專題06 分式與分式方程【考點精講】（解析版）

專題06分式與分式方程一、分式分式概念形如eq\f(A,B)(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．有意義的條件因為0不能做除數(shù)，所以在分式eq\f(A,B)中，若B≠0，則分式eq\f(A,B)有意義；若B＝0，那么分式eq\f(A,B)沒有意義．值為0在分式eq\f(A,B)中，當A＝0且B≠0時，分式eq\f(A,B)的值為0分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于零的整式，分式的值不變．用式子表示是：eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M)(其中M是不等于0的整式)約分將分子、分母中的公因式約去，叫做分式的約分通分將幾個異分母的分式化為同分母的分式，這種變形叫分式的通分二、分式運算分式運算分式加減同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減，即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c).異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后相加減，即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).分式乘除分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母，即eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd).分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(ad,bc)分式的混合運算在分式的加減乘除混合運算中，應先算乘除，進行約分化簡后，再進行加減運算，遇到有括號的，先算括號里面的．運算結果必須是最簡分式或整式．三、分式方程分式方程定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程解法（1）解分式方程的基本思路：將分式方程化為整式方程.（2）常用方法：①去分母;②換元法.（3）去分母法的步驟：①去分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程;②解所得的整式方程;③驗根作答.（4）換元法的步驟：①設輔助未知數(shù);②得到關于輔助未知數(shù)的新方程,求出輔助未知數(shù)的值;③把輔助未知數(shù)的值代回原式中,求出原來未知數(shù)的值;④檢驗作答.（5）解分式方程時,在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時,有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根(我們把這個根叫做方程的增根),所以解分式方程時要驗根.運用解分式方程應用題的關鍵是把握題意,找準等量關系,列出分式方程,最后要驗根【考點1】分式的概念及有意義的條件【例1】（2022·湖南懷化）代數(shù)式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含字母則不是，根據(jù)此依據(jù)逐個判斷即可．【詳解】分母中含有字母的是，，，∴分式有3個，故選：B．【例2】分式的值為零，則x的值為………………（）A.2B.﹣2C.±2D.任意實數(shù)【答案】A【解析】本題錯解考慮到了分子－2為零，而忽視了分式有意義的條件——分母x＋2不為零.分式的值為零的條件應是分子為零且分母不為零，∴由－2＝0，解得x＝±2，又由x＋2≠0，得x≠﹣2，∴x＝2.還有分式無意義的條件是分母為零.分式有意義、無意義和值為零的條件（1）若分式eq\f(A,B)有意義，則B≠0（2）若分式eq\f(A,B)無意義，則B=0（3）若分式eq\f(A,B)=0，則A=0且B≠01．（2022·四川涼山）分式有意義的條件是（

