第06章 一元二次函數(shù)-假期晉級(jí)利器之初升高數(shù)學(xué)銜接教材（解析版）

第6章一元二次函數(shù)【知識(shí)銜接】————初中知識(shí)回顧————1、形如的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其圖象是一條拋物線。2、二次函數(shù)的解析式的三種形式：學(xué)科-網(wǎng)10一般式20頂點(diǎn)式，其中頂點(diǎn)為（m，n）30零點(diǎn)式，其中，是的兩根?！咧兄R(shí)鏈接————二次函數(shù)的性質(zhì)開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸直線直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)()增減性當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨著x的增大而減少；在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨著x的增大而增大；在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨著x的增大而減少；最值當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，=（或用代入法）(1)決定拋物線的開(kāi)口方向 ①開(kāi)口向上；②開(kāi)口向下．(2)決定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置①圖象與y軸交點(diǎn)在x軸上方；②圖象過(guò)原點(diǎn)；③圖象與y軸交點(diǎn)在x軸下方．(3)決定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置(對(duì)稱(chēng)軸：)①同號(hào)對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)；②對(duì)稱(chēng)軸是y軸；③異號(hào)對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，簡(jiǎn)記為：左同右異中為0．(4)頂點(diǎn)坐標(biāo)．(5)決定拋物線與x軸的交點(diǎn)情況．①△>0拋物線與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)；②△=0拋物線與x軸有唯一的公共點(diǎn)(相切)；③△<0拋物線與x軸無(wú)公共點(diǎn)．【經(jīng)典題型】初中經(jīng)典題型1．已知二次函數(shù)（a＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，2），B（2，5），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．c＜3B．m≤C．n≤2D．b＜1【答案】B．【分析】根據(jù)已知條件得到，解方程組得到c=3﹣2a＜3，b=1﹣a＜1，求得二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=，根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得到結(jié)論．2．已知拋物線與軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與軸交于點(diǎn)C，若D為AB的中點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)為（）（A）（B）（C）（D）【答案】D．【解析】試題分析：把y=0代入可得，解得，所以A（-3，0），B（9，0），即可得AB=15，又因D為AB的中點(diǎn)，可得AD=BD=7．5，求得OD=4．5，在Rt△COD中，由勾股定理可得CD=7．5，故答案選D．3．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，下列結(jié)論：①二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的最大值為4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的兩根之和為﹣1；④使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】B．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的最值、二次函數(shù)與不等式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、正確獲取圖象信息是解題的關(guān)鍵．學(xué)=科網(wǎng)4．二次函數(shù)（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，下列結(jié)論：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若點(diǎn)A（﹣3，）、點(diǎn)B（，）、點(diǎn)C（，）在該函數(shù)圖象上，則；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的兩根為和，且，則＜﹣1＜5＜．其中正確的結(jié)論有（）A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)【答案】B．【分析】（1）正確．根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸公式計(jì)算即可．（2）錯(cuò)誤，利用x=﹣3時(shí)，y＜0，即可判斷．（3）正確．由圖象可知拋物線經(jīng)過(guò)（﹣1，0）和（5，0），列出方程組求出a、b即可判斷．（4）錯(cuò)誤．利用函數(shù)圖象即可判斷．（5）正確．利用二次函數(shù)與二次不等式關(guān)系即可解決問(wèn)題．【解析】（1）正確．∵=2，∴4a+b=0．故正確．（2）錯(cuò)誤．∵x=﹣3時(shí)，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）錯(cuò)誤．（3）正確．由圖象可知拋物線經(jīng)過(guò)（﹣1，0）和（5，0），∴，解得：，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正確．（4）錯(cuò)誤，∵點(diǎn)A（﹣3，）、點(diǎn)B（，）、點(diǎn)C（，），∵﹣2=，2﹣（）=，∴＜，∴點(diǎn)C離對(duì)稱(chēng)軸的距離近，∴＞，∵a＜0，﹣3＜＜2，∴＜，∴＜＜，故（4）錯(cuò)誤．（5）正確．