2024-2025學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)上冊同步練習(xí)：二次函數(shù)的最值與存在性問題（20題）（原卷版）

專題第03講二次函數(shù)的最值與存在性問題(20題)

1.(2023春?鼓樓區(qū)校級期末)在人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材P53的數(shù)學(xué)活動中有這樣一段描述：如圖，四

邊形48C。中，AD=CD,AB=BC,我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”.

(1)試猜想箏形的對角線有什么位置關(guān)系，然后用全等三角形的知識證明你的猜想；

(2)已知箏形4BC。的對角線AC,8。的長度為整數(shù)值，且滿足AC+8O=6.試求當AC,8。的長度

為多少時，箏形的面積有最大值，最大值是多少？

2.(2023?蘇州一模)如圖，在中，ZB=90°,AB=3cm,BC=4c:w.點P從點A出發(fā)，以lan/s

的速度沿A8運動：同時，點。從點8出發(fā)，2aMs的速度沿8c運動.當點。到達點C時，P、。兩點

A

同時停止運動.設(shè)動點運動的時間為r(s).—

?

(1)當f為何值時，△P8。的面積為2a/；p

(2)求四邊形PQC4的面積S的最小值.

BC

Q

3.(2023春?漢壽縣期中)如圖，拋物線y=a?+6x+c(aWO)與x軸交于點A(-1,0),點2(3,0),

與y軸交于點C(0,-3),點。為直線。。與拋物線y=a/+bx+c(aWO)在無軸下方的一個交點，點

產(chǎn)為此拋物線上的一個動點.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若直線。。為y=-1x，求點。的坐標；

(3)在(2)的條件下，當點尸在直線。。下方時，求△P。。面積

的最大值.

4.(2023?鄴城縣一模)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=-/+6x+c的圖象與x軸交于A、8兩點,

與y軸交于C（0,3）,A點在原點的左側(cè)，8點的坐標為（3,0）.點P是拋物線上一個動點，且在直

線的上方.

（1）求這個二次函數(shù)及直線的表達式.

（2）過點尸作尸軸交直線BC于點求尸。的最大值.

（3）點M為拋物線對稱軸上的點，問在拋物線上是否存在點N,使△MM9為等腰直角三角形，且NNMO

5.（2023春?銅梁區(qū)校級期中）如圖，已知二次函數(shù)y=x2-3x-4的圖象與x軸交于8,C兩點，與y軸交

于點。，點A為拋物線的頂點，連接CD

⑴求S&COD;

（2）如圖1,點尸在直線C￡）下方拋物線上的一個動點，過點P作PQLCO交于點。，過點P作PE〃x

軸交CD于點E,求PE+PQ的最大值及此時點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，將拋物線沿著射線。C方向平移2A歷個單位長度得到新拋物線n，點M在新拋

物線對稱軸上運動，點N是平面內(nèi)一點，若以2、P、M、N為頂點的四邊形是以3M為邊的菱形，請直

接寫出所有符合條件的點N的坐標，并選擇其中一個點的坐標寫出求解過程.

6.（2023?襄陽模擬）已知拋物線y=ax1+bx+cQW0）經(jīng)過點M（-2,且）和N（2,-工）兩點，且拋

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物線與無軸交于A、8兩點（點A在點8的左側(cè)），與y軸交于點C.

（1）若點M是拋物線y=o?+bx+c的頂點，求拋物線解析式及A、B、C坐標；

（2）在（1）的條件下，若點尸是A、C之間拋物線上一點，求四邊形APCN面積的最大值及此時點P

的坐標；

7.（2023?崇川區(qū)校級開學(xué)）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線＞=0?+公+4交x軸于A（-4,0）、B（2,

0）兩點，交y軸于點C,連接AC.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點P為線段AC上方的拋物線上一動點，過P作尸尸，AC,當尸產(chǎn)最大時，求出此時P點的坐標以

及尸尸的最大值.

8.(2023?平潭縣模擬)如圖，已知拋物線y=ci?+法+3與無軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(點A在

點B的左側(cè)),與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若M為拋物線對稱軸上一動點，使得△MBC為直角三角形，請求出點M的坐標.

(3)如圖1,尸為直線BC上方的拋物線上一點，P3〃y軸交8c于。點，過點。作。ELAC于E點?設(shè)

m=PD+^-DE,求m的最大值及此時尸點坐標.

2

9.(2023?荔城區(qū)校級開學(xué))如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=o?+fox+c交x軸于點A(-4,0)、

B(2,0),交y軸于點C(0,6),在y軸上有一點E(0,-2),連接AE.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)若點。為拋物線在無軸負半軸上方的一個動點，求△?1￡)￡面積的最大值.

