數(shù)學(xué)史概論教案

1《數(shù)學(xué)史概論》教案導(dǎo)言師，德國(guó)《數(shù)學(xué)文摘》和美國(guó)《數(shù)學(xué)評(píng)論》評(píng)論員。1978.4~1980.2寧德師專數(shù)學(xué)科學(xué)習(xí)；1984.9~1987.7蘇州大學(xué)數(shù)理學(xué)院攻讀博士學(xué)位。拓?fù)鋵W(xué)方向的科研項(xiàng)目先后20次獲得國(guó)家自然科學(xué)基金、空間拓?fù)涞?，在?guó)內(nèi)外重要數(shù)學(xué)刊物上發(fā)表拓?fù)鋵W(xué)論文90多篇，科學(xué)出版社出版著作3部。1992年獲國(guó)務(wù)院政府特殊津貼，1995年被授予福建省優(yōu)秀專家，1997年獲第五屆中國(guó)青年科技獎(jiǎng)、曾憲梓高等師范院校教師獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)。一、數(shù)學(xué)史要學(xué)習(xí)什么?為什么要開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)史的選修課?龐加萊(法，1854-1912年)語(yǔ)錄：如果我們想要預(yù)見(jiàn)數(shù)學(xué)的將來(lái)，適當(dāng)薩頓(美，(1884-1956年):學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史倒不一定產(chǎn)生更出色的數(shù)學(xué)家，但1、數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展(公元前6世紀(jì));2、初等數(shù)學(xué)時(shí)期(公元前6世紀(jì)-16世紀(jì));3、近代數(shù)學(xué)時(shí)期(17世紀(jì)-18世紀(jì));4、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期(1820年至今)。二、教學(xué)工作安排授課形式：講解與自學(xué)相結(jié)合，分13講。2第三講：中世紀(jì)的東西方數(shù)學(xué)I;第七講：18世紀(jì)的數(shù)學(xué)：分析時(shí)代；第八講：19世紀(jì)的代數(shù)；第九講：19世紀(jì)的幾何與分析I;第十講：19世紀(jì)的幾何與分析Ⅱ;第十一講：20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀I;第十三講：20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀Ⅲ;選講：數(shù)學(xué)論文寫作初步。作業(yè)：每一講寫600字左右的讀書筆記，30%記入學(xué)期總成績(jī)?？疾椋好课煌瑢W(xué)選取一名數(shù)學(xué)家，以這數(shù)學(xué)家為主題寫一篇數(shù)學(xué)史講稿(約2000字),并把講稿內(nèi)容制作成PowerPoint文檔(約15分鐘，5-8張文檔),70%記入學(xué)期總成績(jī)。要求：講稿用A4紙單面打印，連同PowerPoint文檔于2008年6月18日(第17周星期三)上交。1、[美]克萊因.古今數(shù)學(xué)思想.牛津大學(xué)出版社，1972(中譯本：北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組譯，上海科學(xué)技術(shù)出版社，1979~1981,4卷本);2、張奠宙.20世紀(jì)數(shù)學(xué)經(jīng)緯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2002;4、程民德主編.中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)家傳(5卷本).南京：江蘇教育出版社，19945、中國(guó)大百科全書編輯委員會(huì).中國(guó)大百科全書(數(shù)學(xué)卷).北京：中國(guó)大百科全書出版社，1988;36、王元，嚴(yán)士健，石鐘慈，談德顏編譯.數(shù)學(xué)百科全書(5卷本).北京：7、郭金彬，孔國(guó)平.中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想史.北京：科學(xué)出版社，2004;8、徐品方，張紅.數(shù)學(xué)符號(hào)史.北京：科學(xué)出版社，2006。第一講數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展1、數(shù)與形概念的產(chǎn)生如，手指計(jì)數(shù)(伊朗，1966),結(jié)繩計(jì)數(shù)(秘魯，1972)(美國(guó)自然史博物館藏有古代南美印加部落用來(lái)記事的繩結(jié)，當(dāng)時(shí)人稱之為基普),文字5000年(伊拉克，2001)(楔形數(shù)字),西安半坡遺址出土的陶器殘片。早期幾種記數(shù)系統(tǒng)，如古埃及、古巴比倫、中國(guó)甲骨文、古希臘、古印度、瑪雅(瑪雅文明誕生于熱帶叢林之中，瑪雅是一個(gè)地區(qū)、一支民族和一種文明，分布在今墨西哥的尤卡坦半島、危地馬拉、伯利茲、洪都拉斯和薩爾瓦多西部)證明數(shù)學(xué)起源的多元性和數(shù)學(xué)符號(hào)的多樣性。2、河谷文明與早期數(shù)學(xué)背景：古代埃及簡(jiǎn)況埃及文明上溯到距今6000年左右，從公元前3500年左右開(kāi)始出現(xiàn)一些小國(guó)家，公元前3000年左右開(kāi)始出現(xiàn)初步統(tǒng)一的國(guó)家。古代埃及可以分為5個(gè)大的歷史時(shí)期：早期王國(guó)時(shí)期(公元前3100一前2688年)、古王國(guó)時(shí)期(前2686-前2181年)、中王國(guó)時(shí)期(前2040一前1768年)、新王國(guó)時(shí)期(前1567一前1086年)、后期王國(guó)時(shí)期(前1085-前332年)。(1)古王國(guó)時(shí)期：前2686-前2181年。埃及進(jìn)入統(tǒng)一時(shí)代，開(kāi)始建造金4字塔，是第一個(gè)繁榮而偉大的時(shí)代。(2)新王國(guó)時(shí)期：前1567一前1086年。埃及進(jìn)入極盛時(shí)期，建立了地跨埃及人創(chuàng)造了連續(xù)3000多年的輝煌歷史，建立了國(guó)家，有了相當(dāng)發(fā)達(dá)的農(nóng)吉薩金字塔(公元前2600年)(剛果，1978),它顯示了埃及人極其精確的古埃及最重要的傳世數(shù)學(xué)文獻(xiàn)：紙草書，來(lái)自現(xiàn)實(shí)生活的數(shù)學(xué)問(wèn)題集。主體部分由84個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題組成，其中還有歷史上第一個(gè)嘗試“化圓為化”的公莫斯科紙草書(1893年由俄國(guó)貴族戈列尼雪夫購(gòu)得，現(xiàn)藏莫斯科普希金精細(xì)藝術(shù)博物館，包含了25個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題)。埃及紙草書(民主德國(guó)，1981)。數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)：記數(shù)制，基本的算術(shù)運(yùn)算，分?jǐn)?shù)運(yùn)算，一次方程，正方形、矩形、等腰梯形等圖形的面積公式，近似的圓面積，錐體體積等。2.2古代巴比倫的數(shù)學(xué)兩河流域(美索不達(dá)米亞)文明上溯到距今6000年之前，幾乎和埃及人同(1)古巴比倫王國(guó)：公元前1894一前729年。漢穆拉比(在位前1792-前1750)統(tǒng)一了兩河流域，建成了一個(gè)強(qiáng)盛的中央集權(quán)帝國(guó)，頒布了著名的《漢(2)亞述帝國(guó)：前8世紀(jì)一前612年，建都尼尼微(今伊拉克的摩蘇爾市)。(3)新巴比倫王國(guó)：前612一前538年。尼布甲尼撒二世(在位前604一前5562年)統(tǒng)治時(shí)期達(dá)到極盛，先后兩次攻陷耶路撒冷，建成世界古代七大奇觀之一的巴比倫“空中花園”。世界古代七大奇觀指埃及金字塔、巴比倫空中花園、阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亞歷山大燈塔、羅德島太陽(yáng)神銅像，他們是分布于西亞、北非和地中海沿岸的古跡，是古代西方人眼中的全部世界，而中國(guó)的長(zhǎng)城距他們太遠(yuǎn)了。記錄者古希臘哲學(xué)家費(fèi)隆·拜占廷說(shuō)過(guò)：“心眼所見(jiàn)，永難磨滅"。公元前6世紀(jì)中葉，波斯國(guó)家逐漸興起，并于公元前538年滅亡了新巴比倫王國(guó)。了解古代美索不達(dá)米亞文明的主要文獻(xiàn)是泥版，迄今已有約50萬(wàn)塊泥版出土。蘇美爾計(jì)數(shù)泥版(文達(dá)，1982)。現(xiàn)在泥版文書中大約有300多塊是數(shù)學(xué)文獻(xiàn)：以60進(jìn)制為主的楔形文記數(shù)系統(tǒng)，長(zhǎng)于計(jì)算，發(fā)展程序化算法的熟練技巧(開(kāi)方根),能處理三項(xiàng)二次方程，有三次方程的例子，三角形、梯形的面積公式，棱柱、方錐的體積公式。泥版楔形文，普林頓322(現(xiàn)在美國(guó)哥倫比亞大學(xué)圖書館，年代在公元前1600年以前，數(shù)論意義：整勾股數(shù))。巴比倫泥板和彗星(不丹，1986)。2.3西漢以前的中國(guó)數(shù)學(xué)黃河壺口瀑布(中國(guó)，2002)《史記·夏本紀(jì)》大禹治水(公元前21世紀(jì))中提到“左規(guī)矩，右準(zhǔn)繩”,表明使用了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖和測(cè)量工具，而且知道“勾三股四弦五”。考古學(xué)的成就，充分說(shuō)明了中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展。1952年在陜西西安半坡村出土的，至今六七千年的陶器上刻畫的符號(hào)中，有一些符號(hào)就是表示數(shù)字的符號(hào)。在殷墟出土的商代甲骨文中，有一些是記錄數(shù)字的文字，表明中國(guó)已經(jīng)使用了完整的十進(jìn)制記數(shù)，包括從一至十，以及百、千、萬(wàn)，最大的數(shù)字為三萬(wàn)。殷墟甲骨上數(shù)學(xué)(商代，公元前1400一前1100年，1983-1984年間河南安陽(yáng)出土)。算籌(1971年陜西千陽(yáng)縣西漢墓出土)是中國(guó)古代的計(jì)算工具，它的起源時(shí)代，又開(kāi)始出現(xiàn)嚴(yán)格的十進(jìn)位制籌算記數(shù)(約公元前300年)。怎樣用算籌記6數(shù)呢?公元3-4世紀(jì)成書的《孫子算經(jīng)》記載說(shuō)：“凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬(wàn)百相當(dāng)?！币?、貳、叁、肆、伍、陸、柒、捌、玖、拾、佰、仟、萬(wàn)。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的最大特點(diǎn)是建立在籌算基礎(chǔ)之上，是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)對(duì)人類文明的特殊貢獻(xiàn)，這與西方及阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)是明顯不同的。