《機(jī)器人學(xué)簡(jiǎn)明教程》課件第9章

第9章機(jī)器人控制9.1反饋與閉環(huán)控制9.2二階系統(tǒng)控制9.3控制律的分解9.4軌跡跟蹤控制9.5單關(guān)節(jié)控制9.6機(jī)械臂非線(xiàn)性控制 9.1反饋與閉環(huán)控制

一般機(jī)械臂的每個(gè)關(guān)節(jié)都安裝測(cè)量關(guān)節(jié)角位置的傳感器，同時(shí)裝有對(duì)相鄰連桿施加扭矩的驅(qū)動(dòng)器。我們希望機(jī)械臂關(guān)節(jié)按期望軌跡運(yùn)動(dòng)，而驅(qū)動(dòng)器是按照扭矩指令運(yùn)動(dòng)的。因此，必須應(yīng)用某種控制律計(jì)算出適當(dāng)?shù)尿?qū)動(dòng)指令來(lái)實(shí)現(xiàn)期望的運(yùn)動(dòng)。而這些期望的扭矩主要是根據(jù)關(guān)節(jié)傳感器的反饋計(jì)算出來(lái)的。圖9－1為機(jī)器人控制系統(tǒng)的示意圖。機(jī)器人控制系統(tǒng)根據(jù)期望關(guān)節(jié)軌跡和傳感器反饋得到的關(guān)節(jié)位置與速度信息計(jì)算控制力矩，驅(qū)動(dòng)機(jī)器人實(shí)現(xiàn)期望的運(yùn)動(dòng)。如果不使用傳感器反饋信息，且假設(shè)已知系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，可以直接根據(jù)期望關(guān)節(jié)軌跡得到需要的驅(qū)動(dòng)扭矩(9－1)圖9－1機(jī)器人控制系統(tǒng)示意圖如果模型是精確的，而且不存在其他干擾，應(yīng)用式(9－1)控制機(jī)械臂即可實(shí)現(xiàn)期望的軌跡。式(9－1)這種不使用反饋信息的控制方法稱(chēng)為開(kāi)環(huán)控制。然而實(shí)際系統(tǒng)的模型一般不會(huì)是精確的，而且干擾總是存在的，所以這種開(kāi)環(huán)控制方案是不實(shí)用的。建立高性能控制系統(tǒng)的方法是利用關(guān)節(jié)角反饋信息，通過(guò)比較期望位置和實(shí)際位置之差以及期望速度與實(shí)際速度之差得到伺服誤差(9－2)系統(tǒng)根據(jù)伺服誤差函數(shù)計(jì)算驅(qū)動(dòng)器需要的扭矩。這種利用反饋的控制系統(tǒng)稱(chēng)為閉環(huán)控制系統(tǒng)。從圖9－1中可以看出，控制系統(tǒng)的信號(hào)流形成一個(gè)封閉的環(huán)?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)的核心問(wèn)題是保證閉環(huán)系統(tǒng)滿(mǎn)足特定的性能要求，而最基本的標(biāo)準(zhǔn)是系統(tǒng)必須保持穩(wěn)定。穩(wěn)定系統(tǒng)的定性解釋是，機(jī)器人在按照各種期望軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)系統(tǒng)始終保持“較小”的伺服誤差，即使存在“中度”的干擾。而不穩(wěn)定系統(tǒng)的伺服誤差隨系統(tǒng)運(yùn)行增大，而不是減小。圖9－1中所有信號(hào)線(xiàn)均表示n維矢量（假設(shè)機(jī)械臂有n個(gè)關(guān)節(jié)），因此機(jī)械臂控制系統(tǒng)是一個(gè)多輸入多輸出（MIMO）控制系統(tǒng)。本章將每個(gè)關(guān)節(jié)作為一個(gè)獨(dú)立的系統(tǒng)進(jìn)行控制，因此需要設(shè)計(jì)n個(gè)獨(dú)立的單輸入單輸出（SISO）控制系統(tǒng)。這也是目前大部分工業(yè)機(jī)器人所采用的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法。這種獨(dú)立關(guān)節(jié)控制方法是一種近似方法，因?yàn)闄C(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程的關(guān)節(jié)變量之間是相互耦合的。

控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)采用的模型可以選擇傳遞函數(shù)或微分方程描述。因?yàn)榉蔷€(xiàn)性問(wèn)題只能采用微分方程描述，所以本書(shū)采用微分方程描述系統(tǒng)的模型。

