新高考數(shù)學二輪復習講義專題12 平面向量 （原卷版）

專題12講：平面向量【考點專題】考的一．向量的有關概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量平行．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．考點二．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算|λa|＝|λ||a|，當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb考點三.向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa.考點四．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．考點五．平面向量的坐標表示(1)向量及向量的模的坐標表示①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)平面向量的坐標運算設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．考點六．平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共線?x1y2－x2y1＝0.考點七.向量的夾角已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是[0，π].考點八.平面向量的數(shù)量積定義設兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積考點九.向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.考點十.平面向量數(shù)量積的有關結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結(jié)論符號表示坐標表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))【方法技巧】求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應用．【核心題型】題型一：平面向量的基礎知識1．（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學?？寄M預測）下列說法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．平行向量不一定是共線向量C．對于任意向量SKIPIF1<0，必有SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同向，則SKIPIF1<02．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是單位向量，且SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·河南·校聯(lián)考一模）下列關于平面向量的說法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0共線，則點A，B，C，D必在同一直線上B．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若G為SKIPIF1<0的外心，則SKIPIF1<0D．若O為SKIPIF1<0的垂心，則SKIPIF1<0題型二：平面向量的線性運算4．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）設SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2023秋·廣西河池·高三統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，M為線段BC的中點，G為線段AM上一點且SKIPIF1<0，過點G的直線分別交直線AB、AC于P、Q兩點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．46．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線AM交BN于點Q，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型三：平面向量的共線定理7．（2023·全國·高三專題練習）SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．28．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在SKIPIF1<0中，M，N分別是線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D，E是線段SKIPIF1<0上的兩個動點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的的最小值是（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．29．（2023·全國·高三專題練習）已知直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相交于不同兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，若平面上一動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型四：平面向量的基本定理10．（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學校考一模）在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0?SKIPIF1<0分別在邊SKIPIF1<0?SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．（2022秋·甘肅武威·高三統(tǒng)考階段練習）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．（2023秋·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）如圖，在平行四邊形SKIPIF1<0中，E是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于O．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5題型五：平面向量的坐標運算13．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考模擬預測）已知點SKIPIF1<0和數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0分別為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．014．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在平行四邊形SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．415．（2022·全國·高三專題練習）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點D滿足SKIPIF1<0，E為SKIPIF1<0的外心，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型六：平面向量的數(shù)量積問題16．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．（2023·遼寧·遼寧實驗中學校考模擬預測）已知△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在線段BD上取點E，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長為2的等邊SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0為中線SKIPIF1<0的三等分點（靠近點SKIPIF1<0），點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型七：平面向量的幾何應用19．（2022·福建廈門·廈門市湖濱中學?？寄M預測）已知A，B是圓SKIPIF1<0上的動點，SKIPIF1<0，P是圓SKIPIF1<0上的動點，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．（2022·遼寧鞍山·鞍山一中校考二模）在平面內(nèi)，定點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點P，M滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．（2022·全國·高三專題練習）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，PQ為SKIPIF1<0內(nèi)切圓的一條直徑，M為SKIPIF1<0邊上的動點，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型八：平面向量的綜合問題22．（2022·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習）已知向量SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0．(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的值域;(2)函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有10個零點，求SKIPIF1<0的取值范圍．23．（2023·高三課時練習）已知點G為SKIPIF1<0的重心．(1)求SKIPIF1<0；(2)過G作直線與AB、AC兩條邊分別交于點M、N，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．24．（2022·江蘇鹽城·模擬預測）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，過中心O的直線l與兩邊AB，CD分別交于點M，N．(1)若Q是BC的中點，求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若P是平面上一點，且滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．【高考必刷】一：單選題25．（2023·四川·石室中學校聯(lián)考模擬預測）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．7 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<026．（2023·四川綿陽·綿陽中學?？寄M預測）若非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角SKIPIF1<0為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<027．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預測）已知SKIPIF1<0的外接圓圓心為O，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<028．（2023·全國·唐山市第十一中學?？寄M預測）如圖,在平行四邊形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0的中點,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分點,若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．829．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三校考開學考試）已知平面向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<030．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模擬預測）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點D在線段SKIPIF1<0上，點E在線段SKIPIF1<0上，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點F，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<031．（2022·四川眉山·統(tǒng)考一模）已知橢圓SKIPIF1<0的左焦點為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與C交于點M，N，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0取最小值時，橢圓C的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<032．（2022·吉林·東北師大附中?？寄M預測）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上任一點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．6 D．8二、多選題33．（2022秋·安徽合肥·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<034．（2023·福建·統(tǒng)考一模）平面向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，對任意的實數(shù)t，SKIPIF1<0恒成立，則（

）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0為定值C．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量為SKIPIF1<035．（2023春·廣東揭陽·高三校考開學考試）已知O為坐標原點，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<036．（2023·河北·河北衡水中學?？寄M預測）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0三、填空題37．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考模擬預測）已知向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，請寫出一個符合題意的向量SKIPIF1<0的坐標______.38．（2023·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點Q滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為___________.39．（2023