2022-2024北京重點校初一（下）期中數(shù)學匯編：平行四邊形章節(jié)綜合

2022-2024北京重點校初一（下）期中數(shù)學匯編

平行四邊形章節(jié)綜合

一、單選題

1.（2024北京第三H^一中學初一下期中）如圖，把矩形ABCD沿EF折疊，若/1=40。，則/AEF=（）

2.（2023北京第三十五中學初一下期中）如圖，把矩形A2CD沿族對折后使兩部分重合，若4=50。,

A.110°B.115°C.120°D.130°

3.（2023北京和平街第一中學初一下期中）如圖，在平面直角坐標系中.704BC的頂點QA8的坐標分

別是（0,0）,（5,0）,（2,3）,則點C的坐標是（）

4.（2023北京和平街第一中學初一下期中）如圖，在中，過點3作BELCD交CD延長線于點

E,若NA=40。，則/EBC的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

二、填空題

5.（2024北京第十三中學初一下期中）如圖，將一張長方形紙片ABDC沿歷折疊，ED'與BC交于點為

G,點。、點C分別落在點力、點C'的位置上，若N￡FG=50。，則Nl=

6.（2023北京和平街第一中學初一下期中）如圖，菱形ABCD面積為24,對角線AC=8,DESAB于點

E,則。E=

7.（2023北京和平街第一中學初一下期中）如圖，在R3ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=4,點

尸為AB上任意一點，連接PC,以PB,PC為鄰邊作，PCQB,連接P。，則尸。的最小值為.

Q

8.（2023北京和平街第一中學初一下期中）如圖，在中，AO>AB,瓦尸分別為邊AD,BC上的點

（瓦F不與端點重合）.對于任意,A8a）,下面四個結(jié)論中：

①存在無數(shù)個四邊形ABEE，使得四邊形麗E是平行四邊形；

②至少存在一個四邊形使得四邊形ABFE菱形；

③至少存在一個四邊形ARFE,使得四邊形矩形；

④存在無數(shù)個四邊形使得四邊形口用的面積是,ABCD面積的一半.

所有正確結(jié)論的序號是.

9.(2023北京和平街第一中學初一下期中)如圖,吳伯伯家有一塊等邊三角形的空地ABC,已知E,F分別是

邊AB,AC的中點，量得EF=5米,他想把四邊形BCFE用籬笆圍成一圈放養(yǎng)小雞，則需要籬笆的長是_米.

4

10.(2022北京第三十五中學初一下期中)如圖。是長方形紙帶，ZDEF=15°,將紙帶沿砂折疊成圖3,

再沿BF折疊成圖c,則圖。中的/CEE的度數(shù)是—.

三、解答題

11.(2023北京和平街第一中學初一下期中)如圖，點尸為正方形ABC。的對角線80上一點

(BFvDF),連接川，過F作EFLTIF,交。C于點E.作尸關于的對稱點”，連接

FH,CH,FH交BC于點、P.

(1)補全圖形;

(2)證明：四邊形ECHF為平行四邊形；

(3)寫出A尸、F尸和O尸之間的數(shù)量關系，并證明.

12.(2023北京和平街第一中學初一下期中)如圖，在，ABCD中，點。是AD的中點，連接CO并延長交

3A的延長線于點E,連接AC,DE,AC工BE.

(1)求證：四邊形ACDE是矩形;

（2）若OC=CD=2,求DE的長.

13.（2023北京和平街第一中學初一下期中）如圖，在C中，點。、￡分別是邊AC、AB的中點，點P

在線段DE上，AB=5,BF=4,AF=3,BC=7,求。b的長度.

14.（2023北京和平街第一中學初一下期中）下面是小張同學設計的“利用等腰三角形作菱形”的作圖過

程.

已知：等腰△ABD,AB^AD.

求作：點C,使得四邊形ABC。為菱形.

作法：①作/BAD的角平分線4。，交線段5。于點。；

②以點。為圓心，AO長為半徑圓弧，交AO的延長線于點C；

③連接BGDC,所以四邊形A2CD為菱形，點C即為所求.

根據(jù)小張同學設計的作圖過程.

（1）使用直尺和圓規(guī)補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：=AO平分Z54D,

ABO=DO,AO1BD,（_）（填推理的依據(jù)）

VBO=DO,AO=CO,

四邊形ABC?為平行四邊形（_）（填推理的依據(jù)）

,?ACJ.BD,

二四邊形A5C。為菱形（_）（填推理的依據(jù)）

15.（2023北京和平街第一中學初一下期中）如圖，平行四邊形ABC。中E,尸是直線AC上兩點，且AE

=CF.求證：BE//DF.