9.2二階系統(tǒng)控制

圖9－2所示為一個(gè)帶驅(qū)動(dòng)器的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，驅(qū)動(dòng)器在質(zhì)量塊上施加力f，根據(jù)牛頓第二定律可以得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程(9－3)系統(tǒng)自由振動(dòng)的微分方程為(9－4)可以寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)形式(9－5)圖9－2帶驅(qū)動(dòng)器的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)式中，ωn為固有頻率；ζ為阻尼比，其表達(dá)式分別為(9－6)假定控制的任務(wù)是使質(zhì)量塊固定在x=0處不動(dòng)，且可以通過(guò)傳感器測(cè)量質(zhì)量塊的位置和速度?？梢圆捎萌缦碌姆答伩刂坡稍摽刂葡到y(tǒng)稱(chēng)為位置校正系統(tǒng)。其功能是在存在擾動(dòng)的情況下，保持質(zhì)量塊在固定的位置。將反饋控制律式(9－7)帶入到動(dòng)力學(xué)方程式(9－3)，得到系統(tǒng)的閉環(huán)動(dòng)力學(xué)方程如下(9－8)合并相同項(xiàng)得(9－9)式中，k′=k+kp；c′=c+kd。由式(9－9)可知，通過(guò)設(shè)定控制增益可以使閉環(huán)系統(tǒng)呈現(xiàn)任何期望的二階系統(tǒng)特性。通常選擇控制增益使阻尼比ζ=0.7或者ζ=1（臨界阻尼），并使系統(tǒng)得到期望的閉環(huán)剛度。

例9－1

對(duì)于圖9－2所示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，各參數(shù)為質(zhì)量m=10kg，阻尼系數(shù)c=2Ns/m，剛度系數(shù)k=20N/m。求使閉環(huán)系統(tǒng)固有頻率為ωn=20且阻尼比ζ=0.7或者ζ=1時(shí)臨界阻尼系統(tǒng)的位置校正控制律的增益kp和kd。

解：閉環(huán)增益根據(jù)式(9－6)，當(dāng)ζ=1時(shí)因此系統(tǒng)的控制增益分別為因此系統(tǒng)的控制增益分別為圖9－3閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)曲線(xiàn) 9.3控制律的分解

在系統(tǒng)模型已知的條件下，控制律式(9－7)可以分解為基于模型的控制和伺服控制兩部分。這樣系統(tǒng)的參數(shù)（m，c，k）僅出現(xiàn)在基于模型的控制部分，使得伺服控制部分的設(shè)計(jì)變得簡(jiǎn)單容易。這種控制律分解方法在復(fù)雜的非線(xiàn)性系統(tǒng)控制中非常重要，可以把復(fù)雜的非線(xiàn)性系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題。下面以9.2節(jié)介紹的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為例介紹這種控制器設(shè)計(jì)方法。在式(9－7)中，令基于模型的控制為f=αf′+β,則(9－10)將f′作為新的系統(tǒng)輸入，并選擇(9－11)則式(9－10)變?yōu)?9－12)采用與9.2節(jié)相同的方法設(shè)計(jì)控制律(9－13)則閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為9.4軌跡跟蹤控制

9.2節(jié)和9.3節(jié)討論了期望系統(tǒng)維持在零點(diǎn)的控制律設(shè)計(jì)問(wèn)題，下面研究讓質(zhì)量塊按期望軌跡運(yùn)動(dòng)的控制律設(shè)計(jì)問(wèn)題。給定質(zhì)量塊的期望軌跡xd(t)，并假設(shè)軌跡充分光滑，即xd和xd存在。定義伺服誤差e=xd-x，并采用下面的控制律(9－15)代入到式(9－12)得到系統(tǒng)的閉環(huán)誤差動(dòng)力學(xué)方程(9－16)

因此，可以通過(guò)選擇控制增益，使閉環(huán)系統(tǒng)式(9－16)呈現(xiàn)期望的性能。采用控制分解技術(shù)設(shè)計(jì)的軌跡跟蹤控制結(jié)構(gòu)如圖9－4所示。下面討論閉環(huán)控制系統(tǒng)的抗干擾能力和存在干擾條件下的穩(wěn)態(tài)誤差。圖9－4軌跡跟蹤控制結(jié)構(gòu)