我國(guó)是世界上首先發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的國(guó)家。戰(zhàn)國(guó)時(shí)法家李悝(約公元前455一前395年)曾任魏文侯相，主持變法，我國(guó)第一部比較完整的法典《法經(jīng)》(現(xiàn)已失傳)中已應(yīng)用了負(fù)數(shù)，“衣五人終歲用千百不足四百五十”,意思是說(shuō)，5個(gè)人一年開(kāi)支1500錢，差450錢。甘肅居延海附近(今甘肅省張掖市管領(lǐng))發(fā)現(xiàn)的漢簡(jiǎn)中有“負(fù)四算(suàn,籌碼，同算),得七算，相除得三算”的句子。在2002年中國(guó)考古發(fā)現(xiàn)報(bào)告會(huì)上，介紹了繼秦始皇陵兵馬俑坑之后秦代考古的又一重大發(fā)現(xiàn)：湖南龍山里耶戰(zhàn)國(guó)一秦漢時(shí)期城址及秦代簡(jiǎn)牘。2002年7月，考古人員在湖南龍山里耶戰(zhàn)國(guó)一秦漢古城出土了36000余枚秦簡(jiǎn)，記錄的是秦始皇二十六年至三十七年(即公元前221-前210年)的秦朝歷史，其中有一都提到過(guò)“九九”,但實(shí)物還是首次發(fā)現(xiàn)，這是我國(guó)有文字記錄最早的乘法口訣表。最后給一首數(shù)字詩(shī)，取自宋朝理學(xué)家邵康節(jié)(公元1011-1077年，中國(guó)占卜界的主要代表人物)寫的一首詩(shī)，描繪像花園一樣美麗的地方，一幅樸實(shí)自然的鄉(xiāng)村風(fēng)俗畫，宛如一副淡雅的水墨畫：一去二三里，煙村四五家。亭臺(tái)六七座，八九十枝花。思考題1、您對(duì)《數(shù)學(xué)史》課程的期望。2、談?wù)勀睦斫猓簲?shù)學(xué)是什么?3、數(shù)學(xué)崇拜與數(shù)學(xué)忌諱。4、從數(shù)學(xué)的起源簡(jiǎn)述人類活動(dòng)對(duì)文化發(fā)展的貢獻(xiàn)。76、探討古代埃及和古代巴比倫的數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的意義。第二講古代希臘數(shù)學(xué)主要內(nèi)容：論證數(shù)學(xué)的發(fā)端，亞歷山大學(xué)派，古希臘數(shù)學(xué)的衰落家，簡(jiǎn)述11位哲學(xué)家或科學(xué)家的數(shù)學(xué)工作?！叭绻恢肋h(yuǎn)溯古希臘各代前輩所建立和發(fā)展的概念、方法和結(jié)果，我們就不可能理解近年來(lái)數(shù)學(xué)的目標(biāo)，也不可能理解它的成就。”——ClaudeHugo背景：古希臘的變遷希臘時(shí)期(公元前11世紀(jì)一前3世紀(jì)):分為愛(ài)奧尼亞時(shí)期和雅典時(shí)期。愛(ài)奧尼亞時(shí)期：公元前11世紀(jì)一前6世紀(jì)，其中公元前11世紀(jì)一前9世紀(jì)希臘各部落進(jìn)入愛(ài)琴地區(qū)，公元前9-前6世紀(jì)希臘各城邦先后形成，前776年499一前449年)以后，雅典成為希臘的霸主。雅典時(shí)期：公元前6-前3世紀(jì)，伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭(zhēng)(前431-前404年，雅典及其同盟者與以斯巴達(dá)為首的伯羅奔尼撒同盟之間的戰(zhàn)爭(zhēng)),希臘各城邦陷入馬其頓帝國(guó)崛起：前6世紀(jì)一前323年。馬其頓位于希臘的北部，處于希臘文明的邊緣，被希臘人視為蠻族。公元前4世紀(jì)起馬其頓逐漸成為希臘北部的重要國(guó)家，正當(dāng)希臘的城邦在經(jīng)歷將近100年的內(nèi)戰(zhàn)之后都精疲力竭的時(shí)候，馬其頓的菲利普二世(公元前382-前336年)把整個(gè)希臘統(tǒng)一于其統(tǒng)治之下，前337年希臘各城邦承認(rèn)馬其頓的霸主地位。前334年，亞歷山大(公元前356一前323年)率大軍渡海東征，拉開(kāi)了征服世界的序幕。亞歷山大最大的敵人是強(qiáng)大的波前323年，亞歷山大病死，他龐大的帝國(guó)也隨之分裂，古希臘歷史結(jié)束。但在帝國(guó)擴(kuò)張的過(guò)程中將希臘文明傳播至東方，史稱希臘化時(shí)代。8希臘化時(shí)期(公元前3世紀(jì)一公元7世紀(jì)):分為亞歷山大時(shí)期和亞歷山大后期。亞歷山大時(shí)期：公元前323一前30年，前48一前30年凱撒、屋大維侵占埃及。亞歷山大后期：公元前30一公元640年，公元640年阿拉伯人焚毀亞歷山大城藏書。羅馬帝國(guó)：公元前27一公元395年(公元330君士坦丁大帝遷都拜占廷，現(xiàn)為土耳其的伊斯坦布爾),西羅馬帝國(guó)：公元395-公元476年(為日爾曼人所滅),東羅馬帝國(guó)：公元395-公元1453年(610年改稱拜占廷帝國(guó)，為奧斯曼土耳其人所滅)。公元前600一前300年。1.1愛(ài)奧尼亞學(xué)派(米利都學(xué)派):泰勒斯(公元前625-前547年),出生角形兩底角相等”,“兩相交直線形成的對(duì)頂角相等”,“如果一個(gè)三角形有兩角、一邊分別與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角、邊相等，那么這兩個(gè)三角形全等”,“半圓上的圓周角是直角”(泰勒斯定理),測(cè)量過(guò)金字塔的高度。預(yù)報(bào)了公元前585年的一次日食。1.2畢達(dá)哥拉斯學(xué)派：畢達(dá)哥拉斯(約公元前560一前480年),出生于小亞細(xì)亞的薩摩斯島，與中國(guó)的孔子(公元前551一前479年)同時(shí)，曾師從愛(ài)奧尼哲學(xué)(,智力愛(ài)好):萬(wàn)物皆為數(shù)。沒(méi)有數(shù)就既不可能表9達(dá)、也不可能理解任何事物，宣稱宇宙萬(wàn)物揭示數(shù)的奧秘來(lái)探索宇宙永恒的真理。數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)研究抽象概念的認(rèn)識(shí)歸功于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，?μαθημαTlxα"(可學(xué)到的知識(shí)),“畢達(dá)哥拉斯定理”(希臘，1955),完全數(shù)(等于除它本身以外的全部因子之和，如6,28,496,…)、親和數(shù)(一對(duì)數(shù)，其中每一個(gè)數(shù)除它本身以外的所有因子之和是另一個(gè)數(shù)，如220,284),正五角星作圖與“黃金分割”(正五角星是該學(xué)派的標(biāo)志，正五角星相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的距離與其邊長(zhǎng)之比，或簡(jiǎn)單說(shuō)正五邊形邊長(zhǎng)與其對(duì)角線之比，正好是黃金比),發(fā)現(xiàn)了“不走向繁榮，可謂哲學(xué)盛行、學(xué)派林立、名家百出。雅典古衛(wèi)城最宏偉、最精美、最著名的建筑是為敬奉城市庇護(hù)女神雅典娜建造的“帕提農(nóng)神廟”(也稱"巴臺(tái)農(nóng)神廟”,建造于公元前447一前432年),其中應(yīng)用了一些數(shù)學(xué)原理。擲鐵餅者(米隆，約前450年)。1.3伊利亞學(xué)派：芝諾(約公元前490一前430年),出生于意大利南部半島的伊利亞城邦，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員的學(xué)生。阿基里斯(荷馬史詩(shī)《依里亞特》中的希臘名將，善跑)、飛矢不動(dòng)。1.4詭辯學(xué)派(智人學(xué)派):活躍于公元前5世紀(jì)下半葉的雅典城，代表人物均以雄辯著稱，詭辯的希臘原詞含智慧之意，故亦稱智人學(xué)派。古典幾何三大作圖問(wèn)題：三等分任意角、化圓為方、倍立方。安蒂豐(約公元前480一前411年),有關(guān)他的生平至今沒(méi)有確切的定論，到正八邊形、正十六邊形、、持續(xù)重復(fù)這一過(guò)程，隨著圓面積的逐漸窮竭，將得到一個(gè)邊長(zhǎng)極微小的圓內(nèi)接正多邊形。安蒂豐認(rèn)為這個(gè)內(nèi)接正多邊形將與圓一個(gè)圓的正方形。這種推理當(dāng)然沒(méi)有真正解決化圓為方問(wèn)題，但安蒂豐卻因此成希臘人對(duì)三大作圖問(wèn)題的所有解答都無(wú)法嚴(yán)格遵守尺規(guī)作圖的限制。1855年，法國(guó)科學(xué)院拒絕再審查化圓為方問(wèn)題的解。直到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們才利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)弄清了這三大問(wèn)題實(shí)際上是不可解的。如1882年林德曼(德，1852-1939年)證明了數(shù)的超越性，從而確立了尺規(guī)化圓為方的不可能性。1.5柏拉圖學(xué)派：柏拉圖(約公元前427一前347年),出生于雅典的顯貴世家，曾師從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，哲學(xué)家蘇格拉底(公元前469-前399年)的學(xué)生。歸功于柏拉圖，在古代希臘社會(huì)條件下，對(duì)于科學(xué)的形成和數(shù)學(xué)的發(fā)展，起了不的鑰匙是數(shù)與幾何圖形，發(fā)展了用演繹邏輯方法系統(tǒng)整理零散數(shù)學(xué)知識(shí)的思想。柏拉圖不是數(shù)學(xué)家，卻贏得了“數(shù)學(xué)家的締造者”的美稱，公元前387年以萬(wàn)貫家財(cái)在雅典創(chuàng)辦學(xué)院，講授哲學(xué)與數(shù)學(xué)，直到529年?yáng)|羅馬君王查士丁尼下-1520年)的壁畫：雅典學(xué)院(創(chuàng)作于1509-1510年)。古希臘最著名的哲學(xué)家、科學(xué)家：亞里士多德(公元前384-前322年)(烏拉圭，1996),柏拉圖的學(xué)生。1.6亞里士多德學(xué)派(呂園學(xué)派):出生于馬其頓的斯塔吉拉鎮(zhèn)，公元前335年建立了自己的學(xué)派，講學(xué)于雅典的呂園，又稱“呂園學(xué)派”,相傳亞里士多德還做過(guò)亞歷山大大帝的老師?！拔釔?ài)吾師，吾尤愛(ài)真理”。為歐幾里得演繹幾何體系的形成奠定了方法論的基礎(chǔ)，被后人奉為演繹推理的圣1207年亞里士多德的著作全部被譯成拉丁文。13世紀(jì)由托馬斯·阿奎那(意，1225-1274年)建立了經(jīng)院哲學(xué)，對(duì)亞里士多德哲學(xué)稍加篡改用來(lái)適應(yīng)基督教教義，試圖從哲學(xué)上以理性的名義來(lái)論證上帝的存在。亞歷山大帝國(guó)版圖、亞歷山大帝國(guó)解體。希臘化時(shí)期的數(shù)學(xué)(公元前300一公元600年)。亞歷山大去世后，帝國(guó)一分為三：安提柯王朝(馬其頓)、托勒密王朝(埃及)、塞琉古王朝(敘利亞)。亞歷山大燈塔(匈牙利，1980)。亞歷山大城現(xiàn)在是埃及最大的海港城市。郵票中的主圖是世界古代七大奇觀之一的亞歷山大(法羅斯)燈塔，建于托勒密王朝鼎盛時(shí)期的公元前285-前247年，建成的燈塔高達(dá)117米，1375年的一次猛烈地震，燈塔全毀，法羅斯島連同附近海岸地區(qū)慢慢沉入海底，千古奇觀從此煙消云散。