2024-2025學(xué)年北師大版高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（附答案解析）

2024-2025學(xué)年北師大實(shí)驗(yàn)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷

本試卷共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.

第一部分(選擇題，共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).

27r

1.直線的傾斜角是3,則斜率是()

A.—昱B."C.-V3D.V3

33

2.已知點(diǎn)P在橢圓：+：=1上，點(diǎn)片(1,0),^(-1,0),則|「制+|「用=()

A.2B.20C.2GD.275

3.已知圓/—2x+6y+1=0關(guān)于直線X+.V+加=0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)加=()

A.-2B.-1C.1D.2

4.以點(diǎn)/(2,1)為圓心，且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x-2)2+(j-l)2=1B.(x-2)~+(y-])2=4

C.(x+2)~+(y+l)~=1D.(x+2『+(y+葉=4

5.已知。為直線/：x+2y+l=0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足存=(1,—3),記尸的軌跡為E,則()

A.E是一個(gè)半徑為右的圓B.￡是一條與/相交的直線

C.E上的點(diǎn)到/的距離均為右D.E是兩條平行直線

6.如圖，三棱錐D-45C中，DC，平面ABC,DC=1,且4ABe為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，則D4與

平面DBC所成角的正弦值為

7.點(diǎn)M是直線2x-y+5=0上的動(dòng)點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以（W為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（）.

A.（0,0）和（-1,1）B.（0,0）和（一2,2）C.（0,0）和（—1,2）D.（0,0）和（一2,1）

221

8.“加=3”是“橢圓土+匕=1的離心率為一”的（）

4m2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C充要條件D.既不充分也不必要條件

9.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案

（如圖1）,把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所示的幾何體.若圖3中

每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則點(diǎn)P到平面QGC的距離是（）

10.如圖，已知正方體48co-的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M為棱N8的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形3CGg的

邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).以下四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A,存在點(diǎn)尸滿足PM+PR=逐

71

B.存在點(diǎn)尸滿足尸M=—

2

C.滿足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為上7T

D.滿足"FLAM的點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為注

第二部分（非選擇題，共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

2

22

11.橢圓土+匕=1的離心率是

94

12.已知直線(m+2)x+j+l=0,/2：5x+(m-2)j+l=0.若入〃h，則實(shí)數(shù)正的值為.

13.在正三棱柱ABC-481G中，AB=2,441=JL則異面直線Z片與3。所成角的大小為.

14.已知點(diǎn)P是圓+/=1上的動(dòng)點(diǎn)，直線4：3x-4j+7=0,/2：3x-4j=0,記尸到

直線小，2的距離分別為4，4(若尸在直線上，則記距離為0),

(1)4的最大值為；

(2)若當(dāng)點(diǎn)尸在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4+4為定值，則他的取值范圍是.

15.伯努利雙紐線(簡(jiǎn)稱雙紐線)是瑞士數(shù)學(xué)家伯努利(1654-1705)在1694年提出的.伯努利將橢圓的

定義作了類比處理，指出是到兩個(gè)定點(diǎn)距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡是雙紐線.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，到定點(diǎn)/(-凡0),8(/0)的距離之積為片(a>0)的點(diǎn)的軌跡C就是伯努

利雙紐線，C的方程為(一+/)2=2/12一/),其形狀類似于符號(hào)oo,若點(diǎn)P(Xo，比)是軌跡C上一

點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①曲線C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；

②"歸同恒成立；

③曲線C上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過(guò)0a；

④當(dāng)卜。|=a時(shí)，Jo取得最大值或最小值.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共6小題，共85分.解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、驗(yàn)算步驟或證明過(guò)程.

16.已知直線/：(2%+l)x+(%—l)y—5%—1=0,4eR.

(1)當(dāng)直線/與直線x+2y=0垂直時(shí)，求;I的值；

(2)設(shè)直線/恒過(guò)定點(diǎn)尸，求尸的坐標(biāo)；

(3)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)X,直線/與圓爐+/=/&>0)總有公共點(diǎn)，直接寫出，的取值范圍.