控制系統(tǒng)的一個(gè)重要作用是具有抗干擾能力，即系統(tǒng)在存在外部干擾的情況下，仍能保持良好的性能。假設(shè)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)存在有界的常值干擾力，閉環(huán)系統(tǒng)的誤差動(dòng)力學(xué)方程變?yōu)?9－17)根據(jù)常微分方程理論，誤差動(dòng)力學(xué)方程的解是有界的。當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為e=fdist/kp

(9－18)式(9－18)表明系統(tǒng)在常值干擾的情況下存在穩(wěn)態(tài)誤差，其數(shù)值隨控制增益kp增大而減小。為了消除穩(wěn)態(tài)誤差，一般采用在控制律中附加積分項(xiàng)?？刂坡蔀?9－19)系統(tǒng)的誤差方程變?yōu)?9－20)計(jì)算式(9－20)的導(dǎo)數(shù)，得(9－21)這是一個(gè)三階常微分方程，注意到干擾是常數(shù)，因此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為e=0(9－22)控制律式(9－19)是工程上廣泛使用的所謂比例-積分-微分控制，即PID控制。式(9－15)是其簡(jiǎn)化形式，稱(chēng)為PD控制。

從以上分析可知，在存在常值外部干擾的情況下，PD控制存在穩(wěn)態(tài)誤差，而附加積分項(xiàng)的PID控制可以消除這種穩(wěn)態(tài)誤差。我們?nèi)匀灰岳?－1的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為例設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制律。各參數(shù)取為質(zhì)量m=10kg，阻尼系數(shù)c=2Ns/m，剛度系數(shù)k=20N/m，設(shè)計(jì)閉環(huán)系統(tǒng)的固有頻率ωn=20，阻尼比ζ=1。PD控制律的增益kp=400和kd=40，系統(tǒng)的期望軌跡為xd=sin2πt。圖9－5給出了彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的閉環(huán)跟蹤控制曲線(xiàn)，其中圖9－5(a)是沒(méi)有外部擾動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的跟蹤控制曲線(xiàn)，虛線(xiàn)為期望軌跡，實(shí)線(xiàn)為實(shí)際軌跡。從圖上可以看出兩者基本是重合的，即實(shí)現(xiàn)了完美跟蹤。圖9－5(b)給出了系統(tǒng)存在常值擾動(dòng)fdist=300N時(shí)系統(tǒng)的跟蹤控制曲線(xiàn)，曲線(xiàn)的含義與圖9－5(a)的含義相同，從圖上可以看出系統(tǒng)響應(yīng)明顯向上偏移，即存在靜差。圖9－5(c)給出了在前面PD控制基礎(chǔ)上附加積分項(xiàng)ki=400，即PID控制的系統(tǒng)跟蹤控制曲線(xiàn)。觀察圖9－5(c)可以發(fā)現(xiàn)，開(kāi)始階段系統(tǒng)存在和PD控制類(lèi)似的誤差，但隨著誤差積分作用的顯現(xiàn)，經(jīng)過(guò)兩個(gè)周期以后系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了對(duì)期望軌跡的完美跟蹤。圖9－5彈簧質(zhì)量系統(tǒng)跟蹤控制曲線(xiàn) 9.5單關(guān)節(jié)控制

1.電機(jī)模型

假設(shè)電機(jī)常數(shù)為電樞繞組感抗la、電樞繞組電阻ra、轉(zhuǎn)矩常數(shù)km、反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)ke，電路中各物理量表示為電源電壓va、電流ia、反電動(dòng)勢(shì)v、電機(jī)轉(zhuǎn)矩τm，則電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩為(9－23)電路方程為(9－24)忽略電機(jī)感抗影響，在理想情況下可以將電機(jī)看成一個(gè)純力矩源。

