《1 圓》（同步訓(xùn)練）初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)-魯教版-2024-2025學(xué)年

《1圓》同步訓(xùn)練(答案在后面)一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（4，3），點(diǎn)B在y軸上，且OA=OB，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)為：A.(0,4)B.(0,-4)C.(0,3)D.(0,-3)2、一個(gè)圓的半徑是5cm，那么這個(gè)圓的周長(zhǎng)（π取3.14）是：A.15.7cmB.31.4cmC.78.5cmD.157cm3、已知一個(gè)圓的直徑為10cm，那么這個(gè)圓的半徑是：A.5cmB.10cmC.15cmD.20cm4、在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，-4），點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（-3，4），則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)是：A.(0,0)B.(3,4)C.(-3,-4)D.(0,-4)5、圓的半徑是r，則圓的直徑是：A.rB.2rC.r/2D.πr6、一個(gè)圓的周長(zhǎng)是62.8厘米，那么這個(gè)圓的半徑是：A.10厘米B.20厘米C.31.4厘米D.6.28厘米7、在⊙O中，弦AB等于半徑OA，∠AOB的度數(shù)是：A.30°B.60°C.90°D.120°8、已知圓心角∠ACB=120°，對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的幾分之幾？A.1/2B.1/3C.1/4D.2/39、在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)度為8厘米，且它所對(duì)的圓心角∠AOB為120°。設(shè)從圓心O到弦AB的距離為d，則下列哪個(gè)選項(xiàng)是正確的？A.d=B.d=C.d=D.d=8厘米A.12厘米B.10厘米C.5厘米D.24厘米二、計(jì)算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：已知圓的半徑為5cm，求圓的周長(zhǎng)和面積。第二題給定一個(gè)圓，其直徑為10厘米。求該圓的面積，并計(jì)算如果從這個(gè)圓中剪去一個(gè)半徑為3厘米的同心圓后剩余部分（環(huán)形區(qū)域）的面積。第三題：已知一個(gè)圓的半徑為5cm，求該圓的周長(zhǎng)。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題給定一個(gè)圓，其半徑為r。設(shè)該圓的直徑兩端點(diǎn)分別為A和B，且在圓上任取一點(diǎn)C（不同于A和B），連接AC和BC形成△A第二題：已知一個(gè)圓的直徑AB為10cm，圓心O在AB的垂直平分線上，點(diǎn)C在圓上，且∠ACB是圓周角，滿足∠ACB=90°。求圓的面積。第三題：已知一個(gè)圓的半徑為5cm，圓心角為90°，求該圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)。第四題：已知圓O的半徑為5cm，圓心坐標(biāo)為O(2,3)。點(diǎn)A在圓O上，且OA與x軸的夾角為45°。求點(diǎn)A的坐標(biāo)。第五題：已知圓O的半徑為5cm，點(diǎn)A在圓O上，且∠AOB=60°，點(diǎn)C在圓O上，且∠BOC=120°。求：（1）圓O的周長(zhǎng)；（2）△ABC的面積。第六題：已知圓O的半徑為5cm，點(diǎn)A在圓上，且∠AOB=120°。過(guò)點(diǎn)A作直線l與圓相交于點(diǎn)C和點(diǎn)D。（1）求直線l與圓O的交點(diǎn)C和D之間的距離CD；（2）求弦CD的中垂線與圓O的交點(diǎn)E的坐標(biāo)。第七題：已知圓O的半徑為5cm，一條弦AB的長(zhǎng)度為8cm，且弦AB的中點(diǎn)為M。求：（1）弦AB所對(duì)圓心角AOB的大?。唬?）弦AB所對(duì)的圓周角AEC的大?。c(diǎn)E是弦AB上的一點(diǎn)，且∠AEC是圓周角）?！?