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正確，∴正確的有三個(gè)，故選B．高中經(jīng)典題型1．如圖是二次函數(shù)圖像的一部分，其對(duì)稱(chēng)軸是，且過(guò)點(diǎn)（－3，0），下列說(shuō)法：①②③④若是拋物線上兩點(diǎn)，則，其中說(shuō)法正確的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④【答案】A．∵二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，∴點(diǎn)（﹣5，y1）關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，y1），根據(jù)當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∵，∴y2＜y1，∴④錯(cuò)誤；故選A．2．如果函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平面直角坐標(biāo)系的四個(gè)象限，那么的取值范圍是．【答案】．3．已知當(dāng)x1=a，x2=b，x3=c時(shí)，二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，y3，若正整數(shù)a，b，c恰好是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，且當(dāng)a＜b＜c時(shí)，都有y1＜y2＜y3，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】.4．如圖，一段拋物線：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）記為C1，它與x軸交于兩點(diǎn)O，A1；將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2，交x軸于A2；將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3，交x軸于A3；…如此進(jìn)行下去，直至得到C6，若點(diǎn)P（11，m）在第6段拋物線C6上，則m=．【答案】﹣1．【分析】將這段拋物線C1通過(guò)配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)及拋物線與x軸的交點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以知道C1與C2的頂點(diǎn)到x軸的距離相等，且OA1=A1A2，照此類(lèi)推可以推導(dǎo)知道點(diǎn)P（11，m）為拋物線C6的頂點(diǎn)，從而得到結(jié)果．學(xué)=科網(wǎng)故答案為：﹣1．【實(shí)戰(zhàn)演練】————先作初中題——夯實(shí)基礎(chǔ)————A組1．一個(gè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-1）與y軸的交點(diǎn)（0，-4）這個(gè)二次函數(shù)的解析式是（）A． B．C．y=- D．【答案】B．【解析】試題分析：∵二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，－1），∴設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為，把（0，﹣4）代入得，∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為．故選B．2．如圖是二次函數(shù)y=﹣x2+2x+4的圖象，使y≤1成立的x的取值范圍是（）A．﹣1≤x≤3 B．x≤﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1或x≥3【答案】D．3．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，記，．則下列選項(xiàng)正確的是（）A．B．C．D．m、n的大小關(guān)系不能確定【答案】A．【解析】試題分析：∵拋物線開(kāi)口向下，∴a＜0，∵對(duì)稱(chēng)軸在y軸右邊，∴b＞0，∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴c=0，∴a﹣b+c＜0；∵x=1時(shí)，y＞0，∴a+b+c＞0，∵c=0，∴a+b＞0；（1）當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，，===，===，∵a＜0，∴，∴m＜n．4．已知一次函數(shù)（k≠0）和二次函數(shù)（a≠0）的自變量和對(duì)應(yīng)函數(shù)值如表：當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍是（）A．x＜﹣1B．x＞4C．﹣1＜x＜4D．x＜﹣1或x＞4【答案】D．【分析】先在表格中找出點(diǎn)，用待定系數(shù)法求出直線和拋物線的解析式，用建立不等式，求解不等式即可．5．如圖是二次函數(shù)圖象的一部分，圖象過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），對(duì)稱(chēng)軸為直線x=﹣1，給出四個(gè)結(jié)論：①c＞0；②若點(diǎn)B（，）、C（，）為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則；③2a﹣b=0；④＜0，其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B．【分析】①根據(jù)拋物線y軸交點(diǎn)情況可判斷；②根據(jù)點(diǎn)離對(duì)稱(chēng)軸的遠(yuǎn)近可判斷；③根根據(jù)拋物線對(duì)稱(chēng)軸可判斷；④根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)以及不等式的性質(zhì)可判斷．【解析】由拋物線交y軸的正半軸，∴c＞0，故①正確；∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x=﹣1，∴點(diǎn)B（，）距離對(duì)稱(chēng)軸較近，∵拋物線開(kāi)口向下，∴，故②錯(cuò)誤；∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x=﹣1，∴=﹣1，即2a﹣b=0，故③正確；由函數(shù)圖象可知拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，∴＞0即＜0，∵a＜0，∴＞0，故④錯(cuò)誤；綜上，正確的結(jié)論是：①③，故選B．考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系6．