2.機(jī)電模型

電機(jī)通常通過(guò)減速器與負(fù)載相連，圖9－6所示為通過(guò)減速器與負(fù)載相連的電機(jī)轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)模型。設(shè)傳動(dòng)比為η，負(fù)載轉(zhuǎn)矩為τ，負(fù)載轉(zhuǎn)角θ，則負(fù)載與電機(jī)相應(yīng)量之間的關(guān)系為(9－25)(9－26)電機(jī)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程為(9－27)式中，Im、I分別為轉(zhuǎn)子和負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；cm、c分別為轉(zhuǎn)子和負(fù)載的黏性摩擦系數(shù)。采用轉(zhuǎn)子變量表示的動(dòng)力學(xué)方程為(9－28)圖9－6電機(jī)系統(tǒng)模型采用負(fù)載變量表示的動(dòng)力學(xué)方程為(9－29)I+η2Im稱(chēng)為負(fù)載端的有效慣量，當(dāng)η>>1時(shí),電機(jī)轉(zhuǎn)子慣量占有效慣量的主要部分。因此,可以將有效慣量視為常數(shù),這也是可以采用獨(dú)立關(guān)節(jié)控制的原因之一。在上面的建模過(guò)程中,我們忽略了電機(jī)和負(fù)載的柔性,但實(shí)際系統(tǒng)都存在一定的柔性。假設(shè)系統(tǒng)的柔性振動(dòng)固有頻率為ωres,為了防止激起未建模的柔性動(dòng)態(tài)（柔性共振）,則設(shè)計(jì)閉環(huán)控制系統(tǒng)的固有頻率應(yīng)該滿(mǎn)足(9－30)如果為了加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度而選擇很高的增益,就有激起系統(tǒng)未建模柔性共振的風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)于帶有太陽(yáng)帆板等柔性部件的航天器,因?yàn)闆](méi)有空氣阻力,柔性共振后果比較嚴(yán)重。歷史上就曾有過(guò)因?yàn)榭刂葡到y(tǒng)引起衛(wèi)星柔性共振而出現(xiàn)事故的教訓(xùn)。

單關(guān)節(jié)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中,假設(shè)電機(jī)為純力矩源、有效慣量為常數(shù)、機(jī)構(gòu)柔性可以忽略。則可以采用如下的分解控制策略(9－31)(9－32)則閉環(huán)系統(tǒng)誤差動(dòng)力學(xué)方程為(9－33)設(shè)計(jì)閉環(huán)系統(tǒng)的固有頻率為柔性固有頻率的1/2，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)，則控制增益為(9－34)顯然，控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)需要對(duì)結(jié)構(gòu)的柔性進(jìn)行估計(jì)。 9.6機(jī)械臂非線(xiàn)性控制

1.反饋線(xiàn)性化控制

前面介紹的單關(guān)節(jié)控制忽略了機(jī)械臂連桿間的耦合,而實(shí)際系統(tǒng)是高度耦合的非線(xiàn)性系統(tǒng)。下面仍然采用控制律分解技術(shù)設(shè)計(jì)控制律,系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為(9－35)選擇分解控制參數(shù)(此時(shí)為矩陣和矢量)(9－36)伺服控制律(9－37)其中，伺服誤差定義為(9－38)系統(tǒng)的閉環(huán)誤差動(dòng)力學(xué)方程為(9－39)實(shí)際應(yīng)用一般選擇控制增益矩陣Kp和Kd為對(duì)角矩陣，則此時(shí)矢量方程式(9－39)是解耦的，可以寫(xiě)成與獨(dú)立關(guān)節(jié)控制相同的形式(9－40)采用控制律分解技術(shù)，基于模型的控制部分的反饋補(bǔ)償將系統(tǒng)變?yōu)閱挝毁|(zhì)量的二階線(xiàn)性系統(tǒng)，因此該方法也被稱(chēng)為反饋線(xiàn)性化方法。當(dāng)然，實(shí)際系統(tǒng)不可能具有如此理想的控制性能，因?yàn)槟Ｐ涂偸遣粔蚓_的。下面以第6章例6－5采用的兩連桿平面機(jī)械臂（見(jiàn)圖6－7）為對(duì)象，說(shuō)明機(jī)械臂反饋線(xiàn)性化控制（控制律分解技術(shù)）方法。仿真采用的機(jī)械臂的參數(shù)如下

