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專題第03講二次函數(shù)的最值與存在性問(wèn)題(20題)
1.(2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末)在人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材P53的數(shù)學(xué)活動(dòng)中有這樣一段描述:如圖,四
邊形48C。中,AD=CD,AB=BC,我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”.
(1)試猜想箏形的對(duì)角線有什么位置關(guān)系,然后用全等三角形的知識(shí)證明你的猜想;
(2)已知箏形4BC。的對(duì)角線AC,8。的長(zhǎng)度為整數(shù)值,且滿足AC+8O=6.試求當(dāng)AC,8。的長(zhǎng)度
為多少時(shí),箏形的面積有最大值,最大值是多少?
2.(2023?蘇州一模)如圖,在中,ZB=90°,AB=3cm,BC=4c:w.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以lan/s
的速度沿A8運(yùn)動(dòng):同時(shí),點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā),2aMs的速度沿8c運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)C時(shí),P、。兩點(diǎn)
A
同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為r(s).—
?
(1)當(dāng)f為何值時(shí),△P8。的面積為2a/;p
(2)求四邊形PQC4的面積S的最小值.
BC
Q
3.(2023春?漢壽縣期中)如圖,拋物線y=a?+6x+c(aWO)與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)2(3,0),
與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),點(diǎn)。為直線。。與拋物線y=a/+bx+c(aWO)在無(wú)軸下方的一個(gè)交點(diǎn),點(diǎn)
產(chǎn)為此拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若直線。。為y=-1x,求點(diǎn)。的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,當(dāng)點(diǎn)尸在直線。。下方時(shí),求△P。。面積
的最大值.
4.(2023?鄴城縣一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=-/+6x+c的圖象與x軸交于A、8兩點(diǎn),
與y軸交于C(0,3),A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),8點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0).點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且在直
線的上方.
(1)求這個(gè)二次函數(shù)及直線的表達(dá)式.
(2)過(guò)點(diǎn)尸作尸軸交直線BC于點(diǎn)求尸。的最大值.
(3)點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn),問(wèn)在拋物線上是否存在點(diǎn)N,使△MM9為等腰直角三角形,且NNMO
5.(2023春?銅梁區(qū)校級(jí)期中)如圖,已知二次函數(shù)y=x2-3x-4的圖象與x軸交于8,C兩點(diǎn),與y軸交
于點(diǎn)。,點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn),連接CD
⑴求S&COD;
(2)如圖1,點(diǎn)尸在直線C£)下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PQLCO交于點(diǎn)。,過(guò)點(diǎn)P作PE〃x
軸交CD于點(diǎn)E,求PE+PQ的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,將拋物線沿著射線。C方向平移2A歷個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線n,點(diǎn)M在新拋
物線對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn),若以2、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以3M為邊的菱形,請(qǐng)直
接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo),并選擇其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出求解過(guò)程.
6.(2023?襄陽(yáng)模擬)已知拋物線y=ax1+bx+cQW0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-2,且)和N(2,-工)兩點(diǎn),且拋
22
物線與無(wú)軸交于A、8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)若點(diǎn)M是拋物線y=o?+bx+c的頂點(diǎn),求拋物線解析式及A、B、C坐標(biāo);
(2)在(1)的條件下,若點(diǎn)尸是A、C之間拋物線上一點(diǎn),求四邊形APCN面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P
的坐標(biāo);
7.(2023?崇川區(qū)校級(jí)開學(xué))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線>=0?+公+4交x軸于A(-4,0)、B(2,
0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,連接AC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P為線段AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作尸尸,AC,當(dāng)尸產(chǎn)最大時(shí),求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)以
及尸尸的最大值.
8.(2023?平潭縣模擬)如圖,已知拋物線y=ci?+法+3與無(wú)軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn)(點(diǎn)A在
點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),使得△MBC為直角三角形,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo).
(3)如圖1,尸為直線BC上方的拋物線上一點(diǎn),P3〃y軸交8c于。點(diǎn),過(guò)點(diǎn)。作。ELAC于E點(diǎn)?設(shè)
m=PD+^-DE,求m的最大值及此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo).
2
9.(2023?荔城區(qū)校級(jí)開學(xué))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=o?+fox+c交x軸于點(diǎn)A(-4,0)、
B(2,0),交y軸于點(diǎn)C(0,6),在y軸上有一點(diǎn)E(0,-2),連接AE.
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)。為拋物線在無(wú)軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求△?1£)£面積的最大值.