世界古代七大奇觀指埃及金字塔、巴比倫空中花園、阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亞歷山大燈塔、羅德島太陽(yáng)神銅像，他們是分布于西亞、北非和地中海沿岸的古跡，那是古代西方人眼中的全部世界，而中國(guó)的長(zhǎng)城距他們2、亞歷山大學(xué)派時(shí)期公元前300一前30年。托勒密(托勒密·索特爾，約前367一前283年)統(tǒng)治下的希臘埃及，定都于亞歷山大城，于公元前300年左右，開(kāi)始興建亞歷山大藝術(shù)博物館和圖書館，提倡學(xué)術(shù)，羅致人才，進(jìn)入了亞歷山大時(shí)期：希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代，先后出現(xiàn)了歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯三大數(shù)學(xué)家，他們的成就標(biāo)志了古典希臘數(shù)學(xué)的巔峰。2.1歐幾里得(公元前325-前265年)早年學(xué)習(xí)于雅典，公元前300年應(yīng)托勒密一世之請(qǐng)來(lái)到亞歷山大，成為亞歷山大學(xué)派的奠基人。用邏輯方法把幾何知識(shí)建成一座巍峨的大廈，他的公理化思想和方法歷盡滄桑而流傳千古，成為后人難以跨躍的高峰?！皫缀螣o(wú)王者之道”,第一卷：直邊形，全等、平行公理、畢達(dá)哥拉斯定理(世界最早、完整、嚴(yán)采用了亞里士多德對(duì)公理、公設(shè)的區(qū)分，由5條公理，5條公設(shè)，119條定義和465條命題組成，構(gòu)成了歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系。5公理：(1)等于同量的量彼此相等；(2)等量加等量，和相等；(3)等量減等量，差相等；(4)彼此重合的圖形是全等的；(5)整體大于部分。5公設(shè)：(1)假定從任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作一直線；(2)一條有限直線可不斷延長(zhǎng)；(3)以任意中心和直徑可以畫圓；(4)凡直角都彼此相等；(5)若一《原本》是數(shù)學(xué)史上第一座理論豐碑，確立了數(shù)學(xué)的演繹范式，正如英國(guó)著名哲學(xué)與數(shù)學(xué)家羅素(1872-1970年)說(shuō)過(guò)：“歐幾里得的《原本》毫無(wú)疑義是古往今來(lái)最偉大的著作之一，是希臘理智最完美的紀(jì)念碑之一"。它也成為科學(xué)史上流傳最廣的著作之一，僅從1482年第一個(gè)拉丁文印刷本在威尼斯問(wèn)世以來(lái)，已出了各種文字的版本1000多個(gè)。存在缺陷，定義借助直觀，公理系統(tǒng)不2.2數(shù)學(xué)之神：阿基米德(公元前287一前212年)與牛頓(英，1642-1727年)、高斯(德，1777-1855年)并列有史以來(lái)最偉大的三大數(shù)學(xué)家之一，出生于西西里島的敘拉古，曾在亞歷山大城師從歐幾里得的門生。“給我一個(gè)支點(diǎn)，我就可以移動(dòng)地球”。最為杰出的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)是，在《圓的度量》中，發(fā)展了200年前安蒂豐的窮竭法，用于計(jì)算周長(zhǎng)、面積或體積，通過(guò)為3.14),這是數(shù)學(xué)史上第一次給出科學(xué)求圓周率的方法，把希臘幾何學(xué)幾乎提高到西方17世紀(jì)后才得以超越的高峰。阿基米德螺線，一位應(yīng)用數(shù)學(xué)家，阿基米德之死(在保衛(wèi)敘拉古的戰(zhàn)斗中被羅馬士兵所殺)。墓碑上是阿基米德最引以為豪的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的象征圖形：球及其外切圓柱。2.3阿波羅尼奧斯(約公元前262一前190年),出生于小亞細(xì)亞的珀?duì)柤?，得?yán)謹(jǐn)風(fēng)格寫成的傳世之作《圓錐曲線》,是希臘演繹幾何的最高成就，用純幾所達(dá)到的高度，直到17世紀(jì)笛卡兒、帕斯錐曲線》全書共8卷，含487個(gè)命題。克萊因(美，1908-1992年):它是這樣一座巍然屹立的豐碑，以致后代學(xué)貝爾納(英，1901-1971年):他的工作如此的完備，所以幾乎二千年后，開(kāi)普勒和牛頓可以原封不動(dòng)地搬用，來(lái)推導(dǎo)行星軌道的性質(zhì)。3、希臘數(shù)學(xué)的衰落公元180年前后的羅馬帝國(guó)版圖。公元前6世紀(jì)，在意大利半島的臺(tái)伯河畔，有一座羅馬城逐漸建立起來(lái)。公元前509年，羅馬建立了共和國(guó)。古羅馬經(jīng)過(guò)多個(gè)世紀(jì)的戰(zhàn)爭(zhēng)，時(shí)分時(shí)合多次。公元前27年，羅馬建立了元首政治，共和國(guó)宣告滅亡，從此進(jìn)入羅馬帝國(guó)時(shí)代。在公元前1世紀(jì)完全征服了希臘各國(guó)而奪得了地中海地區(qū)的霸權(quán)，建立了強(qiáng)大的羅馬帝國(guó)。1世紀(jì)時(shí)，羅馬帝國(guó)繼續(xù)擴(kuò)張，到2世紀(jì)，帝國(guó)版圖確定下來(lái)，它地跨歐、亞、非三洲，地中海成了它的內(nèi)湖。傳統(tǒng)的史學(xué)家把公元前27年到公元284年稱為早期羅馬帝國(guó)。進(jìn)入晚期羅馬帝國(guó)時(shí)期，帝國(guó)在戰(zhàn)亂中于395年由最后一個(gè)君主提奧多正式把帝國(guó)分為兩部分，西部以羅馬為首都分給了長(zhǎng)子阿卡狄(稱為西羅馬帝國(guó)),東部以君士坦丁堡(今土耳其的伊斯坦布爾)為首都分給了次子賀諾里(稱為東羅馬帝國(guó))。476年，西羅馬帝國(guó)皇帝被日耳曼人廢掉，西羅馬帝國(guó)滅亡，西歐奴隸制社會(huì)的歷史結(jié)束了，從此進(jìn)入了封建社會(huì)時(shí)古羅馬斗獸場(chǎng)(建于公元70-82年)。西班牙古羅馬高架引水橋(建于公元1世紀(jì)末2世紀(jì)初)高架引水橋從遙遠(yuǎn)的雪山引水到阿爾卡薩城堡，全長(zhǎng)15公里，有166個(gè)拱門，它由2萬(wàn)多塊大石頭堆砌而成，石塊間沒(méi)有任何水泥等灰漿類物質(zhì)黏合，至今仍能堅(jiān)固完好，實(shí)在令人嘆為觀止。據(jù)說(shuō)，這座已經(jīng)1900歲引水橋的引水功能，直到1950年還在使用呢!如今它是塞哥維亞的標(biāo)志性建筑。羅馬帝國(guó)的建立，唯理的希臘文明從而被務(wù)實(shí)的羅馬文明所取代。同氣勢(shì)恢弘的羅馬建筑相比，羅馬人在數(shù)學(xué)領(lǐng)域遠(yuǎn)談不上有什么顯赫的功績(jī)。由于希臘文化的慣性影響以及羅馬統(tǒng)治者對(duì)自由研究的寬松態(tài)度，在相當(dāng)長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)亞歷山大城仍然維持學(xué)術(shù)中心的地位，產(chǎn)生了一批杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作。從公元前30年一公元600年常稱為希臘數(shù)學(xué)的“亞歷山大后期”。文學(xué)大成》(《至大論》)13卷第一、二卷：地心體系的基本輪廓；第三卷：太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)；第四卷：月亮運(yùn)動(dòng)；第五卷：計(jì)算月地距離和日地距離；第六卷：日食和月食的計(jì)算；第七、八卷：恒星和歲差現(xiàn)象；第九一十三卷：分別討論五大行星的運(yùn)動(dòng)，本輪和均輪的組合在這里得到運(yùn)提出地心說(shuō)而成為整個(gè)中世紀(jì)西方天文學(xué)的經(jīng)典?！洞蟪伞分锌偨Y(jié)了在他之前的古代三角學(xué)知識(shí)，其中最有意義的貢獻(xiàn)是包含有一張正弦三角函數(shù)表，這是歷史上第一個(gè)有明確的構(gòu)造原理并流傳于世的系統(tǒng)的三角函數(shù)表。三角學(xué)的貢獻(xiàn)是亞歷山大后期幾何學(xué)最富創(chuàng)造性的成就。托勒密的本輪一均輪模型。3.2丟番圖(公元200-284年)《算術(shù)》亞歷山大后期希臘數(shù)學(xué)的一個(gè)重要特征是突破了前期以幾何學(xué)為中心的傳統(tǒng)，使算術(shù)和代數(shù)成為獨(dú)立的學(xué)科。希臘算術(shù)與代數(shù)成就的最高標(biāo)志是丟番圖的《算術(shù)》,這是一部具有東方色彩、對(duì)古典希臘幾何傳統(tǒng)最離經(jīng)叛道的算術(shù)與代數(shù)著作，其中最有名的一個(gè)不定方程：將一個(gè)已知的平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)。17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在閱讀《算術(shù)》時(shí)對(duì)該問(wèn)題給出一個(gè)邊注，引出了后來(lái)舉世是真正的符號(hào)代數(shù)出現(xiàn)之前的一個(gè)重要階段。關(guān)于丟番圖的生平，知之甚少，推測(cè)大約公元250年前后活動(dòng)于亞歷山大城，知道他活了84歲。丟番圖的墓志銘：墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實(shí)地記錄了所經(jīng)歷的道路。上帝給予的童年占六分之一，又過(guò)十二分之一，兩頰長(zhǎng)胡，再過(guò)七分之一，點(diǎn)燃起結(jié)婚的蠟燭。五年之后天賜貴子，可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進(jìn)入冰冷的墓。悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ)，又過(guò)四年，他也走完了人生的旅途。古希臘數(shù)學(xué)的落幕。基督教在羅馬被奉為國(guó)教后，將希臘學(xué)術(shù)視為異端邪說(shuō)，對(duì)異教學(xué)者橫加迫害。公元415年，亞歷山大女?dāng)?shù)學(xué)家希帕蒂婭(公元370-415年)被一群聽(tīng)命于主教的基督暴徒殘酷殺害。希帕蒂婭曾注釋過(guò)阿基米德、阿波羅尼奧斯和丟番圖的著作，是歷史上第一位杰出的女?dāng)?shù)學(xué)家。希帕蒂婭的被害預(yù)示了在基督教的陰影籠罩下整個(gè)中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)的厄運(yùn)。柏拉圖學(xué)園被封閉。公元529年?yáng)|羅馬皇帝查士丁尼(527-565年)下令封閉了雅典的所有學(xué)校，包括柏拉圖公元前387年創(chuàng)立的雅典學(xué)院。亞歷山大圖書館(當(dāng)時(shí)世界上藏書最多的圖書館)三劫，希臘古代數(shù)學(xué)至此落下帷幕。第1次劫難：前47年，羅馬凱撒燒毀了亞歷山大港的艦隊(duì)，大火殃及亞歷山大圖書館，70萬(wàn)卷圖書付之一炬。第2次劫難：公元392年羅馬狄?jiàn)W多修下令拆毀塞拉皮斯希臘神廟，30多萬(wàn)件希臘文手稿被毀。第3次劫難：公元640年阿拉伯奧馬爾一世下令收繳亞歷山大城全部希臘書籍予以焚毀。附：埃及陽(yáng)歷、儒略歷、格里歷、公歷目前通行世界的公歷，是我們大家最熟悉的一種陽(yáng)歷。這部歷法浸透了人類幾千年間所創(chuàng)造的文明，是古羅馬人向埃及人學(xué)得，并隨著羅馬帝國(guó)的擴(kuò)張和基督教的興起而傳播于世界各地。埃及陽(yáng)歷：每年365天，12個(gè)月，每月30天，外加5天年終節(jié)日。天文學(xué)家索西吉斯(前90-?)