大臂質(zhì)量m1=1kg,小臂質(zhì)量m2=0.2kg,大臂長(zhǎng)度L1=1m,小臂長(zhǎng)度L2=0.6m,大臂質(zhì)心到臂起點(diǎn)距離Lc1=0.5m,小臂質(zhì)心到臂起點(diǎn)距離Lc2=0.3m,大臂轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1=0.1kgm2,小臂轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I2=0.02kgm2,重力加速度g=9.8m/s2。采用式（9－36）和式（9－37）給出的控制律分解和伺服控制方法，閉環(huán)系統(tǒng)的剛度為ωn=10（kp=100），阻尼比η=0.7（kd=14）。期望機(jī)械臂末端畫(huà)一個(gè)以（0.5,0）為圓心，以0.1為半徑的圓，期望機(jī)械臂末端運(yùn)動(dòng)軌跡選為因?yàn)闄C(jī)械臂控制是在關(guān)節(jié)空間進(jìn)行的，所以必須先求出關(guān)節(jié)空間的期望關(guān)節(jié)角及其角速度軌跡。期望關(guān)節(jié)角軌跡可以按一定的時(shí)間步長(zhǎng)采用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)式（3－12）~式（3－14）計(jì)算離散時(shí)間點(diǎn)的值。期望角速度軌跡可以采用雅可比矩陣建立的關(guān)節(jié)空間速度與笛卡爾空間速度的關(guān)系式（5－15）獲得，例5－3已經(jīng)計(jì)算了該機(jī)械臂的雅可比矩陣。而笛卡爾空間速度可以通過(guò)對(duì)上面給出的期望機(jī)械臂末端運(yùn)動(dòng)軌跡求導(dǎo)而得到。圖9－7給出了兩連桿機(jī)械臂反饋線(xiàn)性化跟蹤控制的仿真結(jié)果，仿真圖表明，即使在初始誤差比較大的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)也可以實(shí)現(xiàn)期望軌跡的有效跟蹤。圖9－7兩連桿機(jī)械反饋線(xiàn)性化跟蹤控制仿真結(jié)果

2.獨(dú)立關(guān)節(jié)PID控制

實(shí)際工業(yè)機(jī)器人一般采用如下的獨(dú)立關(guān)節(jié)PID控制(9－41)式中，增益矩陣Kd、Kp、Ki為正常數(shù)對(duì)角矩陣，當(dāng)期望加速度未知時(shí)可以簡(jiǎn)單地設(shè)為零。也就是實(shí)際工業(yè)機(jī)器人一般不采用基于模型的控制。因此，可以簡(jiǎn)單地對(duì)機(jī)械臂的每個(gè)關(guān)節(jié)獨(dú)立進(jìn)行控制，一般每個(gè)關(guān)節(jié)采用一個(gè)獨(dú)立的單片機(jī)（或數(shù)字信號(hào)處理器DSP）進(jìn)行控制。因?yàn)閯?dòng)力學(xué)的重力項(xiàng)估計(jì)相對(duì)比較容易，所以也有些工業(yè)機(jī)器人采用附加重力補(bǔ)償項(xiàng)的控制方法(9－42)

同時(shí)也可以將質(zhì)量矩陣的估計(jì)引入到控制系統(tǒng)中，但速度項(xiàng)和摩擦項(xiàng)一般難以建模估計(jì)。獨(dú)立關(guān)節(jié)PID控制和帶重力補(bǔ)償項(xiàng)PID控制的穩(wěn)定性分析不能采用前面的線(xiàn)性系統(tǒng)分析方法，可以采用下面介紹的李雅普諾夫方法證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

（1）李雅普諾夫直接法。

19世紀(jì)俄國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家李雅普諾夫提出了兩種分析非線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。一種是將非線(xiàn)性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近線(xiàn)性化，再根據(jù)線(xiàn)性系統(tǒng)特征值分布情況分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，稱(chēng)為李雅普諾夫第一方法。另一種是定義李雅普諾夫能量函數(shù)，從能量的角度直接分析非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，稱(chēng)為李雅普諾夫第二方法（又稱(chēng)李雅普諾夫直接法）。李雅普諾夫直接法及其改進(jìn)方法仍然是目前非線(xiàn)性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與設(shè)計(jì)的基本方法。下面以前面介紹的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)自由振蕩平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性為例說(shuō)明李雅普諾夫直接法。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為(9－43)式中，x=0是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。對(duì)任意的x，系統(tǒng)的能量函數(shù)為(9－44)式中，第一項(xiàng)是系統(tǒng)動(dòng)能；第二項(xiàng)是系統(tǒng)彈性勢(shì)能。將式(9－44)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并考慮動(dòng)力學(xué)方程式(9－43)，可以得到系統(tǒng)能量隨時(shí)間的變化率為(9－45)

