數(shù)學(xué)課堂探究：復(fù)數(shù)的幾何意義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課堂探究探究一復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)1．確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的位置時(shí),關(guān)鍵是理解好復(fù)數(shù)與該點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的實(shí)部就是該點(diǎn)的橫坐標(biāo)，復(fù)數(shù)的虛部就是該點(diǎn)的縱坐標(biāo),據(jù)此可建立復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件，通過(guò)解方程或不等式求解．2．確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合的圖形時(shí)，首先根據(jù)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系找出點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,再結(jié)合平面解析幾何的相關(guān)知識(shí)確定圖形形狀．【典型例題1】已知復(fù)數(shù)z＝（a2－1)＋(2a－1)i,其中a∈R.當(dāng)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿足下列條件時(shí),求a的值（或取值范圍(1)在實(shí)軸上;(2)在第三象限；(3）在拋物線y2＝4x上．思路分析：根據(jù)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,得到復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立關(guān)于a的方程或不等式求解．解:復(fù)數(shù)z＝（a2－1)＋（2a－1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(a2－1，2a（1)若z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，則有2a－1＝0，解得a＝eq\f（1，2)；（2）若z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a2－1〈0，,2a－1〈0，）)解得－1＜a＜eq\f（1，2);（3）若z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在拋物線y2＝4x上，則有(2a－1)2＝4(a2－1)，即4a2－4a＋1＝解得a＝eq\f(5,4）.【典型例題2】試確定在復(fù)平面內(nèi),滿足下列條件的復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合分別是什么圖形．(1）y＝2;（2）1≤x≤4；(3)x＝y(tǒng)；(4)｜z|≤5。思路分析:根據(jù)復(fù)數(shù)滿足的條件，獲得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間滿足的條件，從而確定點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圖形．解:（1)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，y），而y＝2，所以點(diǎn)的集合是一條與實(shí)軸平行的直線．（2)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（x,y),而1≤x≤4,所以點(diǎn)的集合是夾在垂直于實(shí)軸的兩條直線之間的一個(gè)帶形區(qū)域（含兩邊界直線）．(3)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（x，y），而x＝y(tǒng)，所以點(diǎn)的集合是一條直線，它是復(fù)平面的第一、三象限的平分線．（4）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（x,y），而|z|≤5，即eq\r（x2＋y2）≤5，所以x2＋y2≤25，因此點(diǎn)的集合是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心,半徑等于5的圓的內(nèi)部，包含圓的邊界．探究二復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)1．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量eq\o（OA,\s\up6(→））對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù);2．一個(gè)向量不管怎樣平移，它所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)不變，但其終點(diǎn)和起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可能改變．【典型例題3】已知向量eq\o（OA，\s\up6(→）)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是4＋3i，點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A1，將向量eq\o(OA1，\s\up6(→））平移，使其起點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn)，這時(shí)終點(diǎn)為A2.（1)求向量eq\o(OA1,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)求點(diǎn)A2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．思路分析：根據(jù)復(fù)數(shù)與點(diǎn)、復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系求解．解：（1）∵向量eq\o(OA,\s\up6(→））對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是4＋3i，∴點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)也是4＋3i，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(4，3),∴點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1為(4，－3)，故向量eq\o(OA1,\s\up6（→）)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是4－3i；(2)依題意知eq\o(OA1，\s\up6(→))＝eq\o(AA2，\s\up6（→))，而eq\o（OA1,\s\up6（→））＝(4,－3)，設(shè)A2(x，y)，則有（4，－3)＝(x－4，y－3），∴x＝8,y＝0,即A2（8，0)，∴點(diǎn)A2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是8.探究三復(fù)數(shù)的模及其計(jì)算1．復(fù)數(shù)的模表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；2．求復(fù)數(shù)的模時(shí)，應(yīng)先確定復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，再套用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算求解；3．若兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，它們的模一定相等；反之，兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相等,這兩個(gè)復(fù)數(shù)不一定相等；4．兩個(gè)復(fù)數(shù)不一定能比較大小，但復(fù)數(shù)的模一定可以比較大小．【典型例題4】(1）若復(fù)數(shù)z＝(a－2)＋2ai的模等于eq\r（5）,則實(shí)數(shù)a的值等于________．(2)若復(fù)數(shù)z＝（m2－9)＋（m2＋2m－3）i是純虛數(shù)，其中m∈R，則｜z｜＝解析：(1）由已知可得eq\r(a－22＋2a2）＝eq\r(5），即5a2－4a＋4＝5,5a2解得a＝1或－eq\f（1，5）。（2）由于復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－9＝0，，m2＋2m－3≠0,))解得m＝3.這時(shí)z＝12i，因此｜z｜＝｜12i｜＝12。答案：(1)1或－eq\f(1,5)(2)12探究四共軛復(fù)數(shù)及其應(yīng)用復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用eq\x\to(z)來(lái)表示，即若z＝a＋bi（a，b∈R)，則eq\x\to（z)＝a－bi(a，b∈R)．在復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)Z（a，b）對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a,b∈R）；點(diǎn)eq\x\to(Z)(a，－b)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)eq\x\to（z)＝a－bi(a，b∈R)，點(diǎn)Z和eq\x\to(Z)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)．【典型例題5】已知x－1＋yi與i－3x是共軛復(fù)數(shù)，求實(shí)數(shù)x與y的值．思路分析：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)相等的概念列方程組求x，y。解：i－3x的共軛復(fù)數(shù)為－3x－