10.(2023?阜新)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=-#+bx-c的圖象與x軸交于點A(-3,0)

和點8(1,0),與y軸交于點C.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式.

(2)如圖1,二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線AC：y=x+3交于點。，若點M是直線AC上方拋物線上的

一個動點，求面積的最大值.

(3)如圖2,點P是直線AC上的一個動點，過點尸的直線/與8C平行，則在直線/上是否存在點。

使點8與點P關(guān)于直線CQ對稱？若存在，請直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

11.(2023?防城區(qū)二模)如圖1,已知拋物線>=辦2+樂+6與軸交于點A(2,0)和點3,與y軸交于點C,

ZABC=45°.

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖2,點E為第二象限拋物線上一動點，EF_Lx軸與BC交于凡求EF的最大值，并說明此時△

BCE的面積是否最大.

(3)已知點0(-3,10),E(2,10),連接。E.若拋物線>=辦2+以+6向上平移左(左>0)個單位長

度時，與線段。E只有一個公共點，請求出左的取值范圍.

12.(2023?明水縣模擬)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=-/+6x+c的圖象與尤軸交于A、8兩

點，與y軸交于C(0,3),A點在原點的左側(cè)，8點的坐標為(3,0),點P是拋物線上一個動點，且

在直線BC的上方.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式.

(2)連接PO、PC,并把△尸OC沿CO翻折，得到四邊形POPC,那么是否存在點P,使四邊形POPC

為菱形？若存在，請求出此時點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)當點尸運動到什么位置時，使△BPC的面積最大，求出點尸的坐標和△BPC的面積最大值.

13.(2023?晉中模擬)綜合與探究

如圖1,拋物線y=ax2+bx+|■與X軸交于點A(I，o),B(5,0),與y軸交于點C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式;

(2)如圖2,若P是直線8c下方拋物線上的一動點，連接P8,PC,過點P作尸。，于點。，求4

PBC面積的最大值，并求出此時點P的坐標和線段PD的長；

(3)若E是拋物線上的任意一點，過點E作EQ〃y軸，交直線8C于點。，拋物線上是否存在點E,使

以E,Q,O,C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點。的橫坐標；若不存在，請說明

14.(2022秋?曲周縣期末)如圖1,拋物線y=-?+及+0與x軸交于A(2,0),B(-4,0)兩點.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使得△QAC的周長最小？若存在,

求出。點的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)在拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P,使得aPBC的面積最大？若存在，求出點P的坐標及

15.(2022秋?云陽縣期末)如圖，拋物線y=o?+6x+c經(jīng)過點A(-3,0),B(1,0),C(0,-3).

(1)求拋物線得解析式；

(2)若點尸為第三象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)4c的面積為S,求S的最大值并求此時點尸的坐標.

(3)設(shè)拋物線的頂點為。，OELx軸于點E,在y軸上確定一點使得是直角三角形，寫出

所有符合條件的點M的坐標，并任選其中一個點的坐標，寫出求解過程.

16.(2023?涅中區(qū)校級開學(xué))如圖1,拋物線經(jīng)過A(-5,0),B(1,0),C(0,5)三點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸上有一點P,使PB+PC的值最小，求點P的坐標；

(3)如圖2,點M是線段AC上的點(不與A、C重合)，過M作軸交拋物線于N,若點M的

橫坐標為相，請用相的代數(shù)式表示的長，并求出的最大值.

圖

1圖2

17.(2023?太平區(qū)二模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=o?+bx-3(a>0)與無軸交于A(-1,0)、

B(3,0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P為直線BC下方拋物線上的一動點，于點M,PN〃y軸交8c于點N.求線段的

最大值和此時點P的坐標；

（3）點E為x軸上一動點，點。為拋物線上一動點，是否存在以C。為斜邊的等腰直角三角形CE。?

若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

18.（2023?昭平縣二模）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線3與x軸交于點A,8（點A

在點8的左側(cè)），與y軸交于點C,且08=304=3.

(2)若點M是線段BC下方拋物線上的一個動點（不與點8,點C重合），過點M作直線MNLx軸于

點、D,交線段于點N.是否存在點M使得線段的長度最大，若存在，求線段MN長度的最大值,

若不存在，請說明理由;

（3）當二次函數(shù)>=以2+笈-3的自變量x滿足tWxWr+1時，此函數(shù)的最大值與最小值的差為2