上式只有x=0時(shí)等號(hào)成立，否則就是小于零的。因此，從任何初始狀態(tài)出發(fā)，系統(tǒng)的能量總是隨時(shí)間下降（耗散）的，直到系統(tǒng)達(dá)到靜止（x=0）狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)靜止時(shí)加速度為零，所以根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程式(9－43)可知..kx=0x=0(9－46)因此，系統(tǒng)從任何初始狀態(tài)出發(fā)都將穩(wěn)定到系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。下面給出一般非線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定性判定的李雅普諾夫直接法。給定一般的非線(xiàn)性常微分方程組(9－47)式中，X是m維矢量；f(X)是任意的非線(xiàn)性函數(shù)，假設(shè)零點(diǎn)是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)（f(0)=0）。構(gòu)造廣義能量函數(shù)（李雅普諾夫函數(shù)）V(X)，滿(mǎn)足以下條件：①V(X)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意X≠0都有V(X)>0，且V(0)=0。

②V(X)沿任何系統(tǒng)的軌跡對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)足。

則式(9－47)表示的系統(tǒng)平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，如果條件②中的導(dǎo)數(shù)除平衡點(diǎn)X=0外均有，則系統(tǒng)平衡點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

例9－2

給定線(xiàn)性系統(tǒng)X=－AX，其中，A為m×m對(duì)稱(chēng)正定矩陣。試用李雅普諾夫直接法證明系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

解：因?yàn)锳為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，所以X=0是系統(tǒng)唯一平衡點(diǎn)，選取李雅普諾夫函數(shù)為.該函數(shù)是正定二次函數(shù)，滿(mǎn)足前面的條件①，對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得因?yàn)锳是對(duì)稱(chēng)正定矩陣，上式為非正的，且只有當(dāng)X=0時(shí)為零，所以系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

例9－3

給定具有非線(xiàn)性剛度的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)自由振蕩動(dòng)力學(xué)方程，試用李雅普諾夫直接法證明系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

解：x=0是系統(tǒng)唯一平衡點(diǎn)，選擇李雅普諾夫函數(shù)為該函數(shù)是正定的，滿(mǎn)足前面的條件1，對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得該函數(shù)是非正的，所以系統(tǒng)將穩(wěn)定到，且。此時(shí)，根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程知x=0，因此該系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。（2）帶重力補(bǔ)償PID控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

下面采用李雅普諾夫直接法分析工業(yè)機(jī)器人控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為(9－48)采用附加重力補(bǔ)償項(xiàng)的控制方法(9－49)代入到式(9－48)得系統(tǒng)誤差動(dòng)力學(xué)方程為(9－50)選擇李雅普諾夫函數(shù)為(9－51)式中，為系統(tǒng)狀態(tài)變量，該函數(shù)是正定的，滿(mǎn)足前面的條件①，對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得(9－52)上式推導(dǎo)過(guò)程中使用了如下結(jié)果：

①②第一式是根據(jù)機(jī)械臂拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程的結(jié)構(gòu)得到的結(jié)論，詳細(xì)的可參考相關(guān)文獻(xiàn)。第二式中注意到兩項(xiàng)都是標(biāo)量（數(shù)），轉(zhuǎn)置和自身相等，同時(shí)Kp是對(duì)稱(chēng)矩陣即可得到該結(jié)果。

3.笛卡爾空間控制方法

前面介紹的工業(yè)機(jī)器人控制采用的都是關(guān)節(jié)空間的方法，而實(shí)際應(yīng)用中一般給出的是末端執(zhí)行器的軌跡，需要采用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方法計(jì)算。逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算比較復(fù)雜而且一般是多解的。所以，人們研究了采用基于笛卡爾坐標(biāo)空間的控制方法。圖9－8給出了其中一種笛卡爾坐標(biāo)空間控制的實(shí)現(xiàn)方法（不需要位姿測(cè)量，只測(cè)量關(guān)節(jié)角）。笛卡爾坐標(biāo)空間控制的實(shí)現(xiàn)通過(guò)系統(tǒng)雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置建立笛卡爾空間力和關(guān)節(jié)空間力矩的關(guān)系，通過(guò)系統(tǒng)的正運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算出笛卡爾空間坐標(biāo)值。笛卡爾空間控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能分析均比較復(fù)雜，而且由于非線(xiàn)性作用，難以保證系統(tǒng)在整個(gè)空間上的性能良好。圖9－8笛卡爾空間控制結(jié)構(gòu)

