數學課堂探究：回歸分析的基本思想及其初步應用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一求回歸直線方程求回歸直線方程的一般方法是：(1)作出散點圖，將問題所給的數據在平面直角坐標系中描點，這樣表示出的具有相關關系的兩個變量的一組數據的圖形就是散點圖．從散點圖中我們可以看出樣本點是否呈條狀分布，從而判斷兩個量是否具有線性相關關系．（2)求回歸系數eq\o(a,\s\up6(^)），eq\o(b，\s\up6(^）），其計算公式如下:eq\o（b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,）xi－\x\to(x)yi－\x\to(y），\i\su（i＝1,n，）xi－\x\to(x）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x）iyi－n\x\to(x）\x\to(y)，\i\su（i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to（x2）)；eq\o(a,\s\up6(^)）＝eq\x\to(y）－eq\o（b,\s\up6(^））eq\x\to(x）.其中eq\x\to（x)＝eq\f(\i\su(i＝1，n，x)i,n），eq\x\to（y）＝eq\f(\i\su（i＝1,n，y)i，n),(eq\x\to（x），eq\x\to(y）)稱為樣本點的中心．（3）寫出回歸直線方程eq\o（y,\s\up6(^））＝eq\o(b,\s\up6（^）)x＋eq\o(a，\s\up6（^）),并用回歸直線方程進行預測說明：當x取x0時，由線性回歸方程可得eq\o（y0,\s\up6(^））的值,從而可進行相應的判斷．【典型例題1】某班5名學生的數學和物理成績如下表:（1)畫出散點圖；（2）求物理成績y對數學成績x的回歸直線方程；(3)一名學生的數學成績是96，試預測他的物理成績．思路分析：先畫散點圖，分析物理與數學成績是否有線性相關關系，若相關，再利用公式求線性回歸模型．解:(1）如圖所示．（2）因為eq\x\to(x）＝eq\f（1,5)×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，eq\x\to(y）＝eq\f（1,5)×（78＋65＋71＋64＋61）＝67.8，eq\i\su(i＝1,5，x)iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054,eq\i\su(i＝1，5，x)eq\o\al（2，i)＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.所以eq\o（b,\s\up6(^）)＝eq\f（\i\su（i＝1，5，x)iyi－5\x\to(x)\x\to（y),\i\su(i＝1，5,x)\o\al（2，i）－5\x\to(x2)）＝eq\f(25054－5×73.2×67.8,27174－5×73。22）≈0。625，eq\o(a，\s\up6（^)）＝eq\x\to（y）－eq\o(b,\s\up6（^）)eq\x\to（x)≈67.8－0.625×73.2＝22。05.所以y對x的回歸直線方程是eq\o（y,\s\up6(^))＝0.625x＋22。05。(3）x＝96,則eq\o（y，\s\up6（^）)＝0。625×96＋22。05≈82，即可以預測他的物理成績是82.探究二殘差分析1．利用殘差分析研究兩個變量間的關系時，首先要根據散點圖來判斷它們是否線性相關，是否可以用線性回歸模型來擬合數據,然后通過殘差eq\o（e1,\s\up6（^）)，eq\o（e2,\s\up6（^))，…，eq\o（en,\s\up6（^))來判斷模型擬合的效果．2．若殘差點比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中,帶狀區(qū)域越窄，說明模型擬合度越高，回歸方程預報精確度越高．【典型例題2】假定小麥基本苗數x與成熟期有效穗y之間存在相關關系,今測得5組數據如下:x15.025。830。036.644.4y39.442.942.943.149。2(1）以x為解釋變量，y為預報變量，作出散點圖；（2)求y與x之間的回歸方程,對于基本苗數56。7預報有效穗;（3)計算各組殘差,并計算殘差平方和；（4）求R2，并說明殘差變量對有效穗的影響占百分之幾?思路分析：求出參數eq\o(b，\s\up6（^）)與eq\o（a,\s\up6(^）)，然后求出回歸直線方程，再檢驗模型擬合效果，計算出殘差，得出結論．解：(1）散點圖如下．(2）由圖看出，樣本點呈條狀分布，有比較好的線性相關關系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關系．