圓》同步訓(xùn)練及答案解析一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（4，3），點(diǎn)B在y軸上，且OA=OB，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)為：A.(0,4)B.(0,-4)C.(0,3)D.(0,-3)答案：A解析：由于OA=OB，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3），因此OB的長(zhǎng)度也是5（根據(jù)勾股定理計(jì)算）。因?yàn)辄c(diǎn)B在y軸上，所以它的x坐標(biāo)為0，而y坐標(biāo)可以是正或負(fù)，但根據(jù)OA的坐標(biāo)，可以確定OB的坐標(biāo)為（0，4）或（0，-4）。因此正確答案是A。2、一個(gè)圓的半徑是5cm，那么這個(gè)圓的周長(zhǎng)（π取3.14）是：A.15.7cmB.31.4cmC.78.5cmD.157cm答案：C解析：圓的周長(zhǎng)公式是C=2πr，其中r是圓的半徑。將半徑r=5cm代入公式，得到C=2×3.14×5=31.4cm。然而，題目要求π取3.14，所以計(jì)算結(jié)果應(yīng)該是C=2×3.14×5=78.5cm。因此正確答案是C。3、已知一個(gè)圓的直徑為10cm，那么這個(gè)圓的半徑是：A.5cmB.10cmC.15cmD.20cm答案：A解析：圓的直徑是半徑的兩倍，因此圓的半徑等于直徑的一半。所以半徑是10cm除以2，等于5cm。選項(xiàng)A是正確的。4、在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，-4），點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（-3，4），則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)是：A.(0,0)B.(3,4)C.(-3,-4)D.(0,-4)答案：A解析：線段中點(diǎn)的坐標(biāo)是兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的平均值。所以線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)是(3-3)/2,(-4+4)/2，即(0,0)。選項(xiàng)A是正確的。5、圓的半徑是r，則圓的直徑是：A.rB.2rC.r/2D.πr答案：B解析：圓的直徑是通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線段，直徑的長(zhǎng)度是半徑的兩倍，所以圓的直徑是2r。因此，正確答案是B。6、一個(gè)圓的周長(zhǎng)是62.8厘米，那么這個(gè)圓的半徑是：A.10厘米B.20厘米C.31.4厘米D.6.28厘米答案：A解析：圓的周長(zhǎng)公式是C=2πr，其中C是周長(zhǎng)，π是圓周率，r是半徑。將已知的周長(zhǎng)62.8厘米代入公式，得到62.8=2πr。解這個(gè)方程得到r=62.8/(2π)≈10厘米。因此，正確答案是A。7、在⊙O中，弦AB等于半徑OA，∠AOB的度數(shù)是：A.30°B.60°C.90°D.120°答案：B.60°解析：因?yàn)橄褹B等于半徑OA，所以△AOB是一個(gè)等邊三角形（所有邊都相等）。在一個(gè)等邊三角形中，所有的內(nèi)角都是60°。因此，∠AOB=60°。8、已知圓心角∠ACB=120°，對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的幾分之幾？A.1/2B.1/3C.1/4D.2/3答案：B.1/3解析：圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的長(zhǎng)度成正比。一個(gè)完整的圓周角度是360°，所以如果圓心角是120°，那么這個(gè)角度所對(duì)的弧占整個(gè)圓周長(zhǎng)的比例就是120°除以360°，即1/3。因此，選項(xiàng)B正確。9、在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)度為8厘米，且它所對(duì)的圓心角∠AOB為120°。設(shè)從圓心O到弦AB的距離為d，則下列哪個(gè)選項(xiàng)是正確的？A.d=B.d=C.d=D.d=答案：B解析：在這個(gè)問(wèn)題中，我們可以使用直角三角形的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題。