4.機(jī)械臂力控制

前面介紹了機(jī)械臂的空間軌跡跟蹤控制問(wèn)題，為了提高控制的精度和速度，閉環(huán)系統(tǒng)一般都具有非常高的剛度。當(dāng)考慮機(jī)械臂與環(huán)境接觸的操作任務(wù)時(shí)，如讓機(jī)器人抓取一個(gè)生雞蛋，采用位置控制方法顯然是不合適的。因?yàn)槲恢谜`差總是存在的，操作的結(jié)果經(jīng)常會(huì)是將雞蛋抓碎或者抓不起來(lái)。完成此類(lèi)任務(wù)的方法就是機(jī)械臂的力控制。下面以圖9－9所示簡(jiǎn)單的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)介紹力控制方法。圖9－9接觸力控制力控制主要用于機(jī)械臂與環(huán)境接觸問(wèn)題，接觸模型通常簡(jiǎn)化為一個(gè)彈簧表示接觸剛度ke。需要控制的是作用于環(huán)境的力fe，它是施加在彈簧上的作用力。(9－53)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為(9－54)利用式(9－53)，將x及其導(dǎo)數(shù)用環(huán)境力fe表示，式(9－54)變?yōu)?9－55)采用控制律分解技術(shù)令基于模型的控制為f=αf′+β,并選擇得到系統(tǒng)控制律(9－56)式中，e=fd-fe為期望環(huán)境力與實(shí)際環(huán)境力之差。系統(tǒng)的閉環(huán)誤差方程為(9-57)同9－4節(jié)類(lèi)似，可以通過(guò)選擇控制增益系統(tǒng)來(lái)使系統(tǒng)具有期望的性能。一般控制任務(wù)是將系統(tǒng)的接觸力控制到常數(shù)值，所以系統(tǒng)的控制律簡(jiǎn)化為(9－58)圖9－10給出了彈簧質(zhì)量系統(tǒng)力控制誤差曲線(xiàn)，仿真中參數(shù)選為質(zhì)量m=10kg，環(huán)境剛度ke=1000N/s，控制律的增益kp=400和kd=40，期望環(huán)境力fd=100N，干擾力fdist=100N。圖9－10(b)是采用PD力伺服控制時(shí)，系統(tǒng)的力跟蹤誤差曲線(xiàn)。從圖上可以看出系統(tǒng)跟蹤誤差穩(wěn)定在一個(gè)恒定值，即系統(tǒng)存在靜差。圖9－10(c)給出了在前面PD控制基礎(chǔ)上附加積分項(xiàng)ki=400，即PID力伺服控制的系統(tǒng)跟蹤控制曲線(xiàn)。圖9－10彈簧質(zhì)量系統(tǒng)力控制誤差曲線(xiàn)觀察圖9－10(c)可以發(fā)現(xiàn)，開(kāi)始階段系統(tǒng)存在和PD控制類(lèi)似的誤差，且有一定的超調(diào)量，但隨著誤差積分作用的顯現(xiàn)，經(jīng)過(guò)4s以后系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了對(duì)期望力軌跡的完美跟蹤（誤差趨于0）。圖9－10(a)是采用PID力伺服控制時(shí)，系統(tǒng)的位移跟蹤誤差曲線(xiàn)?？梢园l(fā)現(xiàn)系統(tǒng)位移趨于0.1m，與環(huán)境剛度相乘得到的環(huán)境力恰好為期望環(huán)境力。

5.機(jī)械臂阻抗控制

前面介紹的機(jī)械臂力控制方法需要已知環(huán)境的剛度，同時(shí)還需要環(huán)境力的測(cè)量。環(huán)境剛度估計(jì)是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，同時(shí)，力的傳感器測(cè)量經(jīng)常是不方便的，而且難以達(dá)到比較高的精度。同位置測(cè)量相比，力測(cè)量的代價(jià)是比較大的。下面以機(jī)器人繪圖為例說(shuō)明所謂“阻抗控制”的基本思想。圖9－11所示極坐標(biāo)機(jī)器人，機(jī)器人可以沿Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)可以沿X軸滑動(dòng)。通過(guò)控制θ和d可以使機(jī)械臂末端按期望的平面軌跡運(yùn)動(dòng)（例如直線(xiàn)、圓等）。如果在機(jī)械臂末端夾持一支筆，則可以期望能在工作臺(tái)的紙上畫(huà)出相應(yīng)的曲線(xiàn)。但是，在實(shí)際系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn)卻不是很容易的。因?yàn)檎`差總是存在的，若筆太高則不能與紙張接觸，而筆太低則可能卡住。一種簡(jiǎn)單的解決方法是在筆與機(jī)械臂末端之間放置一根合適的彈簧，則可以在一定的誤差范圍內(nèi)完成繪制曲線(xiàn)的任務(wù)。圖9－11極坐標(biāo)機(jī)器人上面的例子不是通過(guò)力控制方法來(lái)實(shí)現(xiàn)筆與紙面的接觸力大小，而是通過(guò)彈簧來(lái)實(shí)現(xiàn)的。該方法是一種被動(dòng)的力控制方法。按照這種思想，機(jī)器人的力控制可以通過(guò)控制閉環(huán)系統(tǒng)自身的剛度來(lái)實(shí)現(xiàn)。下面仍然以簡(jiǎn)單的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為例介紹機(jī)器人的阻抗控制方法。

