2024-2025學(xué)年北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：有理數(shù)及其運(yùn)算（原卷版）

清單02有理數(shù)及其運(yùn)算（22個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

有

理

數(shù)

及

其

運(yùn)T交換律）

算T運(yùn)算律I一-1結(jié)合律I

，分類律

有理數(shù)的運(yùn)算一T加減

|w|j-|薪

q乘方

T科學(xué)記數(shù)法，有效數(shù)拈近似數(shù)|

【清單01】正數(shù)和負(fù)數(shù)

（1）概念

正數(shù)：大于。的數(shù)叫做正數(shù)。

負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上負(fù)號(hào)“一”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。

注：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù)。

（不是帶“一”號(hào)的數(shù)都是負(fù)數(shù)，而是在正數(shù)前加“一”的數(shù)。）

（2）意義：在同一個(gè)問(wèn)題上，用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量。

【清單02】有理數(shù)

（1）概念

整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。

分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)。（有限小數(shù)與無(wú)限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。）

注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)，負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱

為非正整數(shù)。

(2)分類：兩種

⑴按正、負(fù)性質(zhì)分類:⑵按整數(shù)、分?jǐn)?shù)分類:

「正有理數(shù)正整數(shù)正整數(shù)

有理數(shù)正分?jǐn)?shù)整數(shù)40

l-t-J

李有理數(shù)負(fù)整數(shù)

,負(fù)有理數(shù)「負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)「正分?jǐn)?shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

【清單03】數(shù)軸

(1)概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。

三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度

(2)對(duì)應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的點(diǎn)和有理數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。

「比較大?。涸跀?shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

(3)應(yīng)用j求兩點(diǎn)之間的距離：兩點(diǎn)在原點(diǎn)的同側(cè)作減法，在原點(diǎn)的兩側(cè)作加法。

(注意不帶“+”“一”號(hào))

【清單04】相反數(shù)

(1)概念代數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做相反數(shù)。(0的相反數(shù)是0)

幾何：在數(shù)軸上，離原點(diǎn)的距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)叫做相反數(shù)。

(2)性質(zhì)：若a與b互為相反數(shù)，貝?。輆+b=0,即a=-b；反之，

若a+b=0,則a與b互為相反數(shù)。

「兩個(gè)符號(hào)：符號(hào)相同是正數(shù)，符號(hào)不同是負(fù)數(shù)。

(3)多重符號(hào)的化簡(jiǎn)-

-多個(gè)符號(hào)：三個(gè)或三個(gè)以上的符號(hào)的化簡(jiǎn)，看負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)

(注意：當(dāng)“一”號(hào)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)時(shí)，結(jié)果取正號(hào)當(dāng)“一”號(hào)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)時(shí)，結(jié)果取負(fù)號(hào))

【清單05】絕對(duì)值

(1)幾何意義：一個(gè)數(shù)的數(shù)量大小叫作這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。

廠個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身(若|a|=|b|,貝1J2=1)或&=-1))

(2)代數(shù)意義j一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)

0的絕對(duì)值是0

(3)代數(shù)符號(hào)意義：

-a>0,|a|=a反之，|a|=a,則a20,|a|=-a,則a=0|

-a=0,|a|=0

_a<0,|a|=-a

注：非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，非正數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。

(4)性質(zhì)：絕對(duì)值是a(a>0)的數(shù)有2個(gè)，他們互為相反數(shù)。即土a。

(5)非負(fù)性：任意一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都大于等于零，即間\0。幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等

于0。故若|a|+|b|=0,則a=0,b=0

1.數(shù)軸比較法：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

(6)比較大小

L2.代數(shù)比較法：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。

兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小時(shí)，絕對(duì)值大的反而小。

【清單07】加法法則

⑴同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。

⑵絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。

互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0o

⑶一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。

【清單08】加法運(yùn)算定律

(1)加法交換律：兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a+b=b+a

(2)加法結(jié)合律：在有理數(shù)加法中，三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變。

即a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)

【清單09】減法法則

減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。即a—b=a+(-)b

【清單10】乘法法則

(1)兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。

(2)任何數(shù)同0相乘，都得0。

(3)多個(gè)不為0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積為正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積為負(fù)數(shù)，即先確

定符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘，絕對(duì)值的積就是積的絕對(duì)值。

(4)多個(gè)數(shù)相乘，若其中有因數(shù)0,則積等于0；反之，若積為0,則至少有一個(gè)因數(shù)是0。

【清單11】乘法運(yùn)算定律

(1)乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即aXb=ba

(2)乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等。即aXbXc=(aXb)

Xc=aX(bXc)。

(3)乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，在把積相加即aX(b+c)=

aXb+aXc()

【清單12】倒數(shù)

(1)定義：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。

(2)性質(zhì)：負(fù)數(shù)的倒數(shù)還是負(fù)數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)。

注意：①0沒(méi)有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)為±1.