因?yàn)橄褹B所對(duì)的圓心角是120°，所以當(dāng)我們將這個(gè)角平分時(shí)，我們得到兩個(gè)30°-60°-90°的直角三角形。每個(gè)這樣的三角形都有一個(gè)邊長(zhǎng)為半弦長(zhǎng)（即4厘米），以及一個(gè)與之相鄰的60°角。在這個(gè)特殊的直角三角形中，較長(zhǎng)的直角邊（即從圓心到弦的垂直距離d）是較短邊（半弦長(zhǎng)的一半，也就是2厘米）的3倍。因此，d=10、已知⊙O的直徑為10厘米，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PO=13厘米，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的兩條切線PA和PB，A、B分別是切點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度是多少？A.12厘米B.10厘米C.5厘米D.24厘米答案：A解析：首先，我們知道切線的性質(zhì)之一是，從圓外一點(diǎn)到圓的兩個(gè)切點(diǎn)的距離相等。這意味著PA=PB。此外，根據(jù)勾股定理，在直角三角形POA中，有PO2=PA二、計(jì)算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：已知圓的半徑為5cm，求圓的周長(zhǎng)和面積。答案：圓的周長(zhǎng)C=2πr=2×3.14×5cm≈31.4cm圓的面積S=πr2=3.14×5cm×5cm=78.5cm2解析：本題考查圓的周長(zhǎng)和面積的計(jì)算。根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式C=2πr和圓的面積公式S=πr2，將題目中給出的半徑r=5cm代入公式，即可計(jì)算出圓的周長(zhǎng)和面積。注意，計(jì)算周長(zhǎng)時(shí)，π取值為3.14。第二題給定一個(gè)圓，其直徑為10厘米。求該圓的面積，并計(jì)算如果從這個(gè)圓中剪去一個(gè)半徑為3厘米的同心圓后剩余部分（環(huán)形區(qū)域）的面積。答案：設(shè)大圓的半徑為R，小圓的半徑為r。根據(jù)題目，我們知道大圓的直徑是10厘米，所以大圓的半徑R=102大圓的面積A大可以用公式A小圓的面積A小可以用公式A環(huán)形區(qū)域的面積A環(huán)為大圓面積減去小圓面積，即A代入數(shù)值：-A-A-A因此，環(huán)形區(qū)域的面積為16π平方厘米。取πA環(huán)解析：本題主要考察了學(xué)生對(duì)圓面積公式的理解和應(yīng)用能力。通過(guò)給出具體的尺寸數(shù)據(jù)，要求學(xué)生能夠正確地識(shí)別出題目中的兩個(gè)關(guān)鍵信息點(diǎn)——大圓和小圓的半徑，然后運(yùn)用面積公式進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于環(huán)形區(qū)域面積的計(jì)算，則進(jìn)一步檢驗(yàn)了學(xué)生對(duì)幾何圖形組合的理解以及處理復(fù)雜問(wèn)題的能力。此外，本題也隱含著對(duì)π值的應(yīng)用，即在實(shí)際計(jì)算時(shí)，需要將π視為約等于3.14來(lái)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，從而得到最終的答案。這有助于培養(yǎng)學(xué)生的估算能力和實(shí)際操作技能。第三題：已知一個(gè)圓的半徑為5cm，求該圓的周長(zhǎng)。答案：圓的周長(zhǎng)為31.4cm。解析：圓的周長(zhǎng)公式為：C=2πr其中，C表示圓的周長(zhǎng)，π表示圓周率（取值約為3.14），r表示圓的半徑。將已知半徑r=5cm代入公式得：C=2×3.14×5=31.4cm因此，該圓的周長(zhǎng)為31.4cm。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題給定一個(gè)圓，其半徑為r。設(shè)該圓的直徑兩端點(diǎn)分別為A和B，且在圓上任取一點(diǎn)C（不同于A和B），連接AC和BC形成△A答案：要證明∠A由于AB是圓的直徑，所以由A到B的弧是半圓。我們知道，半圓的中心角是180°（即直徑對(duì)應(yīng)的中心角）。