圖9－12所示與環(huán)境接觸的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，其中fe為機(jī)器人對(duì)環(huán)境的作用力。系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為(9－59)期望動(dòng)作為(9－60)式中，e=xd-x為系統(tǒng)位置誤差；md、cd、kd分別表示期望的質(zhì)量、阻尼和剛度系數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)的加速度可測(cè)，根據(jù)式(9－59)和式(9－60)，可以得到系統(tǒng)的阻抗控制律為(9－61)圖9－12與環(huán)境接觸的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)選擇合適的期望的質(zhì)量、阻尼和剛度系數(shù)，采用式(9－61)的阻抗控制即可使環(huán)境力按式(9－60)進(jìn)行期望的動(dòng)作。

圖9－13給出了彈簧質(zhì)量系統(tǒng)阻抗控制閉環(huán)響應(yīng)曲線(xiàn)，仿真中參數(shù)選為質(zhì)量m=10kg，阻尼系數(shù)c=20N·s/m，剛度系數(shù)k=100N/m，位置控制設(shè)計(jì)系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)固有頻率為ωn=20，系統(tǒng)的期望軌跡為xd=0。阻抗控制律的期望系統(tǒng)質(zhì)量md=10kg，阻尼系數(shù)cd=14N·s/m，剛度系數(shù)kd=40N/m，環(huán)境剛度ke=10000N/s。圖9－13(a)是分別采用位置伺服控制和阻抗控制時(shí)，系統(tǒng)的位移跟蹤曲線(xiàn)，其中細(xì)實(shí)線(xiàn)表示位置控制，粗實(shí)線(xiàn)表示阻抗控制。從該圖上可以看出阻抗控制系統(tǒng)6s左右可以實(shí)現(xiàn)期望軌跡跟蹤，比位置伺服控制跟蹤速度慢一些。圖9－13(b)給出了使用位置伺服控制的閉環(huán)系統(tǒng)環(huán)境力響應(yīng)曲線(xiàn)，可以看出最大環(huán)境力超過(guò)300N。圖9－13(c)給出了使用阻抗控制的閉環(huán)系統(tǒng)環(huán)境力響應(yīng)曲線(xiàn)，可以看出最大環(huán)境力小于30N。比較圖9－13(b)與圖9－13(c)可以發(fā)現(xiàn)采用阻抗控制可以有效減小機(jī)械臂對(duì)環(huán)境的沖擊力。為了說(shuō)明問(wèn)題，位置伺服控制設(shè)計(jì)成欠阻尼系統(tǒng)，因?yàn)閷?shí)際系統(tǒng)總是存在一定的誤差，不可能恰好處于理想狀態(tài)。圖9－13彈簧質(zhì)量系統(tǒng)阻抗控制響應(yīng)曲線(xiàn)

6.機(jī)械臂力/位置混合控制

如圖9－14所示3自由度移動(dòng)關(guān)節(jié)笛卡爾機(jī)械臂，末端手爪與豎直表面接觸。假設(shè)關(guān)節(jié)軸線(xiàn)沿著約束坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸方向。忽略滑動(dòng)摩擦，末端執(zhí)行器與剛度為ke的表面接觸，Yc軸垂直于接觸表面。因此，在Yc軸方向需要力控制，Xc軸和Zc軸方向需要進(jìn)行位置控制。對(duì)于圖9－14所示的笛卡爾機(jī)械臂，1軸和3軸采用位置伺服控制，而2軸則采用力控制。圖9－14與表面接觸的3自由度笛卡爾機(jī)械臂圖9－15給出了三自由度笛卡爾機(jī)械臂的力/位置混合控制的一般結(jié)構(gòu)。引入約束矩陣S和S′描述力和位置控