【清單13】除法法則

(1)除以一個(gè)(不等于0)的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

(2)兩個(gè)數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。

(3)0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。

【清單01】乘方法則運(yùn)算

(1)正數(shù)的任何次事都是正數(shù)

(2)負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次事是正數(shù)

(3)0的任何正整數(shù)次第都是0

【清單01】混合運(yùn)算

(1)先乘方，再乘除，最后加減。

(2)同級(jí)運(yùn)算，從左到右的順序進(jìn)行。

（3）如有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)，中括號(hào)，大括號(hào)依次進(jìn)行。在進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算時(shí)，要分兩

步走：先確定符號(hào)，再求值。

【清單01】科學(xué)計(jì)數(shù)法

1.科學(xué)記數(shù)法概念：把一個(gè)大于10的數(shù)表示成axion的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n為正整數(shù)）。

這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法。（lW|a|<10）

注：一個(gè)n為數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為aX10"i

2.近似數(shù)的精確度：兩種形式

（1）精確到某位或精確到小數(shù)點(diǎn)后某位。

（2）保留幾個(gè)有效數(shù)字

注：對(duì)于較大的數(shù)取近似數(shù)時(shí)，結(jié)果一般用科學(xué)記數(shù)法來(lái)表示

例如：256000（精確到萬(wàn)位）的結(jié)果是2.6X105

3.有效數(shù)字：從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)非。數(shù)字起，到末尾數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)。

注：

（1）用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時(shí)，只看乘號(hào)前面的數(shù)字。例如：3.0X104的有效數(shù)字是3o

（2）帶有記數(shù)單位的近似數(shù)的有效數(shù)字，看記數(shù)單位前面的數(shù)字。

例如:2.605萬(wàn)的有效數(shù)字是2,6,0,5o

型需單

【考點(diǎn)題型一】正負(fù)數(shù)

【典例1】《夏陽(yáng)候算經(jīng)》說(shuō)：“滿六以上，五在上方.六不積算，五不單張.”意思就是說(shuō)，在用算籌

計(jì)數(shù)時(shí)，1?5分別以縱橫方式排列相應(yīng)數(shù)目的算籌來(lái)表示，6?9則以上面的算籌再加下面相應(yīng)的算籌

來(lái)表示.我國(guó)是世界上最早使用負(fù)數(shù)的國(guó)家，在《九章算術(shù)》中，記載了我國(guó)古代在算籌上面斜著放

一支算籌表示負(fù)數(shù)的方法.如:II=TTT'表不+238,則JI表不—238.那么，

I=T’表示的數(shù)是（）

A.-136B.+136C.-132D.+132

【變式1-1】如果向南走10米記作+10米，那么向北走5米記作（）米

A.+5B.+15C.0D.-5

【變式1-2】體育老師對(duì)六年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了仰臥起坐測(cè)試.以每分鐘25個(gè)為達(dá)標(biāo)，記作0.小明的成績(jī)

記作-2,則他仰臥起坐的個(gè)數(shù)是（）

A.27B.24C.23D.25

【變式1-3］如果節(jié)約用電30千瓦時(shí)記作+30千瓦時(shí)，那么浪費(fèi)用電20千瓦時(shí)可以記作（）

A.一50千瓦時(shí)B.一30千瓦時(shí)C.-20千瓦時(shí)D.+20千瓦時(shí)

【考點(diǎn)題型二】相反意義的量表示

【典例2】早在公元前2世紀(jì)，中國(guó)古代勞動(dòng)人民就認(rèn)識(shí)到負(fù)數(shù)的存在.如果把收入8元記作+8元,

那么支出6元記作（）

A.一6元B.—8兀C.+6元D.+8元

【變式2-1】中國(guó)是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義，并進(jìn)行負(fù)數(shù)運(yùn)算的國(guó)家.若糧庫(kù)把運(yùn)進(jìn)20噸糧食

記為“+20”，則“-20”表示（）

A.賣(mài)掉20噸糧食B.運(yùn)出20噸糧食C.吃掉20噸糧食D.虧損20噸糧食

【變式2-2】如果向東走8m,記作+8m,那么向西走10m,記作.