建議羅馬儒略·凱撒(前100-前44年)儒略歷：平年365天，12個(gè)月，大月31天，小月30天，單月為大月(凱撒生日在7月),8月也定為大月(屋大維(奧古斯都，前63-公元14年，凱撒雙月為大，所欠缺的天數(shù)均從2月(不吉利的月份)里扣除，使之成為28天。閏年366天，使2月成為29天。儒略歷從公元前45年1月1日開(kāi)始實(shí)行。公元325年，羅馬教皇將儒略歷規(guī)定為教歷。公歷的紀(jì)元，就是從“耶穌降生”的那年算起的，這與基督教的興盛密切相關(guān)。為了不違背宗教的規(guī)定，滿足教會(huì)對(duì)歷法的要求，羅馬教皇格里高利13世設(shè)立了改革歷法的專門委員會(huì)，比較了各種方案后，決定采用意大利醫(yī)生利里奧的方案，在400年中去掉儒略歷多出的三個(gè)閏年。格里歷：羅馬教皇格里高利13世，將1582年10月5日直接變成15日；為365.2425,更接近回歸年長(zhǎng)度(與回歸年長(zhǎng)度相差25.92秒),要過(guò)3333歷年由于格里歷的內(nèi)容比較簡(jiǎn)潔，便于記憶，而且精度較高，與天時(shí)符合較好，因此它逐步為各國(guó)政府所采用。公歷：格里歷先在天主教國(guó)家使用，20世紀(jì)初為全世界普遍采用，所以又叫公歷。思考題2、歐幾里得《原本》對(duì)數(shù)學(xué)以及整個(gè)科學(xué)的發(fā)展有什么意義?3、簡(jiǎn)述歐幾里得《原本》的現(xiàn)代意義?4、以“化圓為方”問(wèn)題為例，說(shuō)明未解決問(wèn)題在數(shù)學(xué)中的重要性。5、體驗(yàn)阿基米德方法：通過(guò)計(jì)算半徑為1的圓內(nèi)接和外切正96邊形的周長(zhǎng)，計(jì)算圓周率的近似值，計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后3位數(shù)。6、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是怎樣引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的?他們?yōu)槭裁匆獙?duì)這次數(shù)學(xué)危機(jī)采取回避的態(tài)度?第三講：中世紀(jì)的東西方數(shù)學(xué)I中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的形成與興盛：公元前1世紀(jì)至公元14世紀(jì)。分成三個(gè)階段：學(xué)發(fā)展的三次高峰，簡(jiǎn)述9位中國(guó)科學(xué)家的數(shù)學(xué)工作。1、中算發(fā)展的第一次高峰：數(shù)學(xué)體系的形成秦始皇陵兵馬俑(中國(guó)，1983),秦漢時(shí)期形成中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系。我們通過(guò)一些古典數(shù)學(xué)文獻(xiàn)說(shuō)明數(shù)學(xué)體系的形成。1983-1984年間考古學(xué)家在湖北江陵張家山出土的一批西漢初年(即呂后至文帝初年，約為公元前170年前后)的竹簡(jiǎn)，共千余支。經(jīng)初步整理，其中有歷譜、日書等多種古代珍貴的元1世紀(jì))有許多相同之處，體例也是“問(wèn)題集”形式，大多數(shù)題都由問(wèn)、答、術(shù)三部分組成，而且有些概念、術(shù)語(yǔ)也與《九章算術(shù)》的一樣。《周髀算經(jīng)》(髀：量日影的標(biāo)桿)編纂于西漢末年，約公元前100年，它雖是一部天文學(xué)著作("蓋天說(shuō)"一天圓地方；中國(guó)古代正統(tǒng)的宇宙觀是“渾天說(shuō)”一大地是懸浮于宇宙空間的圓球，“天體如彈丸，地如卵中黃”),涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)有的可以追溯到公元前11世紀(jì)(西周),其中包括兩項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)成就：勾股定理的普遍形式(中國(guó)最早關(guān)于勾股定理的書面記載),數(shù)學(xué)在天文測(cè)量中的應(yīng)用(測(cè)太陽(yáng)高或遠(yuǎn)的“陳子測(cè)日法”,陳子約公元前6、7世紀(jì)人，相似形方法)。勾股定理的普遍形式：求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作是《九章算術(shù)》(東漢，公元100年)。它不是由“九數(shù)”發(fā)展而來(lái)。在秦焚書(公元前213年)之前，至少已有原始的本子。經(jīng)過(guò)西漢張蒼(約公元前256-152年，約公元前200年，西漢陽(yáng)武(今河南原陽(yáng))人)、耿壽昌(公元前73-49年，約公元前50年)等人刪補(bǔ)，大約成書于東漢時(shí)期，至遲在公元100年。全書246個(gè)問(wèn)題，分成九章：(1)方田(土地測(cè)量),包括正方形、矩形、則運(yùn)算，求最大公約數(shù)等運(yùn)算法則；(2)粟米(糧食交易的比例方法);(3)衰分(比例分配的算法),介紹依等級(jí)分配物資或按等級(jí)攤派稅收的比例分配算法；(4)少?gòu)V(開(kāi)平方和開(kāi)立方法);(5)商功(立體形求體積法);(6)均輸(征稅),處理行程和合理解決征稅問(wèn)題，包括復(fù)比例和連比例等比較復(fù)雜的比例分配問(wèn)題；(7)盈不足(盈虧類問(wèn)題解法及其應(yīng)用);(8)方程(一次方程組解法和正負(fù)數(shù));(9)勾股(直角三角形),介紹利用構(gòu)股定理測(cè)量計(jì)面的，也有代數(shù)與幾何方面的內(nèi)容。如方程第一題，其算籌式為中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系正式形成。2、中算發(fā)展的第二次高峰：數(shù)學(xué)穩(wěn)步發(fā)展三國(guó)演義(中國(guó)，1998)。從公元220年?yáng)|漢分裂，到公元581年隋朝建立，史稱魏晉南北朝。這是中國(guó)歷史上的動(dòng)蕩時(shí)期，也是思想相對(duì)活躍的時(shí)期。在長(zhǎng)期獨(dú)尊儒學(xué)之后，學(xué)術(shù)界思辨之風(fēng)再起，在數(shù)學(xué)上也興起了論證的趨勢(shì)。許多研究以注釋《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》的形式出現(xiàn)，實(shí)質(zhì)是尋求這兩部著作中一些重要結(jié)論的數(shù)學(xué)證明。這是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)獨(dú)特而豐產(chǎn)的時(shí)期，是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)穩(wěn)步發(fā)展的時(shí)期。《九章算術(shù)》注釋中最杰出的代表是劉徽和祖沖之父子。2.1劉徽(魏晉，公元3世紀(jì))(中國(guó)，2002),淄鄉(xiāng)(今山東鄒平縣)人，布衣數(shù)學(xué)家，于263年撰《九章算術(shù)注》,不僅對(duì)《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，而且系統(tǒng)地闡述了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系與數(shù)學(xué)原理，并且多有創(chuàng)造，奠定了這位數(shù)學(xué)家在中國(guó)數(shù)學(xué)史上的不朽地位，成為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最具代表性的人物。劉徽數(shù)學(xué)成就中最突出的是“割圓術(shù)”(圓內(nèi)接正多邊形面積無(wú)限逼近圓面積)。在劉徽之前，通常認(rèn)為“周三徑一”,即圓周率取為3。劉徽在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,通過(guò)計(jì)算圓內(nèi)接正3072邊形的面積，求出圓周率為3927/1250(=3.1416)(阿基米德計(jì)算了圓內(nèi)接和外切正96邊形的周長(zhǎng))。為方便計(jì)算，劉徽主張利用圓內(nèi)接正192邊形的面積求出157/50(=3.14)作為圓周率，后人常把這個(gè)值稱為“徽率”。這使劉徽成為中算史上第一位用可靠的理論來(lái)推算圓周率的數(shù)學(xué)家，并享有國(guó)際聲譽(yù)。劉徽對(duì)π的估算值(密克羅尼西亞，1999)。劉徽利用極限思想求圓的面積，就極限思想而言，從現(xiàn)存中國(guó)古算著作看，在清代李善蘭及西方微積分學(xué)傳入中國(guó)之前，再?zèng)]有人超過(guò)甚至達(dá)到劉徽的水平。2000年國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)得主吳文俊院士指出："從對(duì)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)的角度來(lái)衡量，劉徽應(yīng)該與歐幾里得、阿基米德相提并論”。劉徽的數(shù)學(xué)思想和方法，到南北朝時(shí)期被祖沖之推進(jìn)和發(fā)展。2.2祖沖之(429-500年),范陽(yáng)遒縣(今河北淶源)人，活躍于南朝的宋、齊兩代，曾做過(guò)一些小官，但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。祖沖之：“遲疾之率，非出神怪，有形可檢，有數(shù)可推?！弊鏇_之的著作《綴術(shù)》,取得了圓周率的計(jì)算和球體體積的推導(dǎo)兩大數(shù)學(xué)成就。祖沖之關(guān)于圓周率的貢獻(xiàn)記載在《隋書》(唐，魏征主編)的《律歷志》中：“古之九數(shù)，圓周率三，圓徑率一，其術(shù)疏舛。自劉歆、張衡延宗之徒，各設(shè)新率，未臻折衷。宋末，南徐州(今江蘇鎮(zhèn)江)從事史祖沖之，更開(kāi)密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，胸?cái)?shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈胸二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。"即，祖沖之算出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，并以355/113(=3.1415929.)為密率，22/7 (=3.1428…)為約率。1913年日本數(shù)學(xué)史家三上義夫(1875-1950年)在《中國(guó)和日本的數(shù)學(xué)之發(fā)展》里主張稱355/113為祖率?！毒Y術(shù)》,學(xué)官莫能究其深?yuàn)W，是故廢而不理”?！毒Y術(shù)》失傳了，沒(méi)有任何史料流傳下來(lái)。史學(xué)家認(rèn)為，祖沖之除開(kāi)繼續(xù)使用劉徽的“割圓術(shù)”“割之又割”外，并不存在有其它方法的可能性。如按劉徽的方法，繼續(xù)算至圓內(nèi)接正12288邊形和正24576邊形可得出圓周率在3.14159261與3.14159271之間?！毒Y術(shù)》的另一貢獻(xiàn)是祖氏原理：冪勢(shì)既同則積不容異，在西方文獻(xiàn)中稱為卡瓦列里原理，或不可分量原理，因?yàn)?635年意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里(1598-1647年)獨(dú)立提出，對(duì)微積分的建立有重要影響。