藝考生專題講義32 空間幾何體的表面積與體積

考點(diǎn)32空間幾何體表面積與體積知識(shí)梳理一．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)l二．空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3精講精練題型一空間幾何的體積【例1】(2024·陜西咸陽市·高三一模)如圖，在三棱錐中，平面平面是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)設(shè)點(diǎn)N是的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)∵平面平面，平面，平面，是的中點(diǎn)，，平面(2)由(1)知平面，是的中點(diǎn)，到平面的距離是，平面，，．【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】求空間幾何體的體積的常用方法公式法對(duì)于規(guī)則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進(jìn)行求解割補(bǔ)法把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算其體積等體積法等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決三棱錐的體積【舉一反三】1．(2024·江西吉安市·高三其他模擬)在四棱錐中，平面，底面四邊形是邊長為1的正方形，側(cè)棱與底面成的角是，，分別是，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】證明：(1)取的中點(diǎn)，連結(jié)、，∵是的中點(diǎn)，∴，且，∵底面四邊形是邊長是１的正方形，又是的中點(diǎn)，∴，且∴，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，又磁面，平面，∴平面.(2)∵平面，∴是側(cè)棱與底面成的角，∴，∴是等腰直角三角形，則，∴.2．(2024·內(nèi)蒙古赤峰市·高三月考)如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，其中，，面面，且，點(diǎn)在棱上.(1)證明：當(dāng)時(shí)，直線平面；(2)當(dāng)平面時(shí)，求的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)證明：連結(jié)與交于點(diǎn)，連結(jié)，，，，，又面，面，平面.(2)解：平面，平面，，是的中點(diǎn)，面面，點(diǎn)到面的距離為到面的距離為．3．(2024·安徽蕪湖市·高三期末)如圖，三棱柱的各棱的長均為2，在底面上的射影為的重心．(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)連接交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，又∵為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，又平面，平面，∴平面；(2)在中，為重心，則，在中，，則．題型二空間幾何的表面積【例2-1】(2024·全國高三專題練習(xí))一個(gè)六棱錐的體積為，其底面是邊長為的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為.【答案】【解析】判斷棱錐是正六棱錐，利用體積求出棱錐的高，然后求出斜高，即可求解側(cè)面積．∵一個(gè)六棱錐的體積為，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，∴棱錐是正六棱錐，設(shè)棱錐的高為h，則棱錐的斜高為該六棱錐的側(cè)面積為【例2-2】(2024·全國高三專題練習(xí))某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐，下半部分是長方體.正四棱錐的高為，，，則該組合體的表面積為()A．20 B． C．16 D．【答案】A【解析】由題意，正四棱錐的斜高為，該組合體的表面積為.故選：A【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】求解幾何體表面積的類型及求法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積【舉一反三】1．(2024·湖南高三月考)如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，.(1)證明：直線平面；(2)若四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)在平面內(nèi)，因?yàn)?，所以，又平面，平面，故平?(2)取的中點(diǎn)，連結(jié)，.依題四邊形為正方形，因?yàn)闉榈冗吶切?，所?又側(cè)面底面，平面平面，所以底面.因?yàn)榈酌?所以，同理側(cè)面，所以.設(shè)，則，，，.四棱錐的體積，解得.取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，所以.所以，，.所以四棱錐的側(cè)面積為.2．(2024·全國高三專題練習(xí))如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，BD1⊥B1D，四邊形ABCD是邊長為4的菱形，D1D＝6，E，F(xiàn)分別是線段AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)．(1)求證：D1F//平面A1DE；(2)求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面積．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)連接交于，連接，如圖，分別為，的中點(diǎn)，,又平面A1DE，平面A1DE，D1F//平面A1DE(2)在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，所以四棱柱為直四棱柱，因?yàn)樵诰匦沃?，BD1⊥B1D，所以四邊形是正方形，所以,所以,又，所以，即四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面積為.3．(2024·上海閔行區(qū)·高三一模)如圖，在圓柱中，是圓柱的母線，是圓柱的底面的直徑，是底面圓周上異于?的點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，，，求圓柱的側(cè)面積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)如圖所示：由已知可知平面，平面，點(diǎn)是上異于?的點(diǎn)，是的直徑，所以，又，∴平面.(2)在中，，，，，圓柱的側(cè)面積為：S側(cè).題型三點(diǎn)面距【例3】(2024·河南信陽市·高三月考)如圖，在長方體中，為中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若，，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】(1)連接交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，連接，又為中點(diǎn)，故為的中位線，故，又平面，平面，所以平面．(2)由(1)知，平面，則到平面的距離與到平面的距離相等，連接．故，又中，，，．由余弦定理知：，則，故，.故到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離為．【舉一反三】1．(2024·安徽蚌埠市·高三二模)如圖，已知四邊形和均為直角梯形，∥，∥，且，，．(1)求證：∥平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)證明：在平面中，過作于，交于，連接，由題意知，且，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面．(2)，，平面，∴平面，∵平面∴平面平面，在平面內(nèi)過點(diǎn)作交于，則平面，∵，∴，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由得，由題意知，，，代入，解得，即點(diǎn)到平面的距離為．2．(2024·河南高三期末)如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，是的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：平面平面；(Ⅱ)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)．【解析】(Ⅰ)由題意可得，所以，因此，在直四棱柱中，平面，所以，又因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫?，所以平面平面?Ⅱ)如圖，在平面內(nèi)作，垂足為．由(Ⅰ)知平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，所以，又因?yàn)?，所以平面．所以線段的長就是點(diǎn)到平面的距離．因?yàn)?，所以．在平面?nèi)，可知，所以，得，所以點(diǎn)到平面的距離為．3．(2024·河南駐馬店市·高三期末)如圖，該多面體由底面為正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的邊長為，是線段上(不含端點(diǎn))的動(dòng)點(diǎn)，．(1)證明：平面；(2)求到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】(1)證明：取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)樵摱?/p>