分析的單調(diào)性,再結(jié)合單調(diào)性,設(shè)去絕對值化簡可得,再構(gòu)造函數(shù),,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與恒成立問題可知,再換元表達求解最大值即可.【詳解】解：,由可得或,由可得,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,,單調(diào)遞減區(qū)間；,或,若,因為,故,,由知在上單調(diào)遞增,,若由可得x1,因為,所以,由在上單調(diào)遞增,綜上．時,,在上單調(diào)遞減,不妨設(shè)由(1)在上單調(diào)遞減,由,可得,所以,令,,可得單調(diào)遞減,所以在上恒成立,即在上恒成立,即,所以,,所以的最大值．【點睛】本題主要考查了分類討論分析函數(shù)單調(diào)性的問題,同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式以及構(gòu)造函數(shù)分析函數(shù)的最值解決恒成立的問題.需要根據(jù)題意結(jié)合定義域與單調(diào)性分析函數(shù)的取值范圍與最值等.屬于難題.22、（1）極大值是，無極小值；（2）【解析】

（1）當時，可求得，令，利用導(dǎo)數(shù)可判斷的單調(diào)性并得其零點，從而可得原函數(shù)的極值點及極大值；（2）表示出，并求得，由題意，得方程有兩個不同的實根，，從而可得△及，由，得．則可化為對任意的恒成立，按照、、三種情況分類討論，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值可解決；【詳解】（1）當時，.令，則，顯然在上單調(diào)遞減，又因為，故時，總有，所以