2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)專項(xiàng)突破：折疊變換模型（原卷版）

大招折疊變換模型

詞H模型介紹

翻折變換（折疊問題）

0K翻折變換（折疊問題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換.

02＞折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，

位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.

因3、在解決實(shí)際問題時(shí)，對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找

到圖形間的關(guān)系.

首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件.解題時(shí)，我們常常設(shè)要求

的線段長(zhǎng)為無，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適

當(dāng)?shù)闹苯侨切危\(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)

出正確的未知數(shù).

例題精講

考點(diǎn)一：三角形中的折疊問題

【例如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,/B=30°,BC=3,點(diǎn)。是邊上的一

動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)2、C重合），過點(diǎn)。作。交于點(diǎn)E,將NB沿直線。E翻折，

點(diǎn)8落在射線3c上的點(diǎn)尸處.當(dāng)為直角三角形時(shí),則折疊后所得到的四邊形AEL不

的周長(zhǎng)為.

A變式訓(xùn)練

【變式1T】.如圖，等邊△ABC中，。是8C邊上的一點(diǎn)，把△ABC折疊，使點(diǎn)A落在BC

邊上的點(diǎn)D處，折痕與邊AB.AC分別交于點(diǎn)M、N,若40=2,AN=3,那么邊BC

長(zhǎng)為_______

【變式1-2].如圖，在等腰直角三角形A3C中，NC=90°,。為BC的中點(diǎn)，將aABC

折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)。重合，EF為折痕，則AF：CF=()

A.2：1B.3：2C.5：3D.7：5

【變式1-3].如圖，在△ABC中，N3AC=45°,AZ)_LBC于點(diǎn)D,BD=6,DC=4,求

AD的長(zhǎng).小明同學(xué)利用翻折，巧妙地解答了此題，按小明的思路探究并解答下列問題:

(1)分別以A2,AC所在直線為對(duì)稱軸，畫出△48。和△AC。的對(duì)稱圖形，點(diǎn)。的對(duì)

稱點(diǎn)分別為點(diǎn)E,F,延長(zhǎng)班和尸C相交于點(diǎn)G,求證：四邊形AEGP是正方形；

(2)設(shè)建立關(guān)于x的方程模型，求出的長(zhǎng).

考點(diǎn)二：矩形中的折疊問題

【例2].如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形0A2C,。為原點(diǎn)，點(diǎn)4C分別在x軸、y

軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,2）,連接。2,將△042沿直線翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)。的位

置，則cosZ.COD的值是

A變式訓(xùn)練

【變式2-1].如圖（1）是一段長(zhǎng)方形紙帶，NDEF=a,將紙帶沿E尸折疊成圖（2）,再沿

8尸折疊成圖（3）,則圖（3）中的NCFE的度數(shù)為（）

D

A.180°-3aB.180°-2aC.90°-aD.90°+a

【變式2-2].如圖，在矩形ABC。中，AB=8,BC=12,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿

AE折疊，使點(diǎn)8落在矩形內(nèi)點(diǎn)尸處，連接CR則CP的長(zhǎng)為（）

32D

~5-f

【變式2-3].如圖，折疊矩形紙片ABC。，使8點(diǎn)落在上一點(diǎn)E處，折痕FG的兩端點(diǎn)

分別在AB、BC上（含端點(diǎn)），且42=6,BC=10.則AE的最大值是，最小值

考點(diǎn)三：菱形中的折疊問題

【例3】.如圖，將菱形紙片ABC。折疊，使點(diǎn)A恰好落在菱形的對(duì)角線交點(diǎn)。處，折痕為

EF,若菱形ABC。的邊長(zhǎng)為2cm,ZB=60°,那么EF=cm.