【變式2-3】一次數(shù)學(xué)測(cè)試，如果80分為優(yōu)秀，以80分為基準(zhǔn)簡(jiǎn)記，例如90分記為+10,那么70分

應(yīng)記為分.

【考點(diǎn)題型三】有理數(shù)的概念辨析

【典例3】下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）

①有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的差都是有理數(shù)；

②無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)；

③無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)；

④兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和不一定是無(wú)理數(shù)；

⑤無(wú)理數(shù)分為正無(wú)理數(shù)、零、負(fù)無(wú)理數(shù).

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【變式3-1】在-1,0,-6.8和2024這五個(gè)有理數(shù)中，正數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式3-2】如果a為有理數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.一a一定是負(fù)數(shù)B.2a是偶數(shù)C.|可是正數(shù)D.（-a）3=-a3

【變式3-3］在0,p1.3434434443...,y,3.14中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【考點(diǎn)題型四】有理數(shù)的分類

【典例4】把下列各數(shù)分別填在它所在的集合里:

—5,—2004,—(—4),弓，+(—5)，—13|,-36%,0,6.2

(1)正有理數(shù)集合｛｝

(2)負(fù)有理數(shù)集合｛｝

(3)分?jǐn)?shù)集合｛｝

(4)非負(fù)整數(shù)集合｛｝

【變式4-1】把下列各數(shù)填入它所在數(shù)集的大括號(hào)內(nèi)：

107T??

一2.4,3,7.004,-y,I，-0.15,0,-(-6.28)-14,-|-4|

正有理數(shù)集合：｛

非負(fù)整數(shù)集合：｛…｝

負(fù)分?jǐn)?shù)集合：｛...｝

1221

【變式4-2］把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合：0,-7,5.6,-4.8,—%，15-

整數(shù)集合(

分?jǐn)?shù)集合(...)

非負(fù)數(shù)集合(…)；

負(fù)數(shù)集合(

【變式4-3】把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)：

12,22

—4,10%,—1-1—2,101,—1.5,0,0.6,—3,―,—3.1；

正數(shù)集合：｛____________________

負(fù)數(shù)集合：｛____________________

負(fù)分?jǐn)?shù)集合：｛____________________

整數(shù)集合：｛___________________

非負(fù)數(shù)集合：｛

【考點(diǎn)題型五】有理數(shù)的大小比較

【典例5】如果—1<。<0,那么關(guān)于—a,a,!三者的大小關(guān)系，下列正確的是()

1

A.-aV—a<aB.—aV—CL<CL

1

C.aV—u<Za~D.—aVa<-CL

【變式5-11—1、0、—2的大小順序是().

11

A.—>0>—1>-2B.-1<-2<-<0

1-1

C.0>—2>-1D.-2>-l>->0

【變式5-2】大于-3.5且小于2.3的整數(shù)共有()

A.6個(gè)B.5個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)

11

【變式5-3】比較大?。?5-5（填“”y"或“=”）

【考點(diǎn)題型六】數(shù)軸的三要素及其畫(huà)法

【典例6】如圖各圖中，表示的數(shù)軸正確的是（）

II__________|_______|_____|_________|L

A.-3-2-10123

II1I11A

B.-3-2-1123

―?--------1---------1-?

C.-101

____I______I___________II?

D.-1012

【變式6-1】下圖中是數(shù)軸的為（）

----------'------------>

A.0B.210-1-2

_______IIIII___________

C.-2-1012-2-1012

【變式6-2】下列是四位同學(xué)畫(huà)的數(shù)軸，正確的是（）

C.通<_?3WD.

【變式6-3】下列圖形表示數(shù)軸正確的是（）

【考點(diǎn)題型七】利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

【典例7】在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：—|,0,-4,（一2）2,|一3且，并用號(hào)把它們連接起來(lái).

II___I___|___|___|___|___|___I?