設回歸方程為eq\o(y，\s\up6(^)）＝eq\o（b，\s\up6（^））x＋eq\o(a，\s\up6（^）),eq\x\to(x）＝30.36，eq\x\to(y）＝43.5，eq\i\su(i＝1，5,x)i2＝5101。56，eq\i\su（i＝1，5,y）i2＝9511.43.eq\x\to(x)eq\x\to（y)＝1320.66，eq\x\to（x2)＝921。7296，eq\i\su（i＝1，5，x)iyi＝6746.76。由eq\o(b，\s\up6(^))＝≈0.29，eq\o(a，\s\up6（^))＝eq\x\to(y)－eq\o（b,\s\up6(^)）eq\x\to(x)≈34.70，故所求的回歸直線方程為eq\o（y,\s\up6（^))＝34.70＋0。29x。當x＝56。7時，eq\o（y，\s\up6(^）)＝34.70＋0.29×56。7＝51。143.估計成熟期有效穗為51.143.（3）由于eq\o(yi,\s\up6（^)）＝eq\o（b，\s\up6(^))xi＋eq\o（a，\s\up6（^）），可以算得eq\o(ei,\s\up6（^）)＝y(tǒng)i－eq\o（yi,\s\up6(^))分別為eq\o(e1,\s\up6(^)）＝0。35,eq\o(e2，\s\up6(^))＝0.718，eq\o（e3，\s\up6(^))＝－0。5,eq\o（e4，\s\up6(^))＝－2.214，eq\o（e5，\s\up6（^)）＝1.624，殘差平方和:≈8。43.（4)可得：eq\i\su(i＝1，5，)（yi－eq\x\to（y））2＝50.18,∴R2＝1－eq\f(8。43，50。18）≈0。832。所以解釋變量小麥基本苗數對總效應約貢獻了83。2％，殘差變量貢獻了約1－83.2%＝16.8%.探究三非線性回歸分析在解決實際問題時，研究的兩個變量不一定都呈線性相關關系．對于這類問題，常采用適當的變量代換,把問題轉化為線性回歸問題，求出線性回歸模型后，再通過相應的變換，得到非線性回歸方程．【典型例題3】某地區(qū)六年來輕工業(yè)產品利潤總額y與年次x的試驗數據如下表所示：年次x123456利潤總額y11。3511。8512.4413.0713。5914.41由經驗知，年次x與利潤總額y(單位：億元)有如下關系：y＝abxe0.其中a，b均為正數，求y關于x的回歸方程．思路分析：解答此題可根據散點圖選擇恰當的擬合函數，而本題已經給出，只需將其轉化為線性函數，利用最小二乘法求得回歸直線方程，再將其還原為非線性回歸方程即可．解：對y＝abxe0兩邊取自然對數,得lny＝lnae0＋xlnb，令z＝lny，則z與x的數據如下表:x123456z2.432。472。522.572.612.67由z＝lnae0＋xlnb及最小二乘法公式，得lnb≈0.0477，lnae0＝2。378，即eq\o（z，\s\up6（^)）＝2.378＋0。0477x，所以eq\o(y,\s\up6（^））＝10。8×1。05x.規(guī)律小結非線性回歸方程的求法探究四易錯辨析易錯點求回歸方程時忽略相關性檢驗致誤【典型例題4】在一化學反應過程中，某化學物質的反應速度y（g/min)與一種催化劑的量x（g)有關，現(xiàn)收集了如下表所示的8組數據，試建立y與x之間的回歸方程。催化劑量x/g1518212427303336化學物質反應速度y/(g/min）6830277020565350錯解：由表中數據可得eq\x\to(x)＝25。5，eq\x\to（y）＝95。125，eq\i\su(i＝1，8，x)i2＝5580，eq\i\su（i＝1，8，x)iyi＝24297，所以eq\o(b,\s\up6（^))＝＝eq\f（24297－19405。5，5580－5202）≈12.94,eq\o（a，\s\up6（^)）＝eq\x\to(y）－eq\o（b，\s\up6(^))eq\x\to(x）≈95.125－12.94×25。5＝－234.845,所以y與x之間的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^））＝12.94x－234。845.錯因分析：解題前沒有審好題,原題求的是回歸方程，并不是回歸直線方程，故應先進行相關性檢驗,再求回歸方程,不能盲目地求回歸直線方程．正解:根據收集的數據作散點圖，如圖所示．根據樣本點的分布情況，可選用指數型函數模型y＝c1（c1,c2為待定的參數），令z＝lny,則z＝c2x＋lnc1,即變換后樣本點應該分布在直線z＝bx＋a（a＝lnc1，b＝c2)的周圍，由y與x的數據表得z與x的數據表如下：x1518212427303336z1.7922.0793。4013.2964.2485.3234.1745。858作出z與x的散點圖，如圖所示，由圖可以看出變換后的樣本點分布在一條直線附近，所以可用線性回歸