）A．x＝－3 B．x≠－3 C．x≠3 D．x≠0【答案】B【分析】根據(jù)分式的分母不能為0即可得．【詳解】解：由分式的分母不能為0得：，解得，即分式有意義的條件是，故選：B．2．（2021·江蘇揚州市·中考真題）不論x取何值，下列代數(shù)式的值不可能為0的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別找到各式為0時的x值，即可判斷．【詳解】解：A、當x=-1時，x+1=0，故不合題意；B、當x=±1時，x2-1=0，故不合題意；C、分子是1，而1≠0，則≠0，故符合題意；D、當x=-1時，，故不合題意；故選C．3．（2022·湖北黃岡）若分式有意義，則x的取值范圍是________．【答案】【分析】根據(jù)分式有意義的條件即可求解．【詳解】解：∵分式有意義，∴，解得．故答案為：．4．（2022·廣西）當______時，分式的值為零．【答案】0【分析】根據(jù)分式值為零，分子等于零，分母不為零得2x=0，x+2≠0求解即可．【詳解】解：由題意，得2x=0，且x+2≠0，解得：x=0，故答案為：0．5．（2021·浙江）一種鹽水，將m克鹽完全溶解于n克水后仍然達不到所需的含鹽質(zhì)量分數(shù)，又加入了5克鹽完全溶解后才符合要求．則要配制的鹽水的質(zhì)量分數(shù)為________．【答案】【分析】根據(jù)有m克鹽完全溶解于n克水后，又加入5克鹽，得出總鹽有5+m克，鹽水有m+n+5克，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：要配制的鹽水的質(zhì)量分數(shù)是：，故答案為：．【考點2】分式的基本性質(zhì)【例3】如果把分式中的x和y都縮小到原來的一半，則分式的值（）A．縮小到原來的B．縮小到原來的C．不變D．擴大到原來的2倍【答案】D【分析】根據(jù)分式的分子分母都乘以（或除以）同一個不為零的數(shù)或者整式，分式的值不變，可得答案．【詳解】解：分式中的x、y都縮小到原來的一半，即所以擴大到原來的2倍，故選：D．【例4】（2021·福建三明·八年級期末）下列分式中，屬于最簡分式的是（）A． B． C． D．【答案】D 【分析】最簡分式的標準是分子，分母中不含有公因式，不能再約分．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過符號變化化為相同的因式從而進行約分．【詳解】解：A、，故此選項不符合題意；B、，故此選項不符合題意；C、，故此選項不符合題意；D、是最簡分式，故此選項符合題意；選：D．分式約分的關鍵是確定分子和分母的公因式.1．分子、分母均為單項式.確定公因式的步驟2．分子或分母是多項式時,需要先將多項式因式分解,再求公因式.1．（2021·廣西岑溪·七年級期末）下列分式中，把x，y的值同時擴大2倍后，值不變的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】把，的值同時擴大2倍后，運用分式的基本性質(zhì)進行化簡，即可得出結論．【詳解】解：A選項，把，的值同時擴大2倍后得：，值發(fā)生了變化，故該選項不符合題意；B選項，把，的值同時擴大2倍后得：，值縮小了一半，故該選項不符合題意；C選項，把，的值同時擴大2倍后得：，值不變，故該選項符合題意；D選項，把，的值同時擴大2倍后得：，值變成了原來的2倍，故該選項不符合題意；故選：C．2．（2021·遼寧沈河·八年級期末）下列各式從左到右的變形一定正確的是（）A．＝B．＝x﹣yC．＝D．＝【答案】D【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)（分式的分子與分母同乘或除以一個不等于0的整式，分式的值不變）逐個判斷即可．【詳解】解：A.，故本選項不符合題意；B.＝＝x＋y，故本選項不符合題意；C.當b＝﹣2，a＝1時，，故本選項不符合題意；D.，故本選項符合題意；故選：D．3．（2021·湖北武漢·八年級期末）下列分式中，是最簡分式的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用最簡分式的定義：分子分母沒有公因式的分式，判斷即可．【詳解】解：A、，不符合題意；B、，不符合題意；C、，不符合題意；D、，為最簡分式，符合題意；故選：D．4．（2021·湖南長沙·八年級期末）將分式與通分，那么最簡公分母為________．【答案】【分析】根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，找到兩個分數(shù)分母的最小公倍數(shù)即可得到答案.【詳解】解：∵，∴與通分的最簡公分母為故答案為：.5．（2021·貴州八年級月考）對分式通分后，的結果是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】把a2-b2因式分解，得出的最簡公分母，根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可得答案．