-4-3-2-101234

【變式7-1］有理數(shù)〃，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是（）

-b=46~~ai>

A.a+b>0B.b-a<0C.ab>0D.\a\>\b\

【變式7?21若有理數(shù)〃在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則〃，-a,-1的大小關(guān)系是（）

鵬息13

A.CL<—CL<-1B.-aVa<—1C.-aV—1VuD.CLV—1<-CL

【變式7-3］把下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)，并將各數(shù)按從小到大的順序排列，用連接.

21，一萬(wàn)，—（+3），|—3|?0.

-5-4-3-2-101234

【考點(diǎn)題型八】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離

【典例8】在數(shù)軸上，距離表示數(shù)-2的點(diǎn)4個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)是()

A.-6B.6C.2D.一6或2

【變式8-1】數(shù)軸上與原點(diǎn)距離是2的點(diǎn)有兩個(gè)，它們表示的數(shù)是()

A.一2和0B.2和0

C.一2和2D.一1和1

【變式8-2】數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)為-3,與點(diǎn)P距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示的數(shù)為.

【變式8-3】如果數(shù)軸上的點(diǎn)4對(duì)應(yīng)的數(shù)為3,那么與點(diǎn)4相距4個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為.

【考點(diǎn)題型九】數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

【典例9】【閱讀材料】若數(shù)軸上點(diǎn)力、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a,b(6>a),則力、B兩點(diǎn)間的距離可表示

為b-a,記作AB=b—a.

【解決問(wèn)題】一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開(kāi)始，先向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)4再向右移動(dòng)10個(gè)單位

長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B.

(1)請(qǐng)畫(huà)出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標(biāo)出爾B兩點(diǎn)的位置；

(2)若動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)48同時(shí)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng).已知點(diǎn)P的速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q

的速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).

①用含t的代數(shù)式表示：t秒時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)Q表示的數(shù)為；

②t為何值時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)與點(diǎn)Q表示的數(shù)互為相反數(shù)？

③t為何值時(shí)，P,Q兩點(diǎn)之間的距離為4?

【變式9-1】已知數(shù)軸上/、2兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、b,且滿足|a+l|=-(6—3)2

AB

------------1----1------------1--------->

(1)求點(diǎn)/、5兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)是；

(2)若點(diǎn)P所表示的數(shù)為8,現(xiàn)有一只電子螞蟻從點(diǎn)尸出發(fā)，以2個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一

秒時(shí)，P到A的距離剛好等于P到B的距離的2倍.

【變式9-2】如圖，點(diǎn)4表示的數(shù)是—5.

AB

J111111111A

(1)在數(shù)軸上表示出原點(diǎn)。；

(2)點(diǎn)B表示的數(shù)是；

(3)將點(diǎn)B向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)C,那么點(diǎn)C表示的數(shù)是；

(4)在數(shù)軸上找點(diǎn)。，使點(diǎn)。到4、C兩點(diǎn)的距離相等，那么點(diǎn)。表示的數(shù)是

(5)點(diǎn)E在數(shù)軸上，與點(diǎn)B的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度，那么點(diǎn)E表示的數(shù)是.

【變式9-31點(diǎn)4B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,4、B兩點(diǎn)之間的距離表示為48,在數(shù)軸上4、8兩

點(diǎn)之間的距離4B=\a-b\.利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問(wèn)題：

⑴數(shù)軸上表示4和8兩點(diǎn)之間的距離是.

(2)數(shù)軸上表示%和7的兩點(diǎn)之間的距離表示為.

(3)若久表示一個(gè)有理數(shù)，則|x—2|+|x+4|的最小值=.

(4)已知，如圖4B分別為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，4點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為-10,B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為90.若當(dāng)電子螞蟻P從

B點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以3個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從4點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速

度向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)的時(shí)間兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距40個(gè)單位長(zhǎng)度？

4擘

【考點(diǎn)題型十】倒數(shù)的概念和相反數(shù)的概念

【典例10］-6的倒數(shù)是（）

_1

A.6B.-6cJ-6D.~6

【變式10-11-2023的相反數(shù)是（)

]

c—^―D.

A.-2023B.202320232023

【變式10-2］—9的倒數(shù)是（）

334

---C-

A.4B.43D.以上答案都不對(duì)

【變式10-3】下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）

A.3和1B.3和—3C.和:D.1和—（一g）

【考點(diǎn)題型十一】相反數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用

【典例11］已知a+4與2互為相反數(shù)，那么a=.

【變式11-1］若6、n互為相反數(shù)，則|加一5+旬=.