17.已知OC經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(0,—2),5(3,1),并且圓心C在直線y=2x—8上，

(1)求。C的方程;

3

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（2,0）的直線/與。C交于M,N兩點(diǎn)，若pW|=4后，求/的方程.

18.已知橢圓C：5_+,=1.〉/,〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為4-6,0）和巴（6,0）,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.

（1）求橢圓C的方程；

⑵設(shè)尸為橢圓。上一點(diǎn)，Af（l,0）,若存在實(shí)數(shù)X使得|「制+|尸閭=2廬攸|，求X的取值范圍.

19.如圖，在三棱臺(tái)45C—481G中，若4力，平面4SC,48，ZC,45=ZC=44]=2,4G=1,N

為45中點(diǎn)，M為棱8C上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）.

（1）若附為8C的中點(diǎn)，求證：&N//平面GM4.

（2）是否存在點(diǎn)M,使得平面與平面ZCC14所成角的余弦值為逅？若存在，求出長(zhǎng)度;

6

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M到點(diǎn)/（0』）的距離比它到x軸的距離多1,記點(diǎn)”的軌跡為C.

（1）求軌跡C的方程；

（2）設(shè)斜率為左的直線/過(guò)定點(diǎn)P（l,0）,若直線/與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)后的取值范圍.

21.用一個(gè)矩形鐵皮制作成一個(gè)直角圓形彎管（如圖1）:將該矩形鐵皮圍成一個(gè)圓柱體（如圖2）,再

用一個(gè)與圓柱底面所成45°的平面截圓柱，將圓柱截成兩段，再將這兩段重新拼接就可以得到直角圓形

彎管.現(xiàn)使用長(zhǎng)為2兀，寬為兀的矩形鐵皮制作一個(gè)直角圓形彎管，當(dāng)?shù)玫降闹苯菆A形彎管的體積最大時(shí)

（不計(jì)拼接損耗部分），解答下列問(wèn)題.

圖1

（1）求該直角圓形彎管的體積;

4

（2）已知在制造直角圓形彎管時(shí)截得的截口是一個(gè)橢圓，求該橢圓的離心率；

（3）如圖3,若將圓柱被截開的一段的側(cè)面沿著圓柱的一條母線剪開，并展成平面圖形（如圖4）,證

明：該截口展開形成的圖形恰好是某正弦型函數(shù)的部分圖象，并指出該正弦型函數(shù)的最小正周期與振幅.

北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中試卷

高二數(shù)學(xué)

本試卷共4頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考

試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題，共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).

2萬(wàn)

1.直線的傾斜角是3,則斜率是（）

A.—火B(yǎng).型C.-V3D.V3

33

【答案】C

【解析】

【分析】由直線的傾斜角與斜率的關(guān)系即得.

【詳解】：直線的傾斜角是紅，

3

直線的斜率為tan—=tan（乃-—）=-tan—=.

333

故選：C.

22

2.已知點(diǎn)尸在橢圓\+巳_=1上，點(diǎn)片（1,0）,7^（-1,0）,則忸用+|尸閭=（）

A.2B.272C.2GD.275

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程以及橢圓定義即可得出結(jié)果.

22_

【詳解】由橢圓方程為土+t=1可知a=J^,c=l,

32

5

則片(1,0),月(—1,0)即為橢圓的左、右焦點(diǎn)，

由橢圓定義可得|「片I+|尸6I=2=2JI.

故選：C

3.已知圓Y+y2—2x+6y+1=0關(guān)于直線x+y+加=0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)加=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)圓關(guān)于直線對(duì)稱即圓心在直線上得到答案.

【詳解】將J+j?—2x+6y+l=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—l/+(y+3『=9,

圓心為(1,-3),半徑為3,

因?yàn)閳Ax2+72—2x+6.v+1=0關(guān)于直線x+.y+加=0對(duì)稱，

所以圓心(1,—3)在直線上，即1—3+加=0,解得加=2.

故選：D.