【詳解】∵a2-b2=(a+b)(a-b)，∴分式的最簡公分母是，∴通分后，=．故選：B．【考點3】分式運算與化簡【例5】先化簡，再求值：（＋2－x）÷，其中x滿足x2－4x＋3=0.【答案】原式＝[－]·＝·＝·＝.∵x2－4x＋3=0，∴(x－1)(x－3)＝0，∴x1＝1，x2＝3.又∵x－1≠0，x2＋4x＋4≠0，∴x≠1，x≠﹣2.∴當x＝3時，原式＝＝﹣＝.在運算過程中去括號時，括號前面是“﹣”，去掉括號和它前面的“﹣”號，括號里面的每一項都要改變符號分式混合運算應注意的七點1．注意分式混合運算的順序.2．進行分式與整式的加減運算時,可將整式視為分母為1的代數(shù)式,然后與分式進行通分,再依照運算法則進行運算.3．除法運算一定要轉(zhuǎn)化為乘法后再運算,如果分子、分母是多項式,可先將分子、分母因式分解,再進行運算.4．分式的混合運算中,若有“A(B+C)”這種形式,且A·B,A·C均可約分時,可利用乘法分配律簡化運算.5．進行分式的加減運算時,注意與分式方程的解法區(qū)別開來,不要“去分母”.6．化簡結果要最簡.7．代入求值時,盡可能用“整體代入法”求值,且代入的值不能使原式中的分式和化簡過程中出現(xiàn)的分式的分母為0.1．化簡的結果是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把除法化為乘法，再進行約分，進而即可求解．【詳解】解：原式===，故選B．2．計算：__________．【答案】1【分析】先通分，把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減，進而求解即可；【詳解】解：原式，故答案為1．3．先化簡，再求值：，其中．【答案】；【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再把a的值代入計算即可．【詳解】解：；當時，原式．4．（2022·四川成都）已知，則代數(shù)式的值為_________．【答案】【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把已知等式變形后代入計算即可求出值；【詳解】解：＝＝＝＝＝．，移項得，左邊提取公因式得，兩邊同除以2得，∴原式＝．故答案為：．5．（2022·新疆）先化簡，再求值：，其中．【答案】1【分析】根據(jù)平方差公式、完全平方公式和分式的混合運算法則對原式進行化簡，再把a值代入求解即可．【詳解】解：，∵，∴原式．6．（2022·湖南邵陽）先化簡，再從－1，0，1，中選擇一個合適的值代入求值．．【答案】，．【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把合適的的值代入計算即可求出值．【詳解】解：=，∵x+1≠0，x-1≠0，x≠0，∴x≠±1，x≠0當x=時，原式=．【考點4】分式方程的定義【例6】下列關于的方程中，不是分式方程的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由題意根據(jù)分母含有未知數(shù)的方程是分式方程依次對各選項進行分析判斷．【詳解】解：A、B、D選項中分母含有未知數(shù)，是分式方程；C選項中分母不含有未知數(shù)，故不是分式方程.故選：C．1．已知方程：①；②；③；④．這四個方程中，分式方程的個數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程，根據(jù)定義解答．【詳解】解：根據(jù)定義可知：①②③為分式方程，故選：C．【點睛】此題考查分式方程的定義，熟記定義是解題的關鍵．2．下列關于x的方程中，屬于分式方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式方程的定義即可求出答案．【詳解】A、是一元一次方程，故不符合題意；B、是一元一次方程，故不符合題意；C、是分式方程，故符合題意；D、是二元一次方程，故不符合題意；故選C．【考點5】解分式方程【例7】（2022·四川成都）分式方程的解是_________．【答案】【分析】找出分式方程的最簡公分母，方程左右兩邊同時乘以最簡公分母，去分母后再利用去括號法則去括號，移項合并，將x的系數(shù)化為1，求出x的值，將求出的x的值代入最簡公分母中進行檢驗，即可得到原分式方程的解．【詳解】解：解：化為整式方程為：3﹣x﹣1＝x﹣4，解得：x＝3，經(jīng)檢驗x＝3是原方程的解，故答案為：．解分式方程的有關要點（1）解分式方程的基本思想是要設法將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再求解.