16.（2022北京海淀初一下期中）對于平面直角坐標系xOy中的不同兩點4（占,%）,以程％）,給出如下

定義：點A與點B兩點橫坐標差的絕對值與它們縱坐標差的絕對值的和，叫做42兩點的折線距離，記

作d(A,3),即d(A3)=1—可+比一為|.例如,圖1中，點A(Tl)與川1,-2)之間的折線距離

^(A,B)=|-l-l|+|l-(-2)|=2+3=5.

(1)已知點C(-2,-l),則d(O,C)=；

(2)已知點0(—2,0),,且d(知E)=4,求f的值;

(3)如圖2已知點尸(0,2),G(2,0),點尸是線段PG上的一個動點，請判斷d(O,P)是否是一個定值

(填“是'或"否”)；

(4)如果點。滿足/(。,。)=3,請在圖3中畫出所有符合條件的點。組成的圖形.

17.(2022北京海淀初一下期中)在平面直角坐標系xOy中，對正數(shù)上定義"積值對"如下：

如果點A(x/,yi),8(x2,”)(4與8可以是同一個點)滿足彳"尤2=鼠yi*y2=k,則稱A,8構(gòu)成"積值對

例如：點4；,1)與點8(2,1)構(gòu)成“1積值對”；點C(2,-2)與其自身構(gòu)成“4積值對”.

(1)已知點4(1,3)與點B構(gòu)成“1積值對”，則點8的坐標為；將線段AB水平向左平移2個單位得

到線段AE,請判斷線段AE上是否存在“1積值對”(填“是”或“否”).

1131

(2)如圖所示：已知正方形C。所的頂點C的坐標為(5，-),頂點。的坐標為5).請判斷正方形

CD跖的邊界上是否存在“1積值對”，如果不存在請說明理由；如果存在，請直接寫出所有的“1積值對”.

（3）對第一象限中的一個正方形，已知它的每條邊都垂直于無軸或y軸（邊可落在坐標軸上），且它的一個頂

點坐標為（1,0）.

①若該正方形的邊界上存在“9積值對”，則此正方形邊長的最小值為.

②對正數(shù)鼠若該正方形的邊界上存在“積值對”，則此正方形邊長的最小值為（用含々的式子表

示）.

18.（2022北京第三十五中學初一下期中）在平面直角坐標系中，O為坐標原點.已知兩點A（a,0）,

8伍,0）且。、b滿足|。+4|+后。=0；若四邊形ABCD為平行四邊形，CD〃AB且CZ）=A5,點C（0,4）

在y軸上.

（1）如圖①，動點尸從C點出發(fā)，以每秒2個單位長度沿y軸向下運動，當時間f為何值時，三角形的

面積等于平行四邊形ABCD面積的四分之一；

（2）如圖②，當P從。點出發(fā)，沿y軸向上運動，連接P。、PA,則/CDP、ZAPD,存在的數(shù)量關

系是（排除點尸在點。和點C兩點的特殊情況）.

參考答案

1.A

【分析】如圖設B的對應點為K.由AD〃BC,推出NAEF+NBFE=180。，求出NBFE即可解決問題.

【詳解】解：如圖設B的對應點為K.

.*.ZBFK=180°-40°=140°,

ZBFE=70°,

???AD〃BC,

.\ZAEF+ZBFE=180o,

.*.ZAEF=110°,

故選A.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、翻折變換等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考

?？碱}型.

2.B

【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得N3EE=NGEE=65。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得.

由折疊的性質(zhì)得：ZBFE=/GFE,

4=50。，

:"BFE=/GFE=65。,

???四邊形ABCD是矩形，

.-.AD//BC,

ZAEF=1800-ZBFE=115°,

故選：B.

【點睛】本題考查了矩形與折疊問題、平行線的性質(zhì)，熟練掌握矩形與折疊的性質(zhì)是解題關鍵.

3.C

【分析】根據(jù)坐標與圖形性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：：四邊形Q4BC是平行四邊形，

/.BC^OA,BC//OA,即3C〃x軸，

YO,A5的坐標分別是（0,0）,（5,0）,（2,3）,

3C=Q4=5,點C與點8的縱坐標相等，都為3,

點C的橫坐標為2-5=-3,

???點C的坐標為（一3,3）,

故選：C.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、坐標與圖形，熟練掌握坐標與圖形的性質(zhì)是解答的關鍵.