A變式訓(xùn)練

【變式3-1].如圖，在菱形ABCD中，ZB=60°,E為AB的中點(diǎn)，將沿。E翻折

得到△GEZ）,射線。G交BC于點(diǎn)R若A￡>=2,則8尸=

【變式3-2].如圖，在菱形4BCD中，ZABC=60°,A￡）=6,點(diǎn)E在邊CZ）上，且。E=

4,尸是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線所折疊，點(diǎn)。落在點(diǎn)N處，當(dāng)點(diǎn)N在四邊形

4BC。內(nèi)部（含邊界）時(shí)，。尸的長(zhǎng)度的取值范圍是

考點(diǎn)四：正方形中的折疊問題

【例4].如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2,點(diǎn)E是C。邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC上不與點(diǎn)8,

C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把NC沿直線所折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處.當(dāng)△ADU為等腰三

角形時(shí)，F(xiàn)C的長(zhǎng)為

A變式訓(xùn)練

【變式4-1].如圖，正方形ABC。中，AB=6,點(diǎn)E在邊CZ)上，且CZ)=3QE,將△AQE

沿AE對(duì)折至△APE,延長(zhǎng)所交邊8C于點(diǎn)G,連接AG、CF,則下列結(jié)論：①△ABG

絲△APG；②BG=CG；③AG〃CB④S&EGC=SAAFE,其中正確的是.

@0

實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，將平行四邊形紙片ABC。沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)。落在點(diǎn)E處，AE恰好過8c邊

中點(diǎn)，若AB=3,BC=6,則的大小為(

D.90

2.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=V5>E為CD邊上一點(diǎn),將ABCE沿BE折疊,

使得C落到矩形內(nèi)點(diǎn)E的位置，連接AF若tanNBAF-1，則CE=()

A.V5-2B.V5-1c.5-,D.5蜉

3.如圖，矩形紙片ABC。中，AB=4,BC=8,現(xiàn)將A、C重合，使紙片折疊壓平，設(shè)折痕

為EF,則圖形中重疊部分的面積為.

4.如圖，矩形ABC。中，AB=4,AD=6,點(diǎn)E為BC上一點(diǎn),將AABE沿AE折疊得到4

AEF,點(diǎn)H為CD上一點(diǎn),將△<?￡；“沿折疊得到△￡;〃?，且F落在線段EG上，當(dāng)

GF=G”時(shí)，則BE的長(zhǎng)為

D

5.將矩形ABC。按如圖所示的方式折疊，BE、EG、FG為折痕，若頂點(diǎn)A、C、。都落在

點(diǎn)。處，且點(diǎn)8、0、G在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)E、0、尸在另一條直線上，則歿的

AB

值為.

6.如圖，在邊長(zhǎng)為8的菱形ABC。中，ZA=60°,M是邊A。的中點(diǎn)，N是AB上一點(diǎn),

將沿所在的直線翻折得到△AMN,連接AB,則A'B的取值范圍.

7.如圖，將矩形ABC。(A8<A。)沿8。折疊后，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，且BE交于點(diǎn)尸,

若A3=5,BC=10.

(1)求。尸的長(zhǎng)；

(2)求△DBF和△。瓦'的面積；

(3)求△DBF中尸點(diǎn)到20邊上的距離.

E

8.如圖，將矩形ABC。沿AE折疊，使點(diǎn)。落在8c邊的點(diǎn)E處，過點(diǎn)E作EG〃C。交

AF于點(diǎn)G,連接QG.

(1)求證：四邊形EFDG是菱形；

(2)求證：EG2=^AF-GF；

2

(3)若AG=6,EG=2后,求BE的長(zhǎng).

9.如圖1,四邊形428的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,OB=OD,OC^OA+AB,AD^m,

BC=n,ZABD+ZADB=ZACB.

(1)填空：/BAD與ZACB的數(shù)量關(guān)系為；

(2)求旦的值；

n

(3)將△AC。沿CO翻折，得到CO(如圖2),連接區(qū)4，，與CD相交于點(diǎn)P.若

8=遮+1，求尸。的長(zhǎng).

2

AA

OO

10.如圖，將等腰直角三角形紙片ABC對(duì)折，折痕為CD展平后，再將點(diǎn)8折疊在邊AC

上(不與A、C重合)，折痕為ER點(diǎn)2在AC上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M,設(shè)與交于點(diǎn)P,

連接P?已知BC=4.

(1)若M為AC的中點(diǎn)，求CF的長(zhǎng)；

(2)隨著點(diǎn)M在邊AC上取不同的位置，

①△尸尸M的形狀是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由；

②求APFM的周長(zhǎng)的取值范圍.

11.已知在△ABC中，AC^BC^m,。是AB邊上的一點(diǎn)，將48沿著過點(diǎn)。的直線折疊，

使點(diǎn)B落在AC邊的點(diǎn)P處(不與點(diǎn)A,C重合)，折痕交BC邊于點(diǎn)E.