（2）解分式方程時，方程兩邊同乘最簡公分母時，最簡公分母有可能為０，這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗根.（3）分式方程的檢驗方法：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解.1．（2021·陜西蓮湖·八年級期末）已知是分式方程的解，則的值為（）A． B．1 C．3 D．【答案】A【分析】根據(jù)分式方程的解的定義，可將x=3代入方程，求得a=-1．然后，代入a-3檢驗是否為0，進而得出a=-1．【詳解】解：∵x=3是分式方程的解，∴，∴a=-1，∴a-3=-1-3=-4≠0（a符合題意）．故選：A．2．（2022·湖南常德）方程的解為________．【答案】【分析】根據(jù)方程兩邊同時乘以，化為整式方程，進而進行計算即可求解，最后注意檢驗．【詳解】解：方程兩邊同時乘以，解得經(jīng)檢驗，是原方程的解故答案為：3．（2022·廣西玉林）解方程：．【答案】【分析】兩邊同時乘以公分母，先去分母化為整式方程，計算出x，然后檢驗分母不為0，即可求解．【詳解】，，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解，故原方程的解為：4．（2022·廣西梧州）解方程：【答案】【分析】先方程兩邊同時乘以，化成整式方程求解，然后再檢驗分母是否為0即可．【詳解】解：方程兩邊同時乘以得到：，解出：，當時分式方程的分母不為0，∴分式方程的解為：．【考點6】含參的分式方程【例8】（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾市·中考真題）若關于x的分式方程無解，則a的值為（）A．3 B．0 C． D．0或3【答案】C【分析】直接解分式方程，再根據(jù)分母為0列方程即可．【詳解】解：，去分母得：2﹣x﹣a＝2（x﹣3），解得：x＝，當時，方程無解，解得．故選：C．【例10】（2021·黑龍江齊齊哈爾市·中考真題）若關于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是_________．【答案】且【分析】先利用m表示出x的值，再由x為正數(shù)求出m的取值范圍即可．【詳解】解：方程兩邊同時乘以得：，解得：，∵x為正數(shù)，∴，解得，∵，∴，即，∴m的取值范圍是且，故答案為：且．分式方程無解兩種情形（1）分式方程化為整式方程后所得整式方程無解，則原程無解；（2）整式方程有解，但所求得的解經(jīng)檢驗是增根，此時分式無解。1．（2021·廣西賀州市·中考真題）若關于的分式方程有增根，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)分式方程有增根可求出，方程去分母后將代入求解即可.【詳解】解：∵分式方程有增根，∴，去分母，得，將代入，得，解得．故選：D．2．（2021·四川宜賓市·中考真題）若關于x的分式方程有增根，則m的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【答案】C【分析】先把分式方程化為整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解．【詳解】解：，去分母得：，∵關于x的分式方程有增根，增根為：x=2，∴，即：m=2，故選C．3．（2022·四川德陽）關于x的方程的解是正數(shù)，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞－1B．a(chǎn)＞－1且a≠0C．a(chǎn)＜－1D．a(chǎn)＜－1且a≠－2【答案】D【分析】將分式方程變?yōu)檎椒匠糖蟪鼋猓俑鶕?jù)解為正數(shù)且不能為增根，得出答案.【詳解】方程左右兩端同乘以最小公分母x-1，得2x+a=x-1.解得：x=-a-1且x為正數(shù)．所以-a-1＞0，解得a＜-1，且a≠-2.（因為當a=-2時，方程不成立.）4．（2022·四川遂寧）若關于x的方程無解，則m的值為（