4.B

【分析】根據(jù)平行四邊形的對角相等可得NC=40。，再利用直角三角形兩銳角互余即可得解.

【詳解】解：：在ABCD中，ZA=40°,

：.ZC=ZA=40°,

；BELCD,

：./E=90。，

NEBC=90。—NC=90?！?0°=50。.

故選：B.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余.掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵.

5.100。"00度

【分析】利用矩形的性質(zhì)即平行線的性質(zhì)可得/DEF=NEFG=50。，再利用折疊的性質(zhì)可得

ZDEF=NDEF=50°,再利用平行線的性質(zhì)即可.

【詳解】解：四邊形9。C是長方形，

：.AC//BD,

:.ZDEF=NEFG=50。,

又/長方形紙片ABDC沿所折疊，

/.ZDEF=ZDEF=50°,

/.Zl=ZDEG=ZDEF+ZDEF=500+50°=100°,

故答案為100°.

【點睛】本題考查了矩形與折疊、平行線的性質(zhì)，熟練掌握其基本知識是解題的關鍵.

「24

6.—

5

【分析】根據(jù)菱形對角線互相垂直平分的性質(zhì)，可以求得8O=Or>=g&D,AO=OC=^AC,在

Rt中，根據(jù)勾股定理可以求得AB的長，再根據(jù)菱形的面積等于底乘以高即可求解.

【詳解】解：：四邊形鉆8是菱形，

111

ABO=OD=-BDAO=OC=-AC=~?84,AC_LBD,

2f22

即

S交^AR形rn=-2AC-BD=24,224

30=6,

08=3,

,,AB=V0A2+OB2=+3?=5>

：S菱形"CD=A8?￡?E24,即5DE=24,

24

DE=——.

5

24

故答案為：—.

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，菱形的面積，熟練掌握菱形的面積等于對角線乘的一半，也等

于底乘以高是解題的關鍵.

7.26

【分析】設尸。與AC交于點。，作OOLA8于。.首先求出。￡),當尸與。重合時，尸。的值最小，PQ

的最小值=2。。.

【詳解】解：設PQ與AC交于點。，作于。.如圖所示：

Q

???四邊形尸。。8是平行四邊形，

PQ=2OP,OB=OC=；BC=2,

'：OD±AB,/A=30。，

ZABC=60°,ZBOD=30°,

OD=dOB，-BD1=物一產(chǎn)=6,

當尸與。重合時，。尸的值最小，則尸。的值最小，

二尸。的最小值=2。。=2上.

故答案為：2下!.

【點睛】本題考查了勾股定理的運用、平行四邊形的性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的

性質(zhì)是解題的關鍵.

8.①②④.

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、矩形的判定逐條判斷即可.

【詳解】解:只要滿足四邊形AB正是平行四邊形，這樣的跖有無數(shù)條，故①正確；

因為可在上截取AE=AB,再滿足A8〃EF,四邊形ABFE是菱形，故②正確；

因為是任意ABCD,不一定是直角，矩形芯不一定存在，故③錯誤；

當跖經(jīng)過，ABC。對角線交點時，四邊形AB莊的面積是45CD面積的一半，故④正確.

故答案為：①②④.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形、矩形的判定，解題關鍵是熟練運用所學四邊形的性

質(zhì)與判定，準確進行推理判斷.

9.25

【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出BC的長，也就是等邊三角形的邊

長，周長也就不難得到.

【詳解】：點E,F分別是邊AB,AC的中點，EF=5米，

；.BC=2EF=10米，

,/AABC是等邊三角形，

；.AB=BC=AC,

/.BE=CF=-BC=5米，

2

籬笆的K=BE+BC+CF+EF=5+10+5+5=25米.

故答案為25.

【點睛】本題利用三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)和等邊三角形三邊相等的性

質(zhì)求解.

10.135°

【詳解】試題分析：根據(jù)圖示可知NCFE=180。-3><15。=135。.故答案為135。.

考點：翻折變換(折疊問題).

