2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6.3平面與平面垂直習(xí)題含解析新人教A版必修第二冊(cè)

.6.3平面與平面垂直課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,則二面角B-PA-C的大小為()A.90° B.60° C.45° D.30°解析∵PA⊥平面ABC,BA,CA?平面ABC,∴BA⊥PA,CA⊥PA,因此∠BAC即為二面角B-PA-C的平面角.又∠BAC=90°,故選A.答案A2.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如圖),圖中相互垂直的平面有()A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.5對(duì)解析∵DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,∴DA⊥平面PAB,同樣BC⊥平面PAB,又易知AB⊥平面PAD,∴DC⊥平面PAD.∴平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面PAD,共5對(duì).答案D3.如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則過點(diǎn)C1作C1H⊥平面ABC,垂足為H,則H必在()A.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.△ABC的內(nèi)部解析因?yàn)锽C1⊥AC,AB⊥AC,BC1∩AB=B,所以AC⊥平面ABC1.因?yàn)锳C?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABC1.又因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ABC1=AB,所以過點(diǎn)C1再作C1H⊥平面ABC,則H∈AB,即H在直線AB上.答案A4.(2024全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖所示,A,B,C,D為空間四點(diǎn),在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等邊三角形ADB以AB為軸運(yùn)動(dòng),當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí),CD=.

解析取AB的中點(diǎn)E,連接DE,CE.因?yàn)椤鰽DB是等邊三角形,所以DE⊥AB.當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí),因?yàn)槠矫鍭DB∩平面ABC=AB,且DE⊥AB,所以DE⊥平面ABC,故DE⊥CE.由已知可得DE=,EC=1,在Rt△DEC中,CD==2.答案25.如圖,在空間四邊形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,則AD與平面BCD所成的角是.

解析過A作AO⊥BD于點(diǎn)O,∵平面ABD⊥平面BCD,∴AO⊥平面BCD,則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角.∵∠BAD=90°,AB=AD,∴∠ADO=45°.答案45°6.在四面體ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,二面角A-BD-C為直二面角,E是CD的中點(diǎn),則∠AED的大小為.

解析取BD中點(diǎn)O,連接AO,CO,由AB=BC=CD=AD,∴AO⊥BD,CO⊥BD,∴∠AOC為二面角A-BD-C的平面角.∴∠AOC=90°.又∠BAD=∠BCD=90°,∴△BAD與△BCD均為直角三角形.∴OC=OD,∴△AOD≌△AOC,∴AD=AC,∴△ACD為等邊三角形.∵E為CD中點(diǎn),∴AE⊥CD,∴∠AED=90°.答案90°7.(2024江西新余一中高一月考)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面B1BCC1是正方形,M,N分別是A1B1,AC的中點(diǎn),AB⊥平面BCM.(1)求證:平面B1BCC1⊥平面A1ABB1;(2)求證:A1N∥平面BCM;(3)若三棱柱ABC-A1B1C1的體積為10,求三棱錐C1-BB1M的體積.(1)證明∵AB⊥平面BCM,BC?平面BCM,∴AB⊥BC.在正方形B1BCC1中,BB1⊥BC,∵AB∩BB1=B,∴BC⊥平面A1ABB1.∵BC?平面B1BCC1,∴平面B1BCC1⊥平面A1ABB1.(2)證明設(shè)BC中點(diǎn)為Q,連接NQ,MQ,如圖所示.∵N,Q分別是AC,BC的中點(diǎn),∴NQ∥AB,且NQ=AB.又點(diǎn)M是A1B1的中點(diǎn),∴A1M=A1B1.∵AB∥A1B1,且AB=A1B1,∴NQ∥A1M,且NQ=A1M,∴四邊形A1MQN是平行四邊形,∴A1N∥MQ.∵M(jìn)Q?平面BCM,A1N?平面BCM,∴A1N∥平面BCM.(3)解如圖所示,連接A1B,則,∵M(jìn)為A1B1的中點(diǎn),∴三棱錐C1-BB1M的體積.8.如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中點(diǎn),PA⊥底面ABCD,PA=.(1)求證:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角A-BE-P的大小.(1)證明如圖所示,連接BD,由底面ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等邊三角形.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn),所以BE⊥CD.又因?yàn)锳B∥CD,所以BE⊥AB.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BE?平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.又因?yàn)锽E?平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解由(1)知,BE⊥平面PAB,PB?平面PAB,所以PB⊥BE.又因?yàn)锳B⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA=,∠PBA=60°,故二面角A-BE-P的大小是60°.實(shí)力提升練1.如圖所示,三棱錐P-ABC的底面在平面α內(nèi),且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,點(diǎn)P,A,B是定點(diǎn),則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是()A.一條線段B.一條直線C.一個(gè)圓D.一個(gè)圓,但要去掉兩個(gè)點(diǎn)解析∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC?平面PAC,∴AC⊥平面PBC.又BC?平面PBC,∴AC⊥BC.∴∠ACB=90°.∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的圓,除去A和B兩點(diǎn).答案D2.(2024全國(guó)Ⅲ高考)如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則()A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線解析如圖,連接BD,BE.在△BDE中,N為BD的中點(diǎn),M為DE的中點(diǎn),∴BM,EN是相交直線,解除選項(xiàng)C,D.作EO⊥CD于點(diǎn)O,連接ON.作MF⊥OD于點(diǎn)F,連接BF.∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO?平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.同理,MF⊥平面ABCD.∴△MFB與△EON均為直角三角形.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,易知EO=,ON=1,MF=,BF=,則EN==2,BM=,∴BM≠EN.故選B.答案B3.(多選題)(2024山東高三月考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠DAB=60°,側(cè)面PAD為正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,則下列說(shuō)法正確的是()A.在棱AD上存在點(diǎn)M,使AD⊥平面PMBB.異面直線AD與PB所成的角為90°C.二面角P-BC-A的大小為45°D.BD⊥平面PAC解析如圖,對(duì)于A,取AD的中點(diǎn)M,連接PM,BM,∵側(cè)面PAD為正三角形,∴PM⊥AD,又底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,∴△ABD是等邊三角形,∴AD⊥BM,又PM∩BM=M,PM,BM?平面PMB,∴AD⊥平面PMB,故A正確;對(duì)于B,∵AD⊥平面PBM,∴AD⊥PB,即異面直線AD與PB所成的角為90°,故B正確;對(duì)于C,∵平面PBC∩平面ABCD=BC,BC∥AD,∴BC⊥平面PBM,∴BC⊥PB,BC⊥BM,∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角,設(shè)AB=1,則BM=,PM=,在Rt△PBM中,tan∠PBM==1,即∠PBM=45°,故二面角P-BC-A的大小為45°,故C正確;對(duì)于D,因?yàn)锽D與PA不垂直,所以BD與平面PAC不垂直,故D錯(cuò)誤.答案ABC4.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿意時(shí),平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)