）A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【答案】D【分析】現(xiàn)將分時方程化為整式方程，再根據(jù)方程無解的情況分類討論，當時，當時，或，進行計算即可．【詳解】方程兩邊同乘，得，整理得，原方程無解，當時，；當時，或，此時，，解得或，當時，無解；當時，，解得；綜上，m的值為0或4；故選：D．5．（2021·四川雅安市·中考真題）若關于x的分式方程的解是正數(shù)，則k的取值范圍是______．【答案】且【分析】根據(jù)題意，將分式方程的解用含的表達式進行表示，進而令，再因分式方程要有意義則，進而計算出的取值范圍即可．【詳解】解：根據(jù)題意且∴∴∴k的取值范圍是且．【考點7】分式方程的實際運用：行程【例11】（2022·四川樂山）第十四屆四川省運動會定于2022年8月8日在樂山市舉辦，為保證省運會期間各場館用電設施的正常運行，市供電局為此進行了電力搶修演練．現(xiàn)抽調(diào)區(qū)縣電力維修工人到20千米遠的市體育館進行電力搶修．維修工人騎摩托車先行出發(fā)，10分鐘后，搶修車裝載完所需材料再出發(fā)，結果他們同時到達體育館，已知搶修車是摩托車速度的1.5倍，求摩托車的速度．【答案】摩托車的速度為40千米/時【分析】設摩托車的速度為x千米/時，則搶修車的速度為1.5x千米/時，根據(jù)搶修車比摩托車少用10分鐘，即可得出關于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結論．【詳解】解：設摩托車的速度為x千米/時，則搶修車的速度為1.5x千米/時，依題意，得：，解得：x=40，經(jīng)檢驗，x=40是所列方程的根，且符合題意，答：摩托車的速度為40千米/時．1.（2021·黑龍江虎林·八年級期末）隨著生活水平的提高，小林家購置了私家車，這樣他乘坐私家車上學比乘坐公交車上學所需的時間少用了15分鐘，現(xiàn)已知小林家距學校8千米，乘私家車平均速度是乘公交車平均速度的2.5倍，若設乘公交車平均每小時走x千米，根據(jù)題意可列方程為_________．【答案】【分析】設乘公交車平均每小時走x千米，則乘私家車平均速度是每小時千米，則乘公交車花的時間為小時，乘私家車所花的時間為小時，再利用乘坐私家車上學比乘坐公交車上學所需的時間少用了15分鐘，列方程即可.【詳解】解：設乘公交車平均每小時走x千米，則乘私家車平均速度是每小時千米，則故答案為：2．（2021·上海市盧灣中學期末）小王步行的速度比跑步的速度慢，跑步的速度比騎車的速度慢．如果他騎車從城到城，再步行返回城共需要兩小時，那么小王跑步從城到城需要____分鐘．【答案】48【分析】此題可設騎車速度為x，則跑步的速度為（1-50%）x，步行的速度為（1-50%）（1-50%）x，根據(jù)騎車從A城去B城，再步行返回A城共需2小時列出分式方程解答即可．【詳解】解：設騎車速度為，則跑步的速度為，步行的速度為，根據(jù)題意列方程得，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，跑步的速度為，小王跑步從城到城需要（小時），小時=48分鐘．故小王跑步從城到城需要48分鐘．故答案為：48．3．（2022·重慶）在全民健身運動中，騎行運動頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從地沿相同路線騎行去距地30千米的地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．（1）若乙先騎行2千米，甲才開始從地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時恰好追上乙，求甲騎行的速度；（2）若乙先騎行20分鐘，甲才開始從地出發(fā)，則甲、乙恰好同時到達地，求甲騎行的速度．【答案】(1)(2)千米/時【分析】（1）設乙的速度為千米/時，則甲的速度為千米/時，根據(jù)甲出發(fā)半小時恰好追上乙列方程求解即可；（2）設乙的速度為千米/時，則甲的速度為千米/時，根據(jù)甲、乙恰好同時到達地列方程求解即可．【詳解】(1)解：設乙的速度為千米/時，則甲的速度為千米/時，由題意得：，解得：，則（千米/時），答：甲騎行的速度為千米/時；(2)設乙的速度為千米/時，則甲的速度為千米/時，由題意得：，解得，經(jīng)檢驗是分式方程的解，則（千米/時），答：甲騎行的速度為千米/時．4．（2022·四川自貢）學校師生去距學校45千米的吳玉章故居開展研學活動，騎行愛好者張老師騎自行車先行2小時后，其余師生乘汽車出發(fā)，結果同時到達；已知汽車速度是自行車速度的3倍，求張老師騎車的速度．【答案】張老師騎車的速度為千米/小時【分析】實際應用題的解題步驟“設、列、解、答”，根據(jù)問題設未知數(shù)，找到題中等量關系張老師先走2小時，結果同時達到列分式方程，求解即可．【詳解】解：設張老師騎車的速度為千米/小時，則汽車速度是千米/小時，根據(jù)題意得：，解之得，經(jīng)檢驗是分式方程的解，答：張老師騎車的速度為千米/小時．