教學(xué)需要唐初由李淳風(fēng)(604-672年)等人注釋并校訂了《算經(jīng)十書》(約656年),即《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》(劉徽)、《孫子算經(jīng)》 (約成書于公元400年，內(nèi)有“物不知數(shù)”問(wèn)題)、《夏候陽(yáng)算經(jīng)》(成書于公元6、7世紀(jì)，內(nèi)有“百雞問(wèn)題”:今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一。凡百錢，買雞翁、母、雛各幾何)、《張邱建算經(jīng)》(張邱建，北魏清河(今邢臺(tái)市清河縣)人，約成書于公元466-485年間)、《綴術(shù)》(祖沖之)、《五曹算經(jīng)》(北周甄鸞(字叔遵，河北無(wú)極人)著)、《五經(jīng)算經(jīng)》(北周甄鸞著)和《緝古算經(jīng)》(約成書于626年前后，唐王孝通，內(nèi)有三次方程及其根，但沒(méi)有解題方法)。十部算經(jīng)對(duì)繼承古代數(shù)學(xué)經(jīng)典有積極的意義，顯示了漢唐千余年間中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的水平，是當(dāng)時(shí)科舉考試的必讀書(公元587年隋文帝開(kāi)創(chuàng)中國(guó)的科舉考試制度，1905年清朝廢止科舉制度)。3、中算發(fā)展的第三次高峰：數(shù)學(xué)全盛時(shí)期社會(huì)背景：公元960年，北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國(guó)(907-960年)割據(jù)的局面。北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)，火藥、書的發(fā)達(dá)，特別是北宋中期，在宋仁宗慶歷年間(約1041—1048年),畢升活字印刷術(shù)的發(fā)明(平民發(fā)明家畢升總結(jié)了歷代雕版印刷的豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，制成了膠泥活字，實(shí)行排版印刷，完成了印刷史上一項(xiàng)重大的革命，完整地記錄在北宋著名科學(xué)家沈括的名著《夢(mèng)溪筆談》里),給數(shù)學(xué)著作的保存與流傳帶來(lái)了福音。事實(shí)上，整個(gè)宋元時(shí)期(960—1368年),重新統(tǒng)一了的中賈憲(約公元11世紀(jì))是北宋人，在朝中任左班殿值，約1050年完成一部叫《黃帝九章算術(shù)細(xì)草》的著作，原書丟失，但其主要內(nèi)容被楊輝的《詳解九章算法》摘錄，因能傳世。賈憲發(fā)明了“增乘開(kāi)方法”,是中算史上第一個(gè)完整、賈憲創(chuàng)造了“開(kāi)方作法本源圖”(即“古法七乘方圖”或賈憲三角),西方人叫“帕斯卡三角”或“算術(shù)三角形”,因?yàn)榉▏?guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡(1623-1662年)于1654年發(fā)表論文《論算術(shù)三角形，以及另外一些類似的小問(wèn)題》。算術(shù)三角形(利比里亞，1999)。3.2隙積術(shù)沈括(1030-1094年),北宋錢塘(今浙江杭州)人，北宋著名的科學(xué)家，1080年任延州(今陜西延安市)知州，因1082年的“永樂(lè)城(今寧夏銀川附近)開(kāi)始賦閑幽居生活。沈括一生論著極多，其中以《夢(mèng)溪筆談》(1093年)影響 (解決由弦求孤的問(wèn)題)和隙積術(shù)(開(kāi)創(chuàng)研究高階等差級(jí)數(shù)之先河)。3.3天元術(shù)李冶(金、元，1192-1279年),金代真定欒城(今河北欒城)人，出生的時(shí)候，金朝(1115-1234年)正由盛而衰，曾任鈞州(今河南禹縣)知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居于封龍山治學(xué)，潛心學(xué)問(wèn)。1248年撰成代數(shù)名著《測(cè)圓海鏡》,該書是首部系統(tǒng)論述“天元術(shù)”(一元高次方程)的著作，“天劉徽注釋《九章算術(shù)》“正負(fù)術(shù)”中云：“正算赤，負(fù)算黑”,李冶感到用筆記錄時(shí)換色的不便，便在《測(cè)圓海鏡》中用斜畫一杠表示負(fù)數(shù)。“積財(cái)千萬(wàn)，不如薄技在身”。3.4大衍術(shù)秦九韶(約1202-1261年),南宋普州安岳(今四川安岳)人，曾任和州 (今安徽和縣)守，1244年，因母喪離任，回湖州(今浙江吳興)守孝三年。此間，秦九韶專心致志于研究數(shù)學(xué)，于1247年完成數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》,內(nèi)《數(shù)書九章》是我國(guó)古算中最早用圓圈O表示0號(hào)的著作。一是發(fā)展了一次同余組解法，創(chuàng)立了“大衍求一術(shù)”(一種解一次同余式的一般性算法程序，現(xiàn)稱中國(guó)剩余定理，所謂“求一”,通俗他說(shuō)，就是求“一個(gè)余式問(wèn)題解法最早見(jiàn)于《孫子算經(jīng)》(約公元400年)中的“物不知數(shù)問(wèn)題”(亦稱“孫子問(wèn)題”):今有物不知其數(shù)，三三剩二，問(wèn)物幾何??！秾O子算經(jīng)》給出的答案是23,但其算法很簡(jiǎn)略，未說(shuō)明西方，最早接觸一次同余式的是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契(1170-1250年)于1202年在《算盤書》中給出了兩個(gè)一次同余問(wèn)題，但沒(méi)有一般算法，1743年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(1707-1783年)和1801年德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯(1777-1855年)才對(duì)一的一般情形，提出了相當(dāng)完備的“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”(現(xiàn)稱秦九韶法)。在西方，直到1804年意大利數(shù)學(xué)家魯菲尼(1765-1822年)才創(chuàng)立了一種逐次近似法解決數(shù)字高次方程無(wú)理根的近似值問(wèn)題，而1819年英國(guó)數(shù)學(xué)家霍納(1786-1837年)3.5垛積術(shù)楊輝(公元13世紀(jì)),南宋錢塘(今浙江杭州)人，曾做過(guò)地方官，足跡遍數(shù)學(xué)著作之一《詳解九章算法》(1261年)是為了普及《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)知識(shí)而作，它從《九章算術(shù)》的246道題中選擇了80道有代表性的題目，進(jìn)行詳3.6四元術(shù)朱世杰(約1260-1320年),寓居燕山(今北京附近),當(dāng)時(shí)的北方，正處學(xué)之后，終于在1299年和1303年在揚(yáng)州刊刻了他的兩部代表作《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》。這一傾向的繼承?！端銓W(xué)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著,出版后不久即流傳至日本峰的又一個(gè)標(biāo)志，主要貢獻(xiàn)有四元術(shù)和招差術(shù)(高次內(nèi)插公式)。中四元布列意為即元?dú)?常數(shù)項(xiàng))居中，天元(未知數(shù)x)于下，地元(未知數(shù)y)于左，人元(未知數(shù)z)于右，物元(未知數(shù)u)于上，所以上述方程指“-x2+2x-xy2+xz+4y+4z=0”。漢卿在宋元間，與秦道古(九韶)、李仁卿(冶)可稱鼎足而三。道古正負(fù)開(kāi)方，美國(guó)著名科學(xué)史家薩頓(1884-1956年)說(shuō)：朱世杰是漢民族，他所生存3.7內(nèi)插法郭守敬(1231-1316年),順德邢臺(tái)(今河北邢臺(tái))人，元代大天文學(xué)家、學(xué)士等官職。與太史令王恂(1235-1281年，中山府(今河北定州)唐縣(今唐縣人),至元十八年(1281年),王恂喪父，去官守孝。守孝期間，因悲傷過(guò)度，不思飲食，饑餒染病而亡，享年46歲),一同吸收了前代歷法的精華，運(yùn)用宋金兩朝的數(shù)學(xué)成就(包括沈括的會(huì)圓術(shù)),使用了三次內(nèi)插公式，在1280年完成了中國(guó)古代最精密的歷法《授時(shí)歷》。設(shè)一周的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間只差26秒，早于歐洲1582年開(kāi)始使用的“格里歷”300年，使用時(shí)間長(zhǎng)達(dá)363年(1281-1643年),中國(guó)古代的歷法也發(fā)展到了高峰。此外，1276年，郭守敬根據(jù)鏡成象原理發(fā)明了“景符”測(cè)影器，制造了世界聞名的簡(jiǎn)儀、高表、窺(kuí)幾、仰儀、日晷(guǐ)、渾天象等12種天文儀器，元至元十三年(1276年)建造的河南登封觀星臺(tái)留存至今。術(shù)、天元術(shù)等在世界數(shù)學(xué)史上占有光輝的地位。4、中算的衰落主要計(jì)算工具的古代數(shù)學(xué)發(fā)展的頂峰，而《四元玉鑒》可以說(shuō)是宋元(960-1368年)數(shù)學(xué)的絕唱。14世紀(jì)中、后葉，明王朝建立以后，統(tǒng)治者奉行以八股文為特征的科舉制度，1370年明太祖朱元璋(1328-1398年)規(guī)定八股文為科舉考試的主要文體，在國(guó)家科舉考試中大幅度消減數(shù)學(xué)內(nèi)容，明初起300余年內(nèi)中國(guó)兩朝(1368-1911年)共543年，不僅未能產(chǎn)生出與《數(shù)書九章》、《四元玉鑒》元術(shù)”這樣一些宋元數(shù)學(xué)的精粹長(zhǎng)期失傳、無(wú)人通曉。4、試比較阿基米德證明體積計(jì)算公式的方法與中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的球體積計(jì)5、更精確地計(jì)算圓周率是否有意義?談?wù)勀睦碛伞?、分析宋元時(shí)期中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)興盛的社會(huì)條件。第四講：中世紀(jì)的東西方數(shù)學(xué)Ⅱ主要內(nèi)容：印度數(shù)學(xué)、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)、中世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué)，簡(jiǎn)述了10位科學(xué)1、印度數(shù)學(xué)(公元5-12世紀(jì))背景：古印度簡(jiǎn)況印度古文明的歷史可追溯到公元前3000年左右。雅利安人大約在公元前2000年紀(jì)中葉出現(xiàn)在印度西北部，逐漸向南擴(kuò)張。