11.(1)見解析

⑵見解析

(3)PF2+1DF2=AF2,證明見解析

【分析】(1)根據(jù)題意作圖即可；

(2)證明四△?加,得到AF=CF,NDAF=NDCF,再證明==,得到

FE=FC,由對稱性可得CF=CH,CP±FH,進而證明族〃CH,即可證明四邊形ECHF為平行四邊

形；

(3)如圖所示，過點f作FGLCD于G,則四邊形尸F(xiàn)GC是矩形，DFG是等腰直角三角形，得到

FG=CP=—DF,由勾股定理得「廣+八:2=。獷，即可推出P尸尸=A尸.

22

【詳解】(1)解：如圖所示，即為所求；

(2)證明：如圖所示，連接CP,

???四邊形ABC。是正方形，

AZADC=ZBCD=90°,AD=CD,ZADF=ZCDF=45°,

.AD尸金CD廠(SAS),

：.AF=CF,ZDAF=ZDCF,

EF1AF，即//由E=90°,

ZDAF+ZDEF=3600-/ADE-ZAFE=180°,

又,/ZDEF+ZCEF=180°,

ZFEC=/FAD=ZFCE,

FE=FC,

:點H和點廠關于BC對稱，

CF=CH,CP±FH,

：.ZFCP=ZHCP,CF=CH=EF,

ZFCE+ZFCP=90°,

ZFEC+ZFCE+ZFCP+ZHCP=180°,

/.EF//CH,

四邊形ECHF為平行四邊形；

(3)解：尸尸2+工。尸2=4尸2,證明如下：

2

如圖所示，過點尸作FGLCD于G,則四邊形PFGC是矩形，一”’G是等腰直角三角形,

/.FG=CP=~DF,

2

在RtACPF'中，由勾股定理得P尸+PC?=C/,

二PF"+FG2=AF",

PF2+^-DF=AF2,

：.PF1+-DF-=AF-.

2

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性

質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線是解題的關鍵.

12.⑴見解析

(2)273

【分析】(1)首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得N￡AO=NCDO,由點。是的中點，可得。4=3),

再根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，即可證得四邊形ACDE是平行四邊形，再由即可證得結(jié)論；

(2)首先由矩形的性質(zhì)可求得EC的長，再利用勾股定可理即可求得OE的長.

【詳解】(1)證明：四邊形是平行四邊形，

:.AE//CD,

:.ZEAO=ZCDO,

「,點。是AD的中點，

OA=OD,

在△AEO與DCO中，

ZEAO=ZCDO

<OA=OD

NAOE=/DOC

組000(ASA),

AE=CD,

二?四邊形ACDE是平行四邊形，

又?AC±BEf

.\^EAC=90°,

???四邊形ACDE是矩形；

(2)解：?四邊形ACDE是矩形，

：.EC=2OC=4fNEDC=90。，

，在RtACDE中，DE=JEC，-CD?=依—*=2石.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形與矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握和

運用各圖形的判定與性質(zhì)是解決本題的關鍵.

13.1

【分析】由三角形中位線定理得到虛=3.5,再證明3尸是直角三角形，即/AFB=90°,即可利用直角

三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出EF=2.5,則DF=DE-EF=1.

【詳解】解：：點。、E分別是邊AC、AB的中點，

DE是VABC的中位線，

/.DE=-BC=3.5,

2

,?AB=5,BF=4,AF=3,

BF2+AF2=32+42=25=52=A￡\

.?.△AB尸是直角三角形，即NAFB=90°,

/.EF2AB=25,

2

/.DF=DE—EF=L

【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，證明

尸是直角三角形是解題的關鍵.

14.⑴見解析

（2）三線合一定理；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

【分析】（1）按照題意進行作圖即可；

（2）先由三線合一定理得到30=OO,AOLBD,再根據(jù)平行四邊形和菱形的判定定理證明即可.

【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

B

（2）證明：=A0平分44D,

ABO=DO,AO1BD,（三線合一定理）

VBO=DO,AO=CO,

...四邊形ABC。為平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）

*.?ACJ.BD,

四邊形為菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）

故答案為：三線合一定理；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱

形.

【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，三線合一定理，菱形的判定，平行四邊形的判定等等，靈

活運用所學知識是解題的關鍵.

15.見解析

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，證得AC9會/4即，即可得證結(jié)論.

【詳解】證：：四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,

ZACD=ZCAB.

'：CF=AE,

:.△CFD%AAEB(SAS),

：.ZF=ZE,

J.BE//DF.

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的證明，熟練掌握平行四邊形的有關性質(zhì)和全等三角

形的證明是解題的關鍵.