【考點8】分式方程的實際運用：工程【例12】（2022·江西）甲、乙兩人在社區(qū)進行核酸采樣，甲每小時比乙每小時多采樣10人，甲采樣160人所用時間與乙采樣140人所用時間相等，甲、乙兩人每小時分別采樣多少人？設甲每小時采樣x人，則可列分式方程為__________．【答案】【分析】先表示乙每小時采樣（x-10）人，進而得出甲采樣160人和乙采樣140人所用的時間，再根據(jù)時間相等列出方程即可．【詳解】根據(jù)題意可知乙每小時采樣（x-10）人，根據(jù)題意，得．故答案為：．1．（2021·四川宣漢·八年級期末）宣漢到達州要鋪設一條長35千米的管道，為了盡量減少施工對周邊居民生活造成的影響，實際施工時，每天鋪設管道的長度比原計劃增加20%，結果提前7天完成．設原計劃每天鋪設管道的長度為千米，則可列方程為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】設原計劃每天鋪設管道的長度為千米，要鋪設一條長35千米的管道除以原計劃每天鋪設管道的長度千米-要鋪設一條長35千米的管道除以實際施工時，每天鋪設管道的長度比原計劃增加20%=7，列分式方程求解即可．【詳解】解：設原計劃每天鋪設管道的長度為千米，則可列方程為．故選擇B．2．（2021·貴州初二月考）2020年2月22日深圳地鐵10號線華南城站試運行，預計今年6月正式開通．在地鐵的建設中，某段軌道的鋪設若由甲乙兩工程隊合做，12天可以完成，共需工程費用27720元；已知乙隊單獨完成這項工程所需時間是甲隊單獨完成這項工程所需時間的1.5倍，且甲隊每天的工程費用比乙隊多250元．（1）求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天？（2）若工程管理部門決定從這兩個隊中選一個隊單獨完成此項工程，從節(jié)約資金的角度考慮，應選擇哪個工程隊？請說明理由．【答案】（1）甲工程隊單獨完成這項工程需要20天，乙工程隊單獨完成這項工程需30天；（2）應選甲工程隊單獨完成；理由見解析．【分析】（1）設甲工程隊單獨完成這項工程需要x天，則乙工程隊單獨完成這項工程需要1.5x天，根據(jù)甲工程隊完成的工作量+乙工程隊完成的工作量＝整項工程，即可得出關于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結論；（2）設甲工程隊每天的費用是y元，則乙工程隊每天的費用是（y﹣250）元，根據(jù)甲、乙兩工程隊合作12天共需費用27720元，即可得出關于y的一元一次方程，解之即可得出兩隊每天所需費用，再求出兩隊單獨完成這些工程所需總費用，比較后即可得出結論．【解析】解：（1）設甲工程隊單獨完成這項工程需要x天，則乙工程隊單獨完成這項工程需要1.5x天，依題意，得：1，解得：x＝20，經(jīng)檢驗，x＝20是原分式方程的解，且符合題意，∴1.5x＝30．答：甲工程隊單獨完成這項工程需要20天，乙工程隊單獨完成這項工程需30天；（2）設甲工程隊每天的費用是y元，則乙工程隊每天的費用是（y﹣250）元，依題意，得：12y+12（y﹣250）＝27720，解得：y＝1280，∴y﹣250＝1030．甲工程隊單獨完成共需要費用：1280×20＝25600（元），乙工程隊單獨完成共需要費用：1030×30＝30900（元）．∵25600＜30900，∴甲工程隊單獨完成需要的費用低，應選甲工程隊單獨完成．3．（2022·江蘇揚州）某中學為準備十四歲青春儀式，原計劃由八年級（1）班的4個小組制作360面彩旗，后因1個小組另有任務，其余3個小組的每名學生要比原計劃多做3面彩旗才能完成任務．如果這4個小組的人數(shù)相等，那么每個小組有學生多少名？【答案】每個小組有學生10名．【分析】設每個小組有學生x名，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結果．【詳解】解：設每個小組有學生x名，根據(jù)題意，得，解這個方程，得x＝10，經(jīng)檢驗，x＝10是原方程的根，∴每個小組有學生10名．4．（2022·重慶）為保障蔬菜基地種植用水，需要修建灌溉水渠．（1）計劃修建灌溉水渠600米，甲施工隊施工5天后，增加施工人員，每天比原來多修建20米，再施工2天完成任務，求甲施工隊增加人員后每天修建灌溉水渠多少米？（2）因基地面積擴大，現(xiàn)還需修建另一條灌溉水渠1800米，為早日完成任務，決定派乙施工隊與甲施工隊同時開工合作修建這條水渠，直至完工．甲施工隊按（1）中增加人員后的修建速度進行施工．乙施工隊修建360米后，通過技術更新，每天比原來多修建20%，灌溉水渠完工時，兩施工隊修建的長