雅利安(梵(fàn)文，原意是“高貴的”或“土地所有者”)人入侵印度，征服了土著居民達(dá)羅毗荼人，影史前時(shí)期：公元前2300年前，公元前2500年前后，先民開(kāi)始使用文字；哈拉帕文化(1922年印度哈拉帕地區(qū)發(fā)掘發(fā)現(xiàn)):前2300一前1750年，印早期吠陀時(shí)代：前1500一前900年，前1500年左右，吠陀時(shí)代開(kāi)始，印度后期吠陀時(shí)代：前900-前600年，雅利安人的國(guó)家形成，婆羅門教形成；列國(guó)時(shí)代：前6-前4世紀(jì)，摩揭陀國(guó)在恒河流域中部稱霸，開(kāi)始走上統(tǒng)一帝國(guó)時(shí)代：前4-公元4世紀(jì)，從孔雀王朝到貴霜帝國(guó)；印度歷史上曾出現(xiàn)過(guò)強(qiáng)盛的王朝，如孔雀王朝(前324一前187年)、笈多王朝(公元320-540年),但總體而言，整個(gè)古代和中世紀(jì)，富庶的南亞次大陸幾乎不斷地處于外族的侵?jǐn)_之下，如波斯帝國(guó)、馬其頓帝國(guó)、貴霜帝國(guó)的入侵及出多元復(fù)雜的背景，最顯著的特色是其宗教印度的宗教主要是婆羅門教、印度教，梵天是婆羅門教、印度教的創(chuàng)造神。婆羅門教是印度古代宗教之一，起源于公元前2000年的吠陀教，形成于公元前7世紀(jì)。公元前6世紀(jì)一公元4世紀(jì)是婆羅門教的鼎盛時(shí)期，公元4世紀(jì)以后，由于佛教和耆(qí)那(梵文，本意“勝利者”或“征服者”)教的發(fā)展，婆羅門教開(kāi)始衰弱。公元8、9世紀(jì)，婆羅門教吸收了佛教和耆那教的一些教義，印度數(shù)學(xué)分為河谷文化時(shí)期(約公元前3000一前1400年)、吠陀時(shí)期(約公元前10-前3世紀(jì))、悉檀多時(shí)期(公元5-12世紀(jì))?！斗屯印肥指?毛里求斯，1980),《吠陀》(梵文，意為知識(shí)、光明)是印度雅利安人的作品，成書于公元前15-前5世紀(jì)，歷時(shí)1000年左右，婆羅門教的經(jīng)典，其中的《繩法經(jīng)》(前8一前2世紀(jì))是《吠陀》中關(guān)于廟宇、祭壇的設(shè)計(jì)與測(cè)量的部分(釋迦牟尼(公元前565-公元前486年)傳揚(yáng)佛教時(shí)期，佛阿育王(在位年代約為公元前268一前232年)是印度第一個(gè)信奉佛教的君主，阿育王石柱(尼泊爾，1996)記錄了現(xiàn)在阿拉伯?dāng)?shù)字的最早形態(tài)。公元前2世紀(jì)至公元后3世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)，可參考的資料主要是1881年發(fā)印度，今天位于巴基斯坦西北部距離白沙瓦約80公里處的一座村莊),其數(shù)學(xué)內(nèi)和、代數(shù)方程等，出現(xiàn)了完整的十進(jìn)制數(shù)碼，其中有““(點(diǎn))表示0,后來(lái)逐漸演變?yōu)楝F(xiàn)在通用的“0”,這一過(guò)程至遲于公元9世紀(jì)已完成，有公元876年的是太陽(yáng)的知識(shí)，相傳為太陽(yáng)神蘇利耶所著)大約是公元5世紀(jì)所寫(1860年被1.2“悉檀多”時(shí)期(公元5世紀(jì)-12世紀(jì))1.2.1阿耶波多(公元476一約550年)在印度的科學(xué)史上有重要的影響的人物，“阿耶波多號(hào)”人造衛(wèi)星(印度，1975)。最早的印度數(shù)學(xué)家，499年天文學(xué)著作《阿耶波多歷數(shù)書》(圣使天文書)傳世(相當(dāng)于祖沖之《綴術(shù)》的年代),最突出之處在于對(duì)希臘三角學(xué)的改進(jìn)，制作正弦表(sine一詞由阿耶波多稱為半弦的jiva演化而來(lái)),和一次不定方程的解法。阿耶波多獲得了π的近似值3.1416(與劉徽所得的近似值相當(dāng)),建立了丟番圖方程求解的"庫(kù)塔卡"(原意為“粉碎")法。1.2.2婆羅摩笈多(598一約665年)印度古天文臺(tái)：烏賈因天文臺(tái)。在這段時(shí)間(中國(guó)的隋唐時(shí)期),整個(gè)世界 (無(wú)論東方還是西方)都沒(méi)有產(chǎn)生一個(gè)大數(shù)學(xué)家。婆羅摩笈多出生在印度的7賈因天文臺(tái)工作，在望遠(yuǎn)鏡出現(xiàn)之前，它可謂是東方最古老的天文臺(tái)之一。628年發(fā)表天文學(xué)著作《婆羅摩修正體系》(宇宙的開(kāi)端),這是一部有21章的天文學(xué)著作，其中第12、18章講的是數(shù)學(xué)，分?jǐn)?shù)成就十分可貴，比較完整地?cái)⑹隽肆愕倪\(yùn)算法則，丟番圖方程求解的“瓦格布拉蒂”法，即現(xiàn)在所謂的佩爾(英，1611-1685年)方程的一種解法。1.2.3婆什迦羅Ⅱ(1114-1188年)印度的第二顆人造衛(wèi)星"婆什迦羅號(hào)"(1979)。古印度數(shù)學(xué)最高成就《天文系統(tǒng)之冠》(1150年，中國(guó)的南宋時(shí)期),其中教信徒的祈禱開(kāi)始展開(kāi)，講的是算術(shù)問(wèn)題，流傳著一個(gè)浪漫的故事。《莉拉沃蒂》中的一個(gè)算術(shù)問(wèn)題：帶著微笑眼睛的美麗少女，請(qǐng)你告訴我，按照你的理解的正確反演法，什么數(shù)乘以3,加上這個(gè)乘積的3/4,然后除以7,減去此商的1/3,自乘，減去52,取平方根，加上8,除以10,得2?根據(jù)反演法，從2這個(gè)數(shù)開(kāi)始回推，于是(2·10-8)^2=144,144+52=196,√196=由于印度屢被其他民族征服，使印度古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)受外來(lái)文化影響較算方法的發(fā)展，起始于印度，可能在大約10、11世紀(jì)，它被阿拉伯人采用，后來(lái)傳到歐洲，在那里，它們被改造成現(xiàn)在的形式。這些工作受到15世紀(jì)歐洲算詩(shī)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)，他們的著作含糊而神秘(雖然發(fā)明了零號(hào)),且多半是經(jīng)背景：阿拉伯簡(jiǎn)況阿拉伯帝國(guó)的興盛被認(rèn)為是人類歷史上最精彩的插曲之一，這當(dāng)然與先知穆罕默德(公元570-632年)的傳奇經(jīng)歷有關(guān)。穆罕默德570年出生在阿拉伯半默德在極其艱苦的條件下長(zhǎng)大成人。25歲那年，由于他娶了一位富商的遺孀，經(jīng)濟(jì)狀況才得到改善。直到40歲前后，穆罕默德的生命才有了奇妙的變化。穆者，在人間傳教。穆罕默德610年在麥加創(chuàng)立了伊斯蘭教，至632年一個(gè)以伊斯蘭教的來(lái)歷，它在阿拉伯語(yǔ)里的意思是“順從”,其信徒叫穆斯林(信仰安拉、服從先知的人)。四大哈里發(fā)時(shí)期(632-661年):632年穆罕默德逝世后，他的最初四個(gè)繼以“圣戰(zhàn)”為名進(jìn)行大規(guī)模的武力擴(kuò)張，為阿拉伯帝國(guó)的建立奠定了基礎(chǔ)。大約在650年，依據(jù)穆罕默德和他的信徒所講的啟示輯錄而成的《古蘭經(jīng)》(伊斯蘭教的最根本經(jīng)典，伊斯蘭教義的最高準(zhǔn)則和綱領(lǐng)，伊斯蘭教法的立法依據(jù)，由先知穆罕默德從610-632年歷時(shí)22年的傳教過(guò)程中陸續(xù)頒布的)問(wèn)世，被穆《圣訓(xùn)》(穆罕默德闡釋《古蘭經(jīng)》和實(shí)踐伊斯蘭教理的言行錄)中說(shuō)：學(xué)倭(wō)馬亞王朝時(shí)期(661-750年):主要支持者是敘利亞和埃及的大貴族，因此他們把首都遷至大馬士革，遵奉伊斯蘭教的遜尼派(正統(tǒng)派),崇尚白的龐大帝國(guó)。迄今為止，這可能是人類歷史上最大的帝國(guó)。派和各族人民的反抗斗爭(zhēng)不斷發(fā)生。在今天的伊朗一帶崛起了一個(gè)新的教派—阿拔斯王朝時(shí)期(750-1258年):阿拉伯帝國(guó)第二個(gè)封建王朝，因其旗幟年在位)創(chuàng)建，故名。755年阿拉伯帝國(guó)分裂為兩個(gè)獨(dú)立王國(guó)，東部王國(guó)阿拔斯王朝762年遷都巴格達(dá)，750-842年是帝國(guó)的極盛時(shí)代，哈里發(fā)哈龍·蘭希(公元786-808年統(tǒng)治巴格達(dá))因《天方夜譚》(又名《一千零一夜》)而為人們所熟知，巴格達(dá)成為阿拉伯人創(chuàng)建的“一座舉世無(wú)雙的城市”,國(guó)際貿(mào)易與文化中心之一，創(chuàng)造出光輝燦爛的阿拉伯文化。阿拔斯王朝前期(750-850年)的100年是阿拉伯文化下有組織、有領(lǐng)導(dǎo)地被譯成阿拉伯文，史稱“百年翻譯運(yùn)動(dòng)”。9世紀(jì)中葉后，王朝進(jìn)入分裂和衰落時(shí)代，1258年蒙古軍隊(duì)攻陷巴格達(dá)。他們需要知道祈禱的準(zhǔn)確時(shí)間(每天5次),使廣大帝國(guó)內(nèi)的臣民在祈禱時(shí)能夠明辨方向(面朝麥加)。可以說(shuō)，阿拉伯人對(duì)數(shù)學(xué)的需要主要是通過(guò)天文學(xué)和占星術(shù)(根據(jù)天象來(lái)預(yù)卜人間事務(wù)的一種方術(shù))等。伊斯坦布爾的天文學(xué)家(1971)。9-15世紀(jì)阿拉伯科學(xué)繁榮了600年，創(chuàng)立了文化中心巴格達(dá)(波斯語(yǔ)，“神賜的禮物”)。公元830年，哈里發(fā)麥蒙(公元809-833年統(tǒng)治巴格達(dá))下令在《圓錐曲線》和《天文學(xué)大成》等在內(nèi)的希臘天文、數(shù)學(xué)經(jīng)典先后被譯伯文。無(wú)論從哪方面來(lái)看，它都是公元前3世紀(jì)亞歷山大圖書館建立以來(lái)最重要斯蘭教教義或阿拉伯語(yǔ)語(yǔ)法學(xué)，等等。阿拉伯科學(xué)(突尼斯，1980)。為近代歐洲的文藝復(fù)興準(zhǔn)備學(xué)術(shù)前提方面作出了巨大貢獻(xiàn)。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，時(shí)代過(guò)去之后，這些精神財(cái)富得以傳給歐洲人。2.1早期阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)(8世紀(jì)中葉-9世紀(jì))阿爾·花拉子米(783-850年)(蘇聯(lián)，1983),生于波斯北部花拉子模地區(qū)(今烏茲別克境內(nèi)),813年來(lái)到巴格達(dá)，后成為智慧宮的領(lǐng)頭學(xué)者。820年出版《還原與對(duì)消概要》,以其邏輯嚴(yán)密、系統(tǒng)性強(qiáng)、通俗易懂和聯(lián)系實(shí)際等特點(diǎn)被奉為“代數(shù)教科書的鼻祖”,1140年被羅伯特(英)譯成拉丁文傳入歐洲，成數(shù)學(xué)影響最大的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家，這對(duì)東方數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)十分罕見(jiàn)。阿拉伯語(yǔ)的“al-jabr”意為還原，即移項(xiàng)，傳入歐洲后，到14世紀(jì)演變?yōu)槔≌Z(yǔ)“algebra”,就成了今天英文的“algebra”(代數(shù)),因此花拉子米的上述著作通常稱為《代《代數(shù)學(xué)》所討論的數(shù)學(xué)問(wèn)題本身并不比丟番圖或婆羅摩笈多的問(wèn)題簡(jiǎn)單，但它探討了一般性解法，因而遠(yuǎn)比希臘人和印度人的著作更接近于近代初等代12世紀(jì)，這本書便傳入歐洲并廣為傳播(其拉丁文手稿現(xiàn)存于劍橋大學(xué)圖書館),所以歐洲一直稱這種數(shù)碼為阿拉伯?dāng)?shù)碼。976年的西班牙數(shù)碼。