10.(2023?阜新)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=-#+bx-c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-3,0)
和點(diǎn)8(1,0),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.
(2)如圖1,二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與直線AC:y=x+3交于點(diǎn)。,若點(diǎn)M是直線AC上方拋物線上的
一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求面積的最大值.
(3)如圖2,點(diǎn)P是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)尸的直線/與8C平行,則在直線/上是否存在點(diǎn)。
使點(diǎn)8與點(diǎn)P關(guān)于直線CQ對(duì)稱?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
11.(2023?防城區(qū)二模)如圖1,已知拋物線>=辦2+樂(lè)+6與軸交于點(diǎn)A(2,0)和點(diǎn)3,與y軸交于點(diǎn)C,
ZABC=45°.
(1)求拋物線的解析式.
(2)如圖2,點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn),EF_Lx軸與BC交于凡求EF的最大值,并說(shuō)明此時(shí)△
BCE的面積是否最大.
(3)已知點(diǎn)0(-3,10),E(2,10),連接。E.若拋物線>=辦2+以+6向上平移左(左>0)個(gè)單位長(zhǎng)
度時(shí),與線段。E只有一個(gè)公共點(diǎn),請(qǐng)求出左的取值范圍.
12.(2023?明水縣模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=-/+6x+c的圖象與尤軸交于A、8兩
點(diǎn),與y軸交于C(0,3),A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),8點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且
在直線BC的上方.
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.
(2)連接PO、PC,并把△尸OC沿CO翻折,得到四邊形POPC,那么是否存在點(diǎn)P,使四邊形POPC
為菱形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),使△BPC的面積最大,求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)和△BPC的面積最大值.
13.(2023?晉中模擬)綜合與探究
如圖1,拋物線y=ax2+bx+|■與X軸交于點(diǎn)A(I,o),B(5,0),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)如圖2,若P是直線8c下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),連接P8,PC,過(guò)點(diǎn)P作尸。,于點(diǎn)。,求4
PBC面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和線段PD的長(zhǎng);
(3)若E是拋物線上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作EQ〃y軸,交直線8C于點(diǎn)。,拋物線上是否存在點(diǎn)E,使
以E,Q,O,C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明
14.(2022秋?曲周縣期末)如圖1,拋物線y=-?+及+0與x軸交于A(2,0),B(-4,0)兩點(diǎn).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若拋物線交y軸于C點(diǎn),在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△QAC的周長(zhǎng)最???若存在,
求出。點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)在拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P,使得aPBC的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及
15.(2022秋?云陽(yáng)縣期末)如圖,拋物線y=o?+6x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0),B(1,0),C(0,-3).
(1)求拋物線得解析式;
(2)若點(diǎn)尸為第三象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),設(shè)4c的面積為S,求S的最大值并求此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).
(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為。,OELx軸于點(diǎn)E,在y軸上確定一點(diǎn)使得是直角三角形,寫出
所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo),并任選其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),寫出求解過(guò)程.
16.(2023?涅中區(qū)校級(jí)開學(xué))如圖1,拋物線經(jīng)過(guò)A(-5,0),B(1,0),C(0,5)三點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P,使PB+PC的值最小,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,點(diǎn)M是線段AC上的點(diǎn)(不與A、C重合),過(guò)M作軸交拋物線于N,若點(diǎn)M的
橫坐標(biāo)為相,請(qǐng)用相的代數(shù)式表示的長(zhǎng),并求出的最大值.
圖
1圖2
17.(2023?太平區(qū)二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=o?+bx-3(a>0)與無(wú)軸交于A(-1,0)、
B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),于點(diǎn)M,PN〃y軸交8c于點(diǎn)N.求線段的
最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)E為x軸上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)。為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),是否存在以C。為斜邊的等腰直角三角形CE。?
若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
18.(2023?昭平縣二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線3與x軸交于點(diǎn)A,8(點(diǎn)A
在點(diǎn)8的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,且08=304=3.
(2)若點(diǎn)M是線段BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8,點(diǎn)C重合),過(guò)點(diǎn)M作直線MNLx軸于
點(diǎn)、D,交線段于點(diǎn)N.是否存在點(diǎn)M使得線段的長(zhǎng)度最大,若存在,求線段MN長(zhǎng)度的最大值,
若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)二次函數(shù)>=以2+笈-3的自變量x滿足tWxWr+1時(shí),此函數(shù)的最大值與最小值的差為2
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