三維旋轉(zhuǎn)的表示

三位旋轉(zhuǎn)的表示一、基本定義坐標(biāo)系定義 大地坐標(biāo)系：這是一個(gè)球坐標(biāo)系。GPS常用的經(jīng)緯高 地心固連坐標(biāo)系：以地心為原點(diǎn)Oe，Z軸指向北極，X軸指向0°經(jīng)線與0°緯線的交點(diǎn)，按右手系規(guī)則，Y軸正交與X軸的Z當(dāng)?shù)乇睎|地系：以起飛點(diǎn)為原點(diǎn)On，X軸指向北極，Y軸垂直于X軸指向東，Z軸垂直于XOY平面機(jī)載北東地系：以飛行器質(zhì)心為原點(diǎn)Onv，X軸指向北極，Y軸垂直于X軸指向東，Z軸垂直于XOY平面向下建立的坐標(biāo)系。整個(gè)坐標(biāo)系隨飛行器運(yùn)動(dòng)。機(jī)體系：以飛行器質(zhì)心為原點(diǎn)Ob，X軸指向機(jī)頭，Y軸垂直于X軸指向飛行器右側(cè)，Z軸垂直于XOY歐拉角定義 正歐拉： 偏航(ψ)：北東地坐標(biāo)系X軸與機(jī)體系X軸在北東地坐標(biāo)系XOY平面上的投影與之間的夾角。機(jī)頭右偏航為正，左偏航為負(fù)。俯仰(θ)：經(jīng)過(guò)一次偏航旋轉(zhuǎn)后的北東地坐標(biāo)系X軸與機(jī)體坐標(biāo)系X軸之間的夾角。抬頭為正，低頭為負(fù)。其中機(jī)體坐標(biāo)系已經(jīng)繞Y軸旋轉(zhuǎn)了θ角。橫滾(?)：經(jīng)過(guò)兩次旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)系Z軸與機(jī)體系Z軸之間的夾角，右滾為正，左滾為負(fù)。其中機(jī)體坐標(biāo)系已經(jīng)繞X軸旋轉(zhuǎn)了?角。在一些垂直發(fā)射的飛行器中，正歐拉會(huì)出現(xiàn)俯仰角不唯一的情況（機(jī)體系X軸變成一個(gè)點(diǎn)了，與北東地坐標(biāo)系XOY平面沒(méi)有夾角了）。針對(duì)這種情況提出反歐拉概念。反歐拉：俯仰(θ)：機(jī)體系X軸與北東地坐標(biāo)系XOY平面的夾角，抬頭為正，低頭為負(fù)。偏航(ψ)：北東地坐標(biāo)系X軸與機(jī)體系X軸在北東地坐標(biāo)系XOY平面上的投影與之間的夾角。機(jī)頭右偏航為正，左偏航為負(fù)。橫滾(?)：機(jī)體系Z軸與通過(guò)機(jī)體坐標(biāo)軸X的鉛錘面之間的夾角，右滾為正，左滾為負(fù)。坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化 機(jī)體坐標(biāo)系角速度與歐拉角速度之間的關(guān)系設(shè)當(dāng)前的旋轉(zhuǎn)順序：偏航->俯仰->橫滾。最 先旋轉(zhuǎn)的偏航角速度需要旋轉(zhuǎn)兩次才能與機(jī)體坐標(biāo)系下繞z軸的角速度相等。k其中，R俯仰角速度只需旋轉(zhuǎn)一次。0其中，R橫滾角速度不需要旋轉(zhuǎn)。p聯(lián)立上式，有p綜上，機(jī)體系角速度轉(zhuǎn)化成歐拉角速度：p歐拉角速度轉(zhuǎn)化成機(jī)體系角速度：?二、旋轉(zhuǎn)的三維表示歐拉角旋轉(zhuǎn)矩陣飛行器在空間中的姿態(tài)通常可以用橫滾，俯仰與偏航來(lái)表示。在數(shù)學(xué)上表示如下：(旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系)橫滾角?，繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)：Rx這些都是單位正交陣俯仰角θ，繞y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)：R偏航角ψ，繞z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)：R按照偏航-俯仰-橫滾的順序從北東地坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到機(jī)體系的旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣是一個(gè)群為旋轉(zhuǎn)矩陣是一個(gè)群R=從上述旋轉(zhuǎn)矩陣中解算出歐拉角?=arctan由于旋轉(zhuǎn)矩陣Reb是單位正交矩陣，則其逆矩陣為該矩陣的轉(zhuǎn)置。有R單位正交陣的定義與性質(zhì)見(jiàn)附錄。從旋轉(zhuǎn)矩陣中反解出橫滾角?，俯仰角θ，偏航角ψ:?=arctan四元數(shù)旋轉(zhuǎn)矩陣同樣的旋轉(zhuǎn)，用四元數(shù)可以表示為：從北東地系轉(zhuǎn)機(jī)體系：Vb=四元數(shù)的核表示旋轉(zhuǎn)，外面的常數(shù)項(xiàng)表示平動(dòng)為1的平移運(yùn)動(dòng)。故從第2行第2列開(kāi)始與上面的Re?=arctan從機(jī)體系轉(zhuǎn)北東地坐標(biāo)系：Vn=四元數(shù)的核表示旋轉(zhuǎn)，外面的常數(shù)項(xiàng)表示平動(dòng)為1的平移運(yùn)動(dòng)。故從第2行第2列開(kāi)始與上面的Rb?=arctan計(jì)算四元數(shù)的方法從旋轉(zhuǎn)矩陣獲取設(shè)旋轉(zhuǎn)矩陣為 從歐拉角獲取繞Z軸的旋轉(zhuǎn)為偏航角?，在四元數(shù)中表示為從軸角獲?。狠S角法軸角法在控制上的應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矩陣求導(dǎo)與指數(shù)映射 旋轉(zhuǎn)矩陣滿足R 考慮到R隨時(shí)間變化，則寫成R 兩端對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)R(t) 即

R 整理得R(t)