拉普拉斯(1749-1827年)寫道："用十個(gè)記號(hào)來(lái)表示一切的數(shù)，每個(gè)記號(hào)不但斯兩位天才思想的關(guān)注時(shí)，我們更感到這成就的偉大了?！庇《纫话⒗?dāng)?shù)碼13世紀(jì)傳入我國(guó)，是元朝伊斯蘭教徒從當(dāng)時(shí)西方帶進(jìn)來(lái)的一套阿拉伯?dāng)?shù)碼，中國(guó)人沒(méi)有采用它。公元16世紀(jì)，西洋歷算書大量輸入我國(guó)，原著上的印度一阿拉伯?dāng)?shù)字，我國(guó)一律用中國(guó)數(shù)碼一、二、三等改譯出來(lái)。光緒十一年(公元1885年)上海出版了一本用上?？谝糇g出的西算啟蒙書，書中正式出現(xiàn)了印度一阿拉伯?dāng)?shù)字通用原型。1892年，美國(guó)傳教士狄考文(W.M.Calvin,1836-1908年)和清代鄒立文合譯《筆算數(shù)學(xué)》一書，首次正式采用了印度一阿拉伯?dāng)?shù)字，數(shù)字是按書籍直寫的。直到1902-1905年，中國(guó)數(shù)學(xué)教科書或數(shù)學(xué)用表才普遍使用印度一阿拉伯?dāng)?shù)字，并且一律與西洋算書一樣橫排。阿爾·巴塔尼(858-929年),出生于哈蘭(今土耳其東南部),對(duì)希臘三開(kāi)普勒、伽利略等人都利用和參考了它的成果，對(duì)中世紀(jì)歐洲影響最大的天文學(xué)2.2中期阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)(10-12世紀(jì))奧馬·海雅姆(1048-1131年)(阿爾巴尼亞，1997),出生于波斯東北部霍拉桑地區(qū)(今伊朗東北部),受命在伊斯法罕(今伊朗西部)天文臺(tái)負(fù)責(zé)歷法改革工作，編制了中世紀(jì)最精密的歷法“哲拉里歷”(在平年365天的基礎(chǔ)上，每33年增加8個(gè)閏日。這樣一來(lái)，與實(shí)際的回歸年僅相差19.37秒，即每4460年才誤差一天，比現(xiàn)在全世界實(shí)行的公歷，每400年置97個(gè)閏日，還要準(zhǔn)確),在代數(shù)學(xué)方面的成就集中反映于他的《還原與對(duì)消問(wèn)題的論證》(1070),最杰出的貢獻(xiàn)是研究三次方程根的幾何作圖法，提出的用圓錐曲線圖求根的理論。這一創(chuàng)造，使代數(shù)與幾何的聯(lián)系更加密切，可惜在1851年以前歐洲人并不了解他的這種解析幾何方法。此外，他在證明歐幾里得平行公設(shè)方面也做了有益的嘗試。奧馬·海雅姆陵墓(伊朗，1934年修建),“海亞姆”指制造或經(jīng)營(yíng)帳篷的阿爾·比魯尼(973-1048年)(巴基斯坦，1973),出生于波斯花拉子模城球繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)，太陽(yáng)是宇宙中心的思想等。2.3后期阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)(13-15世紀(jì))納西爾丁·圖西(1201-1274年)(伊朗，1956),出生于波斯的圖斯城(也屬霍拉桑地區(qū)，今伊朗境內(nèi)),最重要的數(shù)學(xué)著作《論完全四邊形》是數(shù)學(xué)史上流傳至今最早的三角學(xué)專著。在此以前，三角學(xué)知識(shí)只出現(xiàn)于天文學(xué)的論著中，是附屬于天文學(xué)的一種計(jì)算方法，納西爾丁的工作使得三角學(xué)成為純粹數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支，對(duì)15世紀(jì)歐洲三角學(xué)的發(fā)展起重要的作用。正是在這部書里，首阿爾·卡西(1380-1429年)(伊朗，1979),出生于卡尚(今屬伊朗),在撒馬爾罕(帖木兒王國(guó)都城，今屬烏茲別克)創(chuàng)建天文臺(tái)，并出任第一任臺(tái)長(zhǎng)，百科全書《算術(shù)之鑰》(1427),在數(shù)學(xué)上取得了兩項(xiàng)世界領(lǐng)率的計(jì)算，1424年一直算到了正3·2^28邊形的周長(zhǎng)以給出π的1是給出sin1°的精確值。人們常以他的卒年(1429)作為阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的終結(jié)。恰好這個(gè)時(shí)候，歐洲的文藝復(fù)興之火開(kāi)始在亞平寧半島(意大利南部)點(diǎn)燃。3、中世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué)(5-14世紀(jì))從公元476年西羅馬帝國(guó)滅亡到14世紀(jì)文藝復(fù)興長(zhǎng)達(dá)1000多年的歐洲歷史公元5-11世紀(jì)，是歐洲歷史上的黑暗時(shí)期，教會(huì)成為歐洲社會(huì)的絕對(duì)勢(shì)力，宣揚(yáng)天啟真理，追求來(lái)世，淡漠世俗生活，對(duì)自然不感興趣。猶太教最神圣的露天會(huì)堂：哭墻(耶路撒冷圣殿山，猶太人把這座墻視為他教安息日，仍然有人到“哭墻”表示哀悼)。撒勒，母親名叫瑪利亞，父親叫約瑟?，斃麃單幢挥⑶埃レ`降臨在她身上，30歲時(shí)受了約翰的洗禮，堅(jiān)定了他對(duì)上帝的信念。此后，耶穌就率領(lǐng)彼得、約的門徒會(huì)并一起進(jìn)行了“最后的晚餐”,在晚餐上就坐的正好是13個(gè)人，耶穌是被他的第13個(gè)門徒猶大出賣的。13就成了不吉利的數(shù)字了。135年從猶太教中分裂出來(lái)成為獨(dú)立的宗教。土耳其君士坦丁堡索非亞大教堂(建于532-537年，2008年4月3日北京坦丁堡為中心，西派以羅馬為中心，天主教就是從西派的基礎(chǔ)上演化而來(lái)的。在古代基督教中，西派不占優(yōu)勢(shì)。5世紀(jì)時(shí)外族侵?jǐn)_帝國(guó)西部，西羅馬當(dāng)局系教會(huì)的首位。476年，西羅馬帝國(guó)滅亡。5世紀(jì)末起至10世紀(jì)，羅馬主教和羅馬教會(huì)逐步確立了在整個(gè)西派教會(huì)中的實(shí)際領(lǐng)導(dǎo)地位。5世紀(jì)起，東西兩派矛盾日益尖銳，863年和867年，出現(xiàn)了羅馬主教尼古拉一世和君士坦丁堡主教佛提烏相互革除對(duì)方教籍的嚴(yán)重局面。1054年，東西兩派正式分裂，東派自稱正教，羅馬公教也稱天主教，因?yàn)?6世紀(jì)傳入中國(guó)后，因其信徒將所崇奉的神稱所以，基督教是公教、東正教和新教三大教派的總稱。圣彼得教堂(梵蒂岡，建于1506-1626年)。公元392年，基督教成為羅馬帝國(guó)的國(guó)教。5世紀(jì)末起至10世紀(jì)，羅馬主5-11世紀(jì)，成為歐洲歷史上的黑暗時(shí)期。梵蒂岡在拉丁語(yǔ)中意為“先知之地”。1929年，意大利政府同教皇簽訂了“拉特蘭條約”,承認(rèn)梵蒂岡為主權(quán)國(guó)家，其主權(quán)屬教皇。教徒整日研讀圣經(jīng)，視科學(xué)是神學(xué)的婢女，神學(xué)被譽(yù)為“科學(xué)的皇后”,甚至反因宗教教育的需要，也出現(xiàn)一些水平低下的初級(jí)算術(shù)與幾何教材。羅馬人博埃齊(約480-524年)主要以哲學(xué)家留名青史，他的哲學(xué)是古希世紀(jì)早期歐洲人了解希臘科學(xué)的唯一來(lái)源，他的眾多著作為傳播希臘羅馬文化，為普及百科知識(shí)，在長(zhǎng)達(dá)千年的歷史上起了重要作用。公元522年博埃齊被誣控叛國(guó)罪而遭監(jiān)禁，524年被處決。法國(guó)人熱爾拜爾(938-1003年)(法國(guó)，1964)999年當(dāng)選為羅馬教皇，提倡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，翻譯了一些阿拉伯科學(xué)著作，把印度一阿拉伯?dāng)?shù)碼帶入歐洲。3.2科學(xué)復(fù)蘇人發(fā)生接觸，了解阿拉伯、希臘的文化，創(chuàng)立了大學(xué)(1088年博洛尼亞大學(xué)，1160年巴黎大學(xué)，1167年牛津大學(xué)，1209年劍橋大學(xué)，1222年帕多瓦大學(xué)，1224“十字軍東征”(1096-1291年)。字軍。1095年，羅馬教皇在法國(guó)召開(kāi)宗教大會(huì)，宣布組成十字軍遠(yuǎn)征，從異教徒(穆斯林)手中奪回圣城耶路撒冷。東侵活動(dòng)從1096年起，到1291年止，歷時(shí)近200年，大規(guī)模的侵略共8次。第一次東征(1096—1099年)攻占了耶路撒冷，建立了耶路撒冷王國(guó)。第四次東征(1202年—1204年)攻陷了拜占庭帝國(guó)，在巴爾干建立拉丁帝國(guó)。歷次東侵所占據(jù)點(diǎn)后來(lái)不斷喪失，1291年最后據(jù)點(diǎn)阿克城失守，標(biāo)志著十字軍東人了解到了希臘及東方古典學(xué)術(shù)，對(duì)這些學(xué)術(shù)著作的搜求、翻譯和研究，科學(xué)開(kāi)始復(fù)蘇，加速了西歐手工業(yè)、商業(yè)的發(fā)展。12世紀(jì)是歐洲數(shù)學(xué)的大翻譯時(shí)期，希臘人的著作被阿拉伯文譯成拉丁文后，阿德拉特(英，1090-1150年)——《原本》和花拉子米的天文表。杰拉德(意，1114-1187年)—《圓的度量》。過(guò)教會(huì)的改造而成為基督教神學(xué)的基礎(chǔ)。1207年亞里士多德的著作全部被譯成拉丁文。13世紀(jì)由托馬斯·阿奎那(意，1225-1274年)建立了經(jīng)院哲學(xué)(著有《神學(xué)大全》,被認(rèn)為是基督教的百科全書，后世稱之為托馬斯主義),對(duì)亞里性的名義來(lái)論證上帝的存在(托馬斯提出了著名的證明上帝存在的5種論證，對(duì)后世有重大影響)。以亞里士多德的宇宙觀為基礎(chǔ)的托勒密體系，成為被教會(huì)認(rèn)歐洲人了解到希臘和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)，構(gòu)成后來(lái)歐洲數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)。歐洲黑暗時(shí)期過(guò)后第一位有影響的數(shù)學(xué)家是斐波那契(意，約1170-1250年),他隨父親到印度、埃及、阿拉伯和希臘等地旅行，通過(guò)廣泛地學(xué)習(xí)和認(rèn)真研究，掌握了許多計(jì)算技術(shù)，回到意大利后，編著了代表作《算盤書》(1202,1228),主要是一些源自古代中國(guó)、印度和希臘的科學(xué)問(wèn)題的匯集，書中系統(tǒng)介在經(jīng)歷了漫長(zhǎng)黑夜之后走向復(fù)蘇的號(hào)角。13世紀(jì)，整個(gè)拉丁世界數(shù)學(xué)無(wú)大進(jìn)展，而14世紀(jì)相對(duì)是數(shù)學(xué)上的不毛之地，因?yàn)橐皇前l(fā)生了英法“百年戰(zhàn)爭(zhēng)”(1337-1453年)使政治動(dòng)亂，環(huán)境不安定(戰(zhàn)爭(zhēng)的導(dǎo)火線主要是王位繼承問(wèn)題；1337-1360英勝，1369-1396年法幾乎收復(fù)全部失地，雙方締結(jié)20年停戰(zhàn)協(xié)定，1415-1428年英勝，1429-1453年法領(lǐng)土全部收復(fù)，至此百年戰(zhàn)爭(zhēng)以法的勝利而結(jié)束);二是10年之久的鼠疫引起了“黑死病”瘟疫，掃蕩了歐洲1/3以上的人口，使人的思想不能集中追求知識(shí)(1348-1352年，“黑死病”把歐洲變成了死亡陷阱，這條毀滅之路斷送了歐洲三分之一的人口，總計(jì)約2500萬(wàn)人);三是煩瑣哲學(xué)的思想仍在束縛科學(xué)，壓得科學(xué)家抬不起頭，只好把精力消磨在神學(xué)和形而上學(xué)的奇妙莫測(cè)的無(wú)聊問(wèn)題論證上，如“一根針尖上可以站立多少個(gè)天使?”