藝考生專題講義24 導(dǎo)數(shù)與不等式、零點

考點24導(dǎo)數(shù)與不等式、零點知識梳理一.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題的策略(1)首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，求出參數(shù)的取值范圍．(2)也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．二．證明f(x)>g(x)的一般方法是證明h(x)＝f(x)－g(x)>0(利用單調(diào)性)，特殊情況是證明f(x)min>g(x)max(最值方法)，但后一種方法不具備普遍性．三．證明二元不等式的基本思想是化為一元不等式，一種方法為變換不等式使兩個變元成為一個整體，另一種方法為轉(zhuǎn)化后利用函數(shù)的單調(diào)性，如不等式f(x1)＋g(x1)<f(x2)＋g(x2)對x1<x2恒成立，即等價于函數(shù)h(x)＝f(x)＋g(x)為增函數(shù)．四．可以通過構(gòu)造函數(shù)，將兩曲線的交點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題．五．研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，并借助函數(shù)的大致圖象判斷方程根的情況．精講精練題型一導(dǎo)數(shù)與零點【例1】函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值；(2)當時，求函數(shù)的零點個數(shù).【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.【解析】(1)由題意，函數(shù)，可得，當時，，在上為單調(diào)增函數(shù)，此時無極值；當時，令，解得，所以在上為單調(diào)增函數(shù)，令，解得，在上為單調(diào)減函數(shù)，所以當時，函數(shù)取得極小值，無極大值.綜上所述：當時，無極值，當時，，無極大值.(2)由(1)知當時，在上為單調(diào)增函數(shù)，在上為單調(diào)減函數(shù)，且，又由，若時，；若時，；當，即時，無零點；當，即時，有1個零點；當，即時，有2個零點.綜上：當時，無零點；當時，有1個零點；當時，有2個零點.【舉一反三】1．已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)令，當時，證明∶函數(shù)有2個零點.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)(2)當時，，∴是的一個零點，由，設(shè)，則.因為，①當時，，∴，∴在單調(diào)遞增，∴，∴在單調(diào)遞增，∴，此時在無零點②當時，，有，此時在無零點.③當時，，，∴在單調(diào)遞增，又，，由零點存在性定理知，存在唯一，使得.當時，，在單調(diào)遞減；當時，，在單調(diào)遞增；又，，所以在上有1個零點.綜上，當時，有2個零點．2．已知函數(shù)f(x)=ax-ax(a>0且a≠1).(1)當a=e時，求函數(shù)f(x)的最值；(2)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，1)零點的個數(shù).【答案】(1)最小值為，無最大值；(2)答案見解析.【解析】(1)當時，令得顯然在單調(diào)遞增，當時，；當時，，所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則的最小值為無最大值.(2)(i)若在(0，1)恒成立，此時在(0，1)沒有零點.(ii)若所以在(0，1)單調(diào)遞增.，令因為所以在單調(diào)遞減，故所以；①當時在(0，1)沒有零點.②當時，在(0，1)有且只有1個零點.綜上所述：若或在(0，1)沒有零點；若在(0，1)有且只有1個零點3．已知函數(shù)．(1)若曲線在點處的切線經(jīng)過坐標原點，求實數(shù)；(2)當時，判斷函數(shù)在上的零點個數(shù)，并說明理由．【答案】(1)；(2)答案不唯一，具體見解析．【解析】(1)，所以在點處的切線方程為，所以，即；(2)因為，所以，所以可轉(zhuǎn)化為，設(shè)，則當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．當時，設(shè)，此時，所以在時單調(diào)遞增，又，，所以存在使得且時單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增．綜上，對于連續(xù)函數(shù)，在時，單調(diào)遞減，在時，單調(diào)遞增．又因為，所以當，即時，函數(shù)有唯一零點在區(qū)間上，當，即時，函數(shù)在區(qū)間上無零點，綜上可知，當時，函數(shù)在上有個零點；當時，函數(shù)在上沒有零點．題型二導(dǎo)數(shù)與不等式【例2】已知函數(shù).(1)若在時取得極值，求實數(shù)m的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)證明：.【答案】(1)；(2)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(3)證明見解析.【解析】(1)由題意得，因為在時取得極值，所以，解得，當時，，因為，所以，所以當時，，則在遞減；當時，，則在遞增，所以在時取得極小值，綜上；(2)因為，由，解得舍去，，所以在時，，故在單調(diào)遞減；在時，，故在單調(diào)遞增，所以的單調(diào)減區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為.(3)法一：由，則，由(2)知，存在唯一的，使得，即，設(shè)，所以所以(3)法二：因為又，所以，.又由(2)，所以.【舉一反三】1．已知函數(shù).(1)求函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當時，求證：.【答案】(1)，；(2)證明見解析.【解析】(1)解析：由題意知，，，所以當時，解得，即在的單調(diào)遞增區(qū)間是，(2)令，，只需證即可令，則，當時，，遞減，即在單調(diào)遞減，即，所以，從而在上單調(diào)遞減，即恒成立；當時，由(1)知，的極大值點滿足，這些極大值點使得的分子值不變，但分母隨的增大而增大(當然)，∴當時，，恒成立．綜上，得證.2．已知函數(shù)f(x)=2ex+aln(x+1)-2.(1)當a=-2時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)當x∈[0，π]時，f(x)≥sinx恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)在(-1，0)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；(2).【解析】(1)當時.在單調(diào)遞增，且當時，；當時.所以函數(shù)在(-1，0)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.(2)令當時，恒成立等價于恒成立.由于，所以(i)當時，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間