【變式11-2】若a,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，則3（a+b）—4（cd）=

【變式11-3］若（a—2）2與區(qū)+3|互為相反數(shù)，貝必-6=

【考點(diǎn)題型十二】絕對(duì)值定義、絕對(duì)值的性質(zhì)

【典例12】一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于;，則這個(gè)數(shù)是_______.

4-

【變式12-1】-3的絕對(duì)值是（）

A.-3B.3C.D.1

【變式12-2］若d=9,|y|=4,且x<y,則x-y的值為（）

A.±7B.±1C.一7或-1D.7或一1

【變式12-3】化學(xué)老師在實(shí)驗(yàn)室中發(fā)現(xiàn)了四個(gè)因操作不規(guī)范沾染污垢或被腐蝕的祛碼，經(jīng)過(guò)測(cè)量，超

出標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的部分記為正數(shù)、不足的部分記為負(fù)數(shù)，它們中質(zhì)量最接近標(biāo)準(zhǔn)的是（）

A.B.C.D.

【考點(diǎn)題型十三】化簡(jiǎn)絕對(duì)值

【典例13】已知有理數(shù)4、b、。在數(shù)軸上位置如圖所示，化簡(jiǎn)：|a+l|一|c-b|—|a+b+c|.

【變式13-1】有理數(shù)冽、〃在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則下列各式子正確的是()

——?-----------1---------------1---------?

mn0

A.\m-n\=m-nB.\m-n\=n-mC.\n-m\=n^mD.\m-n\=-m-n

【變式13-2］若a>0,瞿=；若a<0,瑞=；

①若高+卷則粵=---------；

②若abc<0,則卷+卷+畝=.

【變式13-3］已知x為有理數(shù)，則|x+5|+|x—3|的最小值是.

【考點(diǎn)題型十四】非負(fù)性的性質(zhì)

【典例14］已知(x+y+3)2+|2x—4|=0,則丫=.

【變式14-1］已知佃一3|+(4—b)2=0則a+b=.

【變式14-2】已知|3a—9|+(4+b『=0,則.

【考點(diǎn)題型十五】有理數(shù)的加減運(yùn)算

【典例15】計(jì)算：

(1)5.6+4.4+(-8.1)(2)(-7)+(-4)+(+9)+(-5)

(3)14+(-23)+56+(-14)+(-13)(4)5|+(-5|)+4|+(-1)

【變式15-1］不改變?cè)降闹担瑢?-(+3)-(-7)+(-2)中的減法改成加法并寫(xiě)成省略加號(hào)和的形式是

()

A.-6-3+7-2B.6—3—7—2

C.6—3+7—2D.6+3—7—2

【變式15-2］計(jì)算：

(1)(-7)-(-5)+(-4)-2

(3)(-3.2)+12.5+(-16.8)-(-2.5)(4)—14—(―2)—|—3|+4

【變式15-3】計(jì)算：

(1)(+18)-(+6)-(+19)—(一20)—(一5)；

(2)(+4|)-(+3|)一(一3》一(+1|).

【考點(diǎn)題型十六】有理數(shù)乘除法運(yùn)算

【典例16】計(jì)算：

⑴25+(-5)*"+(一|)；⑵l"(-10)x(—39+(-3|).

【變式16-1】計(jì)算：,十(一4+|)x(一|)

【考點(diǎn)題型十七】有理數(shù)的乘方

【典例17】下列各組數(shù)中，最后運(yùn)算結(jié)果相等的是()

A.1()2和54B.-42和(—4)2

C.-53和(一5>D.§和(|)3

【變式17-1】生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測(cè)種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型.在營(yíng)養(yǎng)和生存

空間沒(méi)有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過(guò)分裂來(lái)繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2.來(lái)表示即；21=2,22

=4,23=8,24=16,25=32,…，請(qǐng)你推算?2。24的個(gè)位數(shù)字是()

A.6B.4C.2D.8

【變式17-2］對(duì)于式子(-3>,下列說(shuō)法正確的是()

A.指數(shù)是—3B.底數(shù)是3C.塞為-9D.表示3個(gè)一3相乘

【考點(diǎn)題型十八】有理數(shù)混合運(yùn)算

【典例8】計(jì)算

22

(l)-3-|-5x|1-(_4)|

⑵16+(-2)3—(x(-4)+(-1產(chǎn)22

【變式18-1】計(jì)算：-l2023-(l-0.5)x|x[2-(-3)2]