(1)特例感知如圖1,若NC=60°,。是AB的中點(diǎn)，求證：AP=1AC；

2

(2)變式求異如圖2,若NC=90°,m=6&,AD=1,過點(diǎn)。作258,AC于點(diǎn)H,

求和AP的長(zhǎng)；

(3)化歸探究如圖3,若加=10,48=12,且當(dāng)。時(shí)，存在兩次不同的折疊，使

點(diǎn)B落在AC邊上兩個(gè)不同的位置，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍.

c

圖1圖2圖3

12.［初步嘗試］

(1)如圖①，在三角形紙片ABC中，ZACB=90°,將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重

合，折痕為MN,則AM與BM的數(shù)量關(guān)系為；

［思考說理］

(2)如圖②，在三角形紙片ABC中，AC=BC=6,AB=10,將△ABC折疊，使點(diǎn)8與

點(diǎn)C重合，折痕為求細(xì)的值；

BM

［拓展延伸］

(3)如圖③，在三角形紙片ABC中，AB=9,BC=6,ZACB=2ZA,將△ABC沿過頂

點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上的點(diǎn)次處，折痕為CM.

①求線段AC的長(zhǎng)；

②若點(diǎn)。是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段。2'上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊得到

△A'PM,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A',A'M與CP交于點(diǎn)R求空的取值范圍.

MF

c

圖①圖②圖③

13.如圖，將邊長(zhǎng)為6的正三角形紙片A8C按如下順序進(jìn)行兩次折疊，展平后，得折痕A。、

BE（如圖①），點(diǎn)。為其交點(diǎn).

（1）探求AO與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖②，若P,N分別為BE,8c上的動(dòng)點(diǎn).

①當(dāng)PN+PD的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，求2尸的長(zhǎng)度；

②如圖③，若點(diǎn)Q在線段2。上，BQ=1,則QN+NP+尸。的最小值=.

14.如圖1,將△ABC紙片沿中位線瓦/折疊，使點(diǎn)A對(duì)稱點(diǎn)。落在BC邊上，再將紙片分

別沿等腰43即和等腰的底邊上的高線ER//G折疊，折疊后的三個(gè)三角形拼合

形成一個(gè)矩形，類似地，對(duì)多邊形進(jìn)行折疊，若翻折后的圖形恰能拼合成一個(gè)無縫隙、

無重疊的矩形，這樣的矩形稱為疊合矩形.

(1)將回ABC。紙片按圖2的方式折疊成一個(gè)疊合矩形AEPG,則操作形成的折痕分別

是線段,;S矩形AEFG:S^ABCD=.

(2)團(tuán)ABC。紙片還可以按圖3的方式折疊成一個(gè)疊合矩形EFGH,若EF=5,EH=U,

求的長(zhǎng)；

(3)如圖4,四邊形ABC。紙片滿足AD〃BC,AD<BC,AB±BC,AB=8,C￡>=10,

小明把該紙片折疊，得到疊合正方形，請(qǐng)你幫助畫出疊合正方形的示意圖，并求出AD.

BC的長(zhǎng).

15.如圖，矩形04BC的邊長(zhǎng)。4=8,頂點(diǎn)A、C分別在尤、y軸的正半軸上，點(diǎn)。為對(duì)角

線08的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=K(20)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)。、E、F,且tan

X

2

(1)求邊AB的長(zhǎng)；

(2)求反比例函數(shù)的解析式及F點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)R將矩形折疊，使點(diǎn)0與點(diǎn)尸重合,

折疊分別與無、y軸正半軸交于點(diǎn)H、G,求線段0G的長(zhǎng).

16.已知一個(gè)矩形紙片。4CB,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（11,0）,點(diǎn)8（0,

6）,點(diǎn)尸為8C邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸不與點(diǎn)8、C重合），經(jīng)過點(diǎn)。、尸折疊該紙片，得點(diǎn)

B'和折痕OP.設(shè)BP=f.

圖①圖②

（I）如圖①，當(dāng)/BOP=30°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（II）如圖②，經(jīng)過點(diǎn)尸再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線P8'上，得點(diǎn)C'和折痕P。，

若AQ=m,試用含有t的式子表示機(jī)；

（III）在