4.以點(diǎn)/(2,1)為圓心，且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x-2)2+(j-l)2=1B.(x-2)-+(y-l)2=4

C.(x+2)~+(y+l)?=1D.(x+2『+(y+葉=4

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)圓心和半徑可得圓的方程.

【詳解】以點(diǎn)4(2,1)為圓心，且與x軸相切的圓的半徑為1.

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-2)2+(y-l)2=l.

故選:A.

5.已知。為直線/：x+2y+l=0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足灰=(1,—3),記尸的軌跡為E,貝U()

A.E是一個(gè)半徑為右的圓B.E是一條與/相交的直線

C.E上的點(diǎn)到/的距離均為石D.E是兩條平行直線

6

【答案】c

【解析】

【分析】設(shè)P(x,y),由/=(1,-3)可得0點(diǎn)坐標(biāo)，由。在直線上，故可將點(diǎn)代入坐標(biāo)，即可得尸軌

跡E,結(jié)合選項(xiàng)即可得出正確答案.

【詳解】設(shè)尸卜,丁),由存=(1,-3),則。(x—1/+3),

由。在直線/：》+2y+1=0上，故x-l+2(y+3)+l=0,

化簡(jiǎn)得x+2y+6=0,即p的軌跡為E為直線且與直線I平行，

16-11廠

E上的點(diǎn)到/的距離=J5,故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.

Vl2+22

故選：C.

6.如圖，三棱錐D-45C中，平面ABC,DC=1,且4ABe為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，則D4與

平面DBC所成角的正弦值為

【答案】B

【解析】

【分析】先過(guò)A點(diǎn)作出高線，利用等體積法先求高線，再計(jì)算線面角.

【詳解】過(guò)點(diǎn)A作垂直于平面BCD的直線，垂足為O,利用等體積法求解

AO.Vo=-DCxS,sr=-X15ZH60°X2X2X1=—=V,=-AOxS?ra，由此解得

U—TIZJL3AifL3234—t5\^U3iSy^U

A0=V3-DA與平面￡歸。所成角為/ADO,所以sin/ADO=也=走，故選B

AD5

【點(diǎn)睛】本題考查了等體積法和線面角的基本求法，綜合性強(qiáng)，在三棱錐中求高線，利用等體積法是一

種常見處理手段，計(jì)算線面角，先找線面角，要找線面角必找垂線，而求解垂線的基本方法為等體積法

7

或者點(diǎn)到平面的距離公式.

7.點(diǎn)又是直線2x-y+5=0上的動(dòng)點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以(W為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)().

A.(0,0)和(-1,1)B.(0,0)和(-2,2)C.(0,0)和(—1,2)D.(0,0)和(-2,1)

【答案】D

【解析】

【分析】過(guò)點(diǎn)。作。尸垂直于直線2x-y+5=0,根據(jù)圓的性質(zhì)可得以O(shè)N為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)。和尸,

得解.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)。作。尸垂直于直線2x-y+5=0,垂足為尸，

則以O(shè)M為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)。和P,易知直線。產(chǎn)的方程為j=

2x-y+5=0c

rx——2

聯(lián)立<i,解得<,,即p（—2』）.

y=~2x

所以以O(shè)”為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,0)和(-2,1).

故選：D

V221

8.“加=3”是“橢圓L+vL=l的離心率為一”的()

4m2

A.充分不必要條件B,必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓工+匕=1的離心率為工求出加，進(jìn)而求得答案.

4m2

8

【詳解】橢圓三+亡=1的離心率為1,當(dāng)0〈加＜4時(shí)，-4-加得加=3；

4m222

得加二:

當(dāng)加＞4時(shí),

221

即“機(jī)=3”是“橢圓上+匕=1的離心率為一”的充分不必要條件.

4m2

故選：A.

9.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案

（如圖1）,把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所示的幾何體.若圖3中

每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則點(diǎn)P到平面。GC的距離是（）

D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量法求解點(diǎn)到面的距離，即可得到結(jié)果.

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則C（0,2,0）,G（0,0,2）,Q（l,0,2）,P（2,0,l）,

則詼=（1,0,0）,江=（0,2,-2）,CP=（2,-2,1）,

設(shè)平面QGC的一個(gè)法向量為n=（x,y,z）,

9

、

貝股）GO-n=x=0，取z=l,得為=（,0,1,1）,

GC-n=2y-2z=0

\n-CP\lo-2+llJ?

所以點(diǎn)尸到平面QGC的距離是=卜廣?=—

一同V22

故選：B

10.如圖，已知正方體48co-4801，的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)p在正方形3CGg的

邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).以下四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

。1C,

A,存在點(diǎn)P滿足PM+PDl=s/5

TT

B.存在點(diǎn)P滿足NDFM=-

77

C.滿足AP±D[M的點(diǎn)p的軌跡長(zhǎng)度為-

4

D.滿足"PLAN的點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為交

4

【答案】C

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決此題，對(duì)于A,利用兩個(gè)特殊點(diǎn)求出W+PD]的值,

判斷后在此范圍內(nèi)即可；對(duì)于B,利用向量垂直數(shù)量積等于零解方程即可求尸點(diǎn)坐標(biāo)；對(duì)于C,D利用

向量垂直數(shù)量積等于零可求P點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)圖形找到P點(diǎn)的軌跡求長(zhǎng)度即可.

【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則41,0,0),，(0,0,1),M(l,1,0),GOU」)，

動(dòng)點(diǎn)。設(shè)為尸

10

3

對(duì)于A,點(diǎn)/關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為Mi(1,于0),

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸在點(diǎn)時(shí)，止匕時(shí)(PM+PQJmm=0M=jl+(|)2+l=半<括,

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在點(diǎn)G時(shí)，此時(shí)PM+PD,=GA+CAM=1+-=->45,

所以存在點(diǎn)P滿足9+尸￡>]=6,所以A正確；

—■1--

對(duì)于B,PM=-,-z),PD1=(-x,-l,l-z),

TT----?----?I

若ND\PM=3,則尸M?尸A=—x(l—x)+§—z(l—z)=0,

.1

x——

11211

化簡(jiǎn)得：(X—7)29+(2—79)2=0,解得1:,即尸(不JR,

221zz

z——

[2

滿足題意，所以B正確；

—.------1

對(duì)于C,AP=(X—l,l,z)?DXM=(1,—1),

—?------11

若則ZP.￡>iM=x—1+5—z=0,即z=x—5,

取8C中點(diǎn)E,AB1中點(diǎn)/，則點(diǎn)P的軌跡為線段所，長(zhǎng)度為注，所以C錯(cuò)誤;

2

—?1-------1

對(duì)于D,MP=(x-l,-,z),=

—?------13

若則=x—1+^—z=0,即2=》—

取時(shí)中點(diǎn)X,BE中點(diǎn)、K,則點(diǎn)尸的軌跡為線段〃K,長(zhǎng)度為注，所以D正確.

4

故選：C.

第二部分(非選擇題，共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

22

11.橢圓土+匕=1的離心率是

94

【答案】工1

3

【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)方程，求出。，h,然后求解c,即可求解離心率.

11

22

【詳解】橢圓二+匕=1的長(zhǎng)半軸為。=3,短半軸為6=2,則半焦距為

94

所以橢圓的離心率為：e=-=^-.

a3

故答案為更.

3

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題.

12.已知直線4：(m+2)x+y+l=0,Z2：5x+(m-2)y+l=0.若入〃人,則實(shí)數(shù)冽的值為

【答案】一3

【分析】根據(jù)兩直線平行的條件列式求解即可.

【詳解】若/i〃，2,則(冽+2)(掰—2)—5=0,解得加=3或加=—3,

當(dāng)冽=3時(shí)，直線4：5x+y+l=0與I：5x+3y+l=0重合，不符合題意；

當(dāng)冽=—3時(shí)，直線4：-x+y+1=0l2-5x—5y+1=0,符合題意，

綜上，m=-3

故答案為：一3.

13.在正三棱柱4BC-481G中，AB=2,AA1=也,則異面直線2及與3cl所成角的大小為

7T

【答案】-

2

【分析】利用異面直線夾角的向量求法建立空間直角坐標(biāo)系計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】分別取8C,8￡的中點(diǎn)QQ,連接/0,00],

由正三柱性質(zhì)可知Z0,8C,00],

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4,。8,。。1所在直線分別為》,八2軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

y

12

又斯”贏尚且西畫〉小可

所以（福，屬

7T

故答案為：一

2

14.已知點(diǎn)P是圓（x—l『+/=1上的動(dòng)點(diǎn)，直線4：3x-4v+7=0,/2：3x-4y+m=0,記尸到

直線/],』2的距離分別為4，d2（若尸在直線上，則記距離為0）,

（1）4的最大值為；

（2）若當(dāng)點(diǎn)尸在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4+4為定值，則加的取值范圍是.

【答案】①.3②.（一”,—8]

【解析】

【分析】（1）根據(jù)圓上點(diǎn)到直線的距離最大值為圓心到直線的距離加半徑求解即可；

（2）根據(jù)4+刈為定值，分析得到圓的位置，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求解.

【詳解】（1）圓（X-1）2+y2=],圓心解0）,半徑為1,

|3xl-4x0+7|

圓心到直線丸的距離d=收+（一=2，

所以尸到直線4的距離4的最大值為67+1=3；

（2）

當(dāng)加=7時(shí)，兩直線重合，不符題意；當(dāng)他W7時(shí)，直線72平行，

13

若當(dāng)點(diǎn)尸在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4+〃2為定值，所以圓在兩平行線之間，此時(shí)直線，2與圓相離，

|3xl-4x0+m|

所以"=一/、221,解得加＞2或加＜—8，

次+（-4）

又因?yàn)楫?dāng)加＞2時(shí)，直線/],，2在圓同側(cè)，不符合題意，所以加＜-8,

故答案為：3,（-℃,-8].

15.伯努利雙紐線（簡(jiǎn)稱雙紐線）是瑞士數(shù)學(xué)家伯努利（1654-1705）在1694年提出的.伯努利將橢圓的

定義作了類比處理，指出是到兩個(gè)定點(diǎn)距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡是雙紐線.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，到定點(diǎn)/（-。,0）,5（。,0）的距離之積為力（口＞0）的點(diǎn)的軌跡C就是伯努

利雙紐線，C的方程為（—+/）2=2/12一/）,其形狀類似于符號(hào)oo,若點(diǎn)P（Xo，比）是軌跡C上一

點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①曲線C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；

②聞《同恒成立;

③曲線C上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過(guò)、/5a；

④當(dāng)|%|=。時(shí)，Jo取得最大值或最小值.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②③

【解析】

【分析】根據(jù)曲線的方程，結(jié)合對(duì)稱性的判定方法，聯(lián)立方程組，以及不等式和三角形面積，逐項(xiàng)判定,

即可求解.

在曲線。上任取一點(diǎn)M（xj）,關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為M'（-x,-y）,

代入曲線。的方程，可知九T在曲線C上，所以曲線C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，故①正確;

因?yàn)辄c(diǎn)P（Xo，%）是軌跡C上一點(diǎn)，所以（x；=2/（X；-了；），

14

因?yàn)?焉+/丫20,所以=2/1；一呼拉0,即

所以閭《同，故②正確；

因?yàn)?%2+/)2=2a2卜2_,)<2片卜2+力，所以爐+y2<2a,

所以卜+/v岳,所以曲線C上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過(guò)后。，故③正確；

因?yàn)镻(x。,比),所以S-FA=||PF1HPF2|-sinZF1PF2=^|F1F2Hj；0|,

2

又|PFX|?|PF2|=a,所以/sinNF^PF?=2a-\y0\,即|y01=^sinNF^PF?<3,

所以當(dāng)/耳PR='時(shí)等號(hào)成立，故④錯(cuò)誤，

故答案為：①②③

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查曲線的軌跡及其性質(zhì)的問(wèn)題，同時(shí)需要結(jié)合解三角形的方法對(duì)所給信息進(jìn)

行辨析.

三、解答題共6小題，共85分.解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、驗(yàn)算步驟或證明過(guò)程.

16.已知直線/：(2%+l)x+(%—l)y—5%—1=0,4eR.

(1)當(dāng)直線/與直線x+2y=0垂直時(shí)，求X的值；

(2)設(shè)直線/恒過(guò)定點(diǎn)P,求尸的坐標(biāo)；

(3)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)X,直線/與圓必+/=/(尸>0)總有公共點(diǎn)，直接寫出r的取值范圍.

【答案】(1)2=；(2)P(2,l)(3)r>V5

【解析】

【分析】(1)根據(jù)直線與直線垂直關(guān)系列方程即可求得X的值；

(2)將直線方程轉(zhuǎn)化為x—>—l+2(2x+y—5)=0,列方程組解得定點(diǎn)坐標(biāo)即可；

(3)根據(jù)直線與圓位置關(guān)系結(jié)合點(diǎn)與圓位置關(guān)系求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)直線I：(2%+1)%+(%-1)》一5%-1=0與直線X+2^=0垂直時(shí)，

可得(22+l)xl+(X—1)x2=44—1=0,解得2=；；

【小問(wèn)2詳解】

15

直線/：(2%+l)x+(%-l)y-5%—1=0方程整理得x—y—1+A(2x+y-5)=0,

x-y-1=0,fx=2,

令L-u八，解得4,

2x+,v-5=0[y=i,

即直線/恒過(guò)定點(diǎn)P(2,l)；

【小問(wèn)3詳解】

對(duì)任意的實(shí)數(shù)2,直線/與圓％2+儼=/(尸＞0)總有公共點(diǎn)，

則直線/恒過(guò)定點(diǎn)P(2,l)在圓上或者圓內(nèi)，貝“=石＜r,

即r＞V?.

17.已知OC經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(0,—2),5(3,1),并且圓心C在直線y=2x—8上，

(1)求。。的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線/與。C交于M,N兩點(diǎn)，若pW|=4后，求/的方程.

【答案】(1)(X-3)2+(J+2)2=9(2)x=2或3x+4y—6=0.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)圓的幾何性質(zhì)確定線段48的垂直平分線方程，從而聯(lián)立直線可得圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓

的定義得半徑，從而得圓的方程；

(2)根據(jù)直線與圓相交弦長(zhǎng)公式，分直線斜率存在與不存在兩種情況驗(yàn)證求解直線方程即可.

【小問(wèn)1詳解】

3

因?yàn)?(0,—2),5(3,1),則3B=1,且線段N3中點(diǎn)為

2，-2

則線段的垂直平分線的斜率為—1,故其方程為y+g=—1x—g],即x+y—l=0,

由圓的對(duì)稱性知點(diǎn)C在/8的垂直平分線上，

x+y-1=0,[x=3./、

因此聯(lián)立《工。解得|即點(diǎn)。(3,-2),

y=2X-89[y=-2,

又因?yàn)閞=|/C|=3,所以圓C：(x—3y+(y+2)2=9.

【小問(wèn)2詳解】

16

圓心C（3,-2）,半徑r=3

當(dāng)4的斜率不存在時(shí)，/-x=2,則圓心C到直線4的距離為d=l,

此時(shí)相交弦長(zhǎng)=24—/=472,滿足題意；

當(dāng)4的斜率存在時(shí)，設(shè)/-y=k[x-2）,即依一y一2左=0,

因?yàn)橄嘟幌议L(zhǎng)|〃乂|=2/2—/=472,

\2k+2-2k\3

所以C到4的距離為d=解得力=—三,

J1+左24

止匕時(shí)，直線3x+4j-6=0,

綜上，直線/1的方程為x=2或3x+4y—6=0.

18.已知橢圓C：W+'=l（a〉b〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為公卜后0）和心（6,0）,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)尸為橢圓C上一點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)X使得|尸片|+|。工|=?戶朋$求2的取值范圍.

f「4廠]

【答案】⑴—+y2=l（2）-,2V6.

4》[3」

【分析】（1）根據(jù)橢圓。，仇c的關(guān)系列方程組求得。，仇c的值，即可得橢圓方程；

（2）根據(jù)橢圓的定義可得歸公|+|尸乙]=4,再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式結(jié)合點(diǎn)在橢圓上求解歸用|的取值范圍,

即可得所求.

【小問(wèn)1詳解】

c=V3,a=2,

由題知＜2。=4,解得＜b=l,

a2=b2+c2,c=y/3,

2

所以，C的方程為二+y2=l.

4

【小問(wèn)2詳解】

由橢圓的定義可知|P團(tuán)+|「用=4,

17

設(shè)點(diǎn)P3，yo)，其中乎需=1,則點(diǎn)=1言,

x_2x

所以1PM2=(o!)+^2='|o-2x0+2=51-']+g,

因?yàn)椤?4x°＜2,所以＜9,即豐＜|.區(qū)3

4半，升=一2時(shí)，削=3,

當(dāng)且僅當(dāng)/=§時(shí)，\PM\=

|期|+忸閭，所以

因?yàn)闅w團(tuán)+歸閭=4對(duì)4貝!M=Xe1,276

\PM\

綜上所述，X的取值范圍是1,2A/6

19.如圖，在三棱臺(tái)48C—48]G中，若4力，平面4BC,4B，ZC,48=ZC=44]=2,4G=1,N

為48中點(diǎn)，/為棱BC上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）.

（1）若河為8C的中點(diǎn)，求證：&N//平面G〃z.

（2）是否存在點(diǎn)M,使得平面與平面NCG4所成角的余弦值為逅？若存在，求出長(zhǎng)度;

6

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見解析（2）迪

3

【分析】（1）利用三角形中位線定理，結(jié)合平行四邊形的判定定理和性質(zhì)、線面平行的判定定理進(jìn)行證

明即可;

18

(2)利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

連接NM,

因?yàn)镹為43中點(diǎn)，M為5c的中點(diǎn)，

所以NM//AC,NM=；AC,

因?yàn)?8C—481G是正三棱臺(tái)，4。=1，2。=2,

所以4G///c,4G，

于是有TW//4G，NA/=：4G，

因此四邊形NMCH是平行四邊形，

所以4N//C]M,4N(Z平面QMA,QMu平面QMA,

所以&N//平面

【小問(wèn)2詳解】

假設(shè)存在點(diǎn)M,使得平面C.MA與平面ACC.A,所成角的余弦值為逅

6

因?yàn)锳1A±平面ABC,AB,ACu平面ABC,

所以,而

所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

19

Z（0,0,0），G（0」,2）,8（2,0,0）,C（0,2,0）,M（x,y,z）,

設(shè)蕭=2陽(yáng);Ie（0,1））n（x—2,y,z）=X（—2,2,0）nM（2-22,22,0）,

設(shè)平面C】K4的法向量為浣=（生"c）,

ZQ=（O,1,2）,1M=（2-22,22,0,）,

m-AC,-b+2c=0

所以有《——.、=＞應(yīng)=

m-AM=（2-2A）a+2Ab=Q

因?yàn)锳B1AC,AA1HAC=A,AA1,AC=A,

所以48,平面NCG4，所以平面ZCG4的法向量為罰=（28,0），

42

|m-y15|V6

cos（m.AB1^1

所以6，

PPP+（-2）2+12X2

1（42

解得2=:，2=-1舍去，即A/Jw，彳,0

3133

20.平面直角坐標(biāo)系x°y中，點(diǎn)M到點(diǎn)/（0,1）的距離比它到x軸的距離多1,記點(diǎn)M的軌跡為C.

（1）求軌跡C的方程；

（2）設(shè)斜率為左的直線/過(guò)定點(diǎn)P（l,0）,若直線/與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

,[4y,y>0「\

【答案】（1）-=八"（2）0,1）.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意列出等量關(guān)系并整理即可得出軌跡C的方程；

（2）分情況將曲線C與直線方程聯(lián)立，根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)求得實(shí)數(shù)左的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)點(diǎn)M（x,y）,由題知商+（y_1）2=回+1，