因此，根據(jù)圓周角定理，∠A解析：確定已知條件和目標(biāo)：已知條件：圓的直徑AB和圓上的任意一點(diǎn)C目標(biāo)：證明∠A應(yīng)用圓周角定理：圓周角定理指出，對(duì)于圓內(nèi)的任意一條弦，位于弦同一側(cè)的所有圓周角相等，并且這些角度等于弦對(duì)應(yīng)中心角的一半。在本題中，弦AB實(shí)際上是圓的直徑，因此對(duì)應(yīng)的中心角是180計(jì)算圓周角：根據(jù)圓周角定理，∠ACB應(yīng)等于180結(jié)論：因此，可以得出結(jié)論∠ACB=90°，這表明無(wú)論點(diǎn)C在圓周上的哪個(gè)位置（除了A和通過(guò)上述步驟，我們完成了對(duì)題目要求的證明。這個(gè)問(wèn)題不僅考察了學(xué)生對(duì)圓周角定理的理解，也加深了他們對(duì)圓及其性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。第二題：已知一個(gè)圓的直徑AB為10cm，圓心O在AB的垂直平分線上，點(diǎn)C在圓上，且∠ACB是圓周角，滿足∠ACB=90°。求圓的面積。答案：圓的面積S=78.5cm2。解析：由于∠ACB=90°，根據(jù)圓周角定理，圓周角是所對(duì)圓心角的一半，因此∠AOB=2∠ACB=180°。這意味著點(diǎn)A、B、O、C四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)半圓。在半圓中，直徑AB是半圓的直徑，所以半徑OA和OB都是AB的一半，即OA=OB=AB/2=10cm/2=5cm。圓的面積公式為S=πr2，其中r是半徑。將半徑代入公式得：S=π*(5cm)2S=π*25cm2S=25πcm2取π約等于3.14，則：S≈25*3.14cm2S≈78.5cm2因此，圓的面積約為78.5cm2。第三題：已知一個(gè)圓的半徑為5cm，圓心角為90°，求該圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)。答案：5πcm解析：首先，我們知道圓的周長(zhǎng)公式為C=2πr，其中r為圓的半徑，π為圓周率。題目中給出的圓的半徑為5cm，所以圓的周長(zhǎng)C=2π×5=10πcm。圓心角為90°，即1/4個(gè)圓周角，因此圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的1/4。計(jì)算弧長(zhǎng)，弧長(zhǎng)L=C×(圓心角度數(shù)/360°)=10π×(90°/360°)=10π×1/4=5πcm。所以，該圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為5πcm。第四題：已知圓O的半徑為5cm，圓心坐標(biāo)為O(2,3)。點(diǎn)A在圓O上，且OA與x軸的夾角為45°。求點(diǎn)A的坐標(biāo)。答案：點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2±√10,3±√10)。解析：由于OA與x軸的夾角為45°，我們知道在直角三角形中，當(dāng)兩條直角邊相等時(shí)，斜邊等于直角邊的√2倍。因此，點(diǎn)A到x軸和y軸的距離相等。設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y)，則有：x-2=y-3或x-2=-(y-3)因?yàn)镺A是圓的半徑，所以O(shè)A的長(zhǎng)度為5cm，根據(jù)勾股定理，我們可以列出以下方程：(x-2)2+(y-3)2=52現(xiàn)在我們有兩個(gè)方程：(x-2)2+(y-3)2=25x-2=y-3或x-2=-(y-3)首先解第一個(gè)方程：(x-2)2+(y-3)2=25x2-4x+4+y2-6y+9=25x2+y2-4x-6y-12=0接下來(lái)，解第二個(gè)方程組：x-2=y-3x-y=1將x表示為y：x=y+1x-2=-(y-3)x+y=5將x表示為y：x=5-y將x的兩個(gè)表達(dá)式代入第一個(gè)方程中：(y+1)2+y2-4(y+1)-6y-12=0y2+2y+1+y2-4y-4-6y-12=02y2-8y-15=0y2-4y-7.5=0使用求根公式解這個(gè)二次方程：y=[4±√(16+4*7.5)]/2y=[4±√(16+30)]/2y=[4±√46]/2y=2±√23/2因?yàn)閤=y+1，所以：x=2+√23/2或x=2-√23/2因此，點(diǎn)A的坐標(biāo)可以是(2+√10,3+√10)或(2-√10,3-√10)。由于圓上的點(diǎn)是對(duì)稱的，我們也可以得到另外兩組解(2-√10,3+√10)和(2+√10,3-√10)。