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過(guò)A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出直線y=x+1，并寫(xiě)出當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值．【答案】（1）；（2）（﹣1，0）；（3）﹣1＜x＜4．（2）當(dāng)y=0時(shí)，得，解得x1=2，x2=﹣1，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，0）；（3）圖象如圖，當(dāng)一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值時(shí)，x的取值范圍是﹣1＜x＜4．————再戰(zhàn)高中題——能力提升————B組1．如圖在同一個(gè)坐標(biāo)系中函數(shù)和（）的圖象可能的是（）A． B． C． D．【答案】D．2．二次函數(shù)（）的圖象如圖，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④（），其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)【答案】B．∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線，∴的值最大，即把（m，0）（）代入得：，∴，即，∴④正確；即正確的有3個(gè)，故選B．3．如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與拋物線交于點(diǎn)P、與直線BC相交于點(diǎn)M，連接PB．（1）求該拋物線的解析式；（2）在（1）中位于第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得△BCD的面積最大？若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)及△BCD面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）D（，），△BCD面積的最大值是；（3）Q（2，3）或Q（，）或Q（，）．試題解析：（1）由，得：，則拋物線的解析式為；（2）設(shè)D（t，），過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸，則S△BCD=S梯形OCDH+S△BDH﹣S△BOC==，∵，∴當(dāng)時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)是（，），△BCD面積的最大值是；（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)P與BC平行的直線與拋物線的交點(diǎn)為Q，∵P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4），直線BC的解析式為，∴過(guò)點(diǎn)P與BC平行的直線為，由得Q的坐標(biāo)為（2，3），∵PM的解析式為x=1，直線BC的解析式為，∴M的坐標(biāo)為（1，2），設(shè)PM與x軸交于點(diǎn)E，∵PM=EM=2，∴過(guò)點(diǎn)E與BC平行的直線為，由，得或，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），（，），∴使得△QMB與△PMB的面積相等的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，3），（，），（，）．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，與y軸負(fù)半軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），且OB＝OC．（1）求此拋物線的解析式；學(xué)！科網(wǎng)（2）若點(diǎn)G（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APG的最大面積.（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)（其中點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)），在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使△MNQ為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）P點(diǎn)的坐標(biāo)為，的最大值為；（3）Q（－，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）．（2）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)F，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)（2，﹣3），設(shè)直線AG為，代入得到，求出方程組的解得出直線AG為，設(shè)P（x，），則F（x，﹣x﹣1），PF，根據(jù)三角形的面積公式求出△APG的面積，化成頂點(diǎn)式即可；（3）存在．根據(jù)MN∥x軸，且M、N在拋物線上，得到M、N關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，設(shè)點(diǎn)M為（m，）且m＞1，得到MN=2（m﹣1），當(dāng)∠QMN=90°，且MN=MQ時(shí)，由△MNQ為等腰直角三角形，得到，求出m的值，得出點(diǎn)M和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；當(dāng)∠QNM=90°，且MN=NQ時(shí)，同理可求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，當(dāng)∠NQM=90°，且MQ=NQ時(shí)，過(guò)Q作QE⊥MN于點(diǎn)E，則QE=MN，根據(jù)拋物線及等腰直角三角形的軸對(duì)稱(chēng)性，得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．試題解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為，由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為；（3）存在．∵M(jìn)N∥x軸，且M、N在拋物線上，∴M、N關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，設(shè)點(diǎn)M為（，）且，∴，當(dāng)