課時(shí)作業(yè)47 直線與曲線的最值問題（教師版）

課時(shí)作業(yè)47直線與曲線的最值問題1．(2024·天津高三月考)已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，離心率，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)過點(diǎn)F的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)(非長(zhǎng)軸端點(diǎn))，的延長(zhǎng)線與橢圓交于P點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)2，或.【解析】(Ⅰ)因?yàn)闄E圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，所以，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，又，解得，所以橢圓C的方程為；(Ⅱ)法一：設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，，原點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P到直線的距離為，，令，，當(dāng)時(shí)，面積取到最大值2，此時(shí)，直線l的方程為或.法二：當(dāng)k不存在時(shí)，；②當(dāng)k存在且時(shí)，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可得，顯然，，∴，∴，，令，∴上式，∴上式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到最值.綜上，當(dāng)時(shí)，取得最大值2.此時(shí)，直線l的方程為或.2．(2024·湖北武漢市)已知橢圓過點(diǎn)，離心率.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn).①當(dāng)直線，的斜率之和為時(shí)(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線的斜率；②求的取值范圍.【答案】(1)；(2)①；②．【解析】(1)由題意得，解得，.設(shè)橢圓E的方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓E上，所以，，所以橢圓E的方程為；(2)①設(shè)直線l方程為：，代入橢圓E的方程可得，因?yàn)橹本€l與橢圓E有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即.設(shè)，，則，，.又解得，經(jīng)檢驗(yàn)成立.所以，直線l的斜率；②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，將代入，解得，則，，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由(2)①得因?yàn)?，所以的范圍為．綜上，得的取值范圍是．3．(2024·內(nèi)蒙古高三月考())已知橢圓的離心率，其左，右集點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)?的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過右焦點(diǎn)的直線互相垂直，且分別交橢圓于和四點(diǎn)，求的最小值【答案】(1)；(2)最小值為.【解析】(1)由橢圓的定義知，的周長(zhǎng)為，由，即，得，故橢圓的方程為：(2)由(1)得，橢圓右焦點(diǎn)為，設(shè)，，，①當(dāng)直線的斜率為0，直線的斜率不存在時(shí)，直線，此時(shí)；直線，此時(shí)；②當(dāng)直線的斜率為0，直線的斜率不存在時(shí)，；③當(dāng)直線，的斜率都存在，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為聯(lián)立，整得恒成立，則同可得則令，則當(dāng)時(shí)，，則所以綜上可知，，的最小值為4．(2024·江西上高二中)已知拋物線：，過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，分別以為切點(diǎn)作拋物線的切線、，直線、交于點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)求面積的最小值，并求出此時(shí)直線的方程.【答案】(1)；(2)1，.【解析】(1)設(shè)，，，則以A為切點(diǎn)的切線為，整得：，同：以為切點(diǎn)的切線為：，聯(lián)立方程組：，解得，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組，整得：，恒成立，由韋達(dá)定得：，，故，所以點(diǎn)的軌跡方程為；(2)由(1)知：，到直線的距離為：，∴，∴時(shí)，取得最小值，此時(shí)直線的方程為.5．(2024·浙江)如圖，點(diǎn)在拋物線外，過點(diǎn)作拋物線的兩切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為、，記線段的中點(diǎn)為．(1)證明：線段的中點(diǎn)在拋物線上；(2)設(shè)點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，，所以，直線的方程為，即，同可知直線的方程為.聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，所以，線段的中點(diǎn)為，因此，，因此，線段的中點(diǎn)在拋物線上；(2)由(1)知，，，，令，則，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，解得，因此，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.7．(2024·深州長(zhǎng)江中學(xué))已知直線：與軸交于點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線：的焦點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)(在第一象限)，直線，分別與拋物線相交于，兩點(diǎn)(在的兩側(cè))，與軸交于，兩點(diǎn)，且為中點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值；(3)在(2)的條件下，求的面積的取值范圍.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【解析】(1)由已知得，且為的中點(diǎn)，所以.所以，解得，故拋物線的方程為.(2)證明：聯(lián)立，解得，，由為的中點(diǎn)得.不妨設(shè)，，其中.則，.所以，即為定值.(3)由(2)可知直線的方程為，即，與拋物線聯(lián)立，消x可得，解得或(舍)，所以，即，故點(diǎn)到直線的距離.設(shè)過點(diǎn)的拋物線的切線方程為，聯(lián)立得，由，得，所以切線方程為，令，得，所以要使過點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，，則有，又，所以，即，故的面積的取值范圍為.8(2024·浙江高三其他模擬)已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，且經(jīng)過點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，的周長(zhǎng)為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若是坐標(biāo)原點(diǎn)，，兩點(diǎn)(異于點(diǎn))是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的斜率滿足，求面積的最大值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)∵的周長(zhǎng)為，∴，∴．將代入，得，解得．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．(2)由題意知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，，，將與聯(lián)立并消去，整得，則，．∵，∴，∴，化簡(jiǎn)得，∴或(舍去)．當(dāng)時(shí)，，則，得．，原點(diǎn)到直線的距離，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，經(jīng)驗(yàn)證，滿足題意．∴面積的最大值是．9．(2024·全國(guó)高三月考())如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，原點(diǎn)為，橢圓的動(dòng)弦過焦點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸，弦的中點(diǎn)為，橢圓在點(diǎn)處的兩切線的交點(diǎn)為.(1)求證：三點(diǎn)共線；

(2)求的最小值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)橢圓的右焦點(diǎn)為，設(shè)所在的直線的方程為，且聯(lián)立方程組可得：則，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所在的直線的方程為，設(shè)在點(diǎn)處的切線為：，與橢圓聯(lián)立后由，可得，整得：橢圓在處的切線方程為，，聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，，故三點(diǎn)共線.(2)由(1)可知，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.10．(2024·浙江高三其他模擬)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線：于點(diǎn)，，且．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求