所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2±√10,3±√10)。第五題：已知圓O的半徑為5cm，點(diǎn)A在圓O上，且∠AOB=60°，點(diǎn)C在圓O上，且∠BOC=120°。求：（1）圓O的周長(zhǎng)；（2）△ABC的面積。答案：（1）圓O的周長(zhǎng)為2πR=2π×5=10π（cm）。（2）△ABC的面積為S△ABC=1/2×AB×BC×sin∠ABC。首先，由于∠AOB=60°，∠BOC=120°，根據(jù)圓周角定理，得∠ABC=∠AOB+∠BOC=60°+120°=180°。又因?yàn)辄c(diǎn)A、B、C都在圓O上，所以AB=BC（圓上等弧所對(duì)的弦相等）。又由于AB=BC，且∠ABC=180°，所以△ABC為等腰三角形。因此，S△ABC=1/2×AB×BC×sin∠ABC=1/2×AB×AB×sin180°=1/2×AB×AB×0=0。解析：（1）圓的周長(zhǎng)公式為C=2πR，其中R為圓的半徑，所以圓O的周長(zhǎng)為10π（cm）。（2）根據(jù)圓周角定理，我們知道∠ABC=∠AOB+∠BOC=60°+120°=180°，所以△ABC為等腰三角形。在等腰三角形中，底邊AB與BC相等，所以△ABC的面積為S△ABC=1/2×AB×BC×sin∠ABC=0。這是因?yàn)閟in180°=0，所以△ABC的面積為0。第六題：已知圓O的半徑為5cm，點(diǎn)A在圓上，且∠AOB=120°。過(guò)點(diǎn)A作直線l與圓相交于點(diǎn)C和點(diǎn)D。（1）求直線l與圓O的交點(diǎn)C和D之間的距離CD；（2）求弦CD的中垂線與圓O的交點(diǎn)E的坐標(biāo)。答案：（1）直線l與圓O的交點(diǎn)C和D之間的距離CD可以通過(guò)以下步驟求解：解法一：由于∠AOB=120°，且OA=OB=5cm，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，△AOC和△AOD是等腰三角形。因此，OC=OD=5cm。又因?yàn)锳C=AD（同弧所對(duì)的圓周角相等），所以CD=AC+AD=AD+AD=2AD。在△ACD中，由于∠ACD是圓心角∠AOB的一半，即∠ACD=60°。在直角三角形ACD中，AD是斜邊，OC是直角邊，根據(jù)30°-60°-90°直角三角形的性質(zhì)，OC是對(duì)邊，AD是鄰邊，所以AD=OC/√3=5cm/√3。因此，CD=2AD=2×(5cm/√3)=10cm/√3≈5.77cm（保留兩位小數(shù)）。解法二：利用圓的弦長(zhǎng)公式，弦長(zhǎng)CD可以通過(guò)圓心角和半徑計(jì)算得出。設(shè)圓心到弦CD的中點(diǎn)的距離為h，則CD=2√(r2-h2)，其中r是圓的半徑。在△AOB中，由于∠AOB=120°，可以構(gòu)造一個(gè)30°-60°-90°的直角三角形，其中OA=5cm，所以O(shè)B=5cm。在△AOB中，h是OB的一半，即h=OB/2=5cm/2=2.5cm。因此，CD=2√(r2-h2)=2√(52-2.52)=2√(25-6.25)=2√18.75≈5.77cm（保留兩位小數(shù)）。（2）求弦CD的中垂線與圓O的交點(diǎn)E的坐標(biāo)：解法一：由于弦CD的中垂線必經(jīng)過(guò)圓心O，且垂直于CD。設(shè)CD的中點(diǎn)為M，則OM垂直于CD，且OM=5cm（圓的半徑）。由于∠AOB=120°，∠AOM是∠AOB的一半，即∠AOM=60°。在△AOM中，OA=5cm，OM=2.5cm，根據(jù)30°-60°-90°直角三角形的性質(zhì)，AM=OM×√3=2.5cm×√3。因此，點(diǎn)E的坐標(biāo)可以通過(guò)圓心O的坐標(biāo)加上AM的向量得到。如果圓心O的坐標(biāo)是(0,0)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是(0,2.5√3)。解法二：由于OM垂直于CD，且OM=5cm，E點(diǎn)在OM上，所以E點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為(x,5-x)，其中x是E點(diǎn)在x軸上的坐標(biāo)。由于E點(diǎn)在圓上，其到圓心的距離等于圓的半徑，即√(x2+(5-x)2)=5。解這個(gè)方程可以得到E點(diǎn)的坐標(biāo)。x2+(5-x)2=52x2+25-10x+x2=252x2-10x=0