2024-2025學年初中數(shù)學專項突破：折疊變換模型（原卷版）

大招折疊變換模型

詞H模型介紹

翻折變換（折疊問題）

0K翻折變換（折疊問題）實質(zhì)上就是軸對稱變換.

02＞折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，

位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

因3、在解決實際問題時，對于折疊較為復雜的問題可以實際操作圖形的折疊，這樣便于找

到圖形間的關(guān)系.

首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件.解題時，我們常常設(shè)要求

的線段長為無，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適

當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案.我們運用方程解決時，應(yīng)認真審題，設(shè)

出正確的未知數(shù).

例題精講

考點一：三角形中的折疊問題

【例如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,/B=30°,BC=3,點。是邊上的一

動點（不與點2、C重合），過點。作。交于點E,將NB沿直線。E翻折，

點8落在射線3c上的點尸處.當為直角三角形時,則折疊后所得到的四邊形AEL不

的周長為.

A變式訓練

【變式1T】.如圖，等邊△ABC中，。是8C邊上的一點，把△ABC折疊，使點A落在BC

邊上的點D處，折痕與邊AB.AC分別交于點M、N,若40=2,AN=3,那么邊BC

長為_______

【變式1-2].如圖，在等腰直角三角形A3C中，NC=90°,。為BC的中點，將aABC

折疊，使點A與點。重合，EF為折痕，則AF：CF=()

A.2：1B.3：2C.5：3D.7：5

【變式1-3].如圖，在△ABC中，N3AC=45°,AZ)_LBC于點D,BD=6,DC=4,求

AD的長.小明同學利用翻折，巧妙地解答了此題，按小明的思路探究并解答下列問題:

(1)分別以A2,AC所在直線為對稱軸，畫出△48。和△AC。的對稱圖形，點。的對

稱點分別為點E,F,延長班和尸C相交于點G,求證：四邊形AEGP是正方形；

(2)設(shè)建立關(guān)于x的方程模型，求出的長.

考點二：矩形中的折疊問題

【例2].如圖，平面直角坐標系中，已知矩形0A2C,。為原點，點4C分別在x軸、y

軸上，點B的坐標為（1,2）,連接。2,將△042沿直線翻折，點A落在點。的位

置，則cosZ.COD的值是

A變式訓練

【變式2-1].如圖（1）是一段長方形紙帶，NDEF=a,將紙帶沿E尸折疊成圖（2）,再沿

8尸折疊成圖（3）,則圖（3）中的NCFE的度數(shù)為（）

D

A.180°-3aB.180°-2aC.90°-aD.90°+a

【變式2-2].如圖，在矩形ABC。中，AB=8,BC=12,點E為BC的中點，將△ABE沿

AE折疊，使點8落在矩形內(nèi)點尸處，連接CR則CP的長為（）

32D

~5-f

【變式2-3].如圖，折疊矩形紙片ABC。，使8點落在上一點E處，折痕FG的兩端點

分別在AB、BC上（含端點），且42=6,BC=10.則AE的最大值是，最小值

考點三：菱形中的折疊問題

【例3】.如圖，將菱形紙片ABC。折疊，使點A恰好落在菱形的對角線交點。處，折痕為

EF,若菱形ABC。的邊長為2cm,ZB=60°,那么EF=cm.

A變式訓練

【變式3-1].如圖，在菱形ABCD中，ZB=60°,E為AB的中點，將沿。E翻折

得到△GEZ）,射線。G交BC于點R若A￡>=2,則8尸=

【變式3-2].如圖，在菱形4BCD中，ZABC=60°,A￡）=6,點E在邊CZ）上，且。E=

4,尸是邊上一動點，將沿直線所折疊，點。落在點N處，當點N在四邊形

4BC。內(nèi)部（含邊界）時，。尸的長度的取值范圍是

考點四：正方形中的折疊問題

【例4].如圖，正方形ABCD的邊長是2,點E是C。邊的中點，點E是邊BC上不與點8,

C重合的一個動點，把NC沿直線所折疊，使點C落在點C'處.當△ADU為等腰三

角形時，F(xiàn)C的長為

A變式訓練

【變式4-1].如圖，正方形ABC。中，AB=6,點E在邊CZ)上，且CZ)=3QE,將△AQE

沿AE對折至△APE,延長所交邊8C于點G,連接AG、CF,則下列結(jié)論：①△ABG

絲△APG；②BG=CG；③AG〃CB④S&EGC=SAAFE,其中正確的是.

@0

實戰(zhàn)演練

1.如圖，將平行四邊形紙片ABC。沿對角線AC折疊，點。落在點E處，AE恰好過8c邊

中點，若AB=3,BC=6,則的大小為(

D.90

2.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=V5>E為CD邊上一點,將ABCE沿BE折疊,

使得C落到矩形內(nèi)點E的位置，連接AF若tanNBAF-1，則CE=()

A.V5-2B.V5-1c.5-,D.5蜉

3.如圖，矩形紙片ABC。中，AB=4,BC=8,現(xiàn)將A、C重合，使紙片折疊壓平，設(shè)折痕

為EF,則圖形中重疊部分的面積為.

4.如圖，矩形ABC。中，AB=4,AD=6,點E為BC上一點,將AABE沿AE折疊得到4

AEF,點H為CD上一點,將△<?￡；“沿折疊得到△￡;〃?，且F落在線段EG上，當

GF=G”時，則BE的長為

D

5.將矩形ABC。按如圖所示的方式折疊，BE、EG、FG為折痕，若頂點A、C、。都落在

點。處，且點8、0、G在同一條直線上，同時點E、0、尸在另一條直線上，則歿的

AB

值為.