解析連接AC,則AC⊥BD.∵PA⊥底面ABCD,BD?平面ABCD,∴PA⊥BD.∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí),即有PC⊥平面MBD,而PC?平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或:BM⊥PC,答案不唯一)5.如圖,A,B,C,D為空間四點(diǎn),在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等邊三角形ADB以AB為軸運(yùn)動(dòng),當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí),CD=.

解析取AB的中點(diǎn)E,連接DE,CE,因?yàn)椤鰽DB是等邊三角形,所以DE⊥AB.當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí),因?yàn)槠矫鍭DB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC.可知DE⊥CE.由已知可得DE=,EC=1,在Rt△DEC中,CD==2.答案26.(2024全國(guó)Ⅲ高考)圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點(diǎn)共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積.(1)證明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG確定一個(gè)平面,從而A,C,G,D四點(diǎn)共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因?yàn)锳B?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)解取CG的中點(diǎn)M,連接EM,DM.因?yàn)锳B∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.由已知,四邊形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=,故DM=2.所以四邊形ACGD的面積為4.7.(2024內(nèi)蒙古自治區(qū)包鋼一中高二月考)如圖,在三棱錐P-ABC中,PB⊥平面ABC,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,AB=BC=2,∠PAB=45°,點(diǎn)D,E,F分別為AC,AB,BC的中點(diǎn).(1)求證:EF⊥PD;(2)求直線PF與平面PBD所成的角的正弦值;(3)求二面角E-PF-B的平面角的正切值.(1)證明連接BD,在△ABC中,∠B=90°.∵AB=BC,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),∴BD⊥AC.又∵PB⊥平面ABC,AC?平面ABC,∴AC⊥PB.∵BD∩PB=B,∴AC⊥平面PBD.∵E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),∴EF∥AC,∴EF⊥平面PBD,∵PD?平面PBD,∴EF⊥PD.(2)解連接BD交EF于點(diǎn)O,由(1)知EF⊥平面PBD,∴∠FPO為直線PF與平面PBD所成的角,且PO?平面PBD,∴EF⊥PO.∵PB⊥平面ABC,BC,AB?平面ABC,∴PB⊥AB,PB⊥BC.∵∠PAB=45°,∴PB=AB=2.∵OF=AC=,∴PF=.在Rt△FPO中,sin∠FPO=,∴直線PF與平面PBD所成的角的正弦值為.(3)解過點(diǎn)B作BM⊥PF于點(diǎn)M,連接EM.∵AB⊥PB,AB⊥BC,PB∩BC=B,∴AB⊥平面PBC,∴BE⊥BM,BE⊥平面PBC.∵PF?平面PBC,∴PF⊥BE.又PF⊥BM,BE∩BM=B,∴PF⊥平面BME,∵EM?平面BME,∴PF⊥EM,∴∠BME為二面角E-PF-B的平面角.在Rt△PBF中,BM=,∴tan∠BME=.∴二面角E-PF-B的平面角的正切值為.素養(yǎng)培優(yōu)練(2024全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,PA=AD=2,四邊形ABCD滿意BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,F為側(cè)棱PC上的隨意一點(diǎn).(1)求證:平面AFD⊥平面PAB;(2)是否存在點(diǎn)F,使得直線AF與平面PCD垂直?若存在,寫出證明過程并求出線段PF的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)證明∵平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,且PA⊥AC,PA?平面PAC,∴PA⊥平面ABCD.又AD?平面ABCD,∴PA⊥AD.又AB⊥AD,PA∩AB=A