16.(1)3

(2)±1

⑶是

(4)見解析

【分析】(1)根據(jù)折線距離的定義求解即可；

(2)根據(jù)折線距離的定義，構(gòu)建方程求解即可；

(3)如圖2中，過點P作PMLy軸于點PNLx軸于點N.則四邊形PMON是矩形，證明

PM+PN=0G=2即可；

(4)根據(jù)d(。，Q)=3,畫出圖形即可.

【詳解】⑴解：:C(-2,-1),

：.d(O,C)=|-2|+|-1|=3,

故答案為：3.

(2)解:由題意卜2-l|+M=4,

t=±l;

(3)解：如圖2中，過點尸作PMLy軸于點PNLx軸于點N.則四邊形RW0N是矩形，

圖2

：.PM=ON,

?.?點F(0,2),G(2,0),

：.OF=OG=2,

：.ZPGN=ZGPN=45°,

：.PN=NG,

：.d(O,P)=\x\+\y\=ON+NG=2,是定值.

故答案為：是；

(4)解：如圖3中，正方形ABC。即為點Q組成的圖形.

圖3

【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，坐標與圖形性質(zhì)等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解

決問題.

17.(1)(1,g),是

7332

⑵存在，(寸5)與(5，§)

(3)3,限

【分析】(1)設點B的坐標為(2，%)，根據(jù)題意得出無2=1，%=g，可知點B坐標為(1，；);由平移的性

質(zhì)可知A，(-1,3),,根據(jù)“1積值對”的定義計算即可得出結(jié)論；

(2)設正方形C￡＞所的邊界上存在“1積值對”加與N,分情況討論，點%)分別在正方形四條邊界上

時是否符合題意即可；

（3）①根據(jù)題意，正方形的一個頂點坐標為（1,0）,設該點為A,若其對角點C在A點左側(cè)，驗證此情況

不存在“9積值對”；若其對角點C在A點右側(cè)，若要使正方形的邊長盡可能小，則“9積值對”兩點之一應

在C點，分情況討論另一點P在A。、CD、上時a的值，可確定正方形的邊長的最小值；②當該正方

形的邊界上存在"積值對“，設正方形的邊長為，"，結(jié)合①的結(jié)論可確定當正方形的邊長最小時，滿足

m-m=k,進而可計算正方形邊長的最小值為

【詳解】（1）解：設點8的坐標為（%，%），根據(jù)題意，點41，3）,

可有l(wèi)x%=1,3x%=l,

解得％=1，%=g，

???點B坐標為（l,g）,

將線段AB水平向左平移2個單位得到線段AE,

則A'（T,3）,"（T，；），

V（-l）x（-l）=l,3xi=1,

3

線段AE上存在“1積值對

故答案為：（1,］）,是；

（2）正方形CDEF的邊界上存在“1積值對”，理由如下：

設正方形CDEF的邊界上存在“1積值對"M與N,

①若點在線段CP上，則為=g,點應當滿足超=2,

可知點N不在正方形的邊界上，不符合題意；

②若點亂（3,乂）在線段CD上，則■，點可（不，%）應當滿足%=2,

可知點N不在正方形的邊界上，不符合題意；

32

③若點"（玉,乂）在線段E/上，則/=萬，點N%,%）應當滿足%=］，

點N只可能在線段。E上，即點N（j3：2）,

此時/牛2立3在線段所上，滿足題意；

二正方形CDEF的邊界上存在“1積值對”（余方與（-,j）；

（3）①根據(jù)題意，正方形的一個頂點坐標為（1,0）,設該點為A,若其對角點C在A點左側(cè)，如圖1,

此時最大正方形為點C在y軸上，正方形邊長為1,由于。4、0c在坐標軸上，不存在“9積值對”，AB,

BC邊上的點的橫坐標和縱坐標均V1,故也不存在“9積值對”；

yt

圖i圖2

若其對角點C在A點右側(cè)，如圖2,

設正方形的邊長為。，則點C（。+1,。），點、B（"1,0）,D（1,a）,

若要使正方形的邊長盡可能小，則“9積值對”兩點之一應在C點，設另一點為P,

9

當點P在邊上時，應滿足（a+l）xl=9,解得。=8,此時兩點坐標分別為（9,1）與

8

9

當點P在邊上時，應滿足a-a=9,解得。=3,此時兩點坐標分別為（4,3）與（二,3）；

4