6.如圖，在邊長為8的菱形ABC。中，ZA=60°,M是邊A。的中點，N是AB上一點,

將沿所在的直線翻折得到△AMN,連接AB,則A'B的取值范圍.

7.如圖，將矩形ABC。(A8<A。)沿8。折疊后，點C落在點E處，且BE交于點尸,

若A3=5,BC=10.

(1)求。尸的長；

(2)求△DBF和△。瓦'的面積；

(3)求△DBF中尸點到20邊上的距離.

E

8.如圖，將矩形ABC。沿AE折疊，使點。落在8c邊的點E處，過點E作EG〃C。交

AF于點G,連接QG.

(1)求證：四邊形EFDG是菱形；

(2)求證：EG2=^AF-GF；

2

(3)若AG=6,EG=2后,求BE的長.

9.如圖1,四邊形428的對角線AC,8。相交于點O,OB=OD,OC^OA+AB,AD^m,

BC=n,ZABD+ZADB=ZACB.

(1)填空：/BAD與ZACB的數(shù)量關(guān)系為；

(2)求旦的值；

n

(3)將△AC。沿CO翻折，得到CO(如圖2),連接區(qū)4，，與CD相交于點P.若

8=遮+1，求尸。的長.

2

AA

OO

10.如圖，將等腰直角三角形紙片ABC對折，折痕為CD展平后，再將點8折疊在邊AC

上(不與A、C重合)，折痕為ER點2在AC上的對應(yīng)點為M,設(shè)與交于點P,

連接P?已知BC=4.

(1)若M為AC的中點，求CF的長；

(2)隨著點M在邊AC上取不同的位置，

①△尸尸M的形狀是否發(fā)生變化？請說明理由；

②求APFM的周長的取值范圍.

11.已知在△ABC中，AC^BC^m,。是AB邊上的一點，將48沿著過點。的直線折疊，

使點B落在AC邊的點P處(不與點A,C重合)，折痕交BC邊于點E.

(1)特例感知如圖1,若NC=60°,。是AB的中點，求證：AP=1AC；

2

(2)變式求異如圖2,若NC=90°,m=6&,AD=1,過點。作258,AC于點H,

求和AP的長；

(3)化歸探究如圖3,若加=10,48=12,且當。時，存在兩次不同的折疊，使

點B落在AC邊上兩個不同的位置，請直接寫出a的取值范圍.

c

圖1圖2圖3

12.［初步嘗試］

(1)如圖①，在三角形紙片ABC中，ZACB=90°,將△ABC折疊，使點B與點C重

合，折痕為MN,則AM與BM的數(shù)量關(guān)系為；

［思考說理］

(2)如圖②，在三角形紙片ABC中，AC=BC=6,AB=10,將△ABC折疊，使點8與

點C重合，折痕為求細的值；

BM

［拓展延伸］

(3)如圖③，在三角形紙片ABC中，AB=9,BC=6,ZACB=2ZA,將△ABC沿過頂

點C的直線折疊，使點B落在邊AC上的點次處，折痕為CM.

①求線段AC的長；

②若點。是邊AC的中點，點尸為線段。2'上的一個動點，將沿折疊得到

△A'PM,點A的對應(yīng)點為點A',A'M與CP交于點R求空的取值范圍.

MF

c

圖①圖②圖③

13.如圖，將邊長為6的正三角形紙片A8C按如下順序進行兩次折疊，展平后，得折痕A。、

BE（如圖①），點。為其交點.

（1）探求AO與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖②，若P,N分別為BE,8c上的動點.

①當PN+PD的長度取得最小值時，求2尸的長度；

②如圖③，若點Q在線段2。上，BQ=1,則QN+NP+尸。的最小值=.

14.如圖1,將△ABC紙片沿中位線瓦/折疊，使點A對稱點。落在BC邊上，再將紙片分

別沿等腰43即和等腰的底邊上的高線ER//G折疊，折疊后的三個三角形拼合

形成一個矩形，類似地，對多邊形進行折疊，若翻折后的圖形恰能拼合成一個無縫隙、

無重疊的矩形，這樣的矩形稱為疊合矩形.

(1)將回ABC。紙片按圖2的方式折疊成一個疊合矩形AEPG,則操作形成的折痕分別

是線段,;S矩形AEFG:S^ABCD=.

(2)團ABC。紙片還可以按圖3的方式折疊成一個疊合矩形EFGH,若EF=5,EH=U,

求的長；

(3)如圖4,四邊形ABC。紙片滿足AD〃BC,AD<BC,AB±BC,AB=8,C￡>=10,

小明把該紙片折疊，得到疊合正方形，請你幫助畫出疊合正方形的示意圖，并求出AD.

BC的長.

15.如圖，矩形04BC的邊長。4=8,頂點A、C分別在尤、y軸的正半軸上，點。為對角

線08的中點，反比例函數(shù)y=K(20)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點。、E、F,且tan

X

2

(1)求邊AB的長；

(2)求反比例函數(shù)的解析式及F點坐標；

(3)若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點R將矩形折疊，使點0與點尸重合,

折疊分別與無、y軸正半軸交于點H、G,求線段0G的長.

16.已知一個矩形紙片。4CB,將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（11,0）,點8（0,

6）,點尸為8C邊上的動點（點尸不與點8、C重合），經(jīng)過點。、尸折疊該紙片，得點

B'和折痕OP.設(shè)BP=f.

圖①圖②

（I）如圖①，當/BOP=30°時，求點P的坐標；

（II）如圖②，經(jīng)過點尸再次折疊紙片，使點C落在直線P8'上，得點C'和折痕P。，

若AQ=m,試用含有t的式子表示機；

（III）在