“蒼蠅有多少根胡須?”思考題1、印度數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展最重要的貢獻(xiàn)是什么?他們的數(shù)學(xué)發(fā)展有何重要貢獻(xiàn)?4、論述阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)對(duì)保存希臘數(shù)學(xué)、傳播東方數(shù)學(xué)的作用。5、試說(shuō)明：古代東方數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一是以計(jì)算為中心的實(shí)用化數(shù)學(xué)。6、求斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式。第五講：文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)主要介紹15-17世紀(jì)初的東西方數(shù)學(xué)，內(nèi)容有文明背景、文藝復(fù)興時(shí)期的歐洲數(shù)學(xué)、15-17世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)。1、文明背景14世紀(jì)可以看做是文藝復(fù)興的開(kāi)始。文藝復(fù)興是指14世紀(jì)意大利各城市興起(一般認(rèn)為第一個(gè)代表人物是但丁(意，1265-1321年),代表作為《神曲》 (寫于1307-1321年),他的作品首先以含蓄的手法批評(píng)和揭露中世紀(jì)宗教統(tǒng)治的腐敗和愚蠢),15世紀(jì)后期起擴(kuò)展到西歐各國(guó)，16世紀(jì)在歐洲盛行的一場(chǎng)思想庭滅亡時(shí)搶救出來(lái)的手抄本，都展現(xiàn)在學(xué)者面前。意大利文藝復(fù)興盛期三杰：達(dá)·芬奇(1452-1519年),代表作有“最后的后人。2007年海德堡大學(xué)專家宣稱，通過(guò)分析圖書館內(nèi)一本約500年歷史的藏為1503年10月，與專家判斷作品完成的大致時(shí)間1503至1506年間剛好吻合),重視數(shù)學(xué)，“不懂?dāng)?shù)學(xué)的人不要讀我的書”,“凡是和數(shù)學(xué)沒(méi)有聯(lián)系的地方，都不是可靠的”;米開(kāi)朗琪羅(1475-1564年),代表作“大衛(wèi)"、“摩西”、圣彼得大教堂；拉斐爾(1483-1520年),代表作“雅典學(xué)院”?！叭宋闹髁x”思想是文藝復(fù)興的靈魂和中心，主張以世俗的“人”為中心，在這歷時(shí)約200年的歷史中，帶來(lái)一段科學(xué)與藝術(shù)革命時(shí)期，揭開(kāi)了現(xiàn)代歐蓬勃興起，被認(rèn)為是中古時(shí)代和近代的分界。1.2技術(shù)進(jìn)步歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的主要成就之一，是在15世紀(jì)后半葉開(kāi)始產(chǎn)生近代自然火藥：大約在公元8、9世紀(jì)時(shí)，中國(guó)火藥的主要原料—硝石已傳到了阿拉伯、波斯等地。13世紀(jì)，蒙古軍隊(duì)西征時(shí)，火器傳到阿拉伯，歐洲人首先是西班牙人，在13世紀(jì)后期通過(guò)阿拉伯人的著作才知道火藥。14世紀(jì)初，阿拉伯國(guó)制造，從14世紀(jì)歐洲開(kāi)始使用火藥和一些火器。公元105年。公元751年(唐玄宗十年),唐安西節(jié)度使高仙芝率部與阿拉伯帝國(guó)沙利將軍的軍隊(duì)在怛羅斯城(今哈薩克斯坦的江布爾)交戰(zhàn)，唐軍大敗，被俘了解造紙技術(shù)的，最早接觸紙和造紙技術(shù)的歐洲國(guó)家是一度為阿拉伯人統(tǒng)治的西班牙，公元1150年，阿拉伯人在西班牙的薩狄瓦，建立了歐洲第一個(gè)造紙場(chǎng)。13世紀(jì)，造紙術(shù)傳入了葡萄牙，繼而傳入歐洲。印刷術(shù)：中國(guó)的印刷術(shù)已經(jīng)在11世紀(jì)傳到東南亞諸國(guó)?；钭钟∷⑿g(shù)傳到歐洲是在14世紀(jì)，從我國(guó)新疆沿中亞、西亞逐步傳到歐洲的。1450-1455年約翰古騰堡(德，1400-1468年)用金屬活字印出歐洲第一套《拉丁文文法》。盡管如此，認(rèn)為畢昇是位特別有影響的人物是不對(duì)的。首先，歐洲并不是從中國(guó)學(xué)會(huì)制造活字，而是獨(dú)立發(fā)明的。其次，中國(guó)從西方學(xué)到現(xiàn)代印刷術(shù)是相當(dāng)近期的事，在此之前活字印刷術(shù)從來(lái)沒(méi)有得到普遍使用。波斯商人，經(jīng)常搭乘我國(guó)的海船往來(lái)貿(mào)易，也學(xué)會(huì)使用指南針。大約在12世紀(jì)末到13世紀(jì)初，指南針由海路由阿拉伯人傳入歐洲。1450年，德意志人古騰堡(右一)改良了中國(guó)的活字印刷術(shù)，發(fā)明了金屬活字印刷術(shù)。歐幾里得的《原本》1482年在威尼斯出版了第一個(gè)印刷版。馬克思《機(jī)器、自然力和科學(xué)的應(yīng)用》:火藥、指南針、印刷術(shù)——這是對(duì)精神發(fā)展創(chuàng)造必要前提的最強(qiáng)大的杠桿。1.3航海探險(xiǎn)最知名的有哥倫布(西，1451-1506年)(智利，1992)。葡萄牙在15世紀(jì)初期就侵入非洲西北部，建立侵略據(jù)點(diǎn)，1487年，迪亞士 (葡，1450-1500年)率領(lǐng)艦隊(duì)沿非洲西海岸南下，第二年春天進(jìn)入印度洋，歸途中發(fā)現(xiàn)好望角，在開(kāi)辟新航路的活動(dòng)中取得了重大進(jìn)展。1497年，貴族達(dá)·伽馬(葡，1469-1524年)在迪亞士航行的基礎(chǔ)上繞過(guò)非洲，在1498年到達(dá)印度海岸，從而找到了通向東方的新航路。直向西航行，就可以到達(dá)印度，得到大量的黃金、香料。1492年8月3日哥倫布(西，1451-1506年)從西班牙出發(fā)了，一直向西航行，1492年10月12日，哥倫布到達(dá)了一個(gè)現(xiàn)在稱為巴哈馬群島中的華特林島，到達(dá)美洲。1519年9月20日，麥哲倫(葡，1480-1521年)在西班牙國(guó)王的資助下，陸摸索南下，在春天到來(lái)之際發(fā)現(xiàn)了美洲南部的海峽(后人稱為麥哲倫海峽)。而后橫渡太平洋，1521年3月，終于到達(dá)了菲律賓群島，麥哲倫在干涉島上內(nèi)沿著葡萄牙人發(fā)現(xiàn)的航路于1522年9月返回西班牙，完成了了首次環(huán)球航行，證實(shí)了地球是球形的。哥倫布在瓜納阿尼島登陸(1492)。1.4天文學(xué)的革命托勒密(埃及，90-165年),宗教神學(xué)的宇宙觀：上帝創(chuàng)造了地球，地球是宇宙的中心。哥白尼(波，1473-1543年)根據(jù)長(zhǎng)期觀察推算提出“日心說(shuō)”。雖然未能認(rèn)識(shí)到宇宙的無(wú)限性，但反對(duì)上帝創(chuàng)造世界的“地心說(shuō)”,沉重打擊了宗教神學(xué)，成為自然科學(xué)進(jìn)一步發(fā)展的先聲。1543年出版《天體運(yùn)行論》,被教會(huì)列為禁書。布魯諾(意，1548-1600年)信奉哥白尼學(xué)說(shuō)，以超人的預(yù)見(jiàn)大大豐富和發(fā)展了哥白尼學(xué)說(shuō)。他1584年在《論無(wú)限、宇宙及世界》這本書當(dāng)中，提出了宇宙無(wú)限的思想，他認(rèn)為宇宙是統(tǒng)一的、物質(zhì)的、無(wú)限的和永恒的。一般人認(rèn)為布魯諾的思想簡(jiǎn)直是“駭人聽(tīng)聞”,甚至連那個(gè)時(shí)代被尊為“天空立法者”的天文學(xué)家開(kāi)普勒也無(wú)法接受，開(kāi)普勒在閱讀布魯諾的著作時(shí)感到一陣陣頭目眩暈!布魯諾在天主教會(huì)的眼里，是極端有害的“異端”和十惡不赦的敵人。他們施展狡詐的陰謀鬼計(jì)，以收買布魯諾的朋友，將布魯諾誘騙回國(guó)，并于1592年5月23日逮捕了他，把他囚禁在宗教判所的監(jiān)獄里，接連不斷地審訊和折磨竟達(dá)8年之久。但這絲毫沒(méi)有動(dòng)搖布魯諾相信真理的信念。天主教會(huì)的人們絕望了，他們兇相畢露，建議當(dāng)局將布魯諾活活燒死。布魯諾似乎早已料到，當(dāng)他聽(tīng)完宣判后，面不改色地對(duì)這伙兇殘的劊子手輕蔑地說(shuō)：“你們宣讀判決時(shí)的恐懼心理，比我走向火堆還要大得多?！?600年2月17日，布魯諾在羅馬的百花廣場(chǎng)上英勇就義了。郵票：哥白尼(波，1473-1543年)(委內(nèi)瑞拉，1973)。2、文藝復(fù)興時(shí)期的歐洲數(shù)學(xué)近代始于對(duì)古典時(shí)代的復(fù)興，但人們很快看到，它遠(yuǎn)不是一場(chǎng)復(fù)興，而是一個(gè)嶄新的時(shí)代。在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域發(fā)生了變化，在此介紹代數(shù)學(xué)、三角學(xué)、射影幾何、對(duì)數(shù)等的進(jìn)步。歐洲人在數(shù)學(xué)上的推進(jìn)是從代數(shù)學(xué)開(kāi)始的，它是文藝復(fù)興時(shí)期成果最突出、影響最深遠(yuǎn)的領(lǐng)域，拉開(kāi)了近代數(shù)學(xué)的序幕，其中包括三、四次方程的求解與符關(guān)于方程的根式解。16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)最重要的成就。1515年博洛尼亞大學(xué)數(shù)學(xué)教授費(fèi)羅(意，1465-1526年)發(fā)現(xiàn)了形如x^3+mx=n的三次方程的代數(shù)解法，密傳給學(xué)生費(fèi)奧。塔塔利亞(意，1499-1557年)(原姓豐坦那，塔塔利亞是綽號(hào)，意為口吃者)發(fā)表了《論數(shù)字與度量》(1556-1560),被稱為數(shù)學(xué)百科全書和16世紀(jì)最好的數(shù)學(xué)著作之一，其中有關(guān)于二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)排成的“塔塔利亞三角形”,比帕斯卡發(fā)表它的時(shí)間(1665年)要早100多年。性的辨論。塔塔利亞宣稱可解形如x^3+mx^2=n的三次方程，1535年2月22日費(fèi)奧與塔塔利亞在威尼斯公開(kāi)競(jìng)賽，各出30個(gè)問(wèn)題，塔塔利亞在2小時(shí)內(nèi)全部解出而獲勝，揚(yáng)名整個(gè)意大利。1539年塔塔利亞把他關(guān)于三次方程的解法寫成一首25行詩(shī)告訴卡爾丹。1548年8月10日塔塔利亞與卡爾丹的學(xué)生費(fèi)拉里在米蘭大教堂附近舉行了公開(kāi)辯論，爭(zhēng)論從上午10點(diǎn)持續(xù)到晚飯時(shí)間，聽(tīng)眾一哄而散，結(jié)果不了了之。雙方各自宣布獲勝。直至8年后，塔塔利亞才在他的名著《論數(shù)字與度量》中的一篇插文里敘述了整個(gè)論戰(zhàn)過(guò)程。米蘭大教堂：歐洲中世紀(jì)最大的教堂，可供4萬(wàn)人舉行宗教活動(dòng)，建于1386-1485年。有135個(gè)尖塔，象濃密的塔林刺向天空，且在每個(gè)塔尖上有神的雕像。教堂外部總共有2000多個(gè)雕像，甚為奇特。如果連內(nèi)部雕像總共有6000多尊，是世界上雕像最多的哥特式教堂。這個(gè)教堂有一個(gè)高