【變式18-2］計(jì)算

1(2)—22-(—2)2+(—3)2x(-|)-42-|-4|

【變式18-3】計(jì)算：

(D(-n)+-5)+|-2|；(2)-22+5+(一9x(-2)-(1-32)x2；

【考點(diǎn)題型十九】算“24”點(diǎn)

【典例19】小明有5張寫(xiě)著不同數(shù)字的卡片，請(qǐng)你按要求選擇卡片，完成下列各問(wèn)題：

I-3II0II+3Ir+4-

(1)從中選擇兩張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字的乘積最大.這兩張卡片上的數(shù)字分別是，積為

(2)從中選擇4張卡片，每張卡片上的數(shù)字只能用一次，選擇加、減、乘、除中的適當(dāng)運(yùn)算(可加括

號(hào))，使其運(yùn)算結(jié)果為24,寫(xiě)出運(yùn)算式子及運(yùn)算過(guò)程.(寫(xiě)出一種即可)

【變式19-1】嘉嘉和琪琪在玩24點(diǎn)游戲，游戲規(guī)則是：從一副撲克牌中抽去大小王剩下52張，任意

抽取4張牌，把牌面上的數(shù)運(yùn)用你所學(xué)過(guò)的運(yùn)算（可以使用括號(hào)）得出24.每張牌都必須使用一次，

但不能重復(fù)使用.嘉嘉抽到的四張牌如下，請(qǐng)幫他寫(xiě)出一個(gè)計(jì)算結(jié)果為24的算式.

【變式19-2]“算24”是我國(guó)民間傳統(tǒng)的益智游戲，游戲規(guī)則為：隨機(jī)給出四個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)必用且僅能

用一次，只利用“加號(hào)、減號(hào)、乘號(hào)、除號(hào)”（可以重復(fù)使用）及括號(hào)（含小括號(hào)、中括號(hào)）連接，使得

四個(gè)數(shù)的運(yùn)算結(jié)果等于24.如：給出1、2、3、4四個(gè)數(shù)，則得到24的式子可以是：（1+2+3）

X4=24.

現(xiàn)給出“3、3、8、8”四個(gè)數(shù)，則得到24的式子可以是.

【變式19-3]“24點(diǎn)”游戲是一種益智游戲，要求玩家將4個(gè)給定的有理數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除四則混合

運(yùn)算（允許使用括號(hào)，每個(gè)數(shù)只能使用一次）使最后的計(jì)算是24.四個(gè)有理數(shù)-1,3,4,-5,請(qǐng)運(yùn)用

上述規(guī)則，使其結(jié)果為24,這個(gè)算式可以是.

【考點(diǎn)題型二十】科學(xué)計(jì)數(shù)法

【典例20】近日多彩貴州網(wǎng)訊，隨著氣溫持續(xù)回暖，各色杜鵑花陸續(xù)綻放，百里杜鵑景區(qū)也迎來(lái)了

2024年賞花旅游小高峰.百里杜鵑景區(qū)自3月30日以來(lái)，景區(qū)已接待游客約309000人次，較2023年

同期接待游客人次同比增長(zhǎng)55.88%.全國(guó)各地前來(lái)百里杜鵑游客絡(luò)繹不絕.309000這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)

法可表示為（）

465

A.30.9X10B.3.09x106CQ.309X10D.3.09x10

【變式20-1】2022年11月29日23時(shí)08分，我國(guó)神舟十五號(hào)載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，

并成功與“天宮一號(hào)”順利對(duì)接.據(jù)測(cè)量，“天宮一號(hào)”據(jù)地面高度大約為343000米，這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)

法表示為（）

A.3.43X103B.3.43XIO4C.34.3X105D.3.43X105

【變式20-2】新型冠狀病毒蔓延全球，截至到北京時(shí)間2020年6月20日，全球新冠肺炎累計(jì)確診病

例超過(guò)8500000例，數(shù)字8500000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.85X107B.85x105C.8.5x107D.8.5x106

【變式20-3】北京時(shí)間2022年11月30日，神舟十五號(hào)飛船與中國(guó)空間站對(duì)接成功，中國(guó)航天員首次

太空會(huì)師，中國(guó)空間站距離地球大約為400公里（400000米），請(qǐng)將400000米用科